Dieléctricos → →

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Dieléctricos → →

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIRIA
FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
Curso: FISICA II CB 302U
2010I
Profesor: JOAQUIN SALCEDO [email protected]
Tema: Dieléctricos
Dieléctricos


Tipler -Mosca, Serway-Beichner, Sears-Semansky, Benson, Ohanian-Markert Maximo-Alvarenga
http://es.wikipedia.org/
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/
http://ing.unne.edu.ar/pub/tema5fi.pdf
2010I
Tema: Dieléctricos
Faraday descubrió que a pesar de no transmitir cargas, los dieléctricos afectan a los
campos eléctricos.
La alteración del campo hace variar la capacitancia
Si
C0
capacitancia sin dieléctrico y
C
capacitancia con dieléctrico
C C0 , C C0 o C C0 ?
A un capacitor cargado (desconectado) le
1) mides la diferencia de potencial
V0
2) introduces un dieléctrico k
3) mides la nueva diferencia de potencial
V
4) comparas V0 y
5) obtienes que V
V
y V dp V0
6) el factor que relaciona es k (k>1)
V
V0
V0
k
Esta relación experimental permite hallar las relaciones entre las capacitancias.
V
1
V0
k
Q
C
1 Q
k C0
C
k C0
2010I
Tema: Dieléctricos
La disminución del potencial corresponde a una disminución del campo
E
V
d
1 V0
d k
E0
k
E
E free
k
(*)
El CE E0 debido a las cargas libres en las placas del capacitor polariza al dieléctrico (lo
convierte en un conjunto de dipolos alineados)
El dieléctrico polarizado mantiene su neutralidad (carga neta nula) pero presenta densidad
de carga superficial ligada o latente. b
La densidad de carga ligada
es de signo opuesto a la densidad de carga libre
f
2010I
Tema: Dieléctricos
EP
Si
el CE de las cargas ligadas la resultante del CE en el dieléctrico es
E E0 E P

