3. RANGO Y MATRIZ INVERSA 3.1. RANGO Se llama rango

3. RANGO Y MATRIZ INVERSA 3.1. RANGO Se llama rango

Rango y matriz inversa 3 3. RANGO Y MATRIZ INVERSA 3.1. RANGO Se llama rango de una matriz filas, y lo notaremos por rango
al número de filas no nulas de su forma canónica por . rango
Observación: Se verifica que rango
. EJEMPLO 9 Calcula, mediante operaciones elementales, el rango de la matriz: 1
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Solución: 1
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Por el ejemplo 8 se sabe que la forma canónica por filas de es: 0
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, 1
0
3. que tiene 3 filas no nulas. Por tanto, su rango es: rango
3.2. MATRIZ INVERSA Dada una matriz cuadrada tal que Una matriz , se dice que es regular si existe otra matriz . La matriz recibe el nombre de matriz inversa de . se dice que es singular si no tiene inversa. 3.2.1. PROPIEDADES DE LA INVERSA •
La identidad y todas las matrices elementales son regulares. •
Si es regular entonces •
Si es regular entonces •
Si y son regulares entonces •
La matriz es regular si y sólo si rango
•
La matriz es regular si y sólo si su forma canónica por filas es la matriz identidad es regular, y es: es regular, y es: es regular, y es: . . 1 Álgebra Lineal Miguel Reyes – Águeda Mata 3.2.2. MATRIZ DE PASO Por la relación dada entre operaciones elementales y matrices elementales, si la forma canónica por filas de la matriz es , entonces …
Donde es la matriz elemental asociada a la operación i‐ésima realizada. …
Sea el producto de matrices elementales que intervienen en la obtención de la se dice que la matriz es una matriz de forma canónica por filas de . Dado que paso de a . Además la matriz es regular, por ser producto de matrices regulares y puede ser construida, sin necesidad de calcular cada , aplicando a la matriz identidad las mismas operaciones elementales por filas hechas sobre : …
Así pues, para obtener las matrices y se deben realizan, respetivamente sobre e , las mismas operaciones elementales por filas y, por tanto, pueden calcularse simultáneamente operando sobre una matriz doble: |
|
~
~…~
…
|
…
EJEMPLO 10 Obtener la forma canónica por filas de la matriz 1
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0
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, y una matriz de paso 1
1
de a su forma canónica por filas. Solución: Se construye la matriz |
, y se hacen operaciones elementales por filas sobre esta matriz doble, hasta obtener la forma canónica por filas de : |
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Rango y matriz inversa 1
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Se tiene que la forma canónica por filas de la matriz y una matriz de paso son: 1
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Se puede comprobar que se verifica que: 3/4
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3.2.3. ALGORITMO PARA EL CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA Cuando la matriz es cuadrada y regular, su rango es máximo y su forma canónica por filas es , de donde se deduce que . la matriz identidad, es decir Esto nos proporciona el siguiente algoritmo para calcular la inversa de una matriz 1. Construir la matriz doble | 2. Hacer operaciones elementales sobre la matriz doble canónica por filas de : | ~ | 3. Si , entonces es regular, y , entonces es singular. 4. Si |
hasta obtener la forma EJEMPLO 11 Estudiar si la matriz 1
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1
1
0 es regular y, en caso afirmativo, calcular su inversa. 1
3 Álgebra Lineal Miguel Reyes – Águeda Mata Solución: |
Se construye la matriz , y se hacen operaciones elementales por filas sobre esta matriz doble hasta obtener la forma canónica por filas de : 1
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Puesto que la forma canónica es la identidad, la matriz es regular y 4 0
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