Coloraciones de gráficas planas sin caras heterocromáticas
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Coloraciones de gráficas planas sin caras heterocromáticas
Coloraciones de gráficas planas sin caras heterocromáticas AMANDA MONTEJANO Facultad de Ciencias UNAM-Juriquilla Trabajo conjunto con JORGE AROCHA XXVIII Coloquio Vı́ctor Neumann-Lara de Teorı́a de las Gráficas, Combinatoria y sus Aplicaciones Morelia, Michoacán. 4 al 8 de marzo del 2013. Definiciones básicas una coloración no-heterocromática una cara heterocromática colores con el máximo número de Definiciones básicas una coloración no-heterocromática una cara heterocromática colores con el máximo número de Definiciones básicas una coloración no-heterocromática una cara heterocromática colores con el máximo número de Definiciones básicas una coloración no-heterocromática una cara heterocromática con el máximo número de colores Definiciones básicas una coloración no-heterocromática una cara heterocromática con el máximo número de colores Definiciones básicas I χf (G) es el máximo k tal que existe una k–coloración no-heterocromática de G. I χf (G) + 1 es el mı́nimo k tal que toda k–coloración de G contiene una cara heterocromática. Definiciones básicas I χf (G) es el máximo k tal que existe una k–coloración no-heterocromática de G. I χf (G) + 1 es el mı́nimo k tal que toda k–coloración de G contiene una cara heterocromática. Resultados preliminares [Ramamurthi, West, 2004] I estudiaron cotas inferiores justas [Jendrol’, 2006] I determinó χf (G) para todos los poliedros semiregulares. [Jungić, Král’, Skrekovski, 2006] I investigaron el problema para gráficas planas sin triángulos. Resultados preliminares [Ramamurthi, West, 2004] I estudiaron cotas inferiores justas [Jendrol’, 2006] I determinó χf (G) para todos los poliedros semiregulares. [Jungić, Král’, Skrekovski, 2006] I investigaron el problema para gráficas planas sin triángulos. Resultados preliminares [Ramamurthi, West, 2004] I estudiaron cotas inferiores justas [Jendrol’, 2006] I determinó χf (G) para todos los poliedros semiregulares. [Jungić, Král’, Skrekovski, 2006] I investigaron el problema para gráficas planas sin triángulos. Resultados preliminares [Dvořák, Král’, Škrekovski, 2009] I estudiaron cotas superiores para gráficas planas 3–, 4– y 5–conexas. Teorema: Sea G una gráfica plana 3–conexa, entonces: χf (G) ≤ 7n − 8 9 Resultados preliminares [Dvořák, Král’, Škrekovski, 2009] I estudiaron cotas superiores para gráficas planas 3–, 4– y 5–conexas. Teorema: Sea G una gráfica plana 3–conexa, entonces: χf (G) ≤ 7n − 8 9 El problema I encontrar una cota superior justa para gráficas planas maximales (en términos del orden) I buscar gráficas planas maximales con χf (G) tan grande como sea posible El problema I encontrar una cota superior justa para gráficas planas maximales (en términos del orden) I buscar gráficas planas maximales con χf (G) tan grande como sea posible α(G) + 1 ≤ χf (G) n+f −e=2 2e = 3f f = 2n − 4 |G| = 3n − 4 con un conjunto independiente de ≈ 23 |G| α(G) + 1 ≤ χf (G) n+f −e=2 2e = 3f f = 2n − 4 |G| = 3n − 4 con un conjunto independiente de ≈ 23 |G| α(G) + 1 ≤ χf (G) n+f −e=2 2e = 3f f = 2n − 4 |G| = 3n − 4 con un conjunto independiente de ≈ 23 |G| α(G) + 1 ≤ χf (G) n+f −e=2 2e = 3f f = 2n − 4 |G| = 3n − 4 con un conjunto independiente de ≈ 23 |G| α(G) + 1 ≤ χf (G) n+f −e=2 2e = 3f f = 2n − 4 |G| = 3n − 4 con un conjunto independiente de ≈ 23 |G| α(G) + 1 ≤ χf (G) n+f −e=2 2e = 3f f = 2n − 4 |G| = 3n − 4 con un conjunto independiente de ≈ 23 |G| 2n−1 3 ≤ χf (G) n+f −e=2 2e = 3f f = 2n − 4 |G| = 3n − 4 with an independent set of ≈ 23 |G| El resultado Teorema. [Arocha, M] Sea G una gráfica plana maximal, entonces χf (G) ≤ 2n−1 7n−8 < 3 9 Toda coloración de G con más de 2n−1 colores 3 contiene al menos una cara heterocromtica. El resultado Teorema: [Arocha, M] Sea G una gráfica plana maximal,entonces χf (G) ≤ 2n−1 3 Toda coloración de G con más de 2n−1 colores 3 contiene al menos una cara heterocromtica. < 7n−8 9 La prueba I considerar a las gráficas como espacios topológicos I a las k–coloraciones como funciones continuas f : G → Kk I introducir el concepto de coloración nula I entender la relación entre coloraciones nulas y coloraciones no-heterocromáticas La