Obtención experimental del ´ındice de refracción

Obtención experimental del ´ındice de refracción

Índice de refracción en un medio no homogéneo
Laboratorio de Óptica
Obtención experimental del ı́ndice de refracción
en un tipo de medio no homogéneo
Pedro Figueroa Romero, Mireya Karent Martı́nez Hernández
Ali Cesar Medrano Sandoval, Sergio Patiño López, Manuel Valadez Acuña*
Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa
Actividad Experimental V
Grupo CD02
20 de junio de 2013
Resumen
La ley de Snell permite conocer el comportamiento de un rayo cuando éste es refractado al viajar de un medio a
otro mediante un cambio discreto del ı́ndice de refracción. Sin embargo cuando la variación del medio deja de
tener un comportamiento discreto y se torna en un cambio continuo se debe considerar una forma diferencial de
la ley de Snell. Esta ecuación diferencial obedecerá el comportamiento del ı́ndice de refracción, que se tornará en
una variable del sistema. En este trabajo hemos obtenido el ı́ndice de refracción para dos rayos luminosos de
distinta longitud de onda en función de la altura para un contenedor con agua salada en la que ésta describe un
gradiente de concentración de sal. Mostramos que el ı́ndice de refracción para ambos rayos en este caso varı́a de
h
−1 2z
i1/2
manera exponencial con una expresión de la forma n(z) = n0 e−z 1 + ζ 2
para un ı́ndice de
e + ζ2
refracción en el fondo de n0 y un parámetro espacial ζ intrı́nseco a cada rayo (en última instancia a su longitud
de onda). El método utilizado puede extenderse fácilmente para cualquier medio no homogéneo, requiriendo
únicamente conocer el comportamiento espacial del rayo en éste.
I.
Introducción
El objetivo de este trabajo es estudiar la trayectoria
que sigue un rayo de luz al atravesar un medio no
homogéneo, en especı́fico, para agua con un gradiente
de concentración de sal, encontrando ası́ los ı́ndices de
refracción para rayos de distintas longitudes de onda.
Los espejismos, imágenes virtuales invertidas de
objetos distantes, se ven debajo del objeto por que los
rayos se curvan debido a un incremento del ı́ndice de
refracción con la altura por encima de la superficie.
Otro ejemplo que es de interés es el comportamiento
de la luz al entrar en la atmósfera terrestre. Cuando
la luz desde una estrella viaja a través de la atmósfera
terrestre, no se desplaza en lı́nea recta, si no más bien en
una ligera lı́nea curva,de modo que es desviada algunos
grados antes de llegar al telescopio de los astrónomos.
Esto debe ser tomado en cuenta cuando los astrónomos
quieren realizar medidas precisas de las posiciones de
una estrella.
* Profesor:
II.
Marco Teórico
Cuando un rayo de luz atraviesa la superficie de separación de dos medios de distinto ı́ndice de refracción
se satisface la ley de Snell,
n1 sin θ1 = n2 sin θ2
(1)
Si el ı́ndice de refracción n varı́a de forma continua,
entonces para un ángulo refractado θ, la ley de Snell
puede expresarse en la forma
n sin θ = cte
(2)
entonces si n = n(ζ) con ζ el conjunto de grados de
libertad del medio, la forma diferencial de la ley de Snell
es
dn(ζ)
= − cot θ dθ
(3)
n(ζ)
que es la forma más general de expresarla. Supóngase
un sistema en que el ı́ndice de refracción depende únicamente de la altura de manera lineal de acuerdo con
z
n(z) = n0 − (n0 − n1 )
(4)
h
en donde 0 ≤ z ≤ h y n0 es el ı́ndice de refracción para
z = 0 y n1 el ı́ndice de refracción en z = h. De este
Emmanuel Haro Poniatowski
1
Índice de refracción en un medio no homogéneo
Laboratorio de Óptica
modo la ecuación (3) se escribe como
− cot θ dθ =
dz
µ0 + z
λ, por ejemplo, cuando
(5)
donde µ0 ≡ n0 h/(n1 − n0 ). Imponiendo la condición de
que θ(0) = α, e integrando, se tiene la solución
sin α
z = µ0
−1
(6)
sin θ
que describe la trayectoria de un rayo en el espacio
{z, θ}. Para hallar la representación en el espacio {y, z},
en nuestro caso, se sabe que la pendiente de la recta
tangente de una curva en el espacio bidimensional {y, z}
es tan θ = −dy/dz. Ahora bien, ya que 0 ≤ θ ≤ π/2, se
−1/2
tiene que sin θ = (csc θ)−1 = 1 + cot2 θ
, por tanto
de aquı́ puede obtenerse la expresión
dy
dz
2
=
2µ2 sin2 α
2z 2 + 4zµ0 + µ20 (1 + cos 2α)
(7)
Esta ecuación entonces puede integrarse para obtener
otra ecuación de la forma y = f (z), que describirá la
trayectoria del rayo de luz.
