1 1. Introducción En este curso, respetando los - ISGSM-TIC

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Modelización-Sexto año A, Orientación en Ciencias Naturales
Colegio Secundario Gral San Martín -2010
Prof. Analía Cristante
Prof. Cristina Esteley
L
Laa M
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1. Introducción
En este curso, respetando los lineamientos curriculares vigentes en Córdoba, partiremos
de considerar la matemática como “la ciencia de los modelos” A partir de esta acepción,
involucrarse en una actividad matemática implica necesariamente involucrarse en una
“actividad de modelización.”
Con el fin de comprender el sentido atribuido a modelización matemática comenzaremos
discutiendo primero la noción de modelo y luego ahondaremos la idea sobre modelización
matemática.
2. Modelos y Modelos Matemáticos
2. 1
¿Qué es un modelo?
Para comenzar el análisis les ofrecemos algunas definiciones extraídas de diferentes
fuentes para que las lean, exploren y discutan 1.
Diccionario Aurelio
Representación en pequeña escala de algo que se pretende ejecutar en grande.
En Física: conjunto de hipótesis sobre la estructura o el comportamiento de un sistema físico por
el cual se procuran explicar o prever dentro de una teoría científica, las propiedades del sistema.
Modelo económico: sistema de ecuaciones matemáticas representativo de una teoría económica.
Representa una visión simplificada de economía que permite un análisis riguroso de la teoría
económica, y se basa en determinados postulados bien definidos y que son impuestos por el
autor.
Diccionario Webster
Una descripción o analogía usada para ayudar a visualizar algo (como un átomo) que no puede
ser directamente observado.
Un sistema de suposiciones, datos e inferencias usadas para describir matemáticamente un
objeto o un estado de un evento.
Diccionario de Filosofía
Modo de explicación, construcción teórica, idealizada, hipotética, que sirve para el análisis o
evaluación de una realidad concreta. Ejemplo: el modelo copernicano del universo, el modelo
newtoniano de la Física.
Tesis Gazzetta
En algunos casos son construidos modelos, cuando la situación original es muy compleja para
ser estudiada. Se espera que el modelo traiga algún esclarecimiento o información sobre la
situación más compleja.
1
Villarreal,M-2004- Facultad de Ciencias Agropecuarias
1
Los modelos matemáticos comparten algunas ideas presentes en las definiciones analizadas
pero su caracterización proviene de una actividad fundamentalmente matemática como se
detalla a continuación
2. 2
Modelización y modelo matemático
De algún modo, podemos caracterizar a la modelización matemática como una actividad
de sistematización o matematización de problemas reales. Muchas situaciones del mundo real
pueden presentar problemas que requieren soluciones, decisiones, o previsiones y una
formulación matemática detallada.
En este sentido, en una primera aproximación podríamos decir que un modelo
matemático es un nexo entre matemática y realidad, es en cierto sentido, una idealización de un
fenómeno estudiado. En esta línea de ideas, podemos tomar las palabras del matemático
brasilero, Rodney Bassanezzi:
Un modelo matemático puede ser un sistema de ecuaciones o inecuaciones, ecuaciones
diferenciales, integrales o alguna otra estructura matemática, obtenidas a partir de las relaciones
establecidas entre variables consideradas esenciales en el fenómeno que se está analizando.
(Bassanezzi, 1994)
Si extendemos la definición dada por Bassanezzi, podemos indicar que un modelo
matemático es un conjunto consistente de ecuaciones o estructuras matemáticas elaborado para
comprender o representar algún fenómeno físico, biológico, social, etc. Un modelo matemático
puede ser formulado de distintas maneras: con expresiones numéricas o analíticas, diagramas,
gráficos, representaciones geométricas, ecuaciones algebraicas, tablas, programas
computacionales etc.
Para profundizar la noción de modelización matemática y discutir el proceso que ello
involucra, resolveremos y analizaremos algunos problemas.
Problema 1: Dados los siguientes recipientes y en función del trabajo de laboratorio Nº 1:
Calibración de recipiente ya realizado responde:
a)
Dibuja, para cada uno de los casos mostrados abajo, los modelos gráficos que describen la
variación del nivel de líquido en el recipiente en función del volumen de líquido que
contiene
2
3
Problema 2: Los siguientes modelos gráficos representan la variación del nivel de líquido en un
recipiente en función del volumen de líquido que contiene. Para cada modelo gráfico
a) Dibuje un recipiente que le corresponda.
Altura
Volumen
Altura
Volumen
Altura
Volumen
Altura
Volumen
4
3. Procesos de Modelización Matemática y Modelos Matemáticos
