Matematicas octavo4 - biblioteca virtual de matematicas unicaes

Transcripción

v
MATEMÁTICA
Unidad 4
Operemos con
fracciones algebraicas.
Calculemos el área y
el volumen de cuerpos
geométricos
Objetivos de la unidad:
Aplicarás con seguridad las fracciones algebraicas y sus propiedades
al reducir a términos más simples los resultados, solucionando así
problemas de la vida diaria
Utilizarás el área y volumen de los cuerpos geométricos para
proponer soluciones a situaciones problemáticas de su entorno
social y familiar, valorando la opinión de los demás.
55
Expresiones Algebráicas
encuentras:
Máximo
común divisor
pueden ser
Mínimo común
múltiplo
Fracciones
algebráicas
efectúas:
Valor
numérico
Operaciones
de:
Multiplicación
y División
Suma y resta
Cuerpos
geométricos
se dividen en:
Redondos
Poliédricos
se subdividen en:
Prisma
Pirámide
Cono
Cilindro
Esfera
Área y volúmen
Descripción del Proyecto
Cuando finalices esta unidad, mediante el cálculo de volúmenes le ayudarás a una empresa a escoger
entre dos tipos de contenedores; para que pueda recoger la mayor cantidad de desechos.
56 Matemática - Octavo Grado
Lección 1
Cuarta Unidad
Mínimo común múltiplo y máximo común divisor
Motivación
C
¿ uál es la menor capacidad de un depósito que se puede llenar en un
número exacto de minutos por cualquiera de las dos llaves que vierten:
la primera 15 litros por minuto y la segunda 20 litros por minuto?
Indicadores de logro:
Determinarás el mínimo común múltiplo de expresiones
algebraicas a partir de los números enteros, con
perseverancia.
Utilizarás y explicarás con seguridad el mínimo común
múltiplo monomio.
Utilizarás y explicarás con seguridad el mínimo común
múltiplo polinomio.
Resolverás con perseverancia problemas de aplicación del
mínimo común múltiplo monomio y polinomio.
Determinarás con perseverancia el máximo común divisor
de expresiones algebraicas a partir de los números enteros.
Utilizarás y explicarás con seguridad el máximo común
divisor monomio.
Utilizarás y explicarás con seguridad el máximo común
divisor polinomio.
Resolverás con perseverancia problemas de aplicación del
máximo común divisor monomio y polinomio.
Mínimo común múltiplo
Para darle solución a la situación anterior, encuentra los
primeros 12 múltiplos de 15 y 20.
Observa que los múltiplos comunes de 15 y 20 son: 60,
120 y 180, de ellos el menor es 60.
Los múltiplos de 15 son:
15, 30, 45, 60, 75, 90,105, 120, 135, 150, 165, 180,…
El menor múltiplo común de 15 y 20 es 60
Entonces el estanque se llenará con un mínimo de
60 litros.
En este caso el número 60, recibe el nombre de mínimo
común múltiplo, generalmente se representa por mcm.
Los múltiplos de 20 son:
20, 40, 60, 80,100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240,…
Punto de apoyo
Observa
El mcm de dos o más números es el menor de los
múltiplos de dichos números.
El mcm se obtiene multiplicando todos los
factores primos comunes y no comunes con su
mayor exponente.
Octavo Grado - Matemática 57
UNIDAD 4
Ejemplo 1
Observa
Calcula el mcm de 50 y 30.
Solución:
Recuerda que para calcular el mínimo común múltiplo,
puedes hacerlo aplicando la descomposición de factores.
Ejemplo 3
En este caso tienes:
50
25
5
1
30
15
5
1
2
5
5
50 = 2 (5)2
Para encontrar el mcm de monomios, primero
encuentras el mcm de los coeficientes y a
continuación de este se escriben todas las letras
comunes y no comunes con su mayor exponente.
2
3
5
Encuentra el mcm de 9a2bx, 36ab2 x2 y 18a3b3
¿Cómo lo harás?
Solución:
Calcula el mcm de los coeficientes:
mcm = 2 (3) (5) = 150
2
30 = 2 (3) (5)
Observa que has multiplicado todos los factores
Mínimo común múltiplo de monomios
Ahora, efectúa de manera similar con una expresión
algebraica.
9
9
9
3
1
36
18
9
3
1
18
9
9
3
1
2
2
3
3
el mcm es 22 × 32 = 4 × 9 = 36
Luego encuentras el mcm de la parte literal 9a2bx ,
36ab2 x2 y 18a3b3, que es a3b3 x2
Ejemplo 2
El mcm de 9a2bx, 12ab2 x2 de 18a3b3 x es igual a
36a3b3 x2
¿Cómo encontrarías el mcm de 8ab2c y 12a3b2?
Ejemplo 4
Solución:
Halla el mcm de 10a3 x, 36a2mx2, y 24b2m4
Primero encuentras el mcm de los coeficientes:
Solución:
8
4
2
1
12
6
3
3
1
2
2
2
3
23 x3
Tienes que el mcm de 8 y 12 es 23 × 3 = 24.
Luego encuentras el mcm de la parte literal que estará
formado por las letras comunes y no comunes con su
mayor exponente.
En este caso el mcm de ab2c y a3b2 es a3b2c
El mcm de 8ab2c y 12a3b2 es 24a3b2c
Primero encuentras el mcm de los coeficientes
10, 36 y 24.
10
5
5
5
5
36
18
9
9
3
24
12
6
3
1
2
2
2
3
3
5
5
1
1
mcm = 23 × 32 × 5 = 8 × 9 × 5 = 360
Luego el mcm de la parte literal es a3b2m4 x2
El mcm de 10a3 x, 36a2mx2, y 24b2m4 = 360a3b2m4 x2
UNIDAD 4
Ejemplo 5
x2 – 1 es una diferencia de cuadrados, entonces
Encuentra el mcm de x3, x4 y, xy2, y3 ¿Cómo se resuelve?
x2 – 1 = (x – 1)(x + 1)
Solución:
x2 – x tiene factor común
Observa que los monomios no tienen coeficiente, por lo
tanto sólo encuentras el mcm de la parte literal que en
este caso es x4y3.
Luego, el mcm de x3, x4 y, xy2, y3 es x4y3.
Ejemplo 6
Encuentra el mcm de 9x3, 2xy2, 5xy3 ¿Qué notas en
sus coeficientes?
Solución:
x2 – x = x (x – 1)
Punto de apoyo
Para descomponer un polinomio en sus factores
primos, tienes que aplicar los casos de factorización
estudiados en unidades anteriores.
Escoge los factores primos diferentes que aparecen en
ambas factorizaciones y elige la potencia mayor que
aparece en una u otra. Su producto es el mínimo
común múltiplo.
Observa los coeficientes no tienen nada en común,
entonces el mcm será el producto de ellos, es decir:
mcm de 9, 2 y 5 es 9 × 2 × 5 = 90
Es decir que el mcm de: x2 – 1 y x2 – x es x(x + 1)(x – 1)
Luego el mcm de 9x3, 2xy2 y 5xy3 es igual a 90x3y3
Halla el mcm de: x2 – 6x + 9, x2 – 9, x2 – 4x + 3
1
Ejemplo 8
Solución:
Actividad
x2 – 6x + 9 = (x – 3)2
Encuentra el mcm de:
a) a3, ab2 y a2b
d) 3x3 6x2 y 9x4y2
b) 3x2y3z; 4x3y3z2 y 6x4 e) 10m2 , 15mn2 y 20mn3
c) 5x2 , 10xy y 15xy2
Expresa cada polinomio como producto de sus factores:
f) 8m2n3, 3m3n y 7mn2
Mínimo común múltiplo de polinomios
x2 – 9 = (x + 3)(x – 3)
x2 – 4x + 3 = (x – 3)(x – 1)
Selecciona los factores comunes y no comunes que
aparecen en todas las factorizaciones con su mayor
exponente.
El mcm de x2 – 6x + 9, x2 – 9 yx2 – 4x + 3
es (x – 3)2(x + 3)(x – 1)
Para encontrar el mcm de polinomios seguimos
el proceso similar a los monomios, es decir,
descomponiendo cada polinomio en factores primos.
Ejemplo 9
Ejemplo 7
Solución:
Encuentra el mcm de: x2 – 1 y x2 – x
Factorizas cada polinomio:
Solución:
x2 – 3x – 4 = (x − 4)(x + 1)
Expresa cada uno de los polinomios como producto de
sus factores.
x2 – 1 = (x − 1)(x + 1)
Encuentra el mcm de x2 – 3x – 4; x2 − 1
El mcm de x2 – 3x – 4; x2 − 1 es (x + 1 )(x – 1)(x – 4)
UNIDAD 4
Máximo común divisor
Ejemplo 10
Halla el mcm de: y2 – 2y + 1; y2 + 2y + 1
Solución:
y2 – 2y + 1 = (y – 1)2 y2 + 2y + 1 = (y + 1)2
El mcm de y2 – 2y + 1; y2 + 2y + 1 es (y – 1)2 (y + 1)2
Ana quiere hacer banderas de tres colores, y tiene 12
yardas de blanco, 24 yardas de azul y 18 yardas de verde,
¿qué debe hacer Ana para cortar la tela y que todas
las banderas le queden del mismo tamaño sin sobrar
ningún pedazo de tela?
Ejemplo 11
Encuentra el mcm de: a3 +a2b; a3+2a2b + ab2
Solución:
Factoriza cada polinomio
a3+a2b = a2(a + b)
a3+2a2b + ab2 = a (a2 +2ab + b2) = a(a + b)2
El mcm de: a3 +a2b; a3+2a2b + ab2 es a2(a + b)2
2
Actividad
Encuentra el mcm de:
a) 4a2 – 9b2; 4a2 − 12ab + 9b2
Encuentra los factores de cada una de las cantidades
de tela.
b) x3 – 25x; x2 + 2x − 15
c) x3 + y3; (x + y)3
d) a
2
e) 2a
f) x
2
Factores de 12: 12, 6, 4, 3 y 2
+ a – 30; a + 3a – 18
2
2
+2a; 3a – 3a; a –a
2
4
2
+2x; x − 2x ; x − 4
3
Solución:
2
2
Factores de 24: 24, 12, 8, 6, 4, 3 y 2
Factores de 18: 18, 9, 6, 3 y 2
Los factores comunes son: 6, 3 y 2. El mayor de
ellos es 6.
Entonces el máximo común divisor es 6.
Es decir mcd = 6
Para que todas las banderas queden del mismo tamaño
deben medir 6 yardas.
¿Cuántas banderas de color verde debe hacer Ana?
18
= 3 , debe hacer 3 banderas verdes.
