Teoremas análogos de grupos finitos en grupos de rango de Morley

Teoremas análogos de grupos finitos en grupos de rango de Morley

Revista Colombiana de Matemáticas
Volumen 36 (2002), páginas 1–18
Teoremas análogos de grupos finitos
en grupos de rango de Morley finito
Luis Jaime Corredor
Fabio Ortiz
Universidad de los Andes, Bogotá, COLOMBIA
Abstract. A method used in finite group theory to deduce, among others,
Thomsomp’s and Timmesfeld’s replacement theorems [4], is now developed in
the context of groups of finite Morley rank and analogues results are obtained.
This procedure then, allows to have an evidence on how the Morley rank behaves
as a dimension for an infinite group.
Keywords and phrases. Finite groups, Groups of finite Morley rank, Ranked
groups, Groups with dimension.
2000 Mathematics Subject Classification. Primary: 03C60. Secondary: 03C45,
20A15.
Resumen. Un método usado en grupos finitos para deducir, entre otros, los
teoremas de reemplazo de Thompson y Timmesfeld [4], se desarrolla en versión
de grupos de rango de Morley finito obteniéndose resultados análogos, lo que
permite evidenciar cómo el rango de Morley funciona como una dimensión en
un grupo infinito.
1.
Introducción
En el estudio de teorı́as ℵ1 -categóricas en teorı́a de modelos surgen las estructuras de rango de Morley finito algunas de las cuales se presentan en la
‘naturaleza’, por ejemplo la teorı́a de campos algebráicamente cerrados. En
particular, los grupos de rango de Morley finito son una generalización de los
1
2
LUIS JAIME CORREDOR & FABIO ORTIZ
grupos algebráicos sobre tales campos1. En el caso de un grupo ω-estable el
rango de Morley se puede dar mediante unos axiomas dados por A. Borovik y
esto hace posible desarrollar una teorı́a de tales grupos con métodos propios
de las teorı́as de grupos finitos y algebráicos. Esto se evidencia en los resultados que desarrollamos a partir de [4], ahora en versión de grupos de rango de
Morley finito.
2.
Grupos con dimensión
Según la teorı́a de modelos es posible considerar una estructura en un lenguaje
dado poniendo énfasis en conjuntos que son definibles ó interpretables en esta
y asignarles ‘dimensión’ a tales conjuntos. Precisamos esto en seguida.
2.1. Definibilidad e interpretabilidad. En esta subsección seguimos los
textos [2] y [3].
Entendemos por un grupo G una estructura en un léxico L, que contiene
un sı́mbolo de operación binaria ∗ y un sı́mbolo de constante e y posiblemente
otros sı́mbolos, tal que restringida al subléxico {∗, e}, es un grupo; es decir,
satisface los axiomas de grupo:
1. ∀x (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
2. ∀x x ∗ e = e ∗ x = e
3. ∀y ∃x x ∗ y = y ∗ x = e
De otro lado, por un conjunto definible en G, entenderemos, un subconjunto A
de Gn que es L-definible posiblemente con parámetros de G; es decir, existe una
L-fórmula en n variables libres β(v)=α(v, a) , donde α(v, w) es una L-fórmula
en n + k variables libres y a es una k-tupla de elementos de G tal que
A = α(Gn , a) = β(Gn ) = {m ∈ Gn : G |= α[m, a]}
Ejemplo 2.1.1. Con los anteriores supuestos, si G y H son grupos, se tienen los
siguientes hechos básicos:
(i) Si X ⊆ G es definible , CG (X) y NG (X) son definibles
(ii) Si A, B ⊆ G son definibles entonces A ∩ B, A ∪ B,AB y A r B son
definibles.
(iii) Si φ : G −→ H es un isomorfismo y A ⊆ G es definible, φ(A) es definible.
Ejemplo 2.1.2. Acciones de grupos. Una acción de grupo (G, X) puede ser vista
como una estructura de primer orden de 2 suertes G, X tomando
L={·, −1 , e, ∗} en la que además se incluye:
1. hG, ·, −1 , ei es un grupo.
2. ∀x ∈ X ∀g ∈ G ∀h ∈ G[g ∗x ∈ X]∧[g ∗(h∗x) = (gh)∗x]∧[e∗x = x].
1Para un tal grupo algebraico el rango de Morley coincide con la dimensión de Zariski del
grupo sobre el campo.
GRUPOS DE RANGO DE MORLEY FINITO
3
Definición 2.1.3. Sea A ⊆ M n un subconjunto definible en la estructura M .
Una relación de equivalencia ∼ sobre A es definible en M si existe una LM fórmula α(x, y, m) en 2n variables libres tal que para a, b ∈ A, a ∼ b si y solo
si M |= α(x, y, m).
Definición 2.1.4. Si A ⊆ M n es un subconjunto definible en M y ∼ es una
relación de equivalencia sobre A, cualquier combinación booleana de conjuntos
A
de la forma ∼
se llama conjunto interpretable en M . Si B y B1 , son conjuntos
interpretables en M la función f : B k −→ B1l es interpretable en M si su
gráfico lo es.
Definición 2.1.5. Sea M una L-estructura y N una L0 -estructura. Decimos
que N es interpretable en M si:
(i) N es un conjunto interpretable en M .
(ii) Para cada sı́mbolo de relación R ∈ L0 el conjunto RN es interpretable en
M.
(iii) Para cada sı́mbolo de función f ∈ L0 , la función fN es interpretable en
M.
Ejemplo 2.1.6. Si G es un grupo y H es un subgrupo definible de G entonces el
espacio de coclases laterales G/H es interpretable en G. Si H C G entonces el
grupo G/H es interpretable en G. Si G es un grupo y H ≤ G es un subgrupo
definible, entonces la acción de grupo (G, G/H) es interpretable en G.
2.2. Universo ranqueado. Dada una L-estructura M, la clase de conjuntos
interpretables en M cumple unas propiedades que se pueden abstraer en unos
axiomas como sigue.
Definición 2.2.1. Una colección U no vacı́a de conjuntos que cumplen los
axiomas dados en seguida se llamará universo y los conjuntos de la colección
se llamarán interpretables.
Axioma 1 (Clausura bajo operaciones booleanas). Si A, B son conjuntos interpretables entonces A ∪ B, A ∩ B y A r B son interpretables.
