Examen 1 ´Algebra superior Soluciones Problema 1. Muestra por

Examen 1 ´Algebra superior Soluciones Problema 1. Muestra por

Examen 1
Álgebra superior
Soluciones
Problema 1. Muestra por inducción la identidad
(x − y)(xn + xn−1 y + xn−2 y 2 + . . . xy n−1 + y n ) = xn+1 − y n+1 ,
para n ∈ N.
Solución. Empezamos por mostrar el caso n = 0, el cual se verifica porque
(x − y) · 1 = x0+1 − y 0+1 .
En esta identidad hemos usado el hecho que x0 = 1.
Ahora bien, suponemos que la identidad es cierta para algún n ∈ N, es decir, suponemos
que
(x − y)(xn + xn−1 y + xn−2 y 2 + . . . xy n−1 + y n ) = xn+1 − y n+1 ,
(1)
y mostraremos que es cierta para n + 1. Es decir, tenemos que verificar la identidad
(x − y)(xn+1 + xn y + xn−1 y 2 + . . . x2 y n−1 + xy n + y n+1 ) = xn+2 − y n+2 .
Primero observamos que podemos escribir
xn+1 +xn y +xn−1 y 2 +. . . x2 y n−1 +xy n +y n+1 = x(xn +xn−1 y +xn−2 y 2 +. . . xy n−1 +y n )+y n+1 ,
donde hemos factorizado x en los primeros n + 1 sumandos. Entonces, utilizando (1),
(x − y)(xn+1 + xn y+xn−1 y 2 + . . . x2 y n−1 + xy n + y n+1 )
= (x − y) x(xn + xn−1 y + xn−2 y 2 + . . . xy n−1 + y n ) + y n+1
= x(x − y)(xn + xn−1 y + xn−2 y 2 + . . . xy n−1 + y n ) + y n+1 (x − y)
= x(xn+1 − y n+1 ) + y n+1 (x − y) = xn+2 − xy n+1 + xy n+1 − y n+2
= xn+2 − y n+2 .
1
Problema 2. Calcula las soluciones a las siguientes ecuaciones en Z.
1.
40x + 28y = 16;
Solución. Calculamos primero mcd(40, 28) utilizando el algoritmo de Euclides.
40 = 28 · 1 + 12
28 = 12 · 2 + 4
12 = 4 · 3.
Entonces mcd(40, 28) = 4. Como 4|16, la ecuación sı́ tiene solución. Ahora utilizamos
los cálculos anteriores para expresar, primero, a 4 como combinación de 40 y 28.
4 = 28 − 12 · 2 = 28 − (40 − 28) · 2 = 28 · 3 − 40 · 2.
Entonces
40(−2) + 28(3) = 4.
Multiplicando por
16
= 4, tenemos
4
40(−8) + 28(12) = 16,
ası́ que una solución a la ecuación es x1 = −8 y y1 = 12. El resto de las soluciones son
de la forma
28
k = −8 + 7k
4
40
y = 12 − k = 12 − 10k.
4
x = −8 +
2.
133x + 14y = 1.
Solución. Empezamos por calcular mcd(133, 14). Utilizando el algoritmo de Euclides,
133 = 14 · 9 + 7
14 = 7 · 2.
Entonces mcd(133, 14) = 7. Como 7 6 | 1, la ecuación no tiene solución.
2
Problema 3. Encuentra enteros a, b, m tales que
a 6≡ 0
b 6≡ 0
(mód m),
(mód m),
pero
ab ≡ 0
(mód m).
Solución. Podemos tomar, por ejemplo, a = b = 2 y m = 4. Entonces 2 6≡ 0
2·2=4≡0
(mód 4), pero
(mód 4).
Problema 4. Encuentra las soluciones a
15x ≡ 33 (mód 63).
(2)
Solución. Empezaremos por calcular mcd(15, 63), y verificar si este número es divisor de 33.
Por el algoritmo de Euclides,
63 = 15 · 4 + 3
15 = 3 · 5.
Entonces mcd(15, 63) = 3 y, como 3|33, la ecuación sı́ tiene solución, y de hecho tiene 3
soluciones distintas módulo 63.
De las divisiones anteriores observamos que
15(−4) + 63 = 3,
por lo que
15(−44) + 63(11) = 33,
por lo que x1 = −44 y y1 = 11 es una solución a 15x + 63y = 33. El resto de las soluciones
son
63
15
y
y = 11 − k = 11 − 5k.
x = −44 + k = −44 + 21k,
3
3
Las soluciones en x corresponden a las congruencias 19, 40 y 61 (mód 63), las cuales corresponden a las tres soluciones a la ecuación (2).
3