6
UNIDAD 4
Ejemplo 12
Ejemplo 14
Encuentra el máximo común divisor de 36 y 48.
Encuentra el mcd de 12a2b; 60a3b2c; 54a4b3c
Solución:
Solución:
Puedes utilizar cualquiera de las formas que estudiaste
en grados anteriores.
Primero encuentras el mcd de los coeficientes:
En este caso, por descomposición en factores:
36
18
9
3
48
24
12
4
El mcd es el producto de los
factores comunes, en este caso:
2
2
3
mcd = 2 × 2 × 3 = 22 × 3 = 12
12
6
2
60
30
10
54
27
9
2
3
El mcd es: 2 × 3 = 6
A continuación encuentra el mcd de la parte literal de:
12a2b; 60a3b2c; 54a4b3c.
Observa que tanto la letra a y b están en los tres términos
a excepción de c que está solamente en dos términos, lo
que indica que no es factor común.
Punto de apoyo
El máximo común divisor de dos o más números es
el producto de los factores comunes con su menor
exponente.
Máximo común divisor de monomios
Seguidamente, tomas a y b con sus menores
exponentes a2 y b.
El mcd de 12a2b; 60a3b2c; 54a4b3c es igual a 6a2b.
Ejemplo 15
Ejemplo 13
Encuentra el mcd de 15a2b3c; 24ab2 x; 36b4 x
¿Cómo encontrarías el mcd de 12x2yz3; 18xy2z; 24x3yz2?
Halla el mcd de los coeficientes:
Solución:
Primero encuentras el mcd de los coeficientes:
12
6
2
18
9
3
24
12
4
2
3
mcd de los coeficientes es
igual a: 2 × 3 = 6
15
5
24
8
36
12
3 el mcd de 15, 24 y 36 es igual a 3
El mcd de la parte literal es b2 .
Luego el mcd de 15a2b3c; 24ab2 x; 36b4 x es 3b2 .
Luego encuentra el mcd de las letras:
12x2yz3; 18xy2z; 24x3yz2
En este caso, las letras se encuentran en todos los
monomios, por lo que tomarás las que tienen menor
exponente: x y z.
Por lo tanto el mcd de 12x2yz3; 18xy2z; 24x3yz2 es igual
a 6xyz.
El máximo común divisor de dos o más monomios
se define como la expresión que esta contenida
exactamente en cada uno de los monomios.
UNIDAD 4
Ejemplo 16
Encuentra el mcd de 8x2y3; 17x2y4; 16x3yz.
Solución:
Observa los coeficientes: 8, 17 y 16 ¿Hay común divisor para los tres coeficientes?,
solamente 8 y 16 tienen factor en común y 17 es primo por lo que en este caso no habrá
un mcd de los coeficientes. Porque son monomios primos entre si.
¿Cuáles son los factores compuestos de la parte literal, ¿cuál es el mcd?
El mcd de 8x2y3; 17x2y4; 16x3yz es x2y porque x2 es la menor potencia de x; y la menor de
y, z sólo está en uno de los polinomios.
3
Actividad
Encuentra el mcd de:
a) 6a2b3, 15a3b4
d) 12x2yz3, 18xy2 z, 24x3yz2
b) 8am3n, 20x2m2
e) 28a2b3 c 4, 35a3b4 c5, 42a4b5 c6
c) 48a2b3 x, 72ab2 c, 30b4 x2
f) 42am2n, 56m3n2 x, 70m4n2y
Máximo común divisor de polinomios
Ejemplo 17
¿Cómo puedes encontrar el mcd de 2x2 +2xy; 4x2 – 4xy?
Solución:
Se descompone cada polinomio en sus factores primos, utilizando casos de factoreo
ya estudiados. Luego el mcd es el producto de los factores comunes con su menor
exponente.
Entonces:
2x2 +2xy este polinomio se descompone mediante factor común.
2x2 +2xy = 2x(x + y)
4x2 – 4xy también es factorizable por factor común
4x2 – 4xy = 4x(x + y), pero como tiene que ser en factores primos, tienes:
4x2 – 4xy = 4x(x + y) = (2) (2x) (x + y)
Los factores primos comunes son: (2x) (x + y)
Luego, el mcd de 2x2 +2xy; 4x2 – 4xy es 2x(x + y)
UNIDAD 4
Ejemplo 18
Recuerda que debes factorizar hasta llegar a
factores primos.
Encuentra el mcd de 8x3 + y3; 4ax2 – ay2
Luego concluyes que el mcd de 2a3 – 12a2b + 18ab2;
a3 x – 9ab2 x es igual a : a(a− 3b)
¿Cómo lo encuentras?
Solución:
Factorizando los polinomios:
8x3 + y3 es una suma de cubos por lo que se factoriza de
la siguiente manera:
8x3 + y3 = (2x + y)(4x2 – 2xy + y2)
4ax2 – ay2 = a(4x2 – y2), en este caso te das cuenta que se
puede seguir factorizando:
4ax2 – ay2 = a(4x2 – y2) = a(2x – y)(2x + y)
Luego, tienes que el factor común es (2x + y)
Por lo tanto: El mcd de 8x3 + y3; 4ax2 – ay2 es 2x + y
Ejemplo 19
Encuentra el mcd de: n − 4 ; n – n – 6 ; n + 4n + 4
2
2
2
Solución:
Primero factorizas los tres polinomios:
n – 4 = (n – 2)(n + 2)
2
n – n – 6 = (n − 3)(n + 2)
2
n2 +4n + 4= (n + 2)2
El factor común con su menor exponente es n + 2
Entonces el mcd de n2 − 4; n2 – n – 6; n2 +4n + 4 es n + 2
Ejemplo 20
Encuentra el mcd de 2a3 – 12a2b + 18ab2; a3 x – 9ab2 x
Solución:
Factoriza los polinomios:
2a3 – 12a2b + 18ab2 = 2a(a2 – 6ab + 9b2) = 2a(a – 3b)2
a3 x – 9ab2 x = ax(a2 – 9b2) = ax (a – 3b)(a + 3b)
Actividad
4
Encontrar el mcd de:
a) x2 – x; x3 − x2
b) 5a2 − 15a; a3 – 3a2
c) 4a2 + 4ab + b2; 2a2 − 2ab + ab – b2
d) 30ax2 − 15x3; 10axy2 – 20x2y2
e) 2ax2 +4ax; x3 – x2 − 6x
Resumen
Para encontrar el mcm de monomios, primero
encuentras el mcm.de los coeficientes y de la parte
literal, y este será el producto de todos los factores
Cuando se trata de polinomio, descompones en
factores cada polinomio y luego procedes como en los
monomios.
El mcd de monomios es el producto de los factores
comunes con su menor exponente, tanto de los
coeficientes como de la parte literal. Con polinomios,
el proceso es similar, lo único que tienes que
descomponer en factores cada polinomio.
UNIDAD 4
Autocomprobación
El mcm de 6m2n2, 4m3 es igual a:
3
El mcm de x3 – y3, (x – y)3 es igual a:
2m3n2
b) 12m3n
c) 12m3n2
d) 24m3n
(x – y)3 (x + y)2
b) (x – y)3 (x2 +xy + y2)
c) (x3 – y3)(x + y)2
d) (x3 – y3)(x2 +xy + y2)
a)
El mcd de 18mn2, 27a2m3n4 es igual a:
54mn2
b) 54a2m3n4
c) 9mn2
d) 9a2m3n4
4
Encuentra el mcd de 3x3 +15x2; ax2 + 5ax:
x(x + 5)
b) 3ax2(x + 5)
c) 3x2(x + 5)
d) 3ax (x + 5)
a)
a)
1. c.
2. c.
2
a)
Soluciones
1
3. b.
4. a.
LOS MAYAS Y EL MCM
El calendario Tzolkin de 260 días es el más usado
por los pueblos del mundo maya. Lo usaban para
regir los tiempos de su quehacer agrícola, su
ceremonial religioso y sus costumbres familiares,
pues la vida del hombre maya estaba predestinada
por el día del Tzolkin que correspondía a la fecha
de su nacimiento. Esta cuenta consta de los
números del 1 al 13 y 20 nombres para los días
representados asimismo por glifos individuales
(260 es el mcm de 13 y 20)
Lección 2
Cuarta Unidad
Fracciones algebraicas
Motivación
El área de un rectángulo es 2x + 13x + 6 y su base mide 2x + 1. ¿Cómo
2
encuentras su altura?
El área de un rectángulo es A = bh, entonces despejas y obtienes que
A
h = , luego al sustituir los datos conocidos resulta la siguiente expresión:
b
2 x 2 + 13 x + 6
A esta expresión le llamas fracción algebraica.
h=
2x + 1
¿Cuánto mide la altura y la base si el valor x es 2?
¿Cuál es el área del rectángulo?
2x2 + 13 + 6
h
2x + 1
Identificarás y explicarás con seguridad fracciones algebraicas.
Determinarás y explicarás la simplificación de fracciones
algebraicas a partir de los números racionales con orden
y seguridad.
Resolverás problemas de simplificación de fracciones
algebraicas con orden.
En el proceso de solución a la situación anterior,
2 x 2 + 13 x + 6
, notarás
tienes la expresión h =
2x + 1
que representa una división o un cociente indicado,
donde el numerador y el denominador son expresiones
algebraicas.
Una fracción algebraica es el cociente indicado entre
dos expresiones algebraicas: monomios o polinomios;
siempre y cuando el denominador sea una expresión
diferente de cero.
En una fracción algebraica se debe aclarar los valores
que no acepta la variable, por ejemplo:
2y + 3
x +2
, para x ≠ 0
a)
b)
, para y ≠ – 2
y +2
x
Determinarás con autonomía y confianza el valor numérico
de fracciones algebraicas.
Multiplicarás fracciones algebraicas con denominadores
monomios, con orden y aseo.
Resolverás con perseverancia problemas utilizando la
multiplicación de fracciones algebraicas.
Simplificación de fracciones algebraicas
3
?
12
Recuerda que simplificar una fracción es expresarla en
su forma más simple, es decir que el mcd del numerador
y denominador es 1.
¿Cómo puedes simplificar la fracción
Para simplificar fracciones, primero descompones en
factores, tanto el numerador como el denominador y
luego cancelas o eliminas los que son comunes, así:
1
3
3 ×1
1
3
equivale a
=
= entonces,
4
12
3 ×4
4
12
UNIDAD 4
Ejemplo 1
Ejemplo 3
15
¿Cómo simplificas ?
35
Simplifica:
35n 3 m 4
6n 2 p
Solución:
Solución:
Expresas el numerador y denominador como producto
de factores, luego eliminas los comunes.