Axioma 2 (Clausura bajo productos). Si A y B son conjuntos interpretables, su
producto cartesiano A × B y las proyecciones canónicas
πi : A × B −→ A
π2 : A × B −→ B
como también las imágenes de subconjuntos interpretables bajo πi (i = 1, 2)
son interpretables. La diagonal 42 (A) = {(a, a) : a ∈ A} es interpretable.
Axioma 3. Si A es interpretable y a ∈ A, {a} es interpretable.
Axioma 4 (Factorización). Si A es interpretable y E(x, y) es una relación de
equivalencia interpretable (es decir, el conjunto E = {(x, y) ∈ A2 : E(x, y)}
es un subconjunto interpretable de A2 ) entonces el conjunto A/E de clases de
equivalencia y la función canónica πE : A −→ A/E son interpretables.
4
LUIS JAIME CORREDOR & FABIO ORTIZ
Definición 2.2.2. Un universo U es ranqueado si existe una función rk : U −→
N que satisface los siguientes axiomas:
Axioma A (monotonicidad del rango). rk(A) ≥ n + 1 si y solo si hay infinitos
subconjuntos de A inerpretables no vacı́os y mutuamente disjuntos cada uno
de rango al menos n.
Axioma B (definibilidad del rango). Si f es una función interpretable de A
en B entonces para cada entero n el conjunto {b ∈ B : rk(f −1 (b) = n} es
interpretable.
Axioma C (aditividad del rango). Si f es una función interpretable de A sobre
B y si para todo b ∈ B, rk(f −1 (b)) = n entonces rk(A)=rk(B) + n.
Axioma D (eliminación de cuantificadores infinitos). Para cualquier función
interpretable f de A en B hay un entero m tal que para cualquier b ∈ B la
preimágen f −1 (b) es infinita siempre que contenga al menos m elementos.
De acuerdo al axioma A el rango de un universo ranqueado queda determinado
de forma única. Los conjuntos finitos tienen rango cero y se asume rk(∅) = −1.
Hecho 2.2.3. ([2], lema 4.1) Sea U un universo. Si f : A −→ B es una función
interpretable y A1 ⊆ A y B1 ⊆ B son subconjuntos interpretables entonces:
(i) la restricción de f a A1 y la preimagen f −1 (B1 ) son interpretables.
(ii) si f es biyectiva entonces f −1 : B −→ A es interpretable.
Definición 2.2.4. Si M = hG, ·, −1, e, . . . i es un grupo y M es una estructura
ranqueada decimos que M es un grupo ranqueado ó más comunmente que G es
un grupo ranqueado y de acuerdo a lo dicho en la introducción, es equivalente
decir que G es un grupo de rango de Morley finito.
Hecho 2.2.5. ([2], sección 4.2) Sea U un universo ranqueado, y A y B conjuntos
interpretables en U. Entonces:
(i) rk(A) ≥ 1 si y solo si A es infinito.
(ii) Si A ⊆ B entonces rk(A) ≤ rk(B).
(iii) rk(A ∪ B) = máx(rk(A), rk(B)).
Hecho 2.2.6. ([2], ejercicio 4.2.12) Identidad de Lascar. Si G es un grupo de
rango de Morley finito y H ≤ G es un subgrupo definible, entonces rk(G) =
rk(G/H) + rk(H). Además si φ es un homomorfismo interpretable del grupo G
entonces rk(G) = rk(φ(G)) + rk(ker φ).
2.3. Propiedades básicas. Los siguientes son hechos básicos de los grupos
de rango de Morley finito que serán usados frecuentemente. G designa un grupo
ranqueado, ([2], caps 4-6).
Hecho 2.3.1. Un grupo de rango de Morley finito satisface la condición de cadena descendente para subgrupos definibles y la condición de cadena ascendente
para subgrupos definibles conexos.
GRUPOS DE RANGO DE MORLEY FINITO
5
Hecho 2.3.2. Componente conexa. Un grupo G de rango de Morley finito tiene
un subgrupo definible maximal de ı́ndice finito llamado componente conexa el
cual es caracterı́stico en G y lo denotamos G◦ . Decimos que G es conexo si y
solo si G◦ =G.
Hecho 2.3.3. Si K es un campo algebráicamente cerrado entonces K + y K ∗
son conexos. Además rk(K + ) = 1 y rk(K ∗ ) = 1.
Hecho 2.3.4. Teorema de idecomponibilidad de Zil’ber. El subgrupo generado
por un conjunto de subgrupos definibles y conexos es definible y es el producto
de un número finito de estos.
Hecho 2.3.5. Sean H ≤ G un subgrupo conexo y definible y X ⊆ G cualquier
subconjunto. Entonces el subgrupo [H, X] es definible y conexo.
Hecho 2.3.6. Clausura definible. Dado cualquier subconjunto X ⊆ G la intersección de todos los subgrupos definibles que contienen a X, por la condición
de cadena descendente, es un subgrupo definible que denotamos por d(X) y se
llama clausura definible de X, el cual posee propiedades importantes que son
conservadas al pasar de X a d(X). Citamos algunas:
(i) Si un subgrupo A normaliza al conjunto X, d(A) normaliza a d(X).
(ii) Si (Xi )i∈I es una familia de subgrupos conexos de G,
³[ ´
d
Xi = hd(Xi ) : i ∈ Ii
i
(iii) Si A ≤ G centraliza a X ≤ G también centraliza a d(X).
(iv) Si X ⊆ G entonces CG (X) = CG (d(X)).
(v) Componente conexa de un subgrupo no definible. Si A ≤ G es cualquier
subgrupo de G, llamamos a A0 =A ∩ d(A)0 la componente conexa de A
y decimos que A es conexo si A=A0 y se tiene que A es un subgrupo
normal de ı́ndice finito en A y es el subgrupo conexo maximal de A.
Además d(A0 )=d(A)0 y A◦ C NG (A).
Hecho 2.3.7. Sobre las acciones de grupo. Si (G, X) es una acción de grupo
tal que X es interpretable en G y el grafo de la acción es interpretable en G,
entonces decimos que la acción es de rango de Morley finito y tenemos:
(i) (G, X) es interpretable en G.
(ii) Si A ⊆ X entonces StabG (A) es definible.