prueba I considerar a las gráficas como espacios topológicos I a las k–coloraciones como funciones continuas f : G → Kk I introducir el concepto de coloración nula I entender la relación entre coloraciones nulas y coloraciones no-heterocromáticas La prueba I considerar a las gráficas como espacios topológicos I a las k–coloraciones como funciones continuas f : G → Kk I introducir el concepto de coloración nula I entender la relación entre coloraciones nulas y coloraciones no-heterocromáticas La prueba I considerar a las gráficas como espacios topológicos I a las k–coloraciones como funciones continuas f : G → Kk I introducir el concepto de coloración nula I entender la relación entre coloraciones nulas y coloraciones no-heterocromáticas Gráficas como espacios topológicos entender la estructura de G en términos de sus ciclos (”hoyos”) Gráficas como espacios topológicos entender la estructura de G en términos de sus ciclos (”hoyos”) Gráficas como espacios topológicos entender la estructura de G en términos de sus ciclos (”hoyos”) El (1er) grupo de homologı́a 0 1 2 El (1er) grupo de homologı́a 0 1 2 El (1er) grupo de homologı́a 0 1 2 El (1er) grupo de homologı́a 0 1 3 El (1er) grupo de homologı́a 0 1 3 El (1er) grupo de homologı́a 0 1 3 El (1er) grupo de homologı́a 0 1 3 El (1er) grupo de homologı́a 0 1 2 El (1er) grupo de homologı́a 0 Z Z⊕Z El (1er) grupo de homologı́a 0 Z G → H1 (G) ' Z | ⊕ Z... {z ⊕ Z} m − n + 1 veces Z⊕Z Coloraciones I una k–coloración f : G → Kk gráficas es un homomorfismo de Coloraciones I una k–coloración f : G → Kk es una función continua Coloraciones nulas f : G → Kk ↓ homomorfismo de gráficas ↓ f : G → Kk ↓ función continua ↓ f∗ : H1 (G) → H1 (Kk ) homomorfismo de grupos I Una coloración f es nula si f∗ es nulo. ( f∗ (c) = 0 ∀c ∈ H1 (G) ) Coloraciones nulas f : G → Kk ↓ homomorfismo de gráficas ↓ f : G → Kk ↓ función continua ↓ f∗ : H1 (G) → H1 (Kk ) homomorfismo de grupos I Una coloración f es nula si f∗ es nulo. ( f∗ (c) = 0 ∀c ∈ H1 (G) ) Coloraciones nulas f : G → Kk ↓ homomorfismo de gráficas ↓ f : G → Kk ↓ función continua ↓ f∗ : H1 (G) → H1 (Kk ) homomorfismo de grupos I Una coloración f es nula si f∗ es nulo. ( f∗ (c) = 0 ∀c ∈ H1 (G) ) Coloraciones nulas f : G → Kk ↓ homomorfismo de gráficas ↓ f : G → Kk ↓ función continua ↓ f∗ : H1 (G) → H1 (Kk ) homomorfismo de grupos I Una coloración f es nula si f∗ es nulo. ( f∗ (c) = 0 ∀c ∈ H1 (G) ) Coloraciones nulas f : G → Kk ↓ homomorfismo de gráficas ↓ f : G → Kk ↓ función continua ↓ f∗ : H1 (G) → H1 (Kk ) homomorfismo de grupos I Una coloración f es nula si f∗ es nulo. ( f∗ (c) = 0 ∀c ∈ H1 (G) ) Ejemplos I f : G → K1 I f : G → K2 I f : G → Kk si G/f es un árbol Ejemplos I f : G → K1 I f : G → K2 I f : G → Kk si G/f es un árbol Ejemplos I f : G → K1 I f : G → K2 I f : G → Kk si G/f es un árbol Ejemplos I una coloración nula f tal que G/f no es un árbol 1 3 1 3 2 2 1 3 3 2 2 Ejemplos I una coloración nula f tal que G/f no es un árbol 1 3 1 3 2 2 1 3 3 2 2 Ejemplos I una coloración nula f tal que G/f no es un árbol 1 3 1 3 2 2 1 3 3 2 2 Coloraciones nulas G/f es un árbol ⇒ f es una coloración nula f es una coloración nula 6⇒ G/f es un árbol Teorema. [Arocha, M] Sea f una coloración nula maximal de G, entonces G/f es un árbol. ⇓ Teorema. [Arocha, M] Sea G una gráfica plana maximal, entonces χf (G) ≤ 2n−1 3 Coloraciones nulas G/f es un árbol ⇒ f es una coloración nula f es una coloración nula 6⇒ G/f es un árbol Teorema. [Arocha, M] Sea f una coloración nula maximal de G, entonces G/f es un árbol. ⇓ Teorema. [Arocha, M] Sea G una gráfica plana maximal, entonces χf (G) ≤ 2n−1 3 Coloraciones nulas G/f es un árbol ⇒ f es una coloración nula f es una coloración nula 6⇒ G/f es un árbol Teorema. [Arocha, M] Sea f una coloración nula maximal de G, entonces G/f es un árbol. ⇓ Teorema. [Arocha, M] Sea G una gráfica plana maximal, entonces χf (G) ≤ 2n−1 7n−8 < 3 9 Coloracines nulas vs coloraciones no-heterocromáticas coloración nula ⇒ coloración no-heterocromática coloración no-heterocromática 6⇒ coloración nula 1 2 1 3 3 2 1 3 2 3 2 Coloracines nulas vs coloraciones no-heterocromáticas coloración nula ⇒ coloración no-heterocromática coloración no-heterocromática 6⇒ coloración nula 1 2 1 3 3 2 1 3 2 3 2 Coloracines nulas vs coloraciones no-heterