Solución - IES Francisco Ayala

IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2003
Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN A
A.1.- Luís, Juan y Oscar son tres amigos. Luís le dice a Juan: Si yo te doy la tercera parte del
dinero que tengo, los tres tendremos la misma cantidad. Calcular lo que tiene cada uno de ellos
sabiendo que entre los tres reúnen 60 euros
Evidentemente Oscar al tener, al final, la misma cantidad que los otros dos esta es de 20
euros, por ello el problema se reduce a lo que tiene, inicialmente, Luís que llamaremos L y lo
que tiene Juan que llamaremos J, al final los dos tendrán, conjuntamente, 40 euros
⎧⎪ L + J = 40
⎧ L + J = 40
⇒ 2 J = 60 − 40 = 20 ⇒ J = 10 € ⇒ L + 10 = 40 ⇒ L = 30 €
⎨ J + L = 20 ⇒ ⎨
L + 3 J = 60
⎩
⎪⎩
3
1
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2003
Juan Carlos Alonso Gianonatti
A.2.- Sean los puntos A(3 , 2) y B(5 , 3). Calcular:
a) Ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto B y tiene su centro en A
b) Ecuación de la tangente a esta circunferencia en B
c) Área del triángulo formado por la tangente anterior y los ejes coordenados.
a)
R = d AB =
(5 − 3)2 + (3 − 2)2
= 4 + 1 = 5 ⇒ ( x − 3) + ( y − 2) =
2
2
( 5)
2
⇒
x 2 − 6x + 9 + y 2 − 4 y + 4 = 5 ⇒ C ≡ x 2 + y 2 − 6x − 4 y + 8 = 0
b)
C ' ≡ 2 x + 2 yy '−6 − 4 y ' = 0 ⇒ 2 x − 6 + (2 y − 4 ) y ' = 0 ⇒ (2 y − 4) y ' = 6 − 2 x ⇒ y ' =
m = y' =
6 − 2 x 2.(3 − x )
=
2 y − 4 2( y − 2 )
3−5
= −2 ⇒ y − 3 = −2( x − 5) ⇒ r ≡ 2 x + y − 13 = 0
3−2
c)
13
⎧⎪
1 13
169 2
Corte con OX ⇒ y = 0 ⇒ 2 x + 0 − 13 = 0 ⇒ 2 x = 13 ⇒ x =
u
⎨
2 ⇒ A = ⋅ ⋅ 13 =
2
2
4
⎪⎩
Corte con OY ⇒ x = 0 ⇒ 2.0 + y − 13 = 0 ⇒ y = 13
2
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2003
Juan Carlos Alonso Gianonatti
A.3.- a) Determinar un polinomio de tercer grado que pasa por los puntos (0 , 0) y (1 , - 1) y que
los dos son extremos
b) Analizar la naturaleza de ambos extremos, es decir, si son máximos o mínimos
a)
⎧ f (0 ) = 0 ⇒ a.0 3 + b.0 2 + c.0 + d = 0 ⇒ d = 0
⎪
⎧ f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d
f (1) = −1 ⇒ a.13 + b.12 + c.1 + d = −1
⎪
⇒
⇒
Será de la forma ⇒ ⎨
⎨
2
2
⎩ f ' ( x ) = 3ax + bx + c
⎪ f ' (0) = 0 ⇒ 3a.0 + b.0 + c = 0 ⇒ c = 0
⎪⎩
f ' (1) = 0 ⇒ 3a.12 + b.1 + c = 0
⎧a + b = −1
1
3
1
3
1
⇒ 2 a = 1 ⇒ a = ⇒ b = −3 ⋅ = − ⇒ f ( x ) = x 3 − x 2
⎨
2
2
2
2
2
⎩3a + b = 0
b)
3
3
⎧
(
)
f
'
'
0
=
3
.
0
−
=
−
> 0 ⇒ Máximo en (0 , 0 )
⎪
6
3
3
2
2
f ' ' (x ) = x − = 3x + ⇒ ⎨
3 3
2
2
2
⎪ f ' ' (1) = 3.1 − = > 0 ⇒ Mínimo en (1 , − 1)
2 2
⎩
3
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Junio 2003
Juan Carlos Alonso Gianonatti
A.4.- Sean las parábolas y = x − 4 x + 13 e y = 2 x − 8 x + 16
a) Representar sus gráficas
2
2
b) Calcular los puntos donde se cortan, entre sí, las parábolas
c) Hallar la superficie encerrada entre las dos parábolas
a)
13
Y
12
11
10
y = x 2 − 4 x + 13
9
8
y = 2 x 2 − 8 x + 16
7
X
6
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
b)
4+2
⎧
x
=
=3
⎪
4± 4
2
x 2 − 4 x + 13 = 2 x 2 − 8 x + 16 ⇒ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇒ Δ = 16 − 12 = 4 > 0 ⇒ x =
⇒⎨
⇒
4−2
2
⎪x =
=1
2
⎩
⎧ x = 1 ⇒ f (1) = 12 − 4.1 + 13 = 10
⎨
2
⎩ x = 3 ⇒ f (3) = 3 − 4.3 + 13 = 10
c)
3
(
)
3
(
)
3
(
)
3
3
3
1
1
1
A = ∫ x 2 − 4 x + 13 dx − ∫ 2 x 2 − 8 x + 16 dx = ∫ − x 2 + 4 x − 3 dx = − ∫ x 2 dx + 4∫ x dx − 3∫ dx
1
1
[ ]
[ ]
1
(
)
(
)
3
3
1
1
1
26
3
A = − ⋅ x 3 1 + 4 ⋅ ⋅ x 2 1 − 3 ⋅ [x ]1 = − ⋅ 33 − 13 + 2 ⋅ 3 2 − 12 − 3 ⋅ (3 − 1) = − + 2 ⋅ 8 − 3.2
3
2
3
3
26
26
4
A = − + 16 − 6 = − + 10 = u 2
3
3
3
4
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Solución Junio 2003
Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN B
B.1. ) Busca una matriz cuadrada X (puede haber varias) cuyo primer elemento valga 2 y tal
⎛ − 1 − 1⎞
⎛ 2 − 2⎞
⎟⎟ sea la matriz nula
⎟⎟ X + X ⎜⎜
⎝ 11 − 1⎠
⎝6 0 ⎠
que ⎜⎜
Nota: El primer elemento de una matriz es el que está en la primera fila y en la primera
columna, es decir, el que escribimos en la parte superior izquierda
⎛ 2 − 2 ⎞ ⎛ 2 a ⎞ ⎛ 2 a ⎞ ⎛ − 1 − 1⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 4 − 2b 2a − 2c ⎞ ⎛ − 2 + 11a − 2 − a ⎞ ⎛ 0 0 ⎞
⎟⇒
⎟=⎜
⎟+⎜
⎟⎟ ⇒ ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎜⎜
6a ⎟⎠ ⎜⎝ − b + 11c − b − c ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠
⎝ 6 0 ⎠ ⎝ b c ⎠ ⎝ b c ⎠ ⎝ 11 − 1⎠ ⎝ 0 0 ⎠ ⎝ 12
⎛ 4 − 2b − 2 + 11a 2a − 2c − 2 − a ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 2 − 2b + 11a a − 2c − 2 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞
⎟⇒
⎟=⎜
⎟⇒⎜
⎟=⎜
⎜⎜
6a − b − c ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 12 − b + 11c 6a − b − c ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠
⎝ 12 − b + 11c
⎛ 1 0 − 2 2 ⎞ ⎛1 0 − 2 2 ⎞ ⎛1 0 − 2 2 ⎞
⎧2 − 2b + 11a = 0 ⎧ a − 2c = 2
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎪ 11a − 2b = −2
⎪ a − 2c − 2 = 0
⎜11 − 2 0 − 2 ⎟ ⎜ 0 − 2 22 − 24 ⎟ ⎜ 0 − 1 11 − 12 ⎟
⎪
⎪
⇒⎨
⇒⎜
⎨
⎟≡⎜
⎟≡⎜
⎟≡
⎪− b + 11c = −12 ⎜ 0 − 1 11 − 12 ⎟ ⎜ 0 − 1 11 − 12 ⎟ ⎜ 0 − 1 11 − 12 ⎟
⎪12 − b + 11c = 0
⎜ 6 − 1 − 1 0 ⎟ ⎜ 0 − 1 11 − 12 ⎟ ⎜ 0 − 1 11 − 12 ⎟
⎪⎩ 6a − b − c = 0
⎪⎩ 6a − b − c = 0
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
⎛1 0 − 2 2 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 − 1 11 − 12 ⎟
≡⎜
⇒ b − 11c = −12 ⇒ b = 11c − 12 ⇒ a − 2c = 2 ⇒ a = 2 + 2c
0 0
0 0 ⎟
⎜
⎟
⎜0 0
⎟
0
0
⎝
⎠
⎫
⎧⎛ 2
2 + 2λ ⎞
⎟⎟ , λ ∈ ℜ⎬
X = ⎨⎜⎜
λ ⎠
⎭
⎩⎝11λ − 12
5
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B.2. Sea el plano
Solución Junio 2003
π : x − 2 y + 4 z = 12
a) Calcular la distancia δ entre el plano
Juan Carlos Alonso Gianonatti
y el punto P(2 , - 1 , 1)
π y el punto P
b) Calcular la ecuación de un plano paralelo a
la misma distancia δ .
π y distinto del mismo, que también diste de P
c) Calcular el volumen de la figura limitada por el plano
π y los tres planos coordenados
a)
δ=
1.2 − 2.(− 1) + 4.1 − 12
1 + (− 2) + 4
2
2
=
2 + 2 + 4 − 12
2
1 + 4 + 16
=
−4
21
=
4 21
u
21
b)
Será de la forma π ' ≡ x − 2 y + 4 z + D = 0
4
=±
1.2 − 2.(− 1) + 4.1 + D
21
21
π ' ≡ x − 2 y + 4z − 4 = 0
4 = 2 + 2 + 4 + D ⇒ 4 = 8 + D ⇒ D = −4
⎧
⇒⎨
⇒
⎩4 = −(2 + 2 + 4 + D ) ⇒ 4 = −8 − D ⇒ D = −12 (que es el de π )
c)
⎧
⎧x = λ
⎧ x = 12
⎪
⎪
⎪
⎪Corte con OX ≡ ⎨ y = 0 ⇒ λ − 2.0 + 4.0 − 12 = 0 ⇒ λ = 12 ⇒ X ⎨ y = 0 ⇒ X (12 , 0 , 0)
⎪z = 0
⎪ z=0
⎪
⎩
⎩
⎪
⎧
x
=
0
⎧x = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ Corte con OY ≡ ⎨ y = μ ⇒ 0 − 2μ + 4.0 − 12 = 0 ⇒ μ = 6 ⇒ Y ⎨ y = 6 ⇒ Y (0 , 6 , 0)
⎪
⎪z =0
⎪z = 0
⎩
⎩
⎪
⎧x = 0
⎪
⎧x = 0
⎪
⎪
⎪
⎪ Corte con OZ ≡ ⎨ y = 0 ⇒ 0 − 2.0 + 4.α − 12 = 0 ⇒ α = 3 ⇒ Z ⎨ y = 0 ⇒ X (0 , 0 , 3)
⎪z = α
⎪z = 3
⎪
⎩
⎩
⎩
c)
12 0 0
1
1
1
12.6.3
V = ⋅ OX ⋅ OY × OZ = ⋅ 0 6 0 = ⋅ (12.6.3) =
= 36 u 3
6
6
6
6
0 0 3
6
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Solución Junio 2003
Juan Carlos Alonso Gianonatti
B.3.- Sea la parábola f ( x ) = ax + bx + c . Determinar sus coeficientes sabiendo que:
2
a) Pasa por el origen de coordenadas tangencialmente a la bisectriz del primer cuadrante y
tiene un extremo en x = 0’5
b) Determinar la naturaleza de dicho extremo
a)
⎧
⎪
f (0 ) = 0 ⇒ a.0 2 + b.0 + c = 0 ⇒ c = 0
⎪
f ' ( x ) = 2ax + b ⇒ ⎨
y = x ⇒ m = 1 ⇒ f ' (0) = 1 ⇒ 2a.0 + b = 1 ⇒ b = 1
⎪ ⎛1⎞
1
⎪ f ' ⎜ ⎟ = 0 ⇒ 2a ⋅ + b = 0 ⇒ a + b = 0 ⇒ a + 1 = 0 ⇒ a = −1
2
⎩ ⎝2⎠
f (x ) = − x 2 + x
b)
2
⎡1
1⎤ ⎛ 1
1 1⎞ ⎛1 1⎞
⎛1⎞
⎛1⎞
f ' ' (x ) = −2 ⇒ f ' ' ⎜ ⎟ = −2 ⇒ Máximo relativo en ⎢ , − ⎜ ⎟ + ⎥ ⇒ ⎜ , − + ⎟ ⇒ ⎜ , ⎟
2 ⎥⎦ ⎝ 2
4 2⎠ ⎝2 4⎠
⎝2⎠
⎝2⎠
⎢⎣ 2
7
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Solución Junio 2003
B.4.- Sea la función f ( x ) = xe
Juan Carlos Alonso Gianonatti
x
a) Calcular la ecuación de su tangente en el origen de coordenadas
b) Determinar los extremos de la función f
c) Hallar el área encerrada entre la grafica de esta curva, el eje de abcisas y la recta x = 1
a)
f ' ( x ) = e x + xe x = e x (1 + x ) ⇒ m = f ' (0 ) = e 0 (1 + 0 ) = 1.1 = 1 ⇒ y − 0 = 1 ⋅ ( x − 0) ⇒ y = x ⇒ x − y = 0
b)
⎧ e x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ
⇒
f ' ( x ) = 0 ⇒ e x (1 + x ) = 0 ⇒ ⎨
⎩1 + x = 0 ⇒ x = −1
f ' ' (x ) = e x (1 + x ) + e x = e x (2 + x ) ⇒ f ' ' (− 1) = e −1 [2 + (− 1)] =
[
1
1
⋅ 1 = > 0 ⇒ Mínimo
e
e
]
1⎞
⎛
Mínimo realativo en − 1 , (− 1)e −1 ⇒ ⎜ − 1 , − ⎟
e⎠
⎝
c)
⎧e x > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ
⇒
f ( x ) = 0 ⇒ xe = 0 ⇒ ⎨
x=0
⎩
x
∫ xe
x
dx =xe x − ∫ e x dx =xe x − e x = ( x − 1)e x + K
x = u ⇒ dx = du
⎧⎪
⎨e x dx = dv ⇒ v = e x dx = e x
⎪⎩
∫
1
∫ xe
x
[
= ( x − 1)e x
] = [(1 − 1)e
1
0
1
]
− (0 − 1)e 0 = 0.e − (− 1).1 = 1 u 2
0
8