TEMA 3 – DETERMINANTES

Transcripción

Tema 3 – Determinantes – Matemáticas II – 2º Bachillerato
1
TEMA 3 – DETERMINANTES
a)
EJERCICIO 1 : Calcula el valor de los siguientes determinantes:
1− x
1
1
1− x
1
0
1
1− x
0
b)
−2 3 0
2
0 1 −1
−3 3 2 2
4
1
Solución:
a) 1 − x
1
0
[
−5 0
1
]
1
0
1− x
1 = (1 − x )3 − (1 − x ) − (1 − x ) = (1 − x )3 − 2(1 − x ) = (1 − x )(1 − x )2 − 2 =
1 1− x
[
]
)
(
= (1 − x ) 1 − 2x + x 2 − 2 = (1 − x ) x 2 − 2x − 1 = − x 3 + 3x 2 − x − 1
FILAS
b)
−2 3
4
0
2
0
1 −1
−3
3
2
2
−5 0
1
−5
13
1
1
a
2 +4
a
=
a
3 −2⋅4
a
4
4
−2 3 0
3
−5 1 0
−5
a
a
13
2 0
(=1)
−2 3
3
−5 1 =
−5
−5 0 1
1
4
13
2
FILAS
1 − 3⋅ 2
a
=
2
a
a
3 −2⋅2
a
(2 )
−5 1 = −
3
a
0
− 11
23
0
−5
13
− 11 23
(1) Desarrollamos por la 4
a
= −(− 115 + 143) = −28
(2 ) Desarrollamos por la 3
columna.
a
columna.
EJERCICIO 2 : Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado a), calcula, además, los posibles valores de t
a) 1 1 1 − t
b) 2 − 1 3 4
1
t
0
1
1
2
5
2
4
t
−1
4
0
3
1
3
3
1
para que el determinante sea cero:
Solución:
1 1 1− t
a) Calculamos el valor del determinante: 1
t
0
2 4
t
= t 2 + 4(1 − t ) − 2t (1 − t ) − t = t 2 + 4 − 4t − 2 t + 2 t 2 − t = 3t 2 − 7 t + 4
Veamos para que valores de t se anula el determinante: 3t 2 − 7 t + 4 = 0
El determinante vale cero cuando t =
→
t=
7 ± 49 − 48 7 ± 1
=
6
6

t =



t =

8 4
=
6 3
6
=1
6
4
y cuando t = 1.
3
FILAS
b)
2 −1
1
1
−1 4
1
3
3
2
0
3
4 1a − 2 ⋅ 4 a
a
a
5
2 −4
= a
a
3
3 +4
a
1
4
0 −7 −3 2
−7 −3 2
0
0 6
− 2 −1
0 − 2 − 1 4 (1)
= −6(− 6 + 7 ) = −6
(2 )
(3) − 6
= − − 2 −1 4 = − − 2 −1 4 =
7
3
0 7
3 4
7
3 4
7
3 4
1 3
3 1
a
columna.
(2)
Sumamos a la 1a fila la 3 a.
x 1 3
EJERCICIO 3 : a) Resuelve la ecuación: 1 x 2 = 0
1 x 3
Solución:
1
2
b) Calcula el valor del determinante:
3
1
a
fila.
2 −1 0
3 1 −1
1 1
2
2 0
3
2
a) Desarrollamos el determinante y lo igualamos a cero:
FILAS
x
1
1 3
x 2 =
1
x 3
1
2
a
x
1
1 3
x
x 2 =
1
0 0 1
a
3 −2
a
a
1
x
= x 2 −1 = 0
x2 =1 →
→
x = ±1
⇒ Hay dos soluciones: x1 = −1, x 2 = 1
FILAS
b)
1 2 −1
0
1 +3
2 3
1
−1
2 −3
3 1
1
2
1 2
0
3
a
a
=
a
4
3 0
2
−1 2 0 − 3
a
3
a
3
1 1
2
4
a
1
2 0
3
(=1)
4
1
(1) Desarrollamos por la 3a columna.
3
2
(2 )
4 3 2
(3)
−1 2 − 3 = 0 4 0 =
2
3
4
4 2
1 3
= 4(12 − 2) = 4 ⋅10 = 40
1 2 3
(2) Sumamos la 3a fila a la 2a.
(3) Desarrollamos por la 2a fila.
EJERCICIO 4 : Hallar los valores de t que anulan el primer determinante, y calcula cuánto vale el segundo determinante:
t 2 2
a)
b) − 2 1 − 2 1
2 t 0
0
2
3 1
1
t
−1 3
4 −2
t
0
2
1 0
Solución:
a) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el resultado:
t 2 2
t = 0
2 t 0 = t 3 + 4 t − 2t − 4t = t 3 − 2 t = t t 2 − 2 = 0 → →  2
t − 2 = 0
1 t t
(
Hay tres soluciones: t 1 = 0 ; t 2 = − 2 ;
)
→
t2 = 2
→
t=± 2
t3 = 2
FILAS
−2 1 −2
0
2
3
−1 3
0
4 −2 1
b)
a
1
−2 1 −2
1
a
a
1
2
1
5
2 −1
= a
a
2 3 − 2 ⋅1 3
1
4
a
0
4
−
2
1
4
1
2 1 5
0 (1)
=− 3 1 4 =
0
4 −2 1
0
FILAS
1
a
2 −1
a
=
a
3 + 2 ⋅1
a
a
2 1 5
(2) 1 − 1 = 11 + 8 = 19
− 1 0 −1 =
8 11
8 0 11
a
columna.
a
columna.
EJERCICIO 5 : Resuelve la ecuación propuesta en a) y calcula el valor del determinante propuesto en b):
a) a a 1
b) − 2 1 0
3
1
a =0
1
1
0 −1 1
0
2
1
−1 1 1
4
3 1 −1 − 2
Solución:
a) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el
COLUMNAS
resultado:
a
1
a
1
a
1
1
a
a
a = 2 − 1a 1
0 −1 1
3
1
(1) a 1 = a 2 − 1 = 0
a =
1 a
0 −1 1
a
0
0
⇒ Hay dos soluciones: a 1 = −1 ; a 2 = 1
→ a = ±1
(1) Desarrollamos por la 2 a columna.
FILAS
b)
−2
1
−1
3
1
0
3
0
2
1
1
1
4
1 −1 − 2
1
=
2
a
a
3 −1
a
4 −1
a
a
a
−2
1
1
5
1
0
0
2
1
0
1
1
0 −1 − 5
1 −2
a
3
(=1) −
1
2
1
1
1
1
5 −1 − 5
=
2
3
a
a
a
0
1
0
(2 ) 1 1 = −5 − 5 = −10
− 1 1
1 =
5 −5
5 −1 − 5
a
a
columna.
x
x
EJERCICIO 6 : Desarrolla el siguiente determinante:
x
x
Solución:
x x x x
x
0
0
0
1− x − x
x 1 0 x (1) x 1 − x − x
0 ( 2)
=
= x −x
0
x 0 x 1
x −x
0 1− x
0 1− x
x x 1 0
x
0 1− x − x
x.(2x3 – 3x2 + 3x – 1)
(1) Restamos la 1a columna a las demás.
x
1
0
x
x
0
x
1
0
1 3 −2
−1 1 2
3 2 4
2 0
0 −2
1 1
fila.
x
x
1
0
[
] [
]
1 − x = x x 3 − (1 − x )3 = x. x 3 − (1 − 3x + 3x 2 − x 3 ) =
−x
(2) Desarrollamos por la 1a fila.
EJERCICIO 7 : Halla el valor de los siguientes determinantes:
a)
b)
−1 2 0 3
1 2 −3
2
5
1
3
1
1
2
c)
2 −1 1 −1
1 2
2 −2
0 3
1
1
2 −1 −1 0
1
−3
1
−1
Solución:
Filas
−1 2
1
a) 2
5 −1
1
3
0 3
3 −2
=
1 2
2 4
1
a
2 −3 · 3
a
3
a
a
4 −2 · 3
a
a
−1 2
− 13 4
5
−1
−9 5
0 3
−1 2 3
0 − 8 (1)
= − 13 4 − 8 = 17
1 2
−9 5 0
0 0
Filas
1
2
b) 2 0
0 −2
1
1
−3 1
1 −3
=
1
1
2 −1
a
1
2 −2 · 1
a
3
a
a
4 −1
a
a
1 2 −3 1
−4 7 −5
0 − 4 7 − 5 (1)
= − 2 1 1 = 38
0 −2 1
1
−1 5 − 2
0 −1 5 − 2
Filas
2 −1 1 −1
2 −2
c) 1 2
=
0 3
1
1
2 −1 −1 0
1 −2 · 2
a
2
3
a
4 −2 · 2
a
a
a
a
0 −5 −3 3
−5 −3 3
1 2
2 − 2 (1)
=− 3
1 1 = −(− 24) = 24
0 3
1
1
−5 −5 4
0 −5 −5 4
1
x
EJERCICIO 8 : Calcula, en función de x, el valor de este determinante:
x
x
Solución:
1 x x x
1 + 3x x x x
1 x x x
x 1 x x
1 + 3x 1 x x (1)
1 1 x x
=
= (1 + 3x )
=
x x 1 x
1 + 3x x 1 x
1 x 1 x
x x x 1
1 + 3x x x 1
1 x x 1
x
1
x
x
x x
x x
1 x
x 1
Da el resultado factorizado.
4
Filas
1
a
2 −1
a
3 −1
a
4 −1
a
a
=
a
a
1
x
x
x
1− x
0
0
0 1− x
0
0 ( 2)
(1 + 3x )
= (1 + 3x ) 0 1 − x
0 = (1 + 3x ) (1 − x )3
0
0 1− x
0
0
0 1− x
0
0
0 1− x
(1) Sacamos (1  3x) factor común de la 1a columna.
a a
a b
EJERCICIO 9 :Demuestra que: a)
a b
a b
Solución:
a a a a
a
a
a
a
a b b b (1) 0 b − a b − a b − a
a)
=
a b c c
0 b−a c−a c−a
a b c d
0 b−a c−a d−a
(=3) a (b − a )
a
b
c
c
a
b
= a(b − a ) ⋅ (c − b ) ⋅ (d − c )
c
d
(=2 ) a
b−a b−a b−a
(3)
b−a
c−a
c−a =
b−a
c−a
d−a
1 b−a b−a
1 b−a b−a
(
(5)
4)
1 c − a c − a = a (b − a ) 0 c − b c − b = a (b - a )(c − b )(d − c )
1 c−a d−a
0
0
d−c
(1) Restamos la 1 fila a las otras tres.
(4 ) Restamos a la 3 fila la 2 y a la 2
(3) Sacamos (b − a ) factor común.
(5) Es el determinante de una matriz triangular.
a
a
a
a−b−c
2a
2a
2b
b−c−a
2b
2c
2c
c−a −b
b)
a−b−c
2a
2a
b)
2b
b−c−a
2b
= (a + b + c )3
2c
2c
c−a−b
(=1)
a
la 1a .
a+b+c a+b+c a+b+c
2b
b−c−a
2b
2c
2c
c−a−b
=
COLUMNAS
(=2 ) (a + b + c)
1
1
2b b − c − a
2c
1
2b
1
=2
c−a−b
2c
a
a
−1
3 −1
a
a
(a + b + c )
a
1
0
2b − a − b − c
2c
0
0
(=3)
−a−b−c
0
(=3) (a + b + c)(− a − b − c )(− a − b − c) = (a + b + c )3
(1) Sumamos a la 1
a
fila las otras dos.
(2 ) Sacamos (a + b + c ) factor común. (3) Es el determinante de una matriz triangular.
x
a
EJERCICIO 10 : Calcula el valor de este determinante:
