НТ Ъ ЦЧ БТ ЩЧШЦ Р Л ТШ Т Ц Р Ц Д Т Р Бє ЛУРЩ Т ИЦ Ъ У БББ

НТ Ъ ЦЧ БТ ЩЧШЦ Р Л ТШ Т Ц Р Ц Д Т Р Бє ЛУРЩ Т ИЦ Ъ У БББ

Universidad Industrial de Santander
Algebra Lineal I.
Soluión Previo III (FABULOSO).
FEBRERO 14/2008
SolPrevAS2307a.tex
Tema a.
Nombre
Código
Pregunta de esogenia múltiple mal ontestada baja 2 puntos, falso y verdadero mal ontestada
baja 1 punto. Para saar nota máxima haga 100 puntos!
1. [4℄ Complete:
[6℄ Los puntos de la reta que ontiene a
C y L son para un parámetro t ∈ R de la
2(2, 3, −1) + 2(1, 1, −2) = (6, 8, −6)
forma: :
2. Sea A = (1, 1, 0, −1), B = (−1, 1, 0, −1).
a)
[6℄ Enuentre, si existen, α y β tales que
(1, 1, 0, 3) = αA + βB
α y β no existen
b)
)
[6℄ Enuentre, si existen, α y β tales que
(1, 3, 0, −3) = αA + βB
α=2yβ=1
d ) Todas las anteriores sirven.
e ) Ninguna de las anteriores
[6℄ Muestre los dos puntos que dividen el
segmento AB en tres partes iguales:
(− 31 , 1, 0, −1) y ( 31 , 1, 0, −1)
[6℄ El punto donde se ruza el segmento
AM y el segmento CL es exatamente:
a)
3. En la gráa los puntos K y L dividen el
segmento AB en tres partes iguales y M
es el punto medio del segmento BC .
b)
)
1
5A
2
5A
1
5A
+ 51 B + 53 C
+ 51 B + 52 C
+ 52 B + 52 C
d ) Ninguna de las anteriores
C
4. [6℄
√ En el plano omplejo multipliar por
− 2(i + 1) signia:
•M
a ) Dupliar el módulo y girar
B
•
K
rar
A
(6) El punto L es el punto αA + βB + γC
uando:
a ) α = 32 , β = 0 y γ =
1
3
) α = 13 , β =
yγ=0
d ) α = 13 , β = 0 y γ =
π
4
d ) Dupliar el módulo y girar
5π
4
e ) Ninguna de las anteriores
√
[6℄Entones multipliar por − 2(i + 1) se
1
3
b) α = β = γ =
π
4
b ) Dupliar el módulo y girar − π4
√
) Multipliar la logitud por − 2 y gi-
•
L
2
3
2t
t
3 A + 3 B + (1 − t)C
2t
t
3 A + (1 − t)B + 3 C
t
t
2 A + (1 − t)B + 2 C
puede representar por la matriz:
√
a) − 2
2
3
√
b) − 2
e ) Ninguna de las anteriores
1
1 −1
1 1
1 −1
−1 −1
) 2
1 1
−1 1
d ) Ninguna de las
anteriores
5. [6℄ Sea A =
Entones AB =
1 0
x 1
a)
1 0
xy 0
b)
1
0
x+y 1
yB=
)
1 0
y 1
1 y
x 0
10. [6℄Sea A = (1, 2, 3), B = (2, 3, 4) y C =
(3, 4, 5) se tiene entones:
.
a ) A − C = 2B
b ) A + C = 2B
) A + B = 2C
d ) Ninguna de las
anteriores
d ) Ninguna de las anteriores.
[6℄ Así se dedue que:
6. Si T : R3 −→ R2 es una transformaión lineal tal que T (1, 1, 0) = (1, 1) y
T (0, −1, 1) = (1, 0) entones [4℄:
a ) A, B, C no son independientes .
b ) A, B son dependientes.
T (3, 0, 3) = (6, 3)
T (2, 1, 1) = (3, 2)
[6℄ Podemos así hallar el valor de T (X)
para todo X :
a ) de
) A, B, C son independientes.
d ) Ninguna de las anteriores.
R3 .
[8℄ La reta en R3 que ontiene a A, B
b ) de la reta que ontiene a (1, 1, 0) y
(0, −1, 1).
ontiene además a (Falso/Verdadero):
) de la forma (x, 0, x).
d ) ombinaión lineal de (1, 1, 0) y
(0, −1, 1).
Va ) (− 31 , 23 , 53 )
F ) (−1, 1, 1)
Fb )
Vd ) (−1, 0, 1)
(− 32 , 23 , 53 )
11. [8℄ Esriba la matriz de la transformaión
lineal que hae el efeto que se representa
en las gráa:
7. [6℄ En (Z5 )3 la reta que ontiene a los
puntos (2, 1, 1) y (1, 1, 3) ontiene además
los puntos:
(3, 1, 4), (4, 1, 2), (0, 1, 0)
8. [6℄ Exhiba una base para el subespaio de
R3 determinado por la euaión
−1 0
0 12
x + 2y − z = 0
(0, 1, 2), (1, 0, 1)
9. [10℄ Si A, B, C son elementos de Rn linealmente independientes entones podemos
on erteza asegurar(Falso/Verdadero):
12. [8℄ La matriz:
Va ) A y B son linealmente independientes

Vb ) Si V es el subespaio generado por A,
B y C entones Dim(V ) ≥ 3
representa geométriamente:

0 0 1
 0 1 0 
−1 0 0
F ) A + B , 2A + 2B , A + B + C son linealmente independientes.
a ) una reexión sobre el origen.
b ) una reexión sobre el eje y .
Vd ) A + B + C , C + B , C son linealmente
independientes.
) un giro de − π4 alrededor del eje y .
d ) ninguna de las anteriores
Fe ) A − B + C , A + B − C , A son linealmente independientes.
2
13. Si A es una matriz 3 × 3 y
16. [12℄ Sean A y B matries n×n invertibles,
podemos asegurar (Falso/verdadero):

1 0 0
B= 0 1 0 
2 0 1

Va ) Las trasformaiones lineales respetivas son biyeiones.
Fb ) Si AX = C entones X = CA−1
[6℄ El produto BA se obtiene haiendo
úniamente lo siguiente:
F ) AB
a ) A la la 3 de A se le suma el doble
Vd ) AB
de la 1.
doble de olumna 3.