El siguiente diagrama, propuesto por los matemáticos de Estados Unidos, Davis y Hersh,
ilustra el proceso de modelización matemática
REAL
IDEAL
FÍSICO
MATEMÁTICO
OBJETO
REAL
Idealización
OBJETO
Construcción de un
modelo
Verificación en el
mundo real
IDEAL
Inferencia
matemática
Implicación al mundo
real
Si bien los autores no explicitan el problema que puede relacionarse con este esquema,
una posibilidad sería pensar como si nuestro problema real consistiera en determinar la forma
del soporte de mayor resistencia para una estructura cualquiera (objeto real). Considerando
propiedades de algunas figuras geométricas y sus características, podríamos concluir que la
figura con mayor resistencia es el triángulo (ente ideal) por ser, de acuerdo a propiedades
estudiadas y demostradas, la única figura rígida. Si además, la situación problemática requiere
encontrar el punto en el cual se concentra el peso del objeto analizado (una estructura de forma
triangular), deberíamos hallar su baricentro mediante la intersección de las medianas del
triángulo, por ser este punto (ente ideal) el centro de gravedad de la figura.
El triángulo y el baricentro trazados anteriormente son modelos matemáticos geométricos, que
dan solución al problema de soporte de una estructura y su punto de equilibrio. Con este
conocimiento uno esperaría que en la construcción de sopores para grandes estructuras, éstos
fueran triángulos. De hecho, por ejemplo, si observan con cuidado, en el Shopping de Duarte
Quirós, encontrarán varias columnas compuestas por muchos triángulos. Ello no es sólo un
aspecto decorativo. Analicemos ahora otros ejemplos
5
Ejemplo 1: La expresión analítica F = m.a es un modelo matemático que resuelve el problema
de calcular la fuerza que se aplica a un cuerpo conocidas su masa y la aceleración que éste
adquiere. Dicha expresión fue deducida experimentalmente, suponiendo que no existe fricción.
Ejemplo 2:
Este modelo es un cuadro que muestra o
describe la evolución de la temperatura y la
presión arterial de un enfermo en 4 días de
internación.
250
200
150
P Arterial
100
Fiebre
50
0
día 1 día 2 día 3 día 4
n.n  1
es la expresión analítica hallada por el matemático alemán
2
Karl Gauss para calcular la suma de los números naturales hasta n.
Ejemplo 3: La fórmula
3. 1
Características y Etapas del proceso de modelización
A partir de los ejemplos y problemas antes analizados, podemos distinguir características
del proceso de modelización matemática e identificar etapas involucradas en el mismo.
Características:
a) "El proceso de modelización matemática debe ser entendido como un proceso completo de
ida y vuelta entre una situación problemática (que puede provenir de la vida real, de otras
disciplinas o de la Matemática misma) y la resolución de un problema planteado en
términos matemáticos (llamado el modelo, que puede ser, por ejemplo, una ecuación o un
sistema de ecuaciones)." (Gysin, 1997, p. 49)
b) Estudio de problemas y situaciones reales con el uso de la Matemática y su lenguaje para
conseguir su comprensión, simplificación y resolución, buscando una posible revisión o
modificación del objeto en estudio.
Etapas:
1) Formular un problema dentro de un tema o problemática que interese ser estudiada (en esta
instancia puede ser necesario recurrir a la experimentación para obtener datos, requerir
informaciones de un especialista, utilizar datos generados por otros y desde distinta fuentes).
2) Construir un modelo matemático que represente el sistema en estudio.
3) Deducir una solución para el modelo.
4) Testar el modelo y la solución deducida para él.
Para complementar el estudio de las etapas antes señaladas analicemos el diagrama que se
presenta a continuación y que expone el proceso de modelización matemática.
6
¿Qué relaciones pueden establecerse entre las etapas 1 a 4 antes descriptas y los
elementos presentes en el diagrama?
TEMA
EXPERIMENTACIÓN
DATOS
EXPERIMENTALES
PROBLEMAS
PARA
ANALIZAR
MODIFICACIÓN
V
A
L
I
D
A
C
I
Ó
N
A
B
S
T
R
A
C
C
I
Ó
N
MODELO
RESOLUCIÓN
MATEMÁTICA
SOLUCIÓN
ANALÍTICA O
NUMÉRICA
APLICACIÓN
Los modelos generados a partir del procesos recién ilustrado son de naturaleza diversa y
puedes ser clasificados conforme al tipo de matemática utilizada y de acuerdo con la naturaleza
de los fenómenos o situaciones analizadas.
Veamos ahora una posible clasificación.
3. 2
Clasificación de modelos matemáticos
Como bien se señala antes, las clasificaciones de los modelos matemáticos pueden
llegar a ser muy diversa.
Para este curso, hemos decidido organizar la clasificación de acuerdo a la expresión del modelo
final, a la incidencia o no de cambio en el tiempo, según la cantidad de variables involucradas y
la posibilidad de previsibilidad del modelo.

Modelo analítico o no analítico.
Analítico: cuando el modelo desemboca en una expresión analítica o fórmula.
No Analítico: cuando el modelo no desemboca en una expresión analítica o fórmula.
Dentro de los modelos analíticos puede tratarse de un modelo lineal o no lineal dependiendo
del tipo de ecuaciones que involucre a las variables seleccionadas.

Modelo estático o dinámico
Estático: cuando representa la forma de un objeto, por ejemplo la forma de una celda en
una colmena
Dinámico: cuando simula variaciones de estados del fenómeno, por ejemplo crecimiento
poblacional de una colmena

Modelo educacional o aplicado
7
Educacional: cuando está basado en un número pequeño o simple de suposiciones
teniendo, casi siempre, soluciones analíticas. Generalmente estos modelos
no representan la realidad con un grado de fidelidad adecuada para hacer
previsiones.
Aplicado: está basado en hipótesis realistas y generalmente involucra interrelaciones de
un gran número de variables, proporcionando en general sistemas de
ecuaciones con numerosos parámetros.

Modelo estocástico o determinístico:
Esta clasificación se realiza teniendo en cuenta si se utilizan o no factores aleatorios en las
ecuaciones
Estocástico: son aquellos que describen la dinámica de un sistema en términos
probabilísticos. Los modelos prácticos tienden a emplear métodos
estocásticos, y casi todos los procesos biológicos son formulados con estos
modelos cuando se tienen pretensiones de aplicabilidad.
Determinístico: son basados en la suposición que existen informaciones suficientes en un
determinado instante o en un estadio de algún proceso, entonces todo el
futuro del sistema puede ser previsto precisamente.
Cabe destacar que un mismo modelo puede ser de distintos tipos, pues esta clasificación
no es excluyente.
Análisis de ejemplos.
De este modo, la problemática de estudio de la estructura y su punto de equilibrio, es
estático, no analítico y determinístico.
El ejemplo 1 (F=m.a) citado más arriba es un modelo analítico, dinámico y
determinístico.
El ejemplo 2 (evolución de fiebre y presión arterial) es un modelo no analítico,
dinámico y estocástico.
El ejemplo 3 es analítico, estático y determinístico.
Discutamos entre todos los tipos de modelos que subyacen en los problemas 1 y 2
relacionados con el llenado de recipientes.
8

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