a
a
Solución:
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
(=1)
(1) Sumamos a la 1
a
a
x
a
a
a
a
x
FILAS
x + 3a
a
a
a
x + 3a
x
a
a
x + 3a
a
x
a
x + 3a
a
a
x
a
a
x
a
a
(=2 ) (x + 3a )
columna las otras tres.
1 a
a
a
1 x
a
a
1 a
x
a
1 a
a
x
1
=
2
3
4
a
1
a
−1
a
a
−1
a
a
− 1a
(x + 3a )
a
0 x −a
a
a
0
0
= (x + 3a ) ⋅ (x − a )3
0
0
x−a
0
0
0
0
x −a
(2 ) Sacamos (x + 3a ) factor común. (3) Es el determinante de una matriz triangular.
a
1
EJERCICIO 11 : Calcula el valor de este determinante, dando el resultado factorizado:
0
1
1
a
1
0
0
1
a
1
1
0
1
a
Solución:
a 1 0 1
a+2 1 0 1
(=1)
1 a 1 0
0 1 a 1
a+2 a 1 0
a+2 1 a 1
1 1 0 1
(=2 ) (a + 2)
a+2 0 1 a
1 0 1 a
1 a 1 0
1 1 a 1
1
(=3) (a + 2)
1 0 1 a
5
0
0
1 a −1 1
1
0
1
−1
a
0
−1
0
(=4)
1 a −1
a −1 1 −1
a −1 −1
(5)
0
a
0 = (a + 2) a
= (a + 2) a (a − 1)2 − 1 = (a + 2) a a 2 − 2a = (a + 2) a 2 (a − 2 ) = a 2 (a + 2)(a − 2 )
−1 a −1
−1 1 a −1
[
(=4 ) (a + 2)
(1) Sumamos a la 1 columna las demás.
(4 ) Desarrollamos por la 1 fila.
a
a
]
(
(2 ) Sacamos (a + 2 ) factor común.
(5) Desarrollamos por la 2 fila.
)
(3) Restamos la 1
a
columna a la 2 a y a la 4 a .
a
a −a −1 −1
1 a
1
1
EJERCICIO 12 : Halla en función de a, el valor de este determinante:
1 1
a
0
0 −1 −1 a
Solución:
FILAS
a − a −1 −1
1
a
1
1
1
1
a
0
0
−1 −1
a
a
1
1
a
(=2 ) (a + 1)
1
=
2
1
a
a
+1
3
a
4
a
− a −1 −1
− a −1 −1
a +1 0
0
0 (1)
(
)
= − a +1 1
a
0 =
1
1
a
0
−1 −1 a
0
−1 −1 a
a
a
(
)
(
)
0 = (a + 1) a 3 − 1 + a − a = (a + 1) a 3 − 1
−1 −1 a
(1) Desarrollamos por la 2 a fila.
(2 ) Sacamos
− 1 factor común.
EJERCICIO 13 : Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:
2x
2y
2z
a) x y z
b) 3x 3a 3p
x y z
a
b
c
a b c =
+p
+q
+r
3y 3b 3q = 3 a b c
2
2
2
p q r
3z 3c 3r
p q r
p
q
r
Solución:
FILAS
a)
2x
2y
a
+p
2
p
b
+q
2
q
b)
a
2z
2 x 2 y 2z
1
x y z
x y z
c
a
b c
1
a
a
+r =2 −3
= 2⋅ a b c = a b c
2
2
2 2
2
a
3
p q r
p q r
r
p q
r
Falsa, ya que:
Por tanto, es verdadera la igualdad.
3x 3a 3p
x a p
x y z
x y z
3
3
3y 3b 3q = 3 y b q = 3 a b c ≠ 3 a b c
3z 3c 3r
z c r
p q r
p q r
EJERCICIO 14 :
a) Justifica cuáles de las siguientes igualdades son correctas y cuales no:
αa b
a b
αa b
a b
αa αb
a b
=α
;
= α2
;
= α2
c d
c αd
c d
c d
αc d
αc αd
b) Si
a b
c d
Solución:
a) αa b
αc d
= 3, calcula el valor de los siguientes determinan tes :
= αad − αbc = α (ad − bc ) = α
a b
c d
→
a
c
b d
VERDADERA
;
2a + 2b b
2c + 2d d
αa
b
c
αd
αa α b
αc αd
b)
a
c
b d
=
= α 2 ad − bc ≠ α 2
a b
= α 2 (ad − bc ) →
c d
= α 2 ad − α 2 bc = α 2 (ad − bc ) = α 2
a b
2c + 2d d
=
FALSA
→
c d
VERDADERA
=3
c d
2a + 2b b
a b
6
2a b
2c d
+
2b b
2d d
(=1) 2
a b
c d
+ 0 = 2⋅3= 6
(1) El segundo determinante es 0 por tener las dos columnas proporcionales.
EJERCICIO 15 : Indica, razonando tus respuestas, si son ciertas o no las siguientes igualdades:
a)
2 2 2
1
1
1
b)
1
a
1 a2
x y z = 2x
2y
2z
a b c
a+ 2 b+ 2 c+ 2
1 a3
a2
a3 = 0
a4
Solución:
a) La 1a fila la hemos multiplicado por 2 y la 2 a por
1
. A la 3 a le hemos sumado la 1a .
2
2 2 2
1
1
1
1
Por tanto: x y z = ⋅ 2 2x
2y
2z . La igualdad es cierta.
2
a b c
a+2 b+2 c+2
b) Observamos que la 2a y la 3a columna son proporcionales, puesto que la 3a la obtenemos multiplicando la 2a por a. Por tanto, el
determinante es cero.
La igualdad es cierta.
EJERCICIO 16 :
a) Si A y B son dos matrices 2 × 2, tales que A = 2 y B = −4, calcula, justificando la respuesta:
A2 ;
b) Si
a b
c d
− A;
AB t ;
2A ;
= −2, calcula
(Bt representa la traspuesta de la matriz B)
A −1
Bt A ;
2a + b − b
.
2c + d − d
Solución
a) Vamos a tener en cuenta estas tres igualdades:
Consideramos A y B dos matrices 2×2.
1) A ⋅ B = A ⋅ B ; 2) k ⋅ A = k 2 ⋅ A ; 3) A t = A
Por tanto:
2
• A 2 = A ⋅ A = A ⋅ A = A = 22 = 4
• − A = (− 1) ⋅ A = (− 1) ⋅ A = 1⋅ A = A = 2
2
• 2A = 22 ⋅ A = 4 ⋅ A = 4 ⋅ 2 = 8
• A ⋅ B t = A ⋅ B t = A ⋅ B = 2 ⋅ (− 4 ) = −8
• B t ⋅ A = B t ⋅ A = B ⋅ A = (− 4 ) ⋅ 2 = −8
•
Para hallar A −1 , vamos a tener en cuenta que A ⋅ A −1 = I; y que existe A −1 , puesto que A = 2 ≠ 0. Así:
A ⋅ A −1 = I
→
A ⋅ A −1 = 1
→
A −1 =
1
1
=
A 2
b) Sumamos a la 1ª columna la 2ª y sacamos 2 y (–1) factor común:
2a + b − b
2a − b
a b
=
= (− 2) ⋅
= (− 2) ⋅ (− 2) = 4
2c + d − d
2c − d
c d
a b c
EJERCICIO 17 : Sabiendo que x y z = 4, halla el valor de los siguientes determinan tes :
p q r
a)
x−a y−b z−c
2p
2q
2r
x
y
z
7
a x 3p + x
b y 3q + y
c z 3r + z
b)
Solución:
a) Restando a la 1a fila la 3 a y sacamos (− 2) factor común :
x−a
2p
x
y−b z−c
−a −b −c
a b c
a b c
(
*)
2q
2r = 2p 2q 2r = −2 p q r = (− 2) ⋅ (− 1) x y z = 2 ⋅ 4 = 8
y
z
x
y
z
x y z
p q r
(*) Al permutar la 2
a
y 3 a filas de orden, el determinante cambia de signo.
b) Restamos a la 3 a columna la 2 a , y sacamos 3 factor común :
a
x 3p + x
a
x 3p
a
x p
b y 3q + y = b y 3q = 3 b y q
c
z
3r + z
c
z
3r
c
z
a
(*=)3 x
r
b c
y z = 3 ⋅ 4 = 12
p q
r
(*) Tenemos en cuenta que el determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.
EJERCICIO 18 : Calcula el rango de las matrices:
 1