(iii) Si H ≤ G es definible, entonces CX (H) es definible.
3.
El argumento de Chermak-Delgado
En este capı́tulo se desarrolla la versión del llamado argumento de medida de
Chermak-Delgado que se usa en teorı́a de grupos finitos [4] para dar una prueba
sencilla del Teorema de Reemplazo de Thomson y del Teorema de Reemplazo
de Timmesfeld. Estos teoremas son usados en dicha teorı́a en casos en los que
6
LUIS JAIME CORREDOR & FABIO ORTIZ
la fórmula de factorización de Thompson no es aplicable (en [4] se menciona
un caso espacı́fico: la clasificación de J-módulos para pares BN -locales). Presentaremos algunos resultados análogos a los de [4] en el contexto de rango de
Morley finito.
Teorema 3.1. ([4], teorema 2.1) Sea G un grupo simple finito y no abeliano.
Entonces, |G| > |A||CG (A)|, para cualquier subgrupo propio no trivial. En
particular, |G| > |A|2 para cualquier subgrupo abeliano A de G.
En el caso de grupos de rango de Morley finito obtenemos un resultado
análogo:
Teorema 3.2. Sea G un grupo simple de rango de Morley finito entonces
rk(G) ≥ rk(A) + rk(CG (A)) para cada subgrupo definible A de G. Si A es
abeliano rk(G) ≥ 2 rk(A).
El siguiente teorema nos fue comunicado por A. Borovik, pero es debido a
Muzichuk. Su prueba, no publicada, se puede deducir de la prueba del Teorema
3.4 abajo, es decir, la versión en rango de Morley finito.
Teorema 3.3. Sea G un grupo finito con un subgrupo abeliano A tal que
|A|2 > |G|. Entonces, existe un subgrupo normal N de G tal que |N ||Z(N )| >
|A|2 . Además, si el ı́ndice de A en G es n, entonces existe un subgrupo abeliano
y normal en G de ı́ndice acotado por n2 .
Teorema 3.4. Sea G un grupo infinito de rango de Morley finito y A un
subgrupo abeliano definible de G tal que rk(G) < 2 rk(A). Entonces:
(i) Existe un subgrupo definible y normal N en G tal que rk(N )+rk(Z(N )) >
2 rk(A).
(ii) Si rk( G
A ) = n entonces existe un subgrupo N abeliano, normal y definible
G
) 6 2n.
en G tal que rk( N
Definición 3.5. Sean G, H grupos de rango de Morley finito y supongamos que
H es interpretable en G y que hay una acción de G sobre H que es interpretable
en G. Sea D(G) la clase de subgrupos definibles no triviales de G y α un numero
real positivo. Definimos:
mα = mα (G, H) = sup{αrk(A) + rk(CH (A)) : A ∈ D(G)}.
En adelante, a menos que se diga lo contrario, supondremos que G y H no son
finitos con el fin de tener mα > 0.
Observamos que mα está bien definido y, más aún, que el conjunto sobre el
que se toma el sup es finito. El análisis de los términos dados en la Definición
3.5 es lo que llamamos Argumento de medida de Chermak-Delgado. Sean
αM = αM(G, H) = {A ∈ D(G) : α rk A + rk CH (A) = mα }.
y αM∗ los miembros minimales de αM con respecto a la inclusión.
GRUPOS DE RANGO DE MORLEY FINITO
7
Lema 3.6. Sean G y H grupos de rango de Morley finito y supongamos que
hay una acción interpretable de G sobre H, respecto a la cual designamos, para
A ⊆ G y X ≤ H,
CA (X) = {a ∈ A : xa = x para cada x ∈ X};
CX (A) = {x ∈ X : xa = x para cada a ∈ A}.
Entonces
(i) CH (A) = CH (d(A)) y es definible.
(ii) CX (A) es definible si X es definible.
(iii) CA (X) es definible.
Demostración. (i) Como A ⊆ d(A); CH (d(A)) ⊆ CH (A). De otra parte A ≤
StabG (CH (A)), pero StabG (X) es definible para cada X ⊆ H (Hecho 2.3.7);
ası́ d(A) ≤ StabG (CH (A)). Por lo tanto, CH (A) = CH (StabG (CH (A))) ⊆
CH (d(A)), lo que prueba la igualdad (i).
(ii) CX (A) = CH (A) ∩ X es definible por (i).
X
(iii) CA (X) = StabG (X) ∩ A es definible (por el Hecho 2.3.7).
¤
Hecho 3.7. ([5], hecho 6.2.3) Si G es grupo de rango de Morley finito y A, B
subgrupos definibles de G entonces
rk(AB) = rk(A) + rk(B) − rk(A ∩ B).
Hecho 3.8. ([5], Lema 6.2.4) Si G es grupo de rango de Morley finito y A, B
son subgrupos definibles de G entonces
¶
µ
¶
µ
B
AB
= rk
.
rk
A
A∩B
Tenemos las siguientes propiedades de αM:
Proposición 3.9. Sean G y H como en la Definición 3.1 y A, B ∈ αM.
Entonces:
(i) si A no es finito, A◦ ∈ αM.
(ii) Ag ∈ αM para cada g ∈ G
(iii) si A ∩ B 6= 1 entonces A ∩ B ∈ αM, en particular si A◦ ∩ B ◦ 6= 1,
A◦ ∩ B ◦ ∈ αM. Además rk CH (A ∩ B) = rk(CH (A) · CH (B)).
(iv) Si A ∩ B 6= 1 ó si rk(H) ≤ mα entonces: d(AB)(= d(BA)) ∈ αM y
rk(d(AB)) = rk(AB).
(v) Sea X ≤ G, subgrupo definible y αN = αM(X, H). Si A ∈ αM∗ entonces
A ∈ αN∗ .
Demostración. (i) Sea a ∈ αM, y supongamos que A no es finito. Vemos
que A◦ ∈ D(G). Como rk(A◦ ) = rk(A) y rk(A) + rk(CH (A)) ≥ rk(A◦ ) +
rk(CH (A◦ )), entonces rk(CH (A)) ≥ (rk(CH (A◦ )) y como A◦ ≤ A concluimos
rk(CH (A◦ )) ≥ rk(CH (A)). Luego A◦ ∈ αM.