Halla la relación entre las densidades superficiales
Gauss en las proximidades de la lámina
E.d S
0
0
E S
0
E
S
f
y dieléctrico
y
l
b
qn
f
E
f
f
S
f
b
b
b
0
Aplicando la relación entre campos (*)
f
0
k
f
b
b
0
f (1
1
)
k
Observa que son de signos opuestos y que la densidad de carga ligada es nula si k=1
(vació)
Multiplicando por el área obtienes
2010I
Tema: Dieléctricos
qb
q f (1
1
)
k
Esta relación, a pesar de ser deducida para un capacitor plano paralelo tiene validez general
Para un dieléctrico homogéneo que ocupa todo el espacio entre las placas puedes afirmar
1) aumenta la capacidad
2) proporciona un medio mecánico para mantener las separación constante entre las
placas y evitar su contacto
3) Si Emax
3x106
V
, el aire se ioniza y conduce electricidad
m
4) En los dieléctricos este valor es mucho mayor.(ver y analizar tabla)
Ruptura Dieléctrica
Muchos materiales no conductores se ionizan en CE muy altos y se convierten en
conductores.
Este fenómeno limita el potencial máximo de generador de Van de Graaff
La magnitud del CE para el cual tiene lugar la ruptura del dieléctrico es la resistencia
dieléctrica de dicho material.
La descarga a través del aire resultante de la ruptura es la descarga en arco o de
corona.
Ejemplos
La descarga eléctrica que se experimentan al tocar pomo metálico de una puerta
después de andar sobre una alfombra en un día seco
A gran escala el relámpago durante una tormenta
Un conductor esférico tiene 2 m de radio
a) ¿Cuál es la carga máxima que puede colocarse sobre la esfera sin que se
produzca la ruptura?
b) ¿Cuál es el potencial máximo de la esfera?
a) E
max
0
Emax
0
Q
A
Qmax
4 R
b) Vmax
2
max
Q
k max
R
4 R
2
0
Emax
1.33x10
9 x10
2
9
R 2 Emax
k
4(3x106 )
9 x109
1.33mC
3
5.98 x106 V
2010I
Tema: Dieléctricos
Material
k
Resistencia dieléctrica
x106
V
m
Un capacitor aislado y cargado, de placas paralelas, con separación 0.1mm entre placas y
área 1.0m 2 esta vacío al principio.
Se desliza entre las placas una lámina de plexiglás (k 3.4) , con espesor igual a la
separación entre las placas, pero sólo de la mitad del área de ellas.
a) Cual es la capacitancia final?
b) Aumenta o disminuye la energía almacenada?
c) El capacitor ¿tira del dieléctrico se debe forzar para que entre al capacitor?
a) C
1
C0
2
1
kC0
2
1 k 0A
1.9 x10 7 F
2 d
b) como la carga se mantiene constante la expresión de la energía U
1 Q2
2 C
que como C aumenta U disminuye
c) el dieléctrico adquiere una posición de menor energía, se produce una fuerza que jala al
dieléctrico (dibuje las líneas de CE)
2010I
Tema: Dieléctricos
Ley de Gauss con dieléctricos
E. d S
0
0
E
S
qn
qf
qb
Usando la relación entre las cargas tienes
0E S
0
qf
kE S
E S
1
)
k
q f (1
qf
k
qf
qf
Se define permitividad eléctrica del medio dieléctrico:
Se define vector desplazamiento eléctrico
0
k
E D,
La última relación puede ser reescrita en forma general.
D.d S
qf
En esta forma la ley de Gauss dice que se toma la carga neta libre.
* Demostrar que
D
E
D
f
0k (
* Demostrar que
E0
)
k
f
0
f
0
qb
S
b
P
En el segundo miembro a la densidad de dolarización multiplicamos y dividimos por
una distancia d
Con lo cual tenemos el momento dipolar total por unidad de volumen y es definida
como vector polarización.
b
qb
S
Los vectores D,
qb d
Sd
E
p
V
y
P
P,
Usando la relación entre densidades
2010I
Tema: Dieléctricos
E. d S
0
0
qn
E S
f
S
0
E
S qb
f
0
E
f
b
b
Con las relaciones anteriores demostradas queda
D
0
E P
(*)
Esta ecuación relaciona los tres vectores: el desplazamiento eléctrico, la intensidad
de campo eléctrico y el vector polarización
Aunque deducida para un capacitor de placas plano paralelas tiene validez general.
Para campos no muy intensos y para materiales isótropos el vector P varia
linealmente con E
P
E
0
Donde
se llama la susceptibilidad eléctrica del dieléctrico
Con la relación de la densidad superficial (*) tienes
(1
) 0E
E
f
0E
0 E
0E
k 1
0
* Un capacitor de placas plano paralelas de 1µF, separación entre placas 2mm,
cargado a una diferencia de potencial de 200V, desconectado
Halle
a) Su capacidad si es llenado completamente con un dieléctrico
49
b) La carga de polarización.
c) Magnitud de los vectores P, E y D
a)
k
C
kC0
b)
f
b
C0
qf
1
(1
A
d
0
A
50 x1x10 6 F
0
f
f
1 49
E0
0
V
d
50
50 F
(8.85 x10
12
)
200
2 x10 3
8.85 x10
7
1
1
) 8.85 x10 7 (1
)
k
50
C0 d 1x10 6 (2 x10 3 )
A
8.85 x10 12
0
qb
A
b
2010I
Tema: Dieléctricos
c)
P
b
E0
k
E
D
V
dk
U
2 x10
3
8.85 x10 7 C / m2
f
* Demuestre que U
U e0
200
2 x10 3 (50)
U e0
k
1
C0V0 2
2
V
1
(kC0 )( 0 ) 2
2
k
1
CV 2
2
1
C0V0 2
2k
U e0
k
Si la placa inferior es positiva, la cara del dieléctrico próxima tiene densidad superficial
negativa y la opuesta positiva.
* Por dos métodos distintos calcula la capacitancia del un capacitor plano paralelo de
separación d a quien de ha rellenado con dos dieléctricos K espesor a y k y d-a
paralelos
a) calculando el desplazamiento eléctrico
Q
La capacitancia es C
(+) luego debemos calcular V
V
a
V
0
b
E1dx
a
E2 dx
(*)
Para calcular los CE usamos Gauss
D.d S
D1dS
qf
D1 S
E1
E2
Q
D1
Q
S 0K
Q
S 0k
Q
S
0
KE1
c
K
c
k
Usando (*)
V
a
0
c
dx
K
d
a
c
dx
k
c(
a
K
d
a
k
)
2010I
Tema: Dieléctricos
Sustituyendo (+)
C
Q
a b a
c(
)
K
k
1
(
a
0K S
1
d a
)
k
S
0
1
C1
1
C2
b) observa que están en serie.
* Dos cascarones esféricos concéntricos metálicos muy delgados de radios a y b
tienen entre ellos una capa dieléctrica, esférica y concéntrica k de radios c y c’
(a<c<c’<b)
El cascaron interno se puede conectar a tierra mediante un interruptor S.
Cuando S esta abierto se deposita una carga q en el cascaron exterior. SI luego S
se sierra (potencial nulo en r=a)
a) Halle el CE y el potencial en cada zona.
b) Haga gráficos de E vs r y V vs r
c) ¿Cuál es la carga q’ que aparece sobre la esfera de radio a?
d) Calcule el trabajo para llevar una carga Q desde r=2b hasta r=b
a) aplicando Gauss
0<r<a
E=0
a<r<c
E (r )
c<r<c'
E (r )
c'<r<b
ke q '
r2
ke q '
kr 2
E (r )
ke q '
r2
c) Al conectar a tierra el cascaron r=a su potencial debido a la carga sobre su superficie y las
cargas vecinas es nula. (puede haber cargas atraídas por otros que permanezcan en su
superficie)
sea q’ la carga en r=a
c
V
E.dl
0 V ( r b)
dr
ke q '( 2
r
a
c'
c
b
dr
kr 2
dr
)
2
r
c'
q q'
b
(**)
El termino entre llaves es una constante llamemos m
V ( r b) ke q ' m
Para r>b el potencial
(*)
es V (r ) ke
q q'
r
V ( r b) k e
Aplicando continuidad (*) Y (**)
2010I
Tema: Dieléctricos
q q'
b
ke q ' m k e
q'
qb
1 mb
b
d)
W
Q
ke (q q ')
Q '
dr
k
(q q )
e
2
r
2
b
2b
* A un capacitor esférico de radios a y b se le introdujo dos capas de dieléctricos K y k
concéntricos Halla los vectores D y E
Aplicamos Gauss en dos superficies.
D.d S
DdS
qf
D S
D
0
Q
D2
Q
4 r2
kE
Q
4 r2
Q
4 r2
D1
D
E1
E2
Q
; a r b
4 Kr 2
Q
; a r b
4 kr 2
Halla la capacitancia
Calculamos la diferencia de potencial
m
V
V
V
Q
4
b
a
m
dr
Kr 2
Q 1 1
(
4 K a
c
b
1
b
m
dr
kr 2
1 1
k a
m 1
K r
b
m 1
k r
a
c
b
1
)
c
Usamos la definición.
C
Q 1 1
(
4 K a
Q
1
b
1 1 1
)
k a c
(
1 1
K a
4
1
b
0
1 1 1
)
k a c

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