0 0
1 0 
0 1
Fa ) Existen α, β, γ ∈ R3 no todos nulos
tales que αA1 + βA2 + γA3 = 0
x−z =h
x + 4y + 7z = k
Vb ) T es inyetiva.
tiene soluión(es) si y sólo si:
F ) T es sobreyetiva.
Vd ) La imagen de T es el subespaio de
R4 generado por A1 , A2 y A3 .
Fe ) A1 , A2 , A3 forman una base de R4 .
Vf ) Los tres vetores son diferentes y
ninguno es nulo.
15. [8℄ Enuentre la forma de todas las matries B que onmutan on
3 3
0 3
Vg ) Las olumnas de la matriz de T son
linealmente independientes.
es deir
aquellas
B tales que AB = BA
B=
t s
0 t
=
18. [14℄ Supóngase que los vetores A1 , A2 y
A3 de R4 son linealmente independientes,
además que T : R3 −→ R4 es una transformaión lineal tal que T (1, 0, 0) = A1 ,
T (0, 1, 0) = A2 y T (0, 0, 1) = A3 . Podemos
on erteza armar que (Falso/Verdadero):
x + 2y + 3z = 4
A=
D entones C
5x + 2y = 2
1 1 1 1
( − t, − t, t)
3 3 6 6
14. [7℄ En el ampo de los números reales el
sistema:
=
3x − z = 1
Bn:
f ) Siempre
y
2x + 2y + z = 1
e ) Ninguna de las anteriores.
) h = k
invertible
es
17. [8℄ Halle todas las soluiones del sistema
d ) A la olumna 1 de A se le suma el
e ) Otra:
y
Ff ) A + B también es invertible.
doble de olumna 1.
b) k = h = 0
invertible
B −1 A−1 .
A−1 DB −1 .
) A la olumna 3 de A se le suma el
d) h + k = 4
=
Ve ) Si ACB
de la 3.
a) h + k = 8
=
es
A−1 B −1
también
(AB)−1
b ) A la la 1 de A se le suma el doble
[8℄ Calule el valor de

1
n

0
B =
2n
también
(AB)−1
,
3
20. Sea T una transformaión lineal denida
por: T (x, y, z) = (x, x + y, x + y, x + y, x)
[4℄ La matriz de T es:
19. [6℄ Sea L la reta de R2 que obedee a la
euaión y = 2x, y sea θ el ángulo que se
forma entre el eje x y L entones :
a ) cos θ =
b ) cos θ =
) cos θ =
√
y sin θ =
5
2
√2
5
1
√
5
y sin θ =
y sin θ =

1
 1
MT = 
 1
1
√
5
2
√1
5
2
√
5
d ) ninguna de las anteriores.
[6℄ El núleo de T es:
es
a)
− √15
!
b)
√1
5
√2
5
− √25
!
√2
5
√1
5
√
5
√2
5
2
)
√
−√ 25
5
2
!
d ) ninguna de las
anteriores.
2
b ) la reta on vetor diretor (1, 1, 1) y
tal que 0 ∈ R3
) el eje z
d ) el plano x + y = 0
e ) ninguna de las anteriores.
21. [6℄ En R4 el onjunto
anteriores.
[6℄ La matriz del giro inverso alrededor
del origen que envía a la reta L en el eje
x es
!
!
√1
√2
√2
− √15
5
5
5
a)
)
√1
√2
− √25 √15
5
5
√
√ !
5
−√ 25
d ) ninguna de las
√2
b)
5
5
2

0
0 

0 
0
a ) úniamente el vetor 0 ∈ R3
[6℄ Por tanto la matriz del giro alrededor
del origen que envía al eje x en la reta L
√2
5
√1
5
0
1
1
0
S = {(x, y, z, u) | x = y; z + u = 0}
es un subespaio vetorial. La dimensión
de S es:
2
22. La gráa muestra el plano que ontiene a
los puntos A, B y C , que se sabe son de la
forma aA + bB + cC donde a + b + c = 1.
[8℄ Señale la región de los puntos en donde
b > 0 y c > 0.
Para haer una relfexión sobre la reta L
podemos oger el amino más largo:
A
a ) girar −θ grados haer una reexión
sobre el eje y y luego girar θ grados.
b ) girar θ grados haer una reexión sobre el eje x y luego girar −θ grados.
B
) girar −θ grados haer una reexión
sobre el eje x y luego girar θ grados.
23. [6℄ Si un sistema de m euaiones lineales
on n inógnitas tiene alguna soluión es
onsistente, en este aso el onjunto de
todas las soluiones siempre:
d ) girar θ grados haer una reexión sobre el eje y y luego girar −θ grados.
Siguiendo esto podemos onstruir la matriz de la reexión sobre la reta L y obtenemos:
a)
1 − 43
4
1
3
b)
−1
− 43
4
3
1
)
− 35
4
5
4
5
3
5
C
a ) Forma un subespaio vetorial de
Rm .
b ) Forma un subespaio afín de Rm .
) Forma un subespaio vetorial de Rn .
d ) Forma un subespaio afín de Rn .
d ) ninguna de las
e ) Ninguna de las anteriores.
anteriores.
4