8
LUIS JAIME CORREDOR & FABIO ORTIZ
(ii) Sea g ∈ G, rk(A) = rk(Ag ). Es fácil ver que h ∈ CH (Ag ) sı́ y solo sı́ g h ∈
CH (A); entonces hay una biyección definible entre CH (Ag ) y CH (A) de donde
rk(CH (A)) = rk(CH (Ag )) y ası́ Ag ∈ αM.
(iii) Usando la identidad de rk(AB) = rk(A) + rk(B) − rk(A ∩ B) válida para
subgrupos definibles de un grupo de rango de Morley finito (Hecho 3.7) y la
identidad de Lascar obtenemos:
¶
µ
B
= α rk B − α rk(A ∩ B)
α rk
B∩A
= α rk(A) + α rk(B) − α rk(A ∩ B) − α rk(A)
(*)
µ
¶
µ
¶
µ
¶
AB
d(AB)
CH (A)
= α rk
≤ α rk
≤ rk
,
A
A
CH (AB)
teniéndose la última desigualdad de acuerdo al Lema 3.6 (i). Ahora bien, como
CH (AB) = CH (A) ∩ CH (B)
entonces
rk
µ
CH (A)
CH (AB)
¶
= rk
µ
CH (A)CH (B)
CH (B)
¶
.
Pero como CH (A ∩ B) ≥ CH (A) ∩ CH (B) obtenemos, aplicando el Lema 3.6
(i) y el Hecho 3.8,
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
B
AB
d(AB)
CH (A)
α rk
= α rk
≤ α rk
≤ rk
(**)
A∩B
A
A
CH (AB)
¶
µ
¶
µ
CH (A) ∩ CH (B)
CH (A ∩ B)
≤ rk
.
= rk
CH (B)
CH (B)
De otra parte, si A ∩ B 6= 1 entonces como B ∈ αM,
α rk(B) + rk(CH (B)) ≥ α rk(A ∩ B) + rk CH (A ∩ B),
es decir,
α rk
µ
B
A∩B
¶
≥ rk
µ
CH (A ∩ B)
CH (B)
¶
.
Entonces las desigualdades (*) y (**) son realmente igualdades, probando que
A ∩ B ∈ αM.
(iv) Nótese que cuando A ∩ B 6= 1 ó cuando mα ≥ rk(H), es válido que
mα = α rk(B) + rk(CH (B)) ≥ α rk(A ∩ B) + rk(CH (A ∩ B)) y entonces es
válido también que las desigualdades en (*) y en (**) son igualdades obteniéndose mα = α rk(d(AB)) + rk(CH (d(AB))) = α rk(AB) + rk(CH (AB)) y
luego aplicando el Lema 3.6 (i) concluı́mos lo afirmado en (iv)
X
La prueba de (v) es trivial.
¤
GRUPOS DE RANGO DE MORLEY FINITO
9
Observaciones: Si en (iii) y (vi) reemplazamos la hipótesis A ∩ B 6= 1 por A ∩ B
no es finito, entonces se mantiene la conclusión.
Es interesante notar que si en la definición de mα (Definición 3.5) tomamos
α rk(A)+rk(CH (A◦ )) en lugar de α rk(A)+rk(CH (A)) para A ∈ D(G) también
se mantienen los resultados anteriores y sobre la clase de los subgrupos conexos
los números ası́ definidos son coincidentes.
Proposición 3.10. Sea A ∈ αM∗ . Entonces:
(i) A ∩ Ag = 1 para cada g ∈ G r NG (A).
(ii) Si mα > rk(H) entonces
αM∗ no tiene miembros finitos y tiene un único
T
miembro que es X∈αM X.
(iii) Si mα > rk(H) entonces A = A◦ .
Demostración. (i) Si A ∈ αM∗ y g ∈ G r NG (A) entonces Ag ∈ αM por
la Proposición 3.7 (ii) y por minimalidad Ag ∈ αM∗ . Por la Proposición 3.9
(iii) si Ag 6= A y A ∩ Ag 6= 1 entonces A ∩ Ag ∈ αM, lo que contradice la
minimalidad de A entonces Ag ∩ A = 1.
(ii) Sean A, B ∈ αM∗ (es claro que hay miembros minimales de αM). Entonces
si A ∩ B = 1, de la desigualdad (**), α rk B + rk CH (B) = mα ≤ H, lo cual es
una contradicción; ası́ A = B. Además si hubiera un miembro finito entonces
rk(H) ≥ mα . Además
\
X
X∈αM
se puede considerar como una intersección finita de conjuntos de αM y como
\
X 6= 1
X∈αM
porque (mα > rk H) entonces
\
X ∈ αM∗
X∈αM
es el único miembro minimal de αM.
(iii) Por (ii) A no es finito y por La Proposición 3.9 (i), A◦ ∈ αM y por
X
minimalidad A = A◦
¤
Corolario 3.11. ([5], Corolario 6.2.7) Si rk(H) < mα entonces
³ \
´◦
X 6= 1.
X∈αM
Corolario 3.12. ([5], Corolario 6.2.8) Si A, B ∈ αM; A∩B 6= 1 y rk(H) < mα
entonces (A ∩ B)◦ 6= 1.
Hasta ahora hemos usado miembros minimales de αM; serán útiles también
los miembros maximales. Sin embargo, es necesario tener en cuenta que en los
grupos de rango de Morley finito las cadenas ascendentes se estabilizan cuando
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LUIS JAIME CORREDOR & FABIO ORTIZ
los subgrupos que las forman son conexos. Por esta razón introducimos los
siguientes términos:
D(G)◦ = {A◦ : A ∈ D(G), A◦ 6= 1}.
y αM∗ son los miembros maximales de D(G)◦ ∩αM con respecto a la inclusión.
Proposición 3.13. Si A ∈ αM∗ entonces:
(i) A ∩ Ag = 1 para g ∈ G r NG (A).
(ii) Si mα ≥ rk(H) entonces |αM∗ | = 1 y el único miembro maximal de
αM ∩ D(G)◦ es hX : X ∈ αM ∩ D(G)◦ i.
Demostración. (i) Sea g ∈ G r NG (A) y supongamos Ag ∩ A 6= 1. Como
A, Ag son conexos, por la Proposición 3.9 (iv) d(AAg ) ∈ αM ∩ D(G)◦ ; pero
d(AAg ) ≥ A de donde d(AAg ) = A y A = Ag lo cual es una contradicción.