Aquı́ desarrollaremos precisamente el proceso inverso: partiendo de una ecuación espacial y = f (z), se
procede a determinar la relación de la altura z con el
ángulo respecto a la normal en cada punto de incidencia θ, de donde entonces puede obtenerse el ı́ndice de
refracción respecto a la altura, n = n(z).
Ahora bien, en general, el ı́ndice de refracción es
función de la frecuencia de la luz, o bien, de la longitud
de onda, n = n(λ). Esto es, el ı́ndice de refracción varı́a
linealmente con la longitud de onda ya que diferentes
longitudes de onda interfieren en distinto modo con los
átomos del medio. Esta variación del ı́ndice de refracción es llamada dispersión o dispersión cromática para
enfatizar la relación con la longitud de onda.
La consecuencia más común y citada de la dispersión
es la separación de luz blanca en un espectro de colores
por medio de un prisma. De la ley de Snell se puede
ver que el ángulo de refracción de la luz en un prisma
depende del ı́ndice de refracción del material del prisma.
Dado que el ı́ndice de refracción varı́a con la longitud
de onda, se sigue que el ángulo de refracción también
variará con la longitud de onda, causando la separación
angular de los colores.
Para la luz visible, los ı́ndices de refracción n de
la mayorı́a de materiales transparentes (aire, vidrio. . . )
decrecen respecto a un incremento de longitud de onda
2
1 < n(λrojo ) < n(λverde ) < n(λazul )
(8)
se dice que el medio tiene una dispersión normal. Mientras que si el ı́ndice incrementa ante un incremento de λ
(tı́picamente el caso de los rayos-X), se dice que el medio
tiene una dispersión anómala. En lo siguiente será útil
esta distinción, pues utilizaremos un rayo de color verde
y un rayo de color azul.
III.
III.1.
Método Experimental
Introducción
Se recopilaron datos de un rayo viajando dentro de
una pecera con agua salada, la cual se dejó sin perturbación alguna por un dı́a, de modo que se creara un
gradiente de concentración de la sal. A partir de estos
datos se encuentra entonces el ı́ndice de refracción para
el agua salada en la pecera.
III.1.1.
Material y Equipo
Pecera
Agua con sal de mesa
Punteros láser de color verde (λ ≈ 530 nm) y azul
(λ ≈ 420 nm)
Flexómetro
Cámara fotográfica
III.1.2.
Procedimiento
La pecera con agua salada estaba dispuesta desde un
dı́a antes de modo que se formara un gradiente de concentración, con una máxima concentración en el fondo y
una mı́nima en la superficie. Se tomaron fotografı́as para
ambos láseres viajando dentro de la pecera a una altura
inicial arbitraria, pero de modo que se hiciera notable
el efecto del cambio continuo del ı́ndice de refracción y
que los rayos estuvieran contenidos en un plano paralelo
al de la cara de la pecera desde donde se tomarı́an las
fotografı́as. Con ayuda del flexómetro se superpusieron
tomas distintas para después tomar las mediciones correspondientes. Se tomaron tantos datos en el espacio
de posiciones como fue posible, con la incertidumbre
dependiendo del grosor de los rayos o la calidad de la
fotografı́a.
Índice de refracción en un medio no homogéneo
III.2.
Desarrollo Experimental
III.2.1.
Datos
Laboratorio de Óptica
4
z @ cm D
3
2
Cuadro 1: Láser azul
1
(y ± 1) cm
(z ± 0.2) cm
0
10
16
20
23
26
28
30
32
34
36
38
3.4
3.3
3.1
2.9
2.7
2.3
2.1
1.8
1.4
1.1
0.7
0.3
0
0
10
20
y @ cm D
30
40
Figura 2: Datos registrados en el espacio {y, z} para el rayo
verde.
IV.
Análisis de datos
Hipotetizando distintos comportamientos de la curva descrita por el rayo, se encontró que se comporta
logarı́tmicamente, por lo que se realiza la linealización
de datos evaluando la función exponencial en cada valor
en z y luego se realiza la regresión lineal.
4
3
z @ cm D
Considérese primero el rayo azul.
2
Cuadro 3: Láser azul
1
0
0
10
20
30
y @ cm D
40
Figura 1: Datos registrados en el espacio {y, z} para el rayo
azul.