15
5 ×3
3
=
=
35
5 ×7
7
En este caso los coeficientes 35 y 6 son primos entre si,
solamente se simplifica la parte literal.
35n 3 m 4
35 n 2 nm 4
35nm 4
=
=
6n 2 p
6n2p
6p
Ejemplo 2
Simplifica la fracción
Solución:
24 x 4 y 3c 2
¿Cómo lo realizarás?
4 x2 y3
Observa
Expresas el numerador y el denominador como
producto de factores, luego eliminas los comunes.
6.4 x 2 x 2 y 3c 2
24 x 4 y 3c 2
=
= 6 x 2c 2
2 3
2
3
4x y
4x y
Entonces:
Para simplificar fracciones algebraicas
procedes de la misma forma que en
las expresiones aritméticas.El signo ×
lo sustituyes por un punto.
24 x 4 y 3c 2
= 6 x 2c 2
2 3
4x y
Ejemplo 4
¿Cómo simplificas
Solución:
x3 − y3
?
x 2 − 2 xy + y 2
En este caso tienes que descomponer en factores el numerador x3 – y3 y el denominador x2 – 2xy + y2,
luego eliminas los comunes.
( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) ( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) x 2 + xy + y 2
x3 − y3
=
=
=
( x − y )2
x 2 − 2 xy + y 2
x −y
( x − y )( x − y )
3
3
2
2
x −y
x + xy + y
Luego: 2
=
2
x − 2 xy + y
x −y
UNIDAD 4
Ejemplo 5
Simplificar:
Solución:
3x 3 + 9x 2
x 2 + 6x + 9
3x 3 + 9x 2
3x 2 ( x + 3 )
3x 2 ( x + 3 )
=
=
x 2 + 6x + 9
( x + 3 )2
( x + 3 )( x + 3 )
Luego:
3x 3 + 9x 2
3x 2
=
x 2 + 6x + 9 x + 3
Ejemplo 6
Simplifica:
Solución:
x 2 − 8 x + 16
x 2 − 16
x 2 − 8 x + 16
( x − 4 )2
( x − 4 )( x − 4 ) x − 4
=
=
=
2
( x − 4 )( x + 4 ) ( x − 4 )( x + 4 ) x + 4
x − 16
Es decir:
x 2 − 8 x + 16 x − 4
=
x 2 − 16
x +4
Ejemplo 7
Simplifica:
Solución:
x 2 − 2 x − 15
x 2 + 8 x + 15
x 2 − 2 x − 15 ( x − 5 )( x + 3 ) ( x − 5 )( x + 3 )
=
=
x 2 + 8 x + 15 ( x + 3 )( x + 5 ) ( x + 3 )( x + 5 )
Luego:
x 2 − 2 x − 15 x − 5
=
x 2 + 8 x + 15 x + 5
Actividad
1
Simplifica las siguientes fracciones:
xy
a)
2
3 x y − 3 xy 2
x2 − y2
d) 3
x − y3
a 2 − a − 20
b)
a 2 − 7a + 10
3 x 2 y + 15 xy
e)
x 2 − 25
c)
2ax + 4bx
3ay + 6by
f)
n3 − n
n 2 − 5n − 6
UNIDAD 4
Valor numérico de una fracción algebraica
Si Pedro en su vehículo, recorre 150 km en 2 horas.
¿A qué velocidad viaja Pedro en su vehículo?
Ejemplo 9
x2 − 9
, para x = 5,
Encuentra el valor numérico de
+
x
3
x=–2
Solución:
Para x = 5, sustituyes en la fracción:
La velocidad de un vehículo se puede calcular por
d
medio de la fórmula v = .
t
Sustituye los datos en la fórmula así:
d
150 km
v = =
= 75 km / h Viaja a 75 km/h
t
2h
El valor encontrado corresponde al valor numérico de
la fórmula.
d
es una fracción algebraica porque su
Como
t
numerador y denominador lo forman monomios,
entonces tienes que el número que obtuviste después de
sustituir las variables por los valores correspondientes, y
efectuada la operación indicada, se llama valor numérico
de una fracción algebraica.
Ejemplo 8
Si retomamos la situación inicial el área en cm 2 de un
rectángulo es 2x2 + 13x + 6 y su base mide 2x + 1.
¿Cuál es la altura si x = 2?
Solución:
Antes habías despejado la altura que es:
2 x 2 + 13 x + 6
h=
2x + 1
Ahora sustituye el valor x = 2, en la fórmula:
2 x 2 + 13 x + 6
2( 2 )2 + 13( 2 ) + 6
=
2x + 1
2( 2 ) + 1
40
8 + 26 + 6
La altura es 8 cm.
=
=
= 8
4 +1
5
h=
x 2 − 9 52 − 9 25 − 9 16
=
=
=
=2
x +3
5+3
8
8
x2 − 9
Cuando x = 5,
=2
x +3
Para x = – 2, sustitúyelo en la fracción:
x 2 − 9 ( −2 )2 − 9 4 − 9
=
=
= −5
x +3
( −2 ) + 3
1
x2 −9
El valor numérico de
cuando x = –2, es – 5
x +3
Ejemplo 10
Encuentra el valor numérico de:
para y = 3
y 2 − 10 y + 24
y −4
Solución:
Sustituye el valor es la fracción dada:
y 2 − 10 y + 24 ( 3 )2 − 10( 3 ) + 24
=
y −4
3−4
9 − 30 + 24
=
= −3
3−4
y 2 − 10 y + 24
cuando x = 3
El valor numérico de
y
−
4
es – 3
UNIDAD 4
2
Actividad
Encuentra el valor numérico en cada caso:
8
z +2
para x = 1
a) 2
para z = – 2
c) 2
x − 3x
z +2
y 2 − 4 y − 12
para y = 4
b)
y2 − 4
6 x 2 − 3x
para x = 3
d)
2x − 1
e)
z 2 − 36
para z = – 6
z −6
f)
y +1
para y = 2
y − 2y + 1
2
Multiplicación de fracciones algebraicas
¿Cuánto mide el área de un rectángulo si de largo mide
4
6
m y de ancho m ?
3
10
4
Para encontrar el área multiplicamos largo por
3
6
ancho
10
Para efectuarla puedes hacerlo de dos formas:
1)
4
6
×
=
3 10
4
12
24
30
15
5
=
4
5
El área es
2x 2 6 y 2
x
Efectúa la multiplicación de las fracciones
3y
4x
y luego simplifícala.
Solución:
Primero multiplicas:
2x 2 (6 y 2 )
6 y2
2x 2
×
=
3y
4x
3 y (4x )
Luego descompones en factores el numerador y
denominador de los términos:
2x 2 (6 y 2 )
3 y (4x )
2) 4 × 6 = 2( 2 ) × 3( 2 )
3 10
3
5( 2 )
2( 2 )( 3 )( 2 ) 2( 2 ) 4
=
=
=
3( 5 )( 2 )
5
5
Ejemplo 11
=
Luego obtienes:
2 x x (2)(3) y y
3 y ( 2 )( 2 ) x
6 y2
2x 2
×
= xy
3y
4x
Punto de apoyo
4 2
m
5
Para efectuar esta operación con fracciones algebraicas
es más recomendable la forma 2, ya que te permitirá
simplificar los factores comunes en el numerador y
denominador de las fracciones, quedando productos
más sencillos de resolver.
= xy
El producto de fracciones algebraicas es similar a
la de fracciones numéricas.
Aplica los mismos pasos.
UNIDAD 4
Ejemplo 12
Multiplica las siguientes fracciones: 5 x + 25 × 7 x + 7
14
10 x + 50
Solución:
Primero debes de factorizar las fracciones:
5 x + 25
7x + 7
5( x + 5 )
7( x + 1)
ahora que están factorizados
=
×
×
14
10 x + 50
2( 7 )
2 ( 5 )( x + 5 )
tanto el numerador como el denominador de ambas fracciones, simplificas o cancelas los
factores comunes:
5( x + 5)
7 ( x + 1)
x +1 x +1
×
=
=
2( 7 )
2( 5 )( x + 5 )
2( 2 )
4
Entonces: 5 x + 25 × 7 x + 7 = x + 1
14
10 x + 50
4
Ejemplo 13
Multiplica:
Solución:
xy − 2 y 2
x 2 + 2 xy + y 2
×
x 2 + xy
x 2 − 2 xy
Primero factoriza:
xy − 2 y 2
x 2 + 2 xy + y 2
y( x − 2 y )
( x + y )2
=
×
×
x 2 + xy
x 2 − 2 xy
x( x − y )
x( x − 2 y )
Ahora simplifica:
y ( x − 2 y )( x + y )2
y ( x + y )2
y ( x + y )2
= 2
=
x (x − y ) x (x − 2 y ) x x (x − y )
x (x − y )
Luego tienes que:
xy − 2 y 2
x 2 + 2 xy + y 2
y ( x + y )2
=
×
x 2 + xy
x 2 − 2 xy
x2 (x − y )
Ejemplo 14
Multiplicar:
Solución:
x 2 + 2x
x 2 − 2x − 8
x 2 + 4x
×
×
x 2 − 16
x3 + x2
x 2 + 4x + 4
Factorizas:
x 2 + 2x x 2 − 2x − 8
x 2 + 4x
x( x + 2)
( x − 4 )( x + 2 ) x ( x + 4 )
×
×
=
×
×
2
3
2
2
x − 16
x +x
x + 4 x + 4 ( x − 4 )( x + 4 )
x 2 ( x + 1)
( x + 2 )2
Simplificas:
Luego:
x ( x + 2 )( x − 4 )( x + 2 ) x ( x + 4 )
1
=
( x − 4 )( x + 4 ) x x ( x + 1)( x + 2 )( x + 2 ) x + 1
x 2 + 2x x 2 − 2x − 8
x 2 + 4x
1
×
×
=
2
3
2
2
x − 16
x +x
x + 4 x + 4 x +1
UNIDAD 4
Ejemplo 15
2x + 3 6 x − 1
×
5 x − 2 −7 x + 4
¿Qué diferencia observas comparando con las
multiplicaciones anteriores?
