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Teoria Cuantica de Campos
2 cuatrimestre 2005 - Gustavo Lozano
guia 1: Cuantificación de un sistema de partículas y Teória de Campos Clásicas
1. Considere
una cadena unidimensional de partículas de masa con acoplamiento cuadratico a primer vecinos
con el apartamiento de la posición de equilibrio de la n-esima partícula.
(a) Escriba el lagrangiano y el hamiltoniano del sistema. Encuentre las ecuaciones de movimiento. ¿Cual sera la
&%(' entre vecinos ecuación que conresponde al límite continuo (es decir cuando la diferencia
y
)? Muestre que la velocidad del sonido es en este caso "!$# %
(b) Volviendo al caso discreto, considerando condiciones de contornos
periodicas, encuentre los modos normales
)*
)*0/ 4365 5 !,+
. , el hamiltoniano y resuelva explícitamente la
; encuentra la relación de dispersión 12solución de los modos normales en función del tiempo.
(c) Calcule los crochetes de Poisson
7&8
8
5
7&8 -
7&8;
8=<-90:
!
- 9 :
!
5
8=<
5
- 9 : !
>
?
-B-9
1@-6A
2. Cuantifique el sistema anterior. Es decir, remplazan las variables de posiciones y momentos
y C por operadores D
y C D que satisfacen las reglas de comutaciones usuales, expanden en la basa ortonormales, encuentra los operadores de
EGF
creación y destrucción y el operador hamiltoniano D Calcule su espectro (el conjunto de sus autovalores).
3. Se definen los estados coherentes de un oscilador armónico en una dimensión como los autoestados del operador de
5
destrucción donde IKPKQ
H IKJL!MINH IOJ
F
(a) Demuestre que
H IOJL!SRUTNV WXV Y[Z
R\W^]_\H
J
es un estado coherente normalizado.
(b) Demuestre que estos estados verifican la relación de mínima incerteza.
'ed un estado coherente se puede obtener también mediante la aplicación del operador de translación
(c) Pruebe que
`Ba.b *>
(siendo c la distancia desplazada) al estado fundamental.
C(c
7
(d) Escribe la función de onda en el espacio de coordenadas correspondiente al estado H IOJ
F
EF
(e) Halle la evolución temporal de H IfJ desarrollándolo en la base H J : de autoestados del Hamiltoniano D Muestre
que el autovalor I varía en el tiempo. Dibuje en el
que el estado continúa siendo autoestado del operador , pero
E
plano complejo la evolución de I y muestre como varían g
J y ghCfJ ˙en el tiempo.
(f) Deduzca y resuelva las ecuaciones de evolución en la representación de Heisenberg para los operadores y i
F
(g) Si se mide la energía del sistema, ¿qué valores pueden obtenerse y con qué probabilidades?
E
4. Considere el hamiltanio del problema anterior pero sujeto a una perturbación D !
Ekjml
D
no5
n
D con D
!
+
qp 6F
D
(a) Repitiendo los pasos del problema anterior, obtenga el nuevo hamiltoniano del sistema en función de operadores de
creación y destrucción y obtenga el nuevo espectro energetico.
r
(b) Encontrar el operador de unitario D que verifica
r s@
D
r s@
D
r s@
D- D i
t i r D i s@
D t
obtenga los estados coherentes del sistema.
1
t
!
!
D -
ls <
-
t i ls
D -
5. Prueba la identidad siguiente (conocida como la formula de Baker-Campbell-Hausdorff).
6.
D l D 5 D .l D 5 D 5 D .lMF F F
D 5 D 5 D ! D 5 D 5 D ! F
(b) R
! R R R T
si
Y
<
<
<
Sea la acción siguiente
" d # #GGno&% 5 )*( d
5L5 !m
> '
$
) ?
(
!
(a) R D R T
!
y sabiendo que la acción es invariante frente a la transformación
'*% )
)
%
)
l %
+ '% ,
!
) l) j
!
donde + es una matriz ortogonal y un vector constante ( es invariante frente estas transformación),
(a) Calcule las corrientes de Noether conservadas.
7
7
7
(b) Calcule las ecuaciones de movimiento, el hamiltoniano y los crochetes de Poisson entre momentos conjugados - y
' % 5*)*5 - ' % ) 5*)* : 5 L' % 5*)*B5. ' % ) 5 )* : 5 - ' % 5*)*B5 - ' % ) 5*)* :
los campos :
7. Considere los cuatro lagrangianos siguientes
5 3
365
/
/
/
!
/
/
/
!
/98
!
3 5
12 0 p4365ep 365
365 70 3 3 0 p46
1
3
ep
5
2
?
0 35 35
?
0 \5 p 36 5 5 5 3.p 63 5=<
?;:
!
l
365
2 0 p 365p
. Calcule las ecuaciones de movimiento y las corrientes conservadas correspondientes a las
donde
!
invariancias frente a las transformaciones:
3
3 5 l 3
p
3A@ 95 BDC @B
donde >
>
!
CE365
y
3
') ?
'
! > 5
es un 4-vector constante. Calcule también la corriente conservada correspondiente a las
93
invariancia de gauge
.
!
3 G
l F 3
3
En el caso de / , las variables son pero está escritos de esta forma para poner de manifiesto su carácter de invariante de
5
no es invariante de gauge pero no se necesita condiciones suplementarias
gauge. El segundo, /
/ (lagrangiano de Fermi)
3 ! F El tercero /
/
/ 5 difiere del segundo por un término de divergencia
para
a las ecuaciones de movimiento H
3 llegar
3 y p 365 como variables independientes.
F
3
si !
Finalmente el último (lagrangiano de Schwinger) considera ambos
8.
(a) Demuestre la invariancia del lagrangiano de Schrödinger (ver problema 6) frente a una transformación global del
grupo I 0 definida de la siguiente manera
donde la palabra global significa que
s
=JK
R
no depende de las coordenadas espacio-temporales.
(b) Asumiendo una modificación del lagrangiano dada por
3 ML 3 ! 3 l> R 3
3
deducir la regla
de transformación de la funcion s para que el nuevo lagrangiano sea invariante ante la transfor
mación I 0 local (i.e. donde local significa que es ahora una función de las coordenadas espacio-temporales).
2
3
p
365ep 365
(c) verificar, luego, que esta transformación obtenida para el
no afecta al término cinético
3 como
Maxwell (donde se asumio la identificación del campo
el campo electromagnético).
del campo de
(d) Repetir los pasos anetriores en el caso del Lagrangiano< de un campo< escalar complejo
3
!
3
En ese último caso, calcule la corriente de Noether conservada relacionada con la transformación
A
>0s <
<
!
>0s
!
A
En visto de los pasos anteriores, dar una interpretación a la carga conservada correspondiente.
9. Sea
2
!
?
0 3 3
l
I
correspondiente a un campo escalar en dimensiones (espacio-temporal). Calcule el3 tensor de energía-momento correspondiente a este lagrangiano. Encontar bajo qué condición (es decir el valor de ) 3 es la corriente conservada asociada
a la simetría (transformación conforme)
'*)
)
!
!
LT
3
' '
'