Cuadro 2: Láser verde
(y ± 1) cm
(z ± 0.2) cm
0
6
12
18
22
25
28
30
32
33
3.2
3.1
2.9
2.5
2.1
1.7
1.3
0.9
0.5
0.2
(y ± 1) cm
ez ± δez
0
10
16
20
23
26
28
30
32
34
36
29.96
27.11 ± 2.43
22.20 ± 3.65
18.17 ± 4.27
14.88 ± 4.57
9.97 ± 4.40
8.17 ± 4.33
6.05 ± 3.97
4.05 ± 3.30
3.00 ± 2.75
1.35 ± 0.79
La regresión lineal tiene la forma
ez = αa y + βa
(9)
donde αa ≡ (−0.89 ± 0.23) cm−1 , βa ≡ (33.83 ± 3.71)
en adelante, para simplificar la notación.
3
Índice de refracción en un medio no homogéneo
Laboratorio de Óptica
35
entonces también, derivando esta expresión,
30
25
dz
= csc θ sec θ
dθ
exp z
20
(14)
15
que puede escribirse como
10
5
0
5
10
15
20
y @ cm D
25
30
35
40
dz = cot θ sec2 θ dθ
= cot θ 1 + tan2 θ dθ
= cot θ 1 + α̃a−2 e2z dθ
Figura 3: Datos registrados en el espacio {y, exp z} para el
rayo azul con el respectivo ajuste lineal.
y la apariencia de la curva original descrita por el
rayo, cuya ecuación está dada por
z = ln (αa y + βa )
(10)
en el dominio de y (dimensión horizontales de la pecera),
es
4
(15)
es decir
dz
= cot θ dθ
(1 + α̃a−2 e2z )
(16)
entonces se identifica con la forma diferencial de la ley
de Snell (3), que
3
z @ cm D
−
2
0
10
20
y @ cm D
30
40
Figura 4: Datos registrados en el espacio {y, z} para el rayo
azul con el respectivo ajuste lineal.
De aquı́ entonces es de interés pasar a una relación
de la altura z con el ángulo respecto a la normal en cada
punto de incidencia del rayo, θ. Derivando la ecuación
(10),
α̃a
dz
=
dy
αa y + βa
(11)
se señala α̃a como el parámetro adimensional para αa ,
pues las dimensiones se unifican al hacer la derivada;
además se sabe que dy/dz = tan θ, entonces simplemente
cot θ = −
α̃a
= −α̃a e−z
αa y + βa
z = ln (−α̃a tan θ)
p
e−z e2z + α̃a2
na (z) = n0a p
1 + α̃a2
(18)
y de este modo entonces, puede determinarse el ı́ndice
de refracción en el fondo de la pecera n0a para el rayo
azul imponiendo la condición n(h) = naire para la altura del agua en la pecera h. En este caso, h ≈ 20 cm
y naire ≈ 1.00029. Ignoraremos hasta aquı́, por practicidad, las incertidumbres asociadas a las cantidades
involucradas; se ha verificado hasta ahora que las mediciones entran en un rango admisible. Consideraremos
entonces simplemente α̃a ≈ −0.89 Imponiendo las condiciones mencionadas, entonces se encuentra
(12)
n0a ≈ 1.34
(13)
es el valor aproximado del ı́ndice de refracción en el
fondo de la pecera para el rayo azul, de modo que na (z)
está completamente determinado.
que puede escribirse como
4
(17)
de modo que, imponiendo la condición n(0) = n0a para
el ı́ndice de refracción en el fondo de la pecera e integrando,
1
0
dna
dz
−2 2z = n
(1 + α̃a e )
a
(19)
Índice de refracción en un medio no homogéneo
Laboratorio de Óptica
1.4
de modo que la ecuación espacial que obedece el rayo
es
1.3
z = ln (αv y + βv )
1.2
(21)
na H z L
que se visualiza como
1.1
4
1.0
3
0
1
2
z @ cm D
3
4
z @ cm D
0.9
2
Figura 5: Índice de refracción para el rayo azul en el espacio {z, n}. Obsérvese el valor n(0) = n0 y el
comportamiento asintótico de n para z → h hacia
naire .
1
0
0
10
20
y @ cm D
30
40
Para el láser verde se tienen los siguientes datos
linealizados
Figura 7: Datos registrados en el espacio {y, z} para el rayo
verde con el respectivo ajuste lineal.
Cuadro 4: Láser verde
Realizando un análisis análogo al hecho para el rayo
azul, se encuentra que
p
e−z e2z + α̃v2
(22)
nv (z) = n0v p
1 + α̃v2
(y ± 1) cm
ln z ± δ ln z
0
6
12
18
22
25
28
30
32
24.53
22.20 ± 1.37
18.17 ± 2.56
12.18 ± 3.31
8.17 ± 3.40
5.47 ± 3.13
3.67 ± 2.68
2.46 ± 1.99
1.22 ± 0.47
y nuevamente, el ı́ndice de refracción en la pecera para
el rayo verde n0v , se determina imponiendo la condición
n(h) = naire para h ≈ 20 cm. Consideramos entonces
α̃v ≈ −0.79, de modo que imponiendo las condiciones
mencionadas se encuentra que
n0v ≈ 1.27
es el valor aproximado del ı́ndice de refracción en el
fondo de la pecera para el rayo verde, de modo que nv (z)
está completamente determinado.
y el ajuste lineal también tiene la forma
ez = αv y + βv
(20)
donde αv ≡ (−0.79 ± 0.19) cm−1 , βv ≡ (26.01 ± 2.31).
