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REALISMO CONSTRUCTIVO MATEMÁTICO Y METAFISICA
Guillermina Díaz Muñoz
Introducción
La concepción de la Matemática del Positivismo Lógico, entendida como sintaxis del
lenguaje, originó una ruptura entre Matemática y Metafísica. Sin embargo, a partir sobre todo
del celebérrimo Teorema de incompletitud de Gödel (1931)1 se ha originado una nueva
concepción como realismo constructivo, esbozada por K. Gödel y desarrollada por X. Zubiri.
Este planteamiento se opone al formalismo2 y exige una metafísica que lo funde3. Esbozamos
esta tarea desde Zubiri y la metafísica matemática de F. Rielo.
1. Función de la realidad en el realismo constructivo matemático (K. Gödel y X.
Zubiri)
La Matemática no es pura invención o creación, independiente de la realidad, porque,
como constata Gödel, los axiomas mismos fuerzan a aceptarlos como verdaderos4. Por tanto,
hay "algo" en los objetos y hechos matemáticos que "existe objetiva e independientemente de
nuestros actos mentales y decisiones"5. Aquello que restringe la creación del matemático debe
existir independiente de ella6. Exige, pues, adoptar el realismo respecto a los objetos
matemáticos, incluso si otros ingredientes fueran creados. Vemos a continuación la función de
la realidad en la construcción, método y verdad matemáticos.
1.1. Realidad y construcción matemática
Gödel no entiende la intuición matemática como vía racional de conocimiento
inmediato. Es "órgano físico" de las impresiones 'abstractas', que pueden darse 'a la vez' que
las sensoriales7. Ofrece algo "más" inmediatamente dado8, a partir de lo cual formamos y
construimos conceptos. No creamos los términos primitivos, pues están relacionados con
infinidad de instancias particulares; mientras que nuestra producción tiene finita complejidad.
1
"Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los 'Principia Mathematica' y
sistemas conexos" Monatshefte für Mathematik und Physik, (1931), 38, pp. 173-198. Como
dicho Teorema tiene forma disyuntiva no excluyente, así también las implicaciones
filosóficas: "o la matemática es incompletable en el sentido de que una regla finita no puede
nunca abarcar sus axiomas evidentes, es decir, que la mente humana (incluso en el reino de la
matemática pura) sobrepasa infinitamente la potencia de cualquier máquina finita, o bien
existen problemas diofánticos absolutamente irresolubles del tipo especificado (donde no se
excluye el caso de que ambos términos de la disyunción sean verdaderos, con lo que hay,
estrictamente hablando, tres alternativas)".
2
Dicho Teorema niega la pretensión de Hilbert de formalizar la matemática clásica en un
sistema consistente y completo, pues hay problemas relativamente simples de la aritmética de
números naturales indecidibles en un sistema formal con número finito de axiomas y reglas. Y
es imposible obtener una prueba finitaria de consistencia para un sistema formal que
contenga formalizados todos los modos finitarios de prueba.
3
Cf. Gödel C.G, p. 156.
4
Cf. Gödel, Supplement to the second edition [de "¿Qué es el problema del continuo de
Cantor?"] ) (1963), O.C, p. 427
5
Gödel, C.G, p. 156.
6
Cf. Gödel, C.G, p. 159
7
Cf. H. Wang, o.c, p. 261
8
Cf. Gödel, O.C, p. 427
1
Para Zubiri la construcción matemática supone la aprehensión primordial de realidad, cuyo
constitutivo es la impresión. Tiene tres momentos: 1. afección de la formalidad de realidad
"en" que se construye por postulación el contenido del objeto matemático; 2. alteridad de algo
'gnoto' presente en mi impresión, que es independencia como quedan los objetos matemáticos
en la impresión de realidad; 3. fuerza de imposición de algo real que constriñe la libertad
creadora del matemático.
Los objetos matemáticos se inteligen inscritos en la formalidad de realidad dada en
impresión y su construcción "consiste en realizar ante mi inteligencia un concepto ya
construido objetivamente (tanto si es construible como si no)"1. La afirmación matemática es
realización de un concepto (B) en la realidad realizada por postulación constructiva (A)2. Es
Es irreductible al juicio lógico.