(ii) Supóngase mα ≥ rk(H) y A, B ∈ αM∗ . Por la Proposición 3.9 (iv) d(AB) ∈
αM y es conexo. Entonces d(AB) = A y también d(AB) = B por la maximalidad de A y B. Ası́ A = B. Por el teorema de Zil’ber hX : X ∈ αM ∩ D(G)◦ i
X
es conexo y esta en la clase αM, luego es el único en αM.
¤
Corolario 3.14. Sea X subgrupo definible de G. Sean αN = αM(X, H) y
A ∈ αM y B ∈ αN ∩ D(G)◦ Entonces B ⊆ A ó A ∩ B es finito. Si además
rk H ≤ mα debe ser B ⊆ A.
Demostración. Sean A, B como en la hipótesis. Por la Proposición 3.9 se puede
(A)
B
) ≥ rk( CCHH(AB)
) entonces por el Hecho
suponer que A es conexo. Si α rk( A∩B
CH (A)
3.8, α rk( AB
A ) ≥ rk( CH (AB) ) de donde
α rk(AB) + rk CH (AB) ≥ α rk(A) + rk(CH (A))
y ası́,
α rk(d(AB)) + rk CH (AB) ≥ α rk(A) + rk(CH (A))
pero entonces d(AB) ∈ αM∩D(G)◦ y por la maximalidad de A, A = d(AB) ≥
B. Como
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
B
CH (A)
CH (A ∩ B)
(CH ((A ∩ B)◦ )
α rk
< rk
6 rk
≤ rk
A∩B
CH (AB)
CH (B)
CH (B)
(ver prueba de la Proposición 3.9 (iii)), se sigue que
α rk(B) + rk CH (B) < α rk(A ∩ B) + rk(CH (A ∩ B)◦ ).
Es decir,
α rk(B) + rk(CH (B)) < αrk(A ∩ B)◦ + rk CH (A ∩ B)◦ .
Como A ∩ B ≤ X y B ∈ αN ∩ D(G)◦ entonces debe ser (A ∩ B)◦ = 1. Además,
por lo anterior, si A ∩ B es finito α rk(B) + (rk CH (B)) < rk(H); ası́, dado que
X
rk H ≤ mα debemos tener B ⊆ A.
¤
Corolario 3.15. ([5], Corolario 6.2.11) Sea X subgrupo definible de G tal que
α rk(X) + rk(CH (X)) ≥ rk(H) y {A} = αM∗ entonces A ∩ X ⊇ hαM(X, H)i.
GRUPOS DE RANGO DE MORLEY FINITO
11
Hasta este momento los resultados obtenidos son análogos de los presentados
en el artı́culo de Chermak-Delgado [4]. Sin embargo, encontramos ahora un
primer punto que no tiene un análogo por lo menos con las hipótesis que fijamos
inicialmente. A fin de explicarlo mejor, daremos los análogos de los conceptos
básicos para grupos finitos.
Definición 3.16. ([4], Sección 1) Sean G, H grupos finitos y supóngase que G
actúa sobre H. Sea G la clase de subgrupos de G distintos de {1}. Para α > 0
definimos
mα = M(G, H) = sup {|A||CH (A)| : A ∈ G}
y
αM = {A ∈ G : |A||CH (A)| = mα }
y αM∗ los miembros minimales de αM con respecto a la inclusión.
Hecho 3.17. ([4], Lema 1.6) Si mα ≥ |H| y |αM∗ | > 1 (lo que en realidad se
tiene si mα = |H|) entonces si A, B son miembros distintos de αM∗ , [A, B] = 1.
Con la notación y resultados previos para un grupo G de rango de Morley
finito se tiene el siguiente contraejemplo: sea α = 1 y G un grupo conexo de
centro trivial y no nilpotente y además de rango 2. Tomemos G = H y la
acción de G sobre H por conjugación. Como rk(G) = 2 entonces G ∈ αM pues
rk(G) + rk(CG (G)) = rk(G) + rk(Z(G)) = 2. Por lo tanto si X es subgrupo
definible de G y X 6= {1} entonces rk(X)+rk CG (X) ≤ 2 pues como G es conexo
no tiene subgrupos del mismo rango, y como Z(G) = 1, rk(CG (X)) ≤ 1. De
otra parte, puesto que un grupo con estas hipótesis es isomorfo a K + o K ∗ ,
el producto semidirecto de K + por K ∗ con la acción por multiplicación, para
algún campo algebráicamente cerrado K, tomemos A = K + , B = K ∗ ; entonces
CG (A) = A, CG (B) = B y usando el Hecho 2.3.3 tenemos
rk(A) + rk CG (A) = rk(A) + rk(A) = 1 + 1 = 2,
rk(B) + rk CG (B) = rk(B) + rk(B) = 1 + 1 = 2.
A, B ∈ αM y son minimales en esta clase. En efecto, suponiendo que 1 6= A1 <
A debe ser rk(A1 ) = 0 pues A y B son conexos (Hecho 2.3.3) y si A1 ∈ αM
entonces rk(A1 ) + rk(CG (A1 )) = 2 luego CG (A1 ) = G (pues G es conexo),
contradiciendo el hecho de que G es de centro trivial. En forma análoga B es
minimal en αM. Además, como A ∩ B = 1 se tiene que [A, B] 6= 1 (pues si no,
B 6 CG (A) = A), lo cual muestra que el Hecho 3.17 tiene un contraejemplo G
en la versión de grupos de rango de Morley finito.
Demostración del Teorema 3.2. Si G es finito la afirmación del teorema es trivial. Supóngase rk(G) ≥ 1. Tomemos α = 1 y H = G en la Definición 3.5 y
como acción admitimos la conjugación. Como G es simple, Z(G) = 1. Entonces
rk(G) + rk(Z(G)) ≤ mα = m1 . Por la Proposición 3.13 (ii), αM∗ tiene un
único miembro A∗ pero por la Proposición 3.9 (i) ese miembro serı́a normal
12
LUIS JAIME CORREDOR & FABIO ORTIZ
en G; es decir A∗ = G, rk(G) = m1 ≥ rk(A) + rk(CG (A)) para cada subgrupo definible A de G. En particular, si A es abeliano entonces CG (A) ≥ A, y
X
rk(G) ≥ 2 rk(A).