Multiplica:
2x + 3 6 x − 1
( 2 x + 3 )( 6 x − 1)
×
=
5 x − 2 −7 x + 4 ( 5 x − 2 )( −7 x + 4 )
Que no hay factores comunes, entonces tienes que
realizar las multiplicaciones en: ambos términos y
obtendrás:
( 2 x + 3 )( 6 x − 1)
12 x 2 + 16 x − 3
=
( 5 x − 2 )( −7 x + 4 ) −35 x 2 + 34 x − 8
Entonces:
2x + 3 6 x − 1
12 x 2 + 16 x − 3
×
=
5 x − 2 −7 x + 4 −35 x 2 + 34 x − 8
3
Actividad
Multiplica las siguientes fracciones:
a)
x 2 y 10a 3 9m
x
x
5 3m 2 x 3
d)
5 2a 3b
x x
a b 2 10
b)
2 x 3 3a 2 5 x 2
x
x
15a 3 y 7 xy 2
e)
m+n
n2
×
mn − n 2 m 2 − n 2
c)
x 2 − 4 xy + 4 y 2
x2
×
x 2 + 2 xy
x2 −4 y2
f)
2x 2 + 2x
x 2 − 3x
×
2x 2
x 2 − 2x − 3
Resumen
En esta lección estudiaste algunos aspectos referentes a fracciones algebraicas.
Simplificar una fracción es expresarla en su forma más simple, es decir que el mcd del numerador
y denominador es 1.
Hallar el valor numérico de una fracción algebraica consiste en sustituir las variables por los
valores correspondientes, y luego efectuar la operación indicada, obteniendo así un resultado
numérico.
Otro aspecto es lo relacionado al producto, cuyo proceso es similar a la de fracciones numéricas.
UNIDAD 4
Autocomprobación
b)
x2 − y2
es equivalente a:
x 2 + 2 xy + y 2
−1
1
a)
c) −
2 xy
2 xy
x
+y
x− y
b)
d)
x− y
x+ y
La fracción
La fracción
1
50
19
b)
50
a)
d) 2(x-1)
3. d.
2
2 xy
x −1
3
4
x3 −8
evaluada en x = – 3 es:
x 2 + 11x − 26
27
c) −
16
7
d)
10
n +1
n+2
es:
× 2
n + 2 n − 2n + 1
n +1
c)
n −1
1
d)
( n + 1)2
El producto de las fracciones
n +1
n − 2n + 1
1
b)
n −1
a)
2
2. b.
a) 2
4 xy
x −1
obtienes:
×
2
( x − 1) 2 xy
2
c)
x −1
1. c.
Al efectuar
Soluciones
1
4. a.
UNA LEY DE NEWTON
Las fracciones algebraicas son usadas en muchas
actividades del entorno.
TM08P164
Foto de Newton
Algunas de ellas representan leyes descubiertas
por grandes científicos de la historia, por ejemplo
descubrimiento realizado por Isaac Newton sobre
la ley de la gravitación universal.
La ley de la gravitación universal descubierta por
Newton se escribe así:
mm
F =G 1 2 2
r
F
Otra ley de Newton establece que m =
a
Lección 3
Cuarta Unidad
Operaciones con fracciones algebraicas
Motivación
E
n el comedor de doña Elena, tienen un recipiente grande con cinco
compartimientos iguales en el cual pueden almacenar 120 litros de jugo
en total. Si los litros almacenados en un compartimiento se reparten en
cantidades iguales en 8 recipientes más pequeños, ¿cuántos litros de jugo
irán en cada recipiente?
¿Cómo plantearías esta operación? ¿Cómo la resuelves?
Aplicarás y explicarás la división de fracciones algebraicas a
partir de los números racionales, con seguridad.
Dividirás fracciones algebraicas con denominadores
monomios, con orden y aseo.
Mostrarás orden y aseo al reflejar de forma escrita la división
de fracciones algebraicas con denominadores polinomios.
Mostrarás perseverancia al resolver problemas utilizando la
división de fracciones algebraicas.
Resolverás con perseverancia problemas de aplicación de
suma y resta de fracciones algebraicas.
Resolverás problemas de aplicación de operaciones
combinadas con fracciones algebraicas.
División de fracciones algebraicas
Para dar respuesta a la situación anterior, es decir,
para calcular el número de litros que irán en cada
recipiente pequeño; realizas la siguiente operación.
Primero encuentras lo que cabe en un compartimiento
120
litros de jugo; y luego lo repartes en 8 recipientes
5
pequeños, entonces tienes que dividir la cantidad de
litros de jugo entre el número de recipientes, es decir:
120 120
5 = 5 = 120 = 3
8
40
8
1
R: En cada recipiente irán 3 litros de jugo.
Observa
La división algebraica se realiza como un proceso
similar a la de una división de fracciones aritméticas.
Ejemplo 1
¿Cómo efectúas la división
Solución:
6 x 2 y 3 2 xy 2 ?
÷
5n 10 n 2
Recuerda como se dividen fracciones en aritmética.
Primero convierte la división en una multiplicación del
dividendo por el recíproco del divisor:
6 x 2 y 3 2 xy 2 6 x 2 y 3 10 n 2
÷
=
×
5n
10 n 2
5n
2 xy 2 luego simplificas y
multiplicas:
2
6 x 2 y 3 10 n 2 2 ( 3 ) x x y y 2 ( 5 ) n n
×
=
= (3) xy (2)n = 6nxy
5n
2 xy 2
5n 2x y2
Entonces:
6 x 2 y 3 2 xy 2
= 6nxy
÷
5n 10 n 2
UNIDAD 4
Ejemplo 2
Divide:
x − 1 2x − 2
÷
3
6
Solución:
x − 1 2x − 2 x − 1
6
en este caso debes factorizar para simplificar:
÷
=
×
3
6
3
2x − 2
x −1
6
( x − 1 )2 × 3 1
×
=
= =1
3 2 x − 2 3 × 2( x − 1) 1
Ejemplo 3
Efectúa:
x 3 − 121x x 2 − 11x
÷
x 2 − 49
x +7
Solución:
x 3 − 121x x 2 − 11x x 3 − 121x
x +7
=
÷
= 2
× 2
2
x − 49
x +7
x − 49 x − 11x
luego factorizas:
x 3 −121x
x +7
x ( x 2 −121)
( x + 7 ) x ( x −11)( x +11)( x + 7 ) x +11
=
=
×
=
×
2
2
x − 49 x −11x ( x − 7 )( x + 7 ) x ( x −11) ( x − 7 )( x + 7 ) x ( x −11)) x − 7
Por lo tanto:
x 3 − 121x x 2 − 11x x + 11
÷
=
x 2 − 49
x +7
x −7
1
Actividad
Divide:
a)
3a 2b 2 2
÷a b
5x 2
b)
5m 2 10 m 4
÷
7 n 3 14 an 4
c)
15m 2 20 y 2
÷
19ax 3 38a 3 x 4
d)
3a 2
5a 3
÷
a 2 + 6 ab + 9b 2 a 2b + 3ab 2
e)
x3 −x
5x 2 − 5x
÷
2x 2 + 6 x
2x + 6
f)
1
2
÷ 2
a − a − 30 a + a − 42
2
UNIDAD 4
Suma de fracciones algebraicas
Recordarás como sumar números fraccionarios.
Ejemplo 4
Pedro, Juan y Rolando tienen que pintar una pared. Si
3
2
Pedro pinta ; Juan pinta y Rolando, 1 .
7
7
7
¿Qué parte de la pared han pintado?
Solución:
Para encontrar la respuesta tienes que sumar:
3 2 1
+ + , observa que todas las fracciones tiene
7 7 7
igual denominador.
Entonces efectúas la suma así:
3 2 1 3 + 2 +1 6
+ + =
=
7 7 7
7
7
6
R: La parte de pared que han pintado es
7
Punto de apoyo
Para sumar fracciones de igual denominador,
sumas los numeradores y al resultado le colocas el
denominador común.
Ejemplo 5
3
María tiene un litro de leche, reparte a sus amigas  y
8
5
a sus hermanos  .
12
¿Qué parte del litro de leche ha repartido?
Al calcular el mcm de los denominadores obtienes 24,
luego divides este mcm entre el denominador de cada
fracción y lo multiplicas por el numerador respectivo.
3 5 ( 3 )( 3 ) + ( 2 )( 5 ) 9 + 10 19
+ =
=
=
8 12
24
24
24
Si este resultado se puede simplificar debes hacerlo.
19
R: La parte del litro de leche es
24
Este mismo proceso que aplicaste en aritmética, para
sumar números fraccionarios, es el que debes utilizar
para sumar fracciones algebraicas.
Ejemplo 6
4 a 2 2a 7a
Efectúa la siguiente suma:
+ +
3x 3x 3x
Solución:
Observa, es una suma de fracciones que tienen el mismo
denominador: 3x
Entonces tienes:
4 a 2 2a 7a 4 a 2 + 2a + 7a 4 a 2 + 9a
+ + =
=
3x 3x 3x
3x
3x
Es decir que:
4 a 2 2a 7a 4 a 2 + 9a
+ + =
3x 3x 3x
3x
Solución:
3 5
Tienes que realizar una suma, así: + , observa
8 12
que tiene diferente denominador, para que puedas
realizar esta operación tienes que recordar como
sumar fracciones de diferente denominador lo primero
es encontrar el mínimo común múltiplo de sus
denominadores.
UNIDAD 4
Ejemplo 7
a 2 + 3a − 2
4 a + 12
+
( a + 5 )( a − 2 ) ( a + 5 )( a − 2 )
Suma:
Solución:
Como los denominadores son iguales, sumas los numeradores y conservas el común
denominador:
a 2 + 3a − 2
4 a + 12
a 2 + 3a − 2 + 4 a + 12 a 2 + 7a + 10
+
=
=
( a + 5 )( a − 2 ) ( a + 5 )( a − 2 )
( a + 5 )( a − 2 )
( a + 5 )( a − 2 )
Ahora, observa si el numerador se puede descomponer en factores para simplificar si
es posible:
a 2 + 7a + 10 ( a + 5 )( a + 2 ) a + 2
=
=
( a + 5 )( a − 2 ) ( a + 5 )( a − 2 ) a − 2
Luego tiene que:
Ejemplo 8
a 2 + 3a − 2
4 a + 12
a +2
+
=
( a + 5 )( a − 2 ) ( a + 5 )( a − 2 ) a − 2
1− x x + 2
1
+ 2 +
2x
x
3ax 2
Suma:
Solución:
Observa que los denominadores son distintos, entonces encuentras el mcm. de ellos:
El mcm de 2x, x2 , 3ax2 es 6ax2
Luego divides el mcm entre cada denominador y luego este resultado lo multiplicas por
el numerador respectivo:
1− x x + 2
1
( 3ax )(1 − x ) + ( 6 a )( x + 2 ) + ( 2 )(1)
+ 2 +
=
2
2x
x
3ax
6 ax 2
Al efectuar las multiplicaciones obtienes:
( 3ax − 3ax 2 ) + ( 6 ax +12a ) + ( 2 ) 3ax − 3ax 2 + 6 ax +12a + 2 −3ax 2 + 9ax +12a + 2
=
=
6 ax 2
6 ax 2
6 ax 2
Notarás que no hay factores comunes, por lo tanto no se puede simplificar
1− x x + 2
1
−3ax 2 + 9ax + 12a + 2
Entonces:
+ 2 +
=
2x
x
3ax 2
6 ax 2
2
Actividad
Efectúa las siguientes sumas:
a − 2b b − a a)
+
15a
20b
b)
c)
x + 2 x 2 − 2 2− x 2
m − n n − a 2a − m
e)
+
+
+
+
2
3
3x
5x
9x
mn
na
am
a − 1 2a 3a + 4
3 x +2 x2 +2
d)
+ +
+
+
2
3
6
12
5 2x
6x
f)
1 b 2 − a 2 ab + b 2
+
+ 2 2
ab
ab 3
ab
UNIDAD 4
Resta de fracciones algebraicas
Para restar fracciones utilizarás un proceso similar al de la suma, transforma la resta en
una suma cambiando el signo del sustraendo y luego efectúa la suma.
m x m x
Es decir: − = −
n y n y
Ejemplo 9
Efectúa:
3x
4x
−
y −2 y −2
Solución:
Observa que tiene igual denominador, por lo tanto sólo se restan los numeradores y
colocas el mismo denominador:
3x
4 x 3x − 4 x − x
x
3x
4x
x
−
=
=
=−
−
=−
Luego:
y −2 y −2
y −2
y −2
y −2
y −2 y −2
y −2
Ejemplo 10
Efectúa:
n −1 n + 2
− 2 . Observa, ¿qué diferencia encuentras con el ejemplo anterior?