Para Zubiri, los postulados enuncian la verdad real o "contenido" de la "realidad" dada
de lo postulado. El objeto matemático es realidad construida "según conceptos" dentro del
momento "físico" de la formalidad de realidad sentida3. Es más que lo postulado: tiene
propiedades "suyas". Es, pues, "a una" realidad dada y construcción del contenido, realidad y
libertad, esto es, realidad postulada, realidad en construcción, en concepto o en libertad. No
es cosa física (fisicalismo) ni mental (mentalismo), sino cosa libre o irreal realizado.
La matemática se aplica a la realidad física porque el matemático construye en "la"
misma realidad física que el físico, metafísico, etc.
1.2. Realidad y método matemático
Frente al razonamiento axiomático-deductivo, el Teorema de Gödel acentúa, según
Gödel4 y I. Lakatos5, la experiencia matemática.
Para Zubiri el método matemático tiene además del momento de verdad necesaria de
una afirmación el de aprehensión de realidad. Es menester "hacer" la deducción operando,
transformando, construyendo, etc. en la realidad matemática. "Si así no fuera, la matemática
sería una pura lógica de verdades. Y esto es imposible porque la matemática es ciencia de
realidad"6. Lo matemático es término de experiencia7, de com-probación física, que consiste
en unidad intrínseca de verdad y aprehensión de realidad. Lo que se prueba es la presencia de
la realidad "en" la verdad deducida; "aprehendemos la 'realidad en verdad'"8. Lo fundamental
es la aprehensión de la realización de algo "B" en la realidad postulada "A"9.
Las nociones de 'rigor', 'exactitud', evidencia y 'certeza' matemáticas no dependen de su
construcción según el principio de no contradicción. No tenemos la realidad íntegra como
1
IL, p.137
Cf. IL, p.149
3
Cf. IL, p.144
4
Cf. Gödel, C.G, p. 158
5
Véase el artículo "A renaissance of empiricism in the recent philosophy of matehematics"
(1967), trad. esp. en MCE, cap. 2, pp. 42-66. El ideal cuasi-empírico matemático no busca
verdades auto-evidentes resultantes de "probación" sino conjeturas imaginativas y audaces
con potencia explicativa y heurística, según el patrón dialéctico: conjeturas, pruebas y
refutaciones. Se guía por barruntos y tanteos.
6
IR, p. 253
7
Cf. IR, p. 254. El método matemático tiene tres momentos: Se parte de la realidad campal
'independientemente" de su contenido como sistema de referencia, que nos fuerza a construir
un esbozo de un libre sistema de postulados o axiomas, y, por último, se "hace" la probación
o experiencia, que es la realización del "podría ser" en la realidad.
8
IR, pp. 253-4
9
Cf. IR, p. 254
2
2
sujeto de atribución1. Además, estos conceptos penden de la actualización de la realidad en
toda intelección diferencial. La ex-actitud es atenerse a la exigencia constrictiva de la
realidad; el rigor, "constricción exigencial" sentida; la certeza, firmeza con que actúa la fuerza
de realización de la simple aprehensión a la actualidad de la realidad con efectividad
unívocamente determinada2; la evidencia se funda en la exigencia de la cosa real
aprehendida3. Es 'mediada' y 'necesitante' 4 -la cosa real concreta (necesaria o contingente)
actualizada medialmente en mi intelección determina mi afirmación de ella-. "El concepto es
intuición exacta: la intuición es exigencia de concepto, esto es, de despliegue"5.
1.3. Realidad y verdad matemática
La verdad matemática no es verdad de razón (necesaria) frente a la verdad de hecho
(contingente)6. Se funda intrínsecamente en realidad 'dada' en y por postulados, libremente
elegidos. "Me bastaría con cambiar los postulados y la verdad matemática sería otra"7.
El Teorema de Gödel significa que la verdad matemática es conformidad aproximada
aspectualmente a la realidad matemática. Cada "cosa" matemática es "realización aspectual"
del todo definido y postulado, que tiene "más" caracteres que los postulados y definidos; de
ahí que la intelección adecuada de cada cosa deja, en cada paso, fuera de lo definido y
postulado propiedades8, porque aquella realidad tiene "estructura" translógica9. La intelección
intelección en profundidad es un hecho; pero el acceso a la ultimidad es "problema siempre
abierto hasta el infinito"10. Cada nota remite a otra y "jamás sabremos la amplitud de esta
remisión"11. La infinitud de 'la' realidad dada al hombre, por su apertura respectiva, funda la
incompletitud del conocimiento.
La verdad matemática es lógica: su con-firmación envuelve a-firmaciones del logos. Y
es histórica: realización de posibilidades posibilitantes. "Es lógica históricamente
(cumpliendo), y es histórica lógicamente (encontrando)"12.