¤
Demostración del Teorema 3.4. (i) Consideremos la acción de G sobre si mismo
y α = 1 en el argumento de Chermak-Delgado. Entonces por la Proposición
3.13 (ii) se tiene que hay un subgrupo definible conexo maximal en 1M; sea
éste N . Por la Proposición 3.9 (ii) N C G. Nótese que CG (N ) 6= 1 pues como
N ∈ 1M entonces rk(N )+rk(CG (N )) = m1 y como N ≤ CG (CG (N )) entonces
rk(CG (CG (N ))) + rk(CG (N )) ≥ m1
(∗)
ası́ que, si suponemos CG (N ) = 1, tenemos G ∈ M, lo que implica que rk(G) ≥
2 rk(A) para A subgrupo abeliano no trivial, contrario a la hipótesis. Si CG (N )
es finito, entonces Z(N ) también y por lo tanto
m1 = rk(N ) + rk(CG (N )) = rk(N ) + rk(Z(N )) ≥ rk(A) + rk(CG (A)) ≥ 2 rk(A)
para A subgrupo abeliano definible. Si CG (N ) es infinito vemos que CG (N ) ∈
◦
M por (∗). Ahora, CG
(N )N es subgrupo definible, conexo y está en la clase
◦
◦
αM ası́ que, por la maximalidad de N , CG
(N ) ≤ N . Luego CG
(N ) ≤ Z(N ) y
tenemos,
◦
(N ))
rk(N ) + rk(Z(N )) ≥ rk(N ) + rk(CG
= rk(N ) + rk(CG (N )) = m1 ,
de donde se obtiene rk(N ) + rk(Z(N )) ≥ 2 rk(A) como se afirmó.
(ii) si rk( G
A ) = n y suponemos rk(A) ≤ n entonces rk(G) = n+rk(A) ≥ 2 rk(A),
contrario a la hipótesis. Asumimos que rk(A) > n y entonces es aplicable (i).
◦
Por tanto, tomamos Z(N ) (el cual es no trivial pues contiene a CG
(N ) que
G
está en 1M) y, como Z(N )CharN C G, Z(N ) C G. Denotemos rk( Z(G)
) = α;
N
G
rk N = β; rk Z(N ) = γ. Por (i) tenemos rk(N ) + rk(Z(N )) ≥ 2 rk(A) de donde
γ + 2 rk(Z(N )) ≥ 2 rk(A). De otra parte n + rk(A) = rk(G) = rk(Z(N )) + γ + β
con lo cual n = rk(Z(N )) + γ + β − rk(A). Pero como 2 rk Z(N ) + γ ≥ 2 rk(A)
G
y rk( Z(N
) ) = β + γ tenemos
µ
¶
G
2n = 2 rk(Z(N )) + 2γ + 2β − 2 rk(A) ≥ γ + 2β ≥ γ + β = rk
,
Z(N )
luego el grupo buscado es Z(N ).
4.
X
¤
Otras aplicaciones
En esta sección se dan unas aplicaciones, entre ellas deducir los llamados teoremas de reemplazo de Timmesfeld y de Thomson en grupos de rango de Morley
finito. Las pruebas siguen de cerca las de grupos finitos en [4].
GRUPOS DE RANGO DE MORLEY FINITO
13
Lema 4.1. Sean G, H grupos de rango de Morley finito y supongamos que hay
acción interpretable de G sobre H. Sea A subgrupo conexo definible de G , M
subgrupo definible de H y x ∈ M . Entonces [x, A] y [M, A] son definibles.
La prueba del lema anterior es paralela a las de los corolarios 5.29, 5.24 y
5.25 de [2].
Teorema 4.2 (Teorema de Reemplazo de Thompson). Sea G un grupo de
Morley finito, H un grupo abeliano de rango de Morley finito que admite una
acción interpretable de G y sea A un subgrupo definible distinto de la identidad
de G, tal que
rk(A) + rk(CH (A)) ≥ rk(B) + rk(CH (B))
para cada subgrupo definible B ≥ A distinto de la identidad. Sea x ∈ CH ([A, A])
y hagamos M = [x, A]. Entonces: CA (M ) = 1 ó
rk(A) + rk(CH (A)) = rk(CA (M )) + rk(CH (CA (M )))
= rk(CA (M )) + rk(CH (A)M ).
Demostración. Consideremos la función φ dada por
φ:
d(M )
A
−→
CA (M )
Cd(M ) (A)
CA (M ) 7−→ [x, a]Cd(M ) (A).
φ esta bien definida pues si ab−1 ∈ CA (M ), [x, a][x, b]−1 ∈ Cd(M ) (A). En efecto,
−1
sea x como en la hipótesis. Entonces 1 = [x, ab−1 ] = [x, a]b [x, b−1 ], de donde
[x, a] = ([x, b−1 ]b )−1 . Luego [x, a][x, b]−1 = ([x, b−1 ]b )−1 [x, b]−1 = 1. Por el
Lema 3.6 la función φ es definible. Veamos que φ es inyectiva. Sean a, b ∈ A
con [x, b] ∈ [x, a]Cd(M ) (A). Entonces:
[x, a]−1 [x, b] ∈ Cd(M ) (A)
(xa x−1 )−1 (xb x−1 ) ∈ Cd(M ) (A).
−1
Conjugando por a−1 , tenemos x−1 xba ∈ Cd(M ) (A) y como H es abeliano
[x, ba−1 ] ∈ Cd(M ) (A). Ası́, para cualquier u ∈ A, [x, ba−1 , u] = 1. Aplicando la
identidad de Hall, tenemos:
−1
[x, ba−1 , u]ab [ab−1 , u−1 , x]u [u, x−1 , ab−1 ]x = 1
y puesto que x ∈ CH ([A, A]) obtenemos [ab−1 , u−1 , x] = 1. Por tanto ab−1
centraliza a [u, x−1 ] porque los dos primeros factores dan la unidad. Pero
[u, x−1 ] = [x−1 , u]−1 = [x, u], porque H es abeliano; entonces ab−1 centraliza a [x, u] para todo u ∈ A, y ası́, ab−1 ∈ CA (M ) = CA (d(M )). Por lo
tanto φ es inyectiva y tenemos rk(d(M )/Cd(M ) (A)) ≥ rk(A/CA (M )). Entonces
14
LUIS JAIME CORREDOR & FABIO ORTIZ
rk(A) + rk(Cd(M ) (A)) ≥ rk(CA (M )) + rk(d(M )) de donde
rk(A) + rk(CH (A)) ≤ rk(CA (M )) + rk(d(M )) + rk(CH (A)) − rk(Cd(M ) (A))
≤ rk(CA (M )) + rk(d(M )CH (A))
≤ rk(CA (M )) + rk(CH (CA (d(M )))).