3n
n
Solución:
Primero encuentras el mcm. de los denominadores, que es 3n2:
n − 1 n + 2 n ( n − 1) − [ 3 ( n + 2 )]
realizas la resta:
− 2 =
3n
n
3n 2
n 2 − n − 3n − 6
elimina signos de agrupación:
=
3n 2
n 2 − 4n − 6
reduce términos semejantes
=
3n 2
n −1 n + 2 n 2 − 4n − 6
Entonces =
− 2 =
3n
n
3n 2
Actividad
3
Efectúa las siguientes restas de fracciones algebraicas.
a + 5b b − 3
a −3 a +2
a)
d)
−
−
a2
ab
4
8
b)
2
1
− 2 2
3mn 2m n
e)
a − 3 4 − 3ab 2
−
5ab
3a 2b 3
c)
2a + 3 a − 2
−
4a
8a
f)
y − 2x x − 3 y
−
20 x
24 y
UNIDAD 4
Fracciones complejas
En alguna ocasión has observado expresiones como estás:
3 x x y 2n 2 − m
+
−m
2y y x
n
,
,
y 4 n 2 + m 2 : Estos son algunos ejemplos de fracciones complejas
5x 2
−2 +
+1
x
6y
4 nm
Una fracción compleja es la fracción que posee en el numerador y/o denominador
fracciones algebraicas.
2a
2
2
2a 5 x 2a y ( 2a )( y )
Observa la siguiente fracción compleja 3b esto indica ÷ 2 = × =
5x
3b y 3b 5 x ( 3b )( 5 x )
2
y
2a
2
Extremo por extremo
3b = 2a . y
Por lo tanto: 5x
15 x .b
Medio por medio
y2
Ejemplo 11
x y
+
y x
¿Cómo podrías simplificar la fracción
?
y
−2 +
x
Solución:
x y x2 + y2
+ =
y x
xy
y −2 x + y
Simplificas el denominador: −2 + =
x
x
Simplificas el numerador:
x y x2 + y2
+
xy
y
x
Sustituyes en la fracción dada
luego divides:
=
y −2 x + y
−2 +
x
x
2
2
2
2
x +y
y − 2x x + y
x (x 2 + y 2 ) x 2 + y 2
x2 + y2
x
÷
=
×
=
=
=
xy
x
xy
y − 2 x xy (y − 2 x ) y (y − 2 x ) y 2 − 2 xy
Observa que esta operación indicada equivale a que en el numerador tienes el producto
de los extremos de la fracción resultante y en el denominador el producto de los
x2 + y2
x2 + y2
términos medios: =
= 2
y ( y − 2 x ) y − 2 xy
x y
+
y x x2 + y2
Luego tienes la fracción compleja simplificada: =
=
y y 2 − 2 xy
−2 +
x
UNIDAD 4
Ejemplo 12
Ejemplo 13
2
2+
a −2
Simplifica la siguiente fracción:
2
x− 2
Solución:
a −2
2+
2( a − 2 ) + 2 2a − 4 + 2 2a − 2
2
=
=
=
a −2
a −2
a −2
a −2
Simplificas el denominador:
x (a − 2) − 2 a 2 x − 2x − 2
2
x− 2 =
=
a −2
a2 −2
a2 −2
2a − 2
a −2
Sustituyes:
a 2 x − 2x − 2
a2 −2
Efectúas el producto de los extremos y lo divides entre el
producto de los medios:
2
( 2a − 2)( a 2 − 2)
2a 3 − 2a 2 − 4 a + 4
=
( a − 2)( a 2 x − 2x − 2) a 3 x − 2a 2 x − 2ax − 2a + 4 x + 4
Luego tienes que:
2
2+
2a 3 − 2a 2 − 4 a + 4
a −2 =
2
a 3 x − 2a 2 x − 2ax − 2a + 4 x + 4
x− 2
a −2
1 1
+
Reduce la siguiente fracción: m n
1 1
−
Solución:
m n
1 1 n+m
+ =
m n mn
1 1 n−m
Simplificas el denominador − =
m n mn
n+m
Sustituyendo mn efectúas el producto
n−m
mn
de los extremos y lo divides entre el producto de los
medios:
1 1
+
m n = mn ( n + m ) = n + m
1 1 mn ( n − m ) n − m
−
m n
4
Actividad
Simplifica las siguientes fracciones:
x y
1
−
x2 −
y x
x
a)
c)
y
1
1−
1−
x
x
x
2 b)
x
x−
4
x+
3
x
d)
5
x −4−
x
x +4+
Resumen
En esta lección estudiaste la división, suma y resta de
fracciones algebraicas cuyos procesos de resolución
son similares a los aplicados en aritmética con
números fraccionarios. Lo mismo sucede con las
fracciones complejas.
UNIDAD 4
Autocomprobación
3 x 2 16 x 2
es igual a:
÷
4 y 3 12 y 2
4
9y
16 y 5
c)
4
3y
b)
9
16 y
d)
4
3
La reducción de
3a 5a − 6
es igual a:
−
4a
8
−5a − 6
8
12 − 5a
b)
8
a)
c)
−
d)
5
8
5
8
2. b.
2
a)
3
x − 4a
x −2
1
Al efectuar la suma
+ 2 +
2ax
5x
10 x
obtienes:
a)
2x − 4a − 1
17ax 2
b)
x 2 − 4a − 2
10 x 2
c)
5 x 2 − 17ax − 4 a
10ax 2
d)
5 x 2 − 17ax − 4 a
17ax 2
1. b.
El cociente de
Soluciones
1
3. c.
DIOFANTO DE ALEJANDRÍA
Diofanto de Alejandría (Diophanti Alexandrini) fue un
antiguo matemático griego que se considera el padre
del álgebra.
Nacido en Alejandría, poco se conoce con seguridad
sobre su vida salvo la edad a la que falleció, gracias
a este epitafio redactado en forma de problema y
conservado en la antología griega:
Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después,
durante la décima segunda parte su mejilla se cubrió
con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de
su vida antes de tomar esposa y, cinco años después,
tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada
la mitad de la edad de su padre, pereció de una
muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle,
llorándole, durante cuatro años. De todo esto se
deduce su edad."
Lección 4
Cuarta Unidad
La esfera y el cono
Motivación
Con seguridad ya habrás jugado con un balón de fútbol o de
basquetbol y te has preguntado alguna vez, ¿Cómo hacen las
fábricas de balones para saber la cantidad exacta de material que se
necesita para su elaboración?
Describirás y trazarás los elementos geométricos de una
esfera, con seguridad y precisión.
Determinarás, utilizarás y explicarás, con confianza la fórmula
del área de la esfera.
del volumen de la esfera.
Describirás y trazarás los elementos geométricos de un
cono, con seguridad y precisión.
del área del cono.
del volumen del cono.
Resolverás problemas de área y de volumen de cuerpos
esféricos.
La esfera
La forma de un balón o pelota de fútbol, basquetbol,
voleibol, es esférica.
¿Cómo defines una esfera?
Es posible que menciones
que está formado por
partes curvas.
Construye un semicírculo,
gíralo a partir de uno de
los extremos del diámetro
notarás que se te forma algo
como una esfera.
La superficie de una circunferencia es la región
geométrica de todos los puntos del espacio que
equidistan de un punto fijo llamado centro, donde la
distancia del centro a cualquier punto de la superficie se
llama radio.
E
Elemento de una esfera:
r
Entonces, una esfera se define como un sólido de
revolución, ya que se obtiene de girar en el espacio, un
semicírculo alrededor de su diámetro.
O: es el centro.
r: es el radio, segmento
que une el centro con
un punto de la superficie
esférica.
A
o
C
D
B
F
d: es el diámetro, segmento que pasa por el centro y une
dos puntos de la superficie AB y CD.
UNIDAD 4
Área de la esfera
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Berta le regalará a su sobrino una pelota de 14 cm de
diámetro y solicita que se envuelvan en papel de regalo.
¿Qué cantidad de papel utilizarán?
Un grupo de estudiantes para demostrar una ley
científica, deciden construir un globo. ¿Qué cantidad de
papel se utilizará para hacer un globo de 10 cm de radio?
Solución:
Con seguridad has pensado en encontrar el área de la
pelota para conocer la cantidad de papel a utilizar
El proceso que se sigue para encontrar el área es similar
al que se sigue para encontrar el área de un círculo; pero,
el área de la superficie esférica es igual a cuatro veces el
área del circulo máximo, es decir el círculo más grande
que cabe en la esfera:
A = 4 π r2
Entonces, a partir de los datos que te proporcionan,
tienes que conocer el diámetro, por lo tanto, el radio es
la mitad.
Sustituye el valor del radio en la fórmula y obtienes el
área, así:
Sustituyes los datos en la fórmula:
A = 4 π r2 = 4 (3.1416) (7 cm)2 = 615.75 cm2
R: La cantidad de papel a utilizar es 615.75 cm
Solución:
2
Ahora, con este ejemplo, puedes decir que para saber la
cantidad de material que se utiliza para fabricar balones
de fútbol, básquetbol, y otros, tienen que calcular el área
de los balones y como su forma es esférica, utilizan la
fórmula de la esfera.