Así, pues, la construcción, método y verdad de la Matemática muestra cómo ésta, sin
saberlo ni quererlo, hunde su raíz y vive de la Metafísica.
1
Cf. IR, p. 282
Cf. IL, p. 205
3
En la aprehensión primordial tenemos videncia. Ex significa hacer salir "desde dentro".
Así 12 está dado en "7+5" como ex-igencia, por ello es término de evidencia. Por un lado es
'aporte' de simples aprehensiones, pero por otro "selección" exigencial de las mismas por la
cosa real.
4
Cf. IL, p. 230. No hay diferencia ninguna entre evidencia asertórica y apodíctica.
5
IL, p. 251
6
IR, p. 279. Zubiri considera errónea esta distinción entre verdad de razón y de hecho. La
diferencia radical es "entre realidad campal y realidad mundanal". La primera concierne a las
cosas reales "entre" otras cosas sentidas y la segunda en "la" realidad (o mundo). La "verdad
racional" es de realidad profunda (mundanal y cósmica) de lo real campal. "La realidad
campal nos impele desde sí misma, en su modo de 'hacia', a lo mundanal; y lo mundanal está
inteligido en lo real campal pero como encuentro y cumplimiento de un esbozo. Y este
encuentro es la verdad racional", IR, p. 283.
7
IR, p. 281
8
Cf. IL, p. 327
9
Cf. IL, p. 327-8
10
IR p.168
11
IR p.114
12
IR, p. 306
2
3
2. Conceptualización metafísica del "algo" más dado al matemático
Gödel, frente a su atmósfera intelectual, pretendió, sin lograrlo, una metafísica que
fundara la ciencia y religión. La concibió como teoría exacta y sugirió tomar a Dios como un
concepto primitivo1. Piensa que "hoy sería ya posible percibir por la pura razón (sin apelar a
la fe de ninguna religión) que la concepción teológica del mundo es totalmente compatible
con todos los datos conocidos (incluidas las condiciones que prevalecen en nuestra tierra)"2.
X. Zubiri y F. Rielo, como Gödel, se esfuerzan por hallar una metafísica que funde
ciencia y religión, y consideran al Absoluto como momento fundante de la realidad de todas
las cosas. Para nuestro tema es importante la interpretación de ambos de la idea cristiana de
creación "ex nihilo". No es propiamente desde la nada sino desde Dios, si bien es un acto
libre suyo que no parte de ningún ser ni materia preexistente. F. Rielo entiende que es
creación desde la posibilidad genética, y en Zubiri puede entenderse -extrapolando su
noología- que es creación desde el ámbito transcendental. En ambos casos se trata de "algo"
real, sea vacío de contenido (Zubiri) o vacío de ser (Rielo). Ninguno de ellos cae en un
posibilismo absoluto.
Es fecunda una concepción del conocimiento matemático o cualquiera a partir de una
idea de razón no fundada en la idea de creación "ex nihilo", sino de creación desde la
posibilidad genética o desde el ámbito transcendental. Lo dejamos sugerido y vemos su
dependencia del Absoluto.
2.1 Ámbito transcendental (X. Zubiri)
Para Zubiri la Metafísica es "aprehensión sentiente de la física transcendentalidad de lo
real." La transcendentalidad es momento de la realidad dada en impresión. "Trans" significa
ser "más" que cualquier contenido de lo real "en la aprehensión"3. La transcendentalidad es
comunicación ex-tensiva real, momento físico del "ex" de la formalidad de lo real en
impresión4. Realidad es mera formalidad del "de suyo", sea "en" o "allende" la inteligencia
sentiente. Se trata de un "reísmo", porque deja abierto muchos tipos de realidad5.
La inteligencia está atenida al momento de realidad como ámbito6. Ese "más" donde se
construyen los objetos matemáticos es el momento campal de la formalidad de lo real sentido.
De ahí que la campalidad, en cuanto ámbito transcendental, es fundamento metafísico de la
construcción matemática. Ámbito y transcendentalidad son aspectos de la formalidad
excedente en la formalidad individual de cada cosa. No es vacío de realidad, sino de
contenido. Por ello posibilita la libre construcción en él de un contenido postulado. Estando en
"la" realidad podemos construir el contenido -notas y existencia- del objeto matemático. El
principio estructural del ámbito transcendental es la espaciosidad (ex-tensidad), esto es, la
tensidad (dar-de-sí) respectiva de aquello cuya forma de realidad es un 'ex-de'. Hace posible,
por un lado, el cambio respectivo y por tanto el espacio físico y, por otro lado, el libre
movimiento de la inteligencia de construcción de infinitas estructuras espaciales co-posibles,
es la espaciosidad geométrica. La espaciosidad es la primera y primaria forma de
transcendentalidad, esto es, de apertura de lo real en cuanto tal.
Metafísica y Matemática tienen por objeto la realidad dada impresiva-mente: Ésta se
ocupa de la dimensión talitativa y aquélla de la transcendental7. El carácter transcendental1
Cf. H. Wang, o.c, p. 210. Proporciona una demostración ontológica de la existencia de un
ser Dei-forme.
2
Palabras de Gödel citadas por H. Wang, o.c, 296
3
IS p.115
4
Cf. IS p.118
5
IS p.173
6
A. Ferraz, "El espacio en la metafísica de Zubiri", p.81.
7
SH p.153-4
4
inespecífico de la realidad está unido y fundado en el talitativo-específico de una realidad. Al
ser algo dado en impresión, no es concluso y a priori, sino abierto dinámicamente. La razón
tiene epagógicamente que irlo descubriendo. No existe una metafísica general, sino como
ciencia y saber del orden transcendental, de carácter intramundana.
2. 2. Genética posibilidad (F. Rielo)
La metafísica genética de F. Rielo no es metafísica de la realidad, sino de la concepción
genética de dos seres personales que constituyen única realidad o geneticidad: S1/P1=S2/P2.
Lo que no es el sujeto absoluto es ruptura 'a priori' por Él de la identidad 'nada es nada' o
'vacío de ser es vacío de ser'. De ello resulta la 'genetica possibilitas' o 'matémata' que hace
posible el acto creador. La creación es, por tanto, ex genetica possibilitate. Este vacío de ser
(posibilidad genética) , negado el posibilismo absoluto, es 'algo', el espacio; está estructurado
por leyes teóricas que se hacen constantes fácticas en la creación. El autor lo denomina
"realidad negativa", cuyo contenido es la teoricidad de la simbolización algebraica y
geométrica de la que participan las llamadas ciencias empíricas. Es el objeto de la 'metafísica
matemática'. El vacío de ser es fenomenológico; sin embargo, su supuesto último es la
metafísica genética en virtud de la actio in distans del acto absoluto en el vacío de ser
liberándolo de la identidad 'vacío de ser es vacío de ser'.
2.3. El Absoluto, fundamento del poder de lo real y apertura al infinito.
Ahondando más en el fundamento de la realidad de las cosas como poder último,
posibilitante e impelente del conocer y de su apertura al infinito -dado en impresión de
realidad de modo asaz enigmático e impreciso- llegamos a Dios. Está en las cosas "haciendo
que sean reales"; según modo de presencia y constitucionalidad distinto. "Las cosas reales en
cuanto reales son la deidad que manifiesta a Dios, que está en ellas formalmente
constituyéndolas. Y por este carácter de deidad es por lo que son manifestación, vehículo de
Dios"1. Dios es transcendente en las cosas. "Dios es así fundamento de la ultimidad de lo real
y de su poder"2 y, por tanto, de que la realidad sea posibilitante para el conocimiento humano.
F. Rielo plantea el conocimiento a partir de su concepción del hombre como espíritu
sicosomatizado inhabitado por la divina presencia constitutiva3. El espíritu humano es, por
tanto, un finito abierto al infinito por la aperturidad del propio infinito. Se encuentra en
abierta tensión de dos límites: formal, la finitud del sicosoma; transcendental, la infinitud del
Sujeto Absoluto. La intuición es la apertura de la razón al absoluto. Lo que al hombre le viene
impuesto y supuesto en su conocimiento, dándole forma de verdad, no es el ser, ni la realidad,
ni ningún otro concepto, sino la divina presencia constitutiva.
Prof. Dra. Guillermina Díaz Muñoz
Escuela Idente (Zaragoza, España)
Bibliografía
DIAZ MUÑOZ, G. (1995) Zubiri y la matemática: un nuevo constructivismo. Ediciones de la
1
HD, p. 156
HD, p. 153
3
F. Rielo distingue en la creación entre seres y cosas: los seres son constituidos por la
divina presencia constitutiva (intrínseca en los seres personales, extrínseca en los seres
impersonales); las cosas son constituidas en sus leyes por la actio in distans del sujeto
absoluto).
2
5
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