4
2
3 
 2 −1 3


−1
a) A =  1
0 −1 3
1 − 1
b) M = 
0
 3

2
1 −1 2
4 

 3

− 1 5
2 3
 2



1
−
2
3
1


−1
d) A = 
e) M = 

1 12 − 11 7
0



0 7


− 7 3

 5
−1
2
1
−4
2
3
0
1
2
3 
 2 −1 3


1 −1 1 
−1 2
c) M = 
0 −1 3
0
3 


 1
4 − 1 1 − 1 

0

2
3

1 
3 −1 2 

1 1
2 
3 4 − 1

5 − 3 2 
Solución:
a) Tomamos un menor de orden 2 no nulo:
2 −1
1
0
=1≠ 0
Por tanto, ran (A) ≥ 2. Las dos primeras líneas son linealmente independientes.
Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:
3
2 −1
1 0 − 1 = 14 ≠ 0 → Las tres filas son linealmemente independientes. Luego, ran (A) = 3.
3
2
1
 1 −1

 −1 2
b) M = 
0 1
 3 −4

2 0 
3 2 

0 3 
1 1 
2
0
3
2
Tomamos un menor no nulo de orden 2:
= 4 ≠ 0 → ran (M ) ≥ 2 Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Veamos si la 3 a fila depende linealmente de las dos primeras:
1
−1
2 0
3 2 =3
1
2
−1 3
= 15 ≠ 0
Las tres primeras filas son
→ linealment
e independientes
→
ran (M ) ≥ 3
0 0 3
Comprobamos si el determinante de M es distinto de cero o no:
1 −1 2 0
1 −1 2 3
1 2 3
− 1 2 3 2 (1) − 1 2 3 − 4 (2 )
M =
=
= − 1 − 1 3 − 4 = −15 ≠ 0
0
1 0 3
0
1 0 0
3 1 13
3 −4 1 1
3 − 4 1 13
(1) Restamos a la 4
8
a
columna, la 2 a multiplicada por 3.
Por tanto, ran (M) = 4
a
fila.
c)
Observamos que la 4 a columna coincide con la 1a y que la 5 a es igual que la 3 a .
Por tanto, podemos prescindir de las dos últimas columnas para calcular el rango de M. Así, ran (M) ≤ 3.
2 −1
Tomamos un menor de orden 2 no nulo:
=3≠0
−1 2
Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
2 −1 3
Veamos si la 3 a fila depende linealmente de las dos primeras: − 1
0
2 1 = 14 ≠ 0 →
−1 3
2 3
= −7 ≠ 0
1 −2
d) Tomamos un menor de orden 2 no nulo :
Luego, ran (A) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
−1
2 3
3 = 0 (pues, si restamos la 1a columna menos la 2 a , obtenemos la 3 a )
1 −2
− 11
1 12
2 3 5
1 − 2 1 = 0. Así, la 3 a fila es combinación lineal de las dos primeras.
1 12 7
Comprobamos si la cuarta fila depende linealmente de las dos primeras:
2 3 −1
2 3 5
1 − 2 3 = 0;
1 − 2 1 = 0 . También la cuarta fila depende de las dos primeras.
0 7 −7
0 7 3
Por tanto, ran (A) = 2.
2 3
e) Tomamos un menor de orden 2 no nulo:
=5≠0
−1 1
Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
2 3 −1
1 = 17 ≠ 0 → Las tres primeras filas son
−1 1
linealmente independientes → ran (M ) ≥ 3
0 3
4
Comprobamos si el determinante de M es distinto de cero o no:
COLUMNAS
2
M =
3 −1
2
1
−1 1
1
2
0
4
−1
3
5 5 −3 2
Por tanto, ran (M) = 3.
a
2
5
1
6
2 +1
a
−1
0
0
0
3 +1
a
0
3
4 −1
a
=
a
4 + 2 ⋅1
a
a
5
10 2 12
5
= 3
1
6
4 −1 = 0
10 2 12
ran (M ) = 3
9
EJERCICIO 19 : Estudia el rango de las siguientes matrices para los distintos valores de los parámetros:
1
3
0
0
4
2 
1
λ+1
a
 1
 1