A = 4 π r2
A = 4(3.1416) (10 cm)2 = 1,256.64 cm2
R: La cantidad de papel que necesita para hacer el globo
es 1,256.64 cm2
Ejemplo 3
¿Cual será el área total de una pelota cuyo diámetro es
igual 12 cm?
Solución:
Sabes que para encontrar el área necesitas únicamente
el radio, pero en este caso conoces el diámetro, entonces
divide 12 cm entres dos.
Ahora lo sustituye en la fórmula:
A = 4 π r2 = 4(3.1416) (6 cm)2 = 452.39 cm2
R: El área total de la pelota es 452.39 cm2
UNIDAD 4
Ejemplo 4
¿Cual es el diámetro de una esfera cuya área es igual a
452.16 cm2?
Ahora, sustituye los datos:
4 3 4
V = πr = (3.1416 )(18cm)3
3
3
Solución:
4
= (3.1416 )(5 ,832 cm 3 )
3
73 , 287.24 cm 3
= 24 , 429.08 cm 2
=
3
Este procedimiento es inverso a los anteriores ejemplos.
Observa:
A
Tienes que A = 4 π r2 despejas el radio y tienes: r2 =
4π
como se trata de un cuadrado, tienes que extrae la raíz
A
cuadrada así: r =
4π
Ahora sustituyes los datos
452.16 cm 2
2
= 36 cm = 6 cm.
r=
12.56
Esto indica que el radio de la esfera es 6 cm, por lo tanto
su diámetro es de 12 cm .
Volumen de la esfera
Ejemplo 5
¿Que cantidad de agua puede almacenar un recipiente
esférico con radio igual a 18 cm.?
R: La cantidad de agua que puede almacenar el
recipiente es: 24,429.08 cm3
El volumen es el espacio ocupado por un cuerpo. En una
esfera, se calcula utilizando la fórmula:
4 3
πr
3
Ejemplo 6
Calcula el volumen de una pelota cuyo diámetro mide
16 cm.
Solución:
Primero encuentra el valor del radio, ya que conoces el
diametro.
Sustituyes los datos en la fórmula:
4
4
V = πr 3 = (3.1416 )(8cm)3
3
3
4
= (3.1416 )(512cm 3 ) = 2,144.67cm3
3
Solución:
Para encontrar la respuesta tienes que conocer la
fórmula del volumen de la esfera.
4
El volumen de una esfera es igual a de π por el cubo
3
4 3
del radio o sea; V = πr como en este caso el radio
3
mide 18 cm.
UNIDAD 4
Ejemplo 7
Calcula el área de la superficie esférica y su volumen, si su diámetro es igual a 10 cm.
Solución:
Primero encuentras el área:
El diámetro es 10 cm, su radio es 5 cm
Lo sustituyes en la fórmula:
A = 4 π r2 = 4(3.1416) (5 cm)2 = 314.16 cm2
Ahora encuentra el volumen:
Sabes que el radio es igual a 5 cm, luego sustituyes en:
4 3 4
1570.8cm 3
3
3 4
= 523.6 cm3
V = πr = (3.1416 )(5cm) ; (3.1416 )(125cm ) =
3
3
3
3
Entonces tienes que A = 314.16 cm2
V = 523.6 cm3.
1
Actividad
a) Encuentra la cantidad de papel para forrar una pelota cuyo radio mide 9 cm.
b) Encuentra el área de una esfera si su diámetro mide 22 cm.
c) Encuentra el radio de una cantimplora
esférica, sabiendo que su área es igual a 314.16 cm2.
d) Encuentra el diámetro de una pelota cuya área es igual a 113.04 cm 2 .
e) Encuentra el volumen de una esfera sabiendo que su área es igual a 452.39 cm 2 .
El Cono
B
¿Qué cantidad de agua puedes tomar en un recipiente
de forma cónica que usan en algunos lugares como
oficinas, clínicas y otros?
Forma un triángulo rectángulo en cartulina, recórtalo
y haz lo girar sobre uno de sus catetos, observa, ¿qué se
forma?, posiblemente notes un cono.
El cono circular recto es el cuerpo geométrico
engendrado por la revolución de un triangulo
rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
Así como el de la figura.
g
A
o
Observa la figura.
El punto B es el vértice del cono; el cateto OB es la altura
y eje del cono; el cateto OA es el radio de la base , y la
hipotenusa formada por el cateto AB es la generatriz
del cono.
UNIDAD 4
Entonces, los elementos de un cono circular recto son:
vértice, altura, eje, radio y generatriz.
Vértice
generatriz
Altura
base
radio
Área de un cono
El área total del cono se obtiene sumando el área lateral
más el área de la base.
El área lateral es igualA L = π rg
Área total: AT = π rg + π r2
ó
AT = π r (g + r)
La generatriz se obtiene aplicando el teorema de
Pitágoras g = h 2 + r 2
Ejemplo 8
Encuentra la cantidad de papel que se necesita para
elaborar un cono cuya generatriz es igual 12 cm y el
radio de su base es igual a 3.5 cm.
¿Piensa, cómo resolverlo?
Ejemplo 9
Un carpintero construyó un cono de madera, de 10 cm
de altura y el diámetro de su base igual a 14 cm.
¿Cómo calculas el área total de dicho cono?
Solución:
Primero tienes que encontrar el valor de la generatriz
divide 14 cm entre 2 para encontrar el radio, el radio
es 7 cm.
Ahora, sustituye los datos en la fórmula de la generatriz:
g = h 2 + r 2 = (10cm)2 + (7cm)2 = 149cm 2 = 12.2cm
Con estos datos calcula el área total
AT = π r(g + r) = π (7 cm)(12.2 cm + 7 cm)
= (3.1416) (7 cm)( 19.2 cm) = 422.23 cm2
R: El área total es 422.23 cm2
Ejemplo 10
Rosa ocupa un cono para tomar agua y quiere saber
cuanto tiene de altura. ¿Cómo encuentra la altura del
cono sabiendo que la generatriz es igual a 8 cm y el radio
de su base es igual 4 cm?
Solución:
8 cm
Tienes que g = 12 cm y r = 3.5 cm, en este caso necesitas
el área lateral, sustituyes los datos en la fórmula
AL = π rg = (3.1416) (3.5 cm) (12 cm) = 131.95 cm2
R: La cantidad de papel para elaborar un cono es
131.95 cm2
4 cm
Solución:
En este caso utilizas la fórmula de la generatriz.
h=
g 2 −r2
Sustituyes los datos en la formula:
h = (8cm)2 − ( 4 cm)2 , 64 cm 2 − 16 cm 2
h = 48cm 2 = 6.9cm
R: La altura aproximadamente 6.9 cm
UNIDAD 4
2
Actividad
a) Los conos que utilizan en una sorbetería, tienen las siguientes medidas: radio igual 2 cm y generatriz
6 cm. Encuentra el área lateral de los conos
b) ¿Qué cantidad de cartulina se necesita para construir un cono cuyo diámetro de la base mide 20 cm
y su generatriz 12 cm.
c) Encuentra el área de un cono cuya base tiene 7 cm de radio y una altura de 9 cm.
Volumen del cono
Ejemplo 11
A un niño le regalaron un cono de madera con las
siguientes dimensiones: 4 cm de radio y 10 cm de altura.
Calcula su volumen.
Solución:
1
Tienes que el volumen de un cono es del producto
3
del área de su base por su altura, es decir:
1
V = πr 2 h
3
Al sustituir los datos tienes:
V = 1 π ( 4 cm)2 (10cm)
3
502.4 cm 3
V=
= 167.5 cm3
3
R: El volumen del cono es 167.5 cm3
Ejemplo 12
¿Cómo calculas la cantidad de agua con la que se llena
un cono, sabiendo que su altura es 15 cm y su generatriz
18 cm.
m
18 c
15 cm
Solución:
Primero debes encontrar el radio luego sustituye los
datos:
r=
g 2 − h 2 = (18cm)2 − (15cm)2
= 324 cm 2 − 225cm 2
r = 99cm 2 donde r = 9.9 cm
Como ya tienes el valor del radio, ahora sustituye en la
fórmula de volumen:
1
V = πr 2 h
3
1
4 ,618.6234 cm 3
= 3.1416(9.9 cm)2 (15 cm) =
3
3
esto indica que el volumen del cono es igual a:
V = 1,539.5411 cm3
UNIDAD 4
Ejemplo 13
¿Cómo encuentras el área total y el volumen de un cono de durapax, si sabes que su
altura es de 11 cm y su diámetro 12 cm.
Solución:
Para encontrar el área total necesitas la generatriz y el radio.
Los datos que conoces son: h= 11 cm y D= 12 cm
Entonces, primero encuentra la generatriz h 2 + r 2 , ahora sustituye los datos:
g = (11cm )2 + ( 6 cm )2 = 121cm 2 + 36 cm 2 = 12.5 cm
Ahora encuentra el área total
AT = π r(g + r) = 3.1416(6 cm)(12.5 cm + 6 cm) = 348.72 cm2
Luego encuentra el volumen:
Sustituye los datos en la fórmula:
3
1
1
V = πr 2 h = 3.1416(6 cm)2 (11 cm) = 1 ,244.07cm = 414.69 cm3
3
3
3
Tienes entonces que el área total es 348.72 cm2 y el volumen 414.69 cm3
3
Actividad
a) El papá de Joaquín construyó un cono de madera con las siguientes dimensiones: una altura de 6
cm y la base de 2 cm de radio. ¿Cuál es el volumen?
b) Calcula el volumen de un cono construido de cartón, con radio de 7 cm y generatriz igual 12 cm.
c) Alicia tiene en su tienda un embudo para medir el aceite que vende por botellas. ¿Cuál es el volumen
del embudo si su altura es igual a 4 cm y generatriz 5 cm?
Resumen
En general tienes que una esfera es un sólido de revolución, ya que se obtiene de girar en el
espacio, un semicírculo alrededor de su diámetro.
4
Su área se calcula utilizando la fórmula A = 4 π r2 y para calcular el volumen, se tiene: πr 3 .