(†)
Por tanto, si CA (d(M )) es no trivial entonces es definible (Lema 3.6) y por la
X
hipótesis sobre A se tiene la igualdad en el teorema.
¤
A continuación, damos la versión del teorema de reemplazo de Thompson
en el presente contexto.
Teorema 4.3 (Teorema de reemplazo de Timmesfeld). Sea G un grupo de
rango de Morley finito y H un grupo abeliano de rango de Morley finito, que
admite una acción definible de G. Sea A un subgrupo definible conexo de G
distinto de la identidad, tal que
rk(A) + rk(CH (A)) ≥ rk(B) + rk(CH (B))
para cada B subgrupo definible de A distinto de la identidad. Finalmente, sea
M = [CH ([A, A]), A]. Entonces CA (M ) = 1 ó se cumple que
rk(A) + rk(CH (A)) = rk(CA (M ) + rk(CH (CA (M )).
Demostración. Por el Lema 3.6, W = CH ([A, A]) es definible y por el Lema
4.1 U = [W, A]CH (A)◦ también (H es abeliano). Usando la notación de la
Definición 3.5 con α = 1 tomemos m = m1 (A, H) y n = m1 (A, U ◦ ); C =
M(A, H); D = 1(A, U ◦ ). Tenemos entonces
rk(A) + rk(CH (A)) = rk(A) + rk(CU ◦ (A))
◦
ya que CU◦ ◦ (A) = CH
(A). Por tanto m = n. En particular, como A ∈ C se tiene
que D ⊆ C. Para x ∈ W tomemos Mx = [x, A] y Ax = CA (Mx ). Si suponemos
CA (M ) 6= 1 entonces Ax 6= 1 pues CA (M ) = ∩x∈W Ax . Por el teorema de
◦
◦
(CA (Mx )) = (CH (A)Mx )◦
(Ax ) = CH
reemplazo de Thompson Ax ∈ C y CH
◦
(porque (CH (A)Mx )◦ ≤ CH
(CA (Mx )) y por ser este último conexo y ambos
del mismo rango, según (†) en el teorema de Thompson 4.2, entonces se tiene
◦
(Ax ) = CU◦ ◦ (Ax ) y entonces Ax ∈ D. Pero CA (M ) =
la igualdad). Por tanto CH
∩x∈W Ax ; entonces por el Hecho 3.7 (iii), CA (M ) ∈ D. Por tanto CA (M ) ∈ C y
X
¤
además rk(CH (CA (M ))) = rk(CU ◦ (CA (M ))) = rk(U ).
4.1. Subgrupos caracterı́sticos de p-grupos nilpotentes. En esta subsección suponemos que S es un p-grupo nilpotente de rango de Morley finito.
Estas hipótesis nos permiten asegurar que Z(S) es infinito, lo cual como veremos es fundamental en el argumento de Chermak-Delgado que vamos a aplicar.
Sea α un número real positivo y definamos
nα = sup{rk(X) + α rk(CS (X)) | X ∈ D(S)}.
GRUPOS DE RANGO DE MORLEY FINITO
15
Obsérvese la variación con la Definición 3.5. Sin embargo, nα = αm1/α con lo
cual los resultados 3.9-3.15 son válidos para nα si hacemos los cambios en αM∗
y αM∗ . Sea
αN = {X ∈ D(S) : rk(X) + α rk CS (X) = nα }
∗
y αN los miembros maximales de αN y αN∗ los miembros minimales de αN .
Lo interesante ahora es que tenemos nα > α rk(S) (tomando X = Z(S)), y
entonces αN ∗ tiene un único miembro (Proposición 3.13 (ii)) que es conexo:
M α (S) = h∪αN i
y αN∗ tiene un único miembro (Proposición 3.10 (ii)) que también es conexo
(Corolario 3.11).
Mα (S) = ∩αN .
Además M α (S) y Mα (S) son caracterı́sticos en S (en el sentido que son invariantes bajo automorfismos definibles de S).
Se mostraran a continuación algunas propiedades de la colección
{M α (S), Mα (S) : α > 0}
de subgrupos caracterı́sticos de S.
Lema 4.1.1. Sea X ∈ αN .
(i) Sea W ∈ D(S), entonces α rk( CWW(X) ) ≤ rk( CXX(W ) )
(ii) Si α > 1 entonces X ◦ ≤ Z(J(S)) en donde J(S) es el subgrupo de Thompson de S, es decir, el subgrupo generado por todos los subgrupos abelianos
definibles de S de rango de Morley maximal.
(iii) Si X ◦ 6= 1, X ◦ = CS◦ (CS (X)) = CS◦ (CS (X ◦ )).
Demostración. Supongamos por el contrario que (i) no se cumple. Entonces
para algún W ∈ D(S)
µ
¶
µ
¶
µ
¶
X
W
CS (X)W
rk
< α rk
= α rk
CX (W )
CW (X)
CS (X)
de donde
rk(X) + α rk(CS (X)) <
rk(CX (W )) + α rk(CS (X)W ) ≤ rk(CX (W )) + α rk(CS (CX (W )))
lo que contradice que X ∈ αN (nótese que CS (X) 6= 1 porque Z(S) es infinito).
(ii) Sea A subgrupo abeliano definible conexo de S de rango maximal y α > 1.