a) M =  1
a
2
1
b) M =  0
c) A =  λ
t
4
0 
0
0





 2 2a 5
−1 3
 0
a 
t
− 2 
λ
2





d) M = 



1
2
3
1
t
3
1
8 − 3t
3


2 

− 2 
 1

e) A =  0

 4

1
0
−1
a
−3
1
a
1 

2 

0 
0 

0 

0 
Solución:
a) Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero:
3 0
2 1
=3≠ 0
Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes para cualquier valor de a.
Buscamos los valores de a que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 3a y 4a sea igual a cero:
a
(
)
3 0
4 ± 16 − 12 4 ± 2
1 2 1 = 2a 2 + 6 − 5a − 3a = 2a 2 − 8a + 6 = 2 a 2 − 4a + 3 = 0 → a 2 − 4a + 3 = 0 → a =
=
2
2
2 5 a
• Si a = 1 → Sabemos que la 1a columna depende linealmente de las dos últimas.
Veamos que ocurre con la 2 a columna:
1
3 0
1
a
2 1 = 0 → La 2 columna depende linealmente de las dos últimas.
2 5 1
• Si a = 3 → Sabemos que la 1a columna depende linealmente de las dos últimas.
Veamos que ocurre con la 2 a columna:
1
3
6
b)
3 0
2 1 = 8 ≠ 0. Por tanto, ran (M ) = 3
5 3
Observamos que la 4 a columna es el doble de la 1a . Luego, podemos prescindir de ella para obtener el rango.
1 4
=4≠0
Así, ran (M) ≥ 2.
0 4
Buscamos los valores de t que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:
1 0 4
− 4 ± 16 + 48 − 4 ± 8 t = 2
0 t 4 = t 2 + 4t − 12 = 0 → t =
=

2
2
t = −6
−1 3 t
Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero :
• Si t ≠ 2 y t ≠ −6
→
ran (M ) = 3
• Si t = 2 o t = −6 → La 2 a columna depende linealmente de la 1a y 3 a .
c)
 1
1
λ + 1 1 

A= λ
0
0
2 


 0
λ
2
0 


1 1
Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero :
=2≠0
Luego, ran (A) ≥ 2.
0 2
a = 3

a = 1
10
Buscamos los valores de λ que hacen cero el determinante formado por las columnas 2a, 3a y 4a:
1 λ +1 1
1 λ +1
−1 ± 1 + 8 −1± 3
0
0
2 = −2
= −2[2 − λ(λ + 1)] = −2 2 − λ2 − λ = = 2 ⋅ λ2 + λ − 2 = 0 → λ =
=
λ
2
2
2
λ
2
0
[
[
]
λ = 1

λ = −2
ran (A) = 3
• Si λ ≠ 1 y λ ≠ −2 →
• Si λ = 1 →
]
a
La 3 columna depende linealmente de la 2 a y 4 a . Veamos qué ocurre con la 1a columna:
1 1 1
1 0 2 = −1 ≠ 0
ran (A ) = 3
→
0 1 0
• Si λ = −2
→
La 3 a columna depende linealmente de la 2 a y 4 a . Veamos qué ocurre con la 1a columna :
1
1
1
−2
0
2 =8≠ 0
0
→
ran (A ) = 3
−2 0
Por tanto, ran (A) = 3 para cualquier valor de λ.
d)
Observamos que la 3 a columna es proporcional a la 1a (es su triple ); por tanto, podemos prescindir de ella para calcular el rango.
Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero:
1 1
1 2
=1≠ 0
Luego, ran (M) ≥ 2.
Buscamos los valores de t que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 2a y 4a sea cero:
1
2
1
1
t
2
= −2t + 8 − 3t + 4 − t − 2(8 − 3t ) + 4 = 0 para cualquier valor de t.
1 8 − 3t − 2
Por tanto, la 3 a fila depende linelmente de las dos primeras para cualquier valor de t . Así, ran (M) = 2.
e) Podemos prescindir de la 3 a columna, pues no influye en el rango.
1 0
=1≠ 0
Luego, ran (A) ≥ 2.
4 1
Buscamos los valores de a que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:
1 0 −1
− 4 ± 16 − 12 − 4 ± 2 a = −1
0 a − 3 = a 2 + 4a + 3 = 0 → a =
=

2
2
a = −3
4 1 a
Tomemos un menor de orden 2 distinto de cero:
• Si a ≠ −1 y a ≠ −3
→
• Si a = −1 o a = −3 →
ran (A ) = 3
La 2 a fila depende linealmente de las otras dos
→ ran (A) = 2
 5 −4 2 


EJERCICIO 20 : Dada la matriz A =  2 − 1 1  , comprueba que A 2 = 2A − I , siendo I la matriz identidad. Usando la
 − 4 4 − 1


4
fórmula anterior, calcula A .
Solución:
Comprobamos que A2 = 2A - I
11
 5 −4 2 


A 2 =  2 −1 1 
 − 4 4 − 1


 5 − 4 2  9 − 8 4  

 

 2 −1 1  =  4 − 3 2  
 − 4 4 1   − 8 8 − 3 

 


 Son iguales.

 10 − 8 4   1 0 0   9 − 8 4 

 
 

2A − I =  4 − 2 2  −  0 1 0  =  4 − 3 2 

 − 8 8 − 2   0 0 1   − 8 8 − 3 


 
 
Utilizando que A2 = 2A - I, calculamos A4:A4 = (A2)2 = (2A – I)2 = 4A2 – 4A + I = 4(2A – I) – 4A + I = 4A – 3I
 5 − 4 2   1 0 0   20 − 16 8   3 0 0   17 − 16 8 

 

 
 
 
Por tanto: A 4 = 4A − 3I = 4  2 − 1 1  − 3  0 1 0  =  8
−4
4  − 0 3 0 =  8
−7
4 
 − 4 4 − 1  0 0 1   − 16 16 − 4   0 0 3   − 16 16 − 7 

 
 
 
 

EJERCICIO 21 :
3 −1 −1 2 


a) Calcula el rango de la siguiente matriz: A =  2 1
1 − 2
0 1
1 − 1 

b) ¿Cuántas filas hay en la matriz A que sean linealmente independientes? Razona tu respuesta.
Solución:
3 −1
2
1
=5≠0
Luego ran (A) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
3 −1 −1
Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras: 2 1
1 =0 ;
0 1
Por tanto, ran (A) = 3.
b) Como ran (A) = 3, las tres filas de A son linealmente independientes.
1
3 −1
2
1
2
−2 =5 ≠ 0
0
1
−1
EJERCICIO 22 : Halla el rango de la siguiente matriz y di cuál es el número de columnas linealmente independientes:
 2 − 1 0 2


m =  1 − 2 3 1
 0 3 − 6 0


Solución:
Tomamos un menor de orden 2 no nulo:
2
−1
1 −2
= −3 ≠ 0
Luego ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
2 −1
Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras: 1 − 2
0
2 −1
2
3 =0 ;
1 −2
1 =0
0
0
0 3 −6
La tercera fila depende linealmente de las dos primeras. Por tanto, ran (M) 2.
Así, el número de columnas de M linealmente independientes es 2.
3
EJERCICIO 23 :
 − 3 5 4


 2 − 1 2
a) Averigua el rango de la matriz: M = 
1
3 8


 0
1 1 

b) ¿Cuál es el número de columnas linealmente independientes en la matriz M? Justifica tu respuesta.
Solución:
a) Tomamos un menor de orden 2 no nulo :
−3
5
2
−1
12
= −7 ≠ 0
−3 5
4
a
2 − 1 2 = 0 La 3 fila depende linealmente de las dos primeras.
1
3
8
−3 5
Veamos si la cuarta fila depende linealmente de las dos primeras: 2 − 1
4
2 =7≠0
0 1
1
b) Como ran (M) = 3, las tres columnas de M son linealmente independientes.
EJERCICIO 24 :
2
1 
− 2 0


a) Halla el rango de la siguiente matriz: A =  3
1 −2 1 
 1 − 1 − 2 − 3


b) Averigua el número de columnas de A que son linealmente independientes.
Solución:
−2 0
= −2 ≠ 0
3 1
Luego ran (A) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
−2 0
2
Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras: 3 1 − 2 = 0 ;
1 −1
−2
−2 0
3 1
1
1 −1
−3
1
=0
b) Como ran (A) = 2, hay dos columnas de A linealmente independientes.
EJERCICIO 25 :
 2 0 − 2


3 −1 0 
a) Obtén el rango de la siguiente matriz: M = 
2 −1 1 


0 2
3 

b) ¿Cuántas columnas hay en la matriz M que sean linealmente independientes? Razona tu respuesta.
Solución:
a) Tomamos un menor de orden 2 no nulo :
2 0
= −2 ≠ 0
3 −1
2 0
−2
a
3 −1
0 = 0 . La 3 fila depende linealmente de las dos primeras.
2 −1
1
2 0
Veamos si la cuarta fila depende linealmente de las dos primeras: 3 − 1
−2
0 = −18 ≠ 0 . Por tanto, ran (M ) = 3.
0 2
3
b) Como ran (M) = 3, las tres columnas de M son linealmente independientes.
13
EJERCICIO 26 : Calcula el valor de los siguientes determinantes:
−2 −4 0
2
2 −1 1 1
3 −1 2
1
1 −1
0 −2 3 1
2
0 −1 2
−1 0
a)
b)
c)
2
3 −2 1
−1 2 −1 0
−3 1 1 −2
0 −1 1 − 2
4 3
−2 2 0
1
−1 0
2 −1 0
1 −1 2
d)
1 3 −1
0 1
2
−1
2
3
4
2
1
2
0
1 −1
e)
−1 − 2 3
0
1
1
3
1
1
2
Solución:
FILAS
−2 −4
a) − 1
2
a
2
0
1
−1
3
−2
1
1
−2
−1
0
1 − 2⋅2
0
2
=
3 +1
−4 −2
0
a
a
4
a
4
−1
0
0
−1 − 2
0
−1
1
−2
0
−1
9
7
0
−2
3
1
0
2
−1
0
a
a
(=1)
−1
1
3
−4 −2
4
−1 − 2
3 = −6
−1
1
−2
−1
9
7
−2
3
1 = −4
a
columna.
FILAS
2
−1
0
−2
3
−1
2
−1
0
−1
0
4
3
b)
1
1 + 2⋅4
a
1
1
a
2
=
a
3 −4
a
a
a
4
(=1)
−5 −3
4
a
columna
−5 −3
2
3
FILAS
3
−1
2
1
1
2
0
−1
2
2
−3
1
1
−2
−2
2
0
1
c)
=
a
3 −1
2
1
a
2
0
−1
2
0
0
3
−1
4
0
4
3
1
−4 −5
3 +1
a
a
4 + 2 ⋅1
a
a
(1)
2 −1
= 0
3
4
4
2
−1 = 6
a
columna.
3
FILAS
2 −1
0
1 −2⋅2
a
3
a
0
2
d) 1 − 1 2 4
= a
a
1 3 −1 2
3 −2
a
0 1
2 1
4
e)
a
0
3
−1 2
1
1 −1
a
2
1
−1 − 2
0
1
−1
1
3
1
1
2
2 + 2 ⋅1
a
=
3 −1
a
4
0
4
0
1
2
−3 −2
2
2
0
0
5
−1
0
−4
3
0
1
1
a
a
4 − 3 − 2 = −1 ⋅ (− 30) = 30
1
1
−1
a
1 −4 −5
(=1) − 1 ⋅
4
3
2
el valor de estos determinantes:
1
1
1
−1 −1 −1 x
a
1
2
a2 −1
(
2
)
a) 1 2a − 2 2a − 1 = 1 2 a − 1
1
0
a2
1
0
a
(1)
(
2
)
1 1
a
2a − 1 = a − 1 1 2 2a − 1 =
a2
columna
5 −1 7
= = (− 1) ⋅ − 4 3 − 2 = −1 ⋅ (− 15) = 15 (1) Desarrollamos por la 1a columna.
−2
1
1
2
2
Solución:
a2 −1
a
1
(1) (1)
7
EJERCICIO 27 : Halla, en función del parámetro,
1
1
1
1 a2 − 1
a
−1 x
1
a) 1 2a 2 − 2 2a − 1
b)
−1 −1 x
1
0
a2
1
1 0
a2
14
FILAS
1
=2
a
−1
a
3 −1
a
a
a
(
(1) Sacamos
b)
)
1
1
1
a 2 −1 0
) −11
(
= a 2 −1
0 −1 a 2 − a
1
1
−1
x
1
1
x
1
−1 −1
(1)
=
1
1
1
1
−1
x
1
1
−1 −1 x
1
−1 −1 −1 x
1
1
−1 x
0
0
) (
)2
= a 2 −1 a 2 −1 = a 2 −1
a2 −a
a
1
)(
(
a −1
(a 2 − 1) factor común de la 2 columna.
1
(=2 ) (x + 1)2
(2 )
a
a −1
1
(2 )
1
= (x + 1) − 1
1
1
(1)
1
0
0
columna.
1
1 = (x + 1) − 1 x
x
−1 −1 x
0 x +1
a
1
(2 )
=
x +1
= (x + 1)2 (x + 1) = (x + 1)3
(1) Sumamos a al última fila la primera.
(2) Desarrollamos por la última fila
EJERCICIO 28 : Resuelve la siguiente ecuación (operando en el determinante antes de desarrollarlo):
−1 x
x
x
x
x
x
−1 x
x
=0
x −1 x
x
x −1
a
Solución: Sumamos a la 1 columna las otras tres:
−1 x
x
x
3x − 1 x
x
x
1 x
x
x
−1 x
x
3x − 1 − 1 x
x (1)
1 −1 x
x
=
= (3x − 1)
=
x −1 x
3x − 1 x − 1 x
1 x −1 x
x
x −1
3x − 1 x
x −1
1 x
x −1
x
x
x
FILAS
1
a
=
1
2 −1
a
3 −1
a
4 −1
a
a
a
a
(3x − 1)
x
0 −1 − x
0
0
0
0
x
x
0
0
(2 )
−1− x
0
0
−1 − x
(1) Sacamos (3x − 1) factor común de la 1
a
= (3x − 1)(− 1 − x )3 = 0
columna. (2) Es el determinante de una matriz triangular.
3x − 1 = 0 → 3x = 1 → x = 1

3
→ 
(− 1 − x )3 = 0 → − 1 − x = 0 → x = −1

1
La ecuación tiene dos soluciones: x1 = ; x 2 = −1
3
x+ 2
1
1
1
1
x+2
1
1
EJERCICIO 29 : Desarrolla el siguiente determinante:
1
1
x+ 2
1
1
1
1
x+2
(3x − 1)(− 1 − x )3 = 0
x+2
1
Solución: Sumamos a la primera columna las otras tres:
1
x+5
1
1
x+2
1
1
1
1
x+2
1
1
1
1
x+2
=
x+5 x+2
(1)
= (x + 5)
1
1 x+2
1
1
a
1
1
1
2 −1
a
3 −1
a
4 −1
a
1
1
x+2
1
1
1
1
x+2
a
=
a
a
1
(x + 5)
1
0 x +1
1
1
0
0
0
0
x +1
0
0
0
0
x +1
(2 )
1
1
1
1
x+5
1
x+2
1
x+5
1
1
x+2
FILAS
1
1
= (x + 5)(x + 1)3
(=1)
(1) Sacamos (x + 5) factor común de la 1
a
15
columna. (2) Es el determinante de una matriz triangular.
x−a−b
a
b
EJERCICIO 30 : Resuelve la siguiente ecuación:
c
x−b−c
b
=0
c
a
x−a−c
Solución:
FILAS
x−a −b
a
b
x
a
b
a
1
x
a
b
(=1) x x − b − c
c
x−b−c
b
b
=
a
a
= 2 −1 0 x − a − b − c
0
= x (x − a − b − c )2 = 0
c
a
x−a −c
x
a
x−a−c
a
a
3 −1 0
0
x−a−b−c
(1) A la primera columna le sumamos las otras dos.
x = 0
x (x − a − b − c )2 = 0 → 
x − a − b − c = 0 → x = a + b + c
Por tanto, la ecuación tiene dos soluciones: x 1 = 0;
x2 = a + b+c
EJERCICIO 31 : Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:
a) a b c
2 2 2
b)
x
y
z
a
a x y = b x p
a
b
c
=0
2
a p q
c y q
2 x − a 2 y − b 2z − c
Solución:
a) a b
c
1 b
(1)
y =a1 x
a
x
a
p q
c
1 1 1
(2 )
y =a b x p =
1 p q
c
y q
2 2 2
a
b x p
2
c y q
Por tanto, la igualdad es cierta.
(1) Sacamos a factor común de la 1a columna.
(2) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.
b) La 3 fila es combinación lineal de las dos primera (es 2 ⋅ 1a − 2 a ).
Por tanto, el determinante es cero. La igualdad es cierta.
a
x y z
EJERCICIO 32 : Sabiendo que a b c = 2, halla el valor de los siguientes determinan tes:
p q r
a)
a−x b−y c−z
2a
2b
2c
p
q
r
Solución:
a) a − x b − y c − z
2a
2b
2c
p
q
r
a−x b−y c−z
=2
a
b
p
(*) Hemos restado a la 1
a
b)
x + y + z 2y z
x + y + z 2y z
a + b + c 2b c
p + q + r 2q r
b)
x 2y z
c
q
(*=) 2
r
−x −y −z
a
b
c
p
q
r
y 2y z
z 2y z
2b c = a
2b c + b 2 b c + c 2 b c
2q
2q
(*) El 2
o
r
b c = −2 ⋅ 2 = −4
p q
r
fila la 2 .
p+q+r
p
= = −2 a
y z
a
a+b+c
r
x
q
2q
r
r
2q
x
(=) 2 a
= *
r
y z
b c + 0 + 0= 2⋅2= 4
p q
r
determinante es 0 por tener dos columnas (la 1 y la 2 ) proporcionales.
a
a
El tercer determinante es cero por tener dos columnas iguales (1a y 3 a ).
16
EJERCICIO 33 :
12 − 1 3
a) Justifica, sin desarrollar el determinante, que 20 4 4 es múltiplo de 7.
3 35 4
b) Prueba, sin desarrollarlos, que el valor de los siguientes determinantes es cero:
2
1
3
2
2x − 1 x / 2
x− 2 y −1 z − 3 t − 2
;
2y 2 y / 2
2
−5
0
3
2z 3 z / 2
x
y
z
t
Solución:
12 − 1 3
14 − 1 3
7 ⋅ 2 −1 3
2 −1 3
a) Sumamos a la 1 columna las otras dos: 20 4 4 = 28 4 4 = 7 ⋅ 4 4 4 = 7 4 4 4
3 35 4
42 35 4
7 ⋅ 6 35 4
6 35 4
Por tanto, el determinante es múltiplo de 7.
b) Primer determinante → La 2a es combinación lineal de la 4a y la 1a (es igual a la 4a menos la 1a). Por tanto, el determinante es
cero.
Segundo determinante → La 1a y la 3a columna son proporcionales (la 1a es 4 veces la 3a). Por tanto, el determinante es cero.
a
EJERCICIO 34 : Indica, razonando tu respuesta, si son ciertas o no las siguientes igualdades:
b) a b c
2a 2p 2x
a) x + 2y y + 2z
x y
2y 2z
=
+
p q r = 8 2b 2q 2y
p
q
p q
p q
x y z
2c 2r 2z
Solución:
a) x + 2 y y + 2z
x y
2 y 2z
= q(x + 2 y ) − p(y + 2z ) = qx + 2qy − py − 2pz = = (qx − py ) + (2qy − 2pz ) =
+
p
q
p q
p q
Por tanto, la igualdad es verdadera.
b) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. Además, si multiplicamos una fila (o una columna) por un número,
2a 2 p 2 x
a p x
a b c
el determinante queda multiplicado por ese número. Por tanto: 8 2b 2q 2 y = 8 ⋅ 8 b q
2c
2r
2z
c
r
y = 64 p q
z
x
r
y z
Por tanto, la igualdad es falsa.
EJERCICIO 35 : Sabiendo que A y B son dos matrices de orden 2 tales que |A| = - 2 y |B| = 4, calcula, justificando la
respuesta:
AB t ;
At ;
B −1 ;
A −1 B ;
3A
Solución:
Tendremos en cuenta que:
1) AB = A ⋅ B
3) A ⋅ A −1 = I
2)
→
At = A
A ⋅ A −1 = A ⋅ A −1 = 1 →
A −1 =
1
A
(si A ≠ 0; es decir, si existe A −1 ).
a 12 
3a 12 
a
 3a
 , entonces 3A =  11

4) Si A =  11
a
a
3
a
3
22 
 21
 21 a 22 
Por tanto:
AB t = A B t = A B = −2 ⋅ 4 = −8
A t = A = −2
A −1B = A −1 B =
3A = 3 2 A = 9 A = 9 ⋅ (− 2) = −18
1
1
B=
⋅ 4 = −2
−2
A
B −1 =
1 1
=
B 4

TEMA 3 – DETERMINANTES

Transcripción

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