3
El cono circular recto es el cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un triangulo
rectángulo alrededor de uno de sus catetos. y puedes calcular el área lateral y el área total,
aplicando las siguientes fórmulas:
AL = π rg , AT = π rg + π r2 ó AT = π r( g + r)
1
3
Y para el volumen, utilizas: πr 2 h
UNIDAD 4
Autocomprobación
c)
b)
π r(g + r)
d)
2
π r2
4 3
πr
3
El área de una esfera cuyo diámetro es igual a 4
cm es igual a:
a) 33.52 cm2
b) 100.48 cm
2
c) 50.27. cm2
d) 16.74 cm
2
4
Una tienda de campaña de forma cónica tiene 2 m de radio
y 2.2m de altura. La cantidad de tela que se utilizó para su
construcción, incluyendo el piso, es:
a) 18.66 m2 c) 26.39 m2
b) 30.79 m2
d) 31.23 m2
La fórmula para encontrar el radio de una esfera conociendo
su área, es:
a)
A
4π
c)
A
π
b)
g 2 + h2 d)
g 2 − h2
2. c.
π r2
a) 4
3
1. a.
El área total de una esfera es igual a:
Soluciones
1
3. b.
4. a.
LA GEOMETRÍA Y ARQUÍMIDES
Se le atribuye a Arquímedes el haber descubierto
el volumen de la esfera.
El cálculo del volumen de la esfera fue uno
de los descubrimientos que Arquímedes más
estimaba de todos los que hizo en su vida.
Llegó a demostrar de un modo muy original que
el volumen de la esfera es igual a dos tercios
del volumen del cilindro circular circunscrito a
ella. Tanto le impresionó esto a él mismo (tal
vez porque en ese entonces se hablaba de los
cuerpos perfectos) que mandó que en su tumba
se grabase esta figura en recuerdo de la mejor
de sus ideas.
Lección 5
Cuarta Unidad
Prisma, Pirámide y el Cilindro
Motivación
Zulma quiere saber cuánto papel utilizará para envolver una caja
de galletas de la forma en que se presenta en la figura.
La caja mide 20 cm de altura, su base 7 cm por lado y su apotema
6 cm.
¿Podrías tú ayudarle a Zulma a calcular la cantidad de papel que
necesitará?
Describirás y trazarás con seguridad y precisión, los
elementos geométricos de un prisma recto.
del área de un prisma recto.
del volumen de un prisma recto.
Resolverás problemas aplicados al entorno sobre el área y
volumen de cuerpos en forma de prisma recto.
Describirás y trazarás con seguridad y precisión los
elementos geométricos de una pirámide regular hasta 6
lados en su base.
del área de una pirámide regular hasta 6 lados en su base.
del volumen de una pirámide regular hasta 6 lados en
su base.
Resolverás problemas aplicados al entorno sobre el área y
de volumen de cuerpos en forma de pirámide regular.
Resolverás problemas aplicándose la formula del área y
volumen de cuerpos en forma de cilindro circular recto.
Prisma. Área
Para resolver la situación anterior, observa que la forma
de la caja es de un prisma, por lo tanto debes encontrar el
área de este.
El área de la superficie es la suma de las áreas de todas
sus caras incluidas sus bases.
Para ello, primero calculas las áreas laterales, es igual al
producto del perímetro de la base por la altura
del prisma.
A L = p × h donde p es perímetro y h altura.
B
B
B
Luego encuentras el área de la base, entonces tienes que
el área total es:
(B área de la base)
AT = AL + 2B
UNIDAD 4
Tomando las medidas dadas para darle solución al
ejemplo, tienes:
Cuerpos geométricos como los de la figura, se conocen
con el nombre de prismas rectos.
Para encontrar el área lateral primero calculas el
perímetro, en este caso se trata de una base con forma de
hexágono, multiplicas el número de lados por 7 cm:
p = nl = 6(7 cm) = 42 cm
Punto de apoyo
El área de un polígono regular se calcula así:
perímetro x apotema
A=
2
pa
A=
2
Ahora ya conoces el perímetro de la base y sabes que su
altura del prisma es de 20 cm.
Entonces sustituyes estos valores en la fórmula:
AL=p × h = (42 cm)(20 cm) = 840 cm2
Observa los elementos de un prisma:
Base
Aristas básicas
Aristas laterales
Vértice
Caras laterales
Luego encuentras el área de la base.
pa
sustituyes
Es un hexágono, el área de su base es A =
2
los valores dados.
( 42cm )( 6 cm ) 252cm 2
Área de la base =
=
= 126 cm 2
2
2
Sustituyes los valores en la fórmula para calcular el
área total:
AT = AL + 2B = 840 cm2 + 2(126 cm2)
= 840 cm2 + 252 cm2 = 1,092 cm2
Un prisma es un cuerpo geométrico que posee dos
caras poligonales iguales y paralelas llamadas bases. Las
demás caras se llaman caras laterales que poseen forma
de paralelogramos.
Ejemplo 1
Encuentra el área total de un prisma triangular recto
cuyos lados de su base son 20 cm, 20 cm, y 28.3 cm por
30 cm de altura.
28.3 cm
R: La cantidad de papel es 1,092 cm 2
Partiendo de la figura del ejemplo anterior y las de la
derecha, obsérvalas, ¿qué características tienen? Con
seguridad dirás que tiene una base poligonal, sus lados
son rectángulos y otras.
30 cm
20
cm
20
cm
UNIDAD 4
Solución:
Solución:
En un prisma triangular, su base es un triángulo:
Para encontrar el volumen de un prisma, multiplicas el
área de la base por su altura del prisma. Es decir:
Verifica en tu cuaderno, que h = 14.13 cm utilizando el
teorema de Pitágoras
AL = p × h
En este caso, tienes:
AL = (20 cm + 20 cm + 28.3 cm)(30 cm)
= (68.3 cm)(30 cm) = 2049 cm
V = B h; donde B es el área de la base y h la altura del
prisma.
V = B h la base es cuadrada, su área es A =  2
2
Luego encuentras el área total sumándole 2 veces el área
de la base:
AT= AL + 2B
V = (20 cm)2 (35 cm)
= (400 cm2)(35 cm)
= 14,000 cm3
AT = 2,049 cm2 + 2  ( 28.3 )(14.13 ) 


2
AT = 2049 cm2 + 399.88 cm2
R: El volumen es 14,000 cm3
Ejemplo 3
AT = 2,448.88 cm2
Observa
Recuerda que el área de un triangulo es igual a:
bh
2
Volumen de un prisma
Calcula el volumen de un depósito de agua que tiene
forma de prisma rectangular de 5 m de altura. Las aristas
de la base miden 4 y 3 m, respectivamente.
Solución:
Como la base es un rectángulo, entonces tienes:
V = B.h = (4 m)(3 m)(5 m) = 60 m3
R: El volumen del depósito de agua es 60 m3
Ejemplo 2
Un hojalatero construyó un depósito para usarlo
como papelera, que tiene la forma de prisma con base
cuadrada cuyo lados miden 20 cm y la altura del prisma
mide 35 cms.
Actividad
1
a)Encuentra el área total de una caja que contiene zapatos,
cuyas dimensiones son: su base es de 20 por 14 cm y su altura
de 30 cm.
35 cm
20 cm
20 cm
b)Encuentra el área de un depósito que tiene la forma de
prisma pentagonal cuya área de su base es igual a 105 cm2 y el
perímetro 35 cm y con una altura de 23 cm.
c)¿Qué cantidad de papel se necesita para forrar una caja de
forma de prisma cuadrangular sabiendo que su base es
cuadrada de 8 cm por lado y una altura de 18 cm?
¿Cómo encuentras su volumen?
UNIDAD 4
Pirámide regular hasta seis lados
Ejemplo 4
A un niño de segundo ciclo le han dejado de tarea que arme una pirámide pentagonal
y quiere saber que cantidad de cartulina utilizará ,si lo hará de 10 cm de altura y su base
mide de lado 4 cm y apotema 5 cm, ayúdale a calcular la cantidad de papel.
Observa la figura, notarás que sus caras laterales
son triángulos y su base un pentágono.
Solución:
bh
Para calcular su área total, primero calculas el área de cada cara, A = luego esto lo
2
multiplica por n lados según el número de lados que posea la base:
AL= n
bh ( nb )( h )
es decir, el perímetro por la altura entre dos.
=
2
2
ph luego, para encontrar el área total le sumas el área de la base.
2
ph
AT =
+ B, donde B es el área de la base.
2
AL =
La fórmula general del área de la superficie de una pirámide.
ph bh
+ (fórmula para una pirámide de base triangular).
2 2
AT = ph + l2 (fórmula para una pirámide de base cuadrada).
2
ph 5(l )apotema
AT =
(fórmula para una pirámide de base pentagonal).
+
2
2
ph 6(l )apotema
+
AT =
(fórmula para una pirámide de base hexagonal).
2
2
AT =
Ahora puedes ayudarle al niño a calcular la cantidad de papel. La fórmula que debes
usar es la siguiente:
ph 5(l )apotema
AT = +
2
2
Sustituyes los datos que te dan:
(20 cm)(10 cm) 5( 4 cm)(5 cm) 200 cm 2 100 cm 2
AT =
+
=
+
=
2
2
2
2
= 100 cm2 + 50 cm2 = 150 cm2
R: La cantidad de papel a utilizar es 150 cm 2 .
UNIDAD 4
Volumen de una pirámide
Observa la siguiente figura. Identifica sus partes:
Aristas laterales
Ejemplo 6
Altura
Vértice de la base
Base
Aristas básicas
Ejemplo 5
Encuentra el área de una pirámide triangular cuya base
es un triángulo equilátero de 5 cm por lado y altura
6 cm y a = 10 cm.
Solución:
Primero encuentras el área lateral.
AL =
ph
2
AL = (15 cm)(10 cm) (15 cm por el perímetro de la
2
base y 10 cm la altura de las caras que es el apotema)
AL= 75 cm2
ph bh
Encuentra el volumen de una pirámide pentagonal si se
sabe que los lados de la base son de 8 cm y apotema 7 cm
y la altura de la pirámide 20 cm.
El volumen de una pirámide es un tercio del producto
del área de la base por la altura de la pirámide.
V = 1 B .h donde B es el área de la base de la pirámide y
3
h la altura de la pirámide.
En este caso:
Para encontrar el área de un pentágono, tienes que
calcular su perímetro, que este caso es: 5 (8cm) = 40 cm
pa ( 40cm)(7cm)
Luego el área A = =
= 140cm 2
2
2
Ahora, efectúas el cálculo del volumen:
1
3
V = Bh sustituyendo los valores
1
2 ,800 cm 3
2
V = (140 cm )(20 cm) =
= 933.3 cm3
3
3
Luego calcula el área total AT =
+ sustituye los
2
2
datos en la fórmula:
AT =
(5cm)(6 cm)
ph bh
= 75 cm2 + 15 cm2 + = 75cm2 +
2
2 2
= 90 cm2
R: El área total es 90 cm2 .
Observa
La apotema es la altura de las caras en una pirámide.
Punto de apoyo
Recuerda que el área de un polígono regular es el
producto del perímetro por la apotema dividido
entre dos.
2
Actividad
a)Encuentra el volumen de un prisma pentagonal cuya área de su
base es igual 10.5 cm2 y con una altura de 23 cm.
b)Calcula el área de una pirámide triangular sabiendo que los lados
de su base son de 8 cm y una altura de 7 cm con apotema de
2 cm.
c) La pirámide de Keops, en Egipto, tiene una base cuadrada de 230
m de lado, y una altura de 146.60 m. Encuentra el volumen de la
pirámide de Keops.
UNIDAD 4
El cilindro circular recto
¿Cómo encuentras la cantidad de lámina que se utilizará
para construir un granero de forma cilíndrica cuyas
bases tendrán 2 m de radio y una altura de 3 m?
Recuerda, ¿qué es un cilindro?
Dibuja un rectángulo en cartulina, recórtalo y hazlo
girar sobre uno de sus lados, observa la figura que
se forma.
Ejemplo 7
Retomamos la situación que está al inicio y damos
solución.
Solución:
Para conocer la cantidad de lámina debes encontrar el
área del granero que tiene forma cilíndrica, es decir:
AL = 2 π r.h donde 2 π r. es la base del rectángulo.
r
Luego las bases del cilindro son 2 circunferencias cuyas
áreas son 2πr2
h
Entonces el área total lo encuentra sumando las áreas
laterales:
El cilindro circular recto es el cuerpo geométrico
engendrado por la revolución de un rectángulo
alrededor de uno de sus lados.
AT = 2πr.h + 2πr2
AT = 2πr(h + r)
En este caso:
AT = 2 π r(h + r) conoces que el radio es 2 m. y la altura
h = 3 m luego sustituyes
Área de un cilindro recto
Observa que el área lateral de un cilindro es equivalente
al área del rectángulo.
AT = 2(3.14) (2 m) [(3 m + 2 m)]
= (12.56 m)(5 m) = 62.8 m2
r
R: Se necesitan 62.8 m2 de lámina para la construcción
del granero.
h
Ejemplo 8
Encuentra el área lateral de una lata de conservas de
forma cilíndrica sabiendo que el diámetro de la base es
de 10 cm. y su altura 20 cm.
r
El área lateral de un cilindro coincide
con la del rectangulo del desarrollo.
A LATERAL = 2πrh
2πr
h
r
Solución:
El diámetro es 10 cm lo que implica que el radio es igual
a 5 cm y altura igual a 20 cm.
AL = 2 π r.h al sustituir los datos tienes
AL = 2 π r.h = 2( 3.14)(5 cm)(20 cm) = 628 cm2
El área total del cilindro se obtiene sumando a la lateral
el doble del área del circulo de la base: 2πr2
R: El área lateral mide 628 cm2
UNIDAD 4
Volumen de un cilindro
Ejemplo 9
Encuentra la cantidad de agua que almacena en su totalidad un tanque cilíndrico, de
agua potable cuyas dimensiones son: radio de la base 5 m y altura de 7 m.
Solución:
El volumen del cilindro como en el caso del prisma es el área de la base por la altura.
Como la base de un cilindro es un círculo su volumen es:
V = (πr2) h, donde πr2 = B
Luego V = Bh
Ahora sustituye los valores:
V = Bh
V = (3.14)(5 m)2(7 m) = (3.14)(25 m2)(7 m) V = 549.5m3
R: El tanque almacena en su totalidad 549.5 m3 de agua.
3
Actividad
a) Cuál será la cantidad de pintura en cm3 que almacena una cubeta de forma cilíndrica de 30 cm de
diámetro y 50 cm de altura.
b) Calcula la cantidad de aluminio que se empleará en la construcción de un envase de refresco de
forma cilíndrica si las dimensiones serán diámetro igual 14 cm y una altura de 20 cm.
Resumen
Cuerpo
Prisma: cuerpo geométrico que posee dos
caras poligonales iguales y paralelas llamadas
bases. Las demás caras se llaman caras laterales
formadas por paralelogramos.
Pirámide: cuerpo geométrico cuyas caras
laterales son triángulos y su base un polígono.
El cilindro circular recto es el cuerpo
geométrico generado por la revolución de un
rectángulo alrededor de uno de sus lados.
Área
AL = p × h
AT= AL + 2B
p .h + B
A L = p .h
AT =
2
2
AL = 2 π r.h
AT = 2 π r.h + 2 π r2
= 2 π r (h + r)
Volumen
V = B .h
B: área de la base
1
V = B .h B: área de la base
3
V = ( π r2) h = Bh
B: área de la base.
UNIDAD 4
Autocomprobación
Un recipiente cilíndrico contiene melocotón en
almíbar, si las dimensiones son 5 cm de radio y
12cm de altura, la cantidad de material utilizado
para elaborar el recipiente es:
3
a) 960 cm3
a) 534.07cm
2
b) 2,880 cm3
b) 106.81 cm2
c) 5,760 cm3
c) 377 cm
2
d) 1,920 cm3
d) 942.48 cm
2
Fórmula para encontrar el área total de una
pirámide regular:
a) p.h
b) A L + 2B
p .h
c)
2
p .h + B
d)
2
3. b.
4
El área lateral de una caja con base cuadrada de
20 cm de lado y altura de 15 cm es:
a) 300 cm2
b) 600 cm2
c) 1,200 cm2
d) 2,000 cm2
2. b.
2
El volumen de un prisma hexagonal que tiene de
altura 20 cm. El lado de la base mide 6 cm y su
apotema 8 cm es:
1. a.
Soluciones
1
4. c.
LAS PIRAMIDES DE EGIPTO
Las pirámides de Egipto son de todos los
vestigios que nos legaron los egipcios
de la antigüedad, los más portentosos y
emblemáticos monumentos de esta civilización,
y en particular, las tres grandes pirámides
de Giza.
Las pirámides muestran, para su época, el
gran conocimiento de los técnicos egipcios y
la capacidad organizativa necesaria para erigir
tales monumentos con medios
muy simples.
Solucionario
Lección 1
Actividad 1
a) a3b2
c) 30x2y2
e) 60m2n3
b) 12x4y3z2
d) 18x4y
f) 168m3n3
a) (2a – 3b) (2a − 3b)2
c) (x + y)3
e) 6a2(a + 1)(a – 1)
b) x (x2 – 25) (x − 3)
d) (a + 6) (a– 5) (a – 3)
Actividad 2
(x2 − xy + y2)
f) x2 (x2 − 4)
Actividad 3
a) 3a2b3
b) 4m2 c) 6b2
d) 6xyz
e) 7a2b3 c 4
f) 14m2n
b) a(a – 3) c) 2a + b
d) 5x e) x(x + 2)
Actividad 4
a) x(x – 1)
Lección 2
Actividad 1
a)
1
3( x − y )
b)
a+4
a −2
c)
2x
3y
d)
x+ y
x + xy + y 2
e)
2
3 xy
x −5
f)
n ( n − 1)
n −6
Actividad 2
a) 0
b) – 1 c) – 4
d) 9
e) 0
f) 3
Actividad 3
6a 3 y
a)
mx
2x 4
b)
7ay 3
Lección 3
x 2 − 2 xy
x 2 + 4 xy + 4 y 2
3
d) b
c)
Actividad 1
a)
3
5bx 2
b)
an
m2
c)
3a 2 m 2 x
2 y2
d)
3b
5a + 15b
e)
n
m − 2mn + n 2
2
f) 1
e)
x +1
5x
f)
a +7
2a + 10
Solucionario
Actividad 2
−3a 2 + 7ab − 8b 2
24 x 3 + 30 x 2 − 18 x + 10
c)
60ab
45 x 3
19 x 2 + 15 x + 5
11a
d)
b)
2
15 x
12
a)
Actividad 3
a −8
8
4 m − 3n
b)
6 m 2n 2
a)
Actividad 4
a) x2 + x + 1
3a + 8
8a
5b 2 + 3a
d)
a 2b
c)
b) 2
c)
Lección 4
x+ y
y
1
m
b 3 + 3ab 2 − a 2
f)
a 2b 3
e)
3a 2b 2 + 6 ab 2 − 20
15a 2b 3
6 y 2 + 3 xy − 5 x 2
f)
120 xy
e)
d)
x +3
x −5
Actividad 1
a) 1,017.88 cm2 b) 1,520.53 cm 2 c) 5 cm d) 3 cm e) 904.78 cm3
Actividad 2
a) 37.7 cm2
b) 690.80 cm 2
c) 404.6 cm2
b) 497.5 cm3
c) 37.68 cm3
b) 1,015 cm2
c) 704 cm2
b) 172 cm2
c) 437.5 cm2 Actividad 3
a) 25.13 cm3
Lección 5
Actividad 1
a) 2,600 cm2
Actividad 2
a) 241.5 cm3
Actividad 3
a) 35325 cm3
b) 1186.92 cm2
d) Aproximadamente 2,585,047 m3
Proyecto
Una empresa dispone de dos tipos de recipientes para recolectar desechos reciclables
y desea escoger el mejor de ambos.
Uno tiene forma cilíndrica de 1.2 m de altura y su base de 50 cm de radio.
Otro de forma de un prisma pentagonal de 1.4 m de altura y cuya base tiene las
siguientes dimensiones: lado = 50 cm y apotema = 40 cm.
a) Encuentra la capacidad de cada uno de los contenedores.
b) ¿Cuál le recomendarías a la empresa para recoger la mayor cantidad de desechos?
UNIDAD 4
Recursos
Ángel, Allen R, Álgebra elemental. Editorial Prentice Hall, 4ª Edición,
México 1997, 600p.
Aponte Gladis, Pagán Estela, Fundamentos de Matemática Básica, Editorial
Addison Wesley, 1ª Edición. México 1998, 482p.
Carpinteyro Vigil Eduardo, Sánchez Hernández Rubén, Álgebra,
Publicaciones Cultural, 1ª Edición, México 2002 622p.
Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática II, Geometría y Trigonometría,
Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición, México 1995, 179p.
Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática I, Aritmética y Álgebra, Editorial
McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1994, 281p
Mendoza William y Galo de Navarro Gloria, Matemática 8º grado, UCA
Editores, 2ª edición. San Salvador, El salvador, 2003, 419p
Ormaechea , Luís María, Álgebra, UCA Editores, 1ª Edición, San Salvador,
El Salvador, 1996. 378p.
Rees Paul K, Sparks Fred W, Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición.
México 1991, 626p.

Matematicas octavo4 - biblioteca virtual de matematicas unicaes

Transcripción

Documentos relacionados

Operaciones Combinadas 3

Prefacio El presente volumen contiene exclusivamente