Tomando en (i) W = X ◦ y reemplazando X por X ◦ (Corolario 3.12) tenemos
X◦
X◦
X◦
◦
= Z(X ◦ ), es decir,
α rk( Z(X
◦ ) ) ≤ rk( Z(X ◦ ) de donde rk( Z(X ◦ ) ) = 0 y ası́ X
◦
◦
◦
X es abeliano. Ahora, el subgrupo CA (X )X es abeliano y como A es de
rango maximal entonces
rk(A) ≥ rk(CA (X ◦ )X ◦ ) = rk(X ◦ ) + rk(CA (X ◦ )) − rk(A ∩ X ◦ )
≥ rk(X ◦ ) + rk CA (X ◦ ) − rk(CX ◦ (A))
16
LUIS JAIME CORREDOR & FABIO ORTIZ
◦
X
A
pues A ∩ X ◦ 6 CX ◦ (A); por lo tanto rk( CA (X
◦ ) ) ≥ rk( C ◦ (A) ). Tomando en
X
◦
A
X
(i) W = A tenemos que α rk( CA (X
◦ ) ) ≤ rk( C ◦ (A) ) y puesto que α > 1 debe
X
A
◦
ser rk( CA (X
◦ ) ) = 0. Como A es conexo, A = CA (X ).
(iii) Puesto que X ≤ CS (CS (X)) tenemos 1 6= X ◦ ≤ CS◦ (CS (X)). Además,
CS (X) ≤ CS (CS (CS (X))); entonces nα = rk(X) + α rk(CS (X)). De otra parte
rk(X ◦ ) + α rk(CS (X)) = rk(X ◦ ) + α rk(CS◦ (X))
≤ rk(CS◦ (CS (X))) + α rk(CS◦ (CS (CS (X))))
≤ rk(CS (CS (X))) + α rk(CS (CS (CS (X)))),
de donde obtenemos que CS (CS (X)) ∈ αN y por tanto también CS ◦ (CS (X)) ∈
αN (nótese que como Z(S) es infinito, estos subgrupos no son triviales). Finalmente como X ◦ ≤ CS◦ (CS (X)) y CS◦ (X) ≤ CS◦ (CS (CS (X))) y
rk(X ◦ ) + α rk(CS◦ (X)) = rk(CS◦ (CS (X))) + α rk(CS◦ (CS (CS (X))))
entonces rk(X ◦ ) = rk(CS◦ (CS (X))) de donde X ◦ = CS◦ (CS (X)). Ahora, en la
prueba de iii) podemos argumentar de la misma forma con X ◦ ≤ CS◦ (CS (X ◦ ))
X
para concluir que X ◦ = CS◦ (CS (X ◦ )).
¤
Lema 4.1.2. Con la notación dada al iniciar esta subsección se tiene:
(i) nα = αn1/α .
(ii) CS (M α (S)) = M1/α (S) y CS (M1/α ) = M α (S).
Demostración. (i) Sea X ∈ αN y Y ∈
1
αN,
entonces
nα = rk(X) + α rk(CS (X))
1
= α[ rk(X) + rk(CS (X))]
α
1
≤ α[ rk(CS (CS (X)))] + rk(CS (X))
α
1
≤ α[rk(Y ) + rk(CS (Y ))]
α
≤ αn α1
1
rk(CS (Y ))]
α
= α rk(CS (CS (Y ))) + rk(CS (Y ))
≤ nα
≤ α[rk(CS (CS (Y ))) +
(ii) De (i) vemos que la desigualdad pasa a ser igualdad y entonces CS (X) ∈
1
1
α N y CS (Y ) ∈ αN . Por lo tanto CS (X) ⊇ M α (S) que es el único miembro
1
minimal de α N . Análogamente, CS (Y ) ⊆ Mα (S) ya que este último es el único
miembro maximal de αN ∗ .
GRUPOS DE RANGO DE MORLEY FINITO
17
Tomemos X = M α (S), recordemos que por por la Proposición 3.13 (ii), éste
es conexo. Entonces por el Lema 4.1.1 (iii),
M α (S) = CS (CS (M α (S)))
y como
M α1 (S) ⊆ CS (M α )
entonces
CS (M α1 (S)) ⊇ CS (CS (M α )) = M α
de donde
CS (M α1 (S)) = M α .
Análogamente, por la Proposición 3.10 (iii), M α1 (S) es conexo y por el Lema
4.1.1 M α1 (S) = CS (CS (M α1 (S))); pero CS (M α1 ) ⊆ M α (S) de donde
CS (CS (M α1 )) ⊇ CS (M α (S))
X
¤
y por minimalidad M α1 = CS (M α (S)).
Lema 4.1.3. Si 0 < α < β entonces
M α (S) ⊇ M β (S) y
Mα (S) ⊇ Mβ (S).
Demostración. Por el Lema 4.1.1 (i), tomando W = M α1 (S) tenemos:
β rk(M α1 (S)/CM 1 (S) (M β (S))) ≤ rk(M β (S)/CM β (S) (M α1 (S)))
α
β
y ahora con W = M (S) y X = M α1 (S) tenemos que
1
rk(M β (S)/CM β (S) (M α1 (S))) ≤ rk(M α1 (S)/CM 1 (S) (M β )(S))
α
α
de donde
rk(M α1 (S)) = rk(CM 1 (S) (M β (S)))
α
y al ser M α1 (S) conexo, se tiene que éste centraliza a M β (S). Por esto
M β (S) ≤ CS (M α1 (S)) = M α (S).
1
β
1
α,
1
1
1
entonces M α (S) ⊆ M β (S), de donde CS (M α (S)) ⊇
1
X
CS (M β (S)) pero según Lema 4.1.2 (ii), esto equivale a Mα (S) ⊇ Mβ (S). ¤
Como 0 <
<
18
LUIS JAIME CORREDOR & FABIO ORTIZ
Referencias
[1] M. Aschbacher, Finite Group Theory, Cambridge University Press, 1986.
[2] A. Borovik & A. Nesin, Groups of finite Morley rank, Oxford Logic Guides,
Londres, 1996.
[3] X. Caicedo, Elementos de lógica y calculabilidad, 2da. edición, Universidad de
los Andes, Bogotá, 1990.
[4] A. Chermak & A. Delgado, A measuring argument for finite groups, Proc.
Amer. Math. Soc., 107 (1989), 907–914.
[5] F. Ortiz, Sobre la clasificicación de grupos de rango de Morley finito de tipo
par y aplicaciones de grupos finitos, Tesis de Magister, Universidad de los Andes,
Bogotá, 2001.
(Recibido en octubre de 2001)
Departamento de Matemáticas
Universidad de los Andes
Bogotá
e-mail: [email protected]
e-mail: [email protected]