1.4
1.3
1.2
na H z L
30
25
1.1
20
exp z
(23)
1.0
15
0.9
10
5
0
0
10
20
y @ cm D
30
40
Figura 6: Datos registrados en el espacio {y, exp z} para el
rayo verde con el respectivo ajuste lineal.
0
1
2
z @ cm D
3
4
Figura 8: Índice de refracción para el rayo verde en el espacio {z, n}. Obsérvese el valor n(0) = n0 y el
comportamiento asintótico de n para z → h hacia
naire .
Visualizando ambos ı́ndices de refracción,
5
Índice de refracción en un medio no homogéneo
Laboratorio de Óptica
1.4
1.2
na (z) ≥ nv (z), ∀z ∈ contenedor
na H z L
1.3
Graficando en el dominio de la altura de z, se
verifica que
1.1
VI.
Conclusiones
1.0
0.9
0.0
0.5
1.0
1.5
z @ cm D
2.0
2.5
3.0
Figura 9: Índice de refracción para ambos rayos en el espacio {z, n}. Obsérvese que en general para el rayo
verde, i.e. longitud de onda λ mayor, el ı́ndice es
menor.
donde puede observarse además que, en efecto, para
un rayo luminoso, el ı́ndice de refracción del rayo azul,
en general será mayor que el ı́ndice de refracción del
rayo verde,
na (z) ≥ nv (z), ∀z ∈ contenedor
(24)
es decir, se verifica la ecuación (8).
V.
Resultados
Por practicidad se omite la propagación de incertidumbres; se puede verificar en las figuras 3, 4, 6 y 7
que las mediciones entran en un rango aceptable.
Índice de refracción en función de la altura para
el rayo azul (λ ≈ 420 nm)
p
e−z e2z + α̃a2
na (z) = n0a p
1 + α̃a2
donde n0a ≈ 1.34 es el ı́ndice de refracción en
z = 0 y α̃a ≈ −0.89 es una cantidad adimensional asociada al valor αa ≈ −0.89 cm−1 dado en el
ajuste lineal para la curva espacial del rayo.
Índice de refracción en función de la altura para
el rayo verde (λ ≈ 530 nm)
p
e−z e2z + α̃v2
nv (z) = n0v p
1 + α̃v2
donde n0v ≈ 1.27 es el ı́ndice de refracción en
z = 0 y α̃v ≈ −0.79 es una cantidad adimensional asociada al valor αa ≈ −0.79 cm−1 dado en el
ajuste lineal para la curva espacial del rayo.
6
Es claro que el ı́ndice de refracción en un medio no
homogéneo, como en este caso ocurre al formarse un
gradiente de concentración de sal, dependerá intrı́nsecamente de los grados de libertad del medio en cuestión,
haciendo que la luz que pase por dicho medio tienda a
curvarse.
Estudiando las curvas espaciales descritas por los
rayos de luz que viajan dentro de una pecera con un
gradiente de concentración de sal, encontramos que la
variación del ı́ndice de refracción es exponencial y de la
h
−1 2z
i1/2
forma n(z) = n0 e−z 1 + ζ 2
e + ζ2
para un
ı́ndice de refracción en el fondo de n0 y un parámetro
espacial ζ intrı́nseco a cada rayo.
Con esto se comprobó que el ı́ndice de refracción
depende de la longitud de onda, dado que las expresiones
para los rayos de color azul (λ ≈ 420 nm) y color verde
(λ ≈ 530 nm) dependen de un parámetro intrı́nseco
al rayo, que teóricamente podrı́a rastrearse hasta la
longitud de onda o la frecuencia. Verificamos entonces
que a mayor longitud de onda, el ı́ndice de refracción
será menor.
Los resultados en cierto sentido fueron inesperados,
pero siguen un comportamiento fı́sicamente plausible,
además de ser coherentes con la teorı́a. Consideramos
que los resultados son satisfactorios y verifican la forma
diferencial de la ley de Snell a través del comportamiento de un rayo luminoso en un medio no homogéneo
particular.
Referencias
[1]
Hecht, E. (2001), Optics, 4a ed, Ed. Wiley.
[2]
Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Wavelength
[3] Meteoritics and Planetary Science, Volume 34, ,
572-585 (1999).
[4] Khular E., Thyagarajan K., Ghatak A. K., A note
on mirage formation. Am. J. Phys. 45 (1) January
1977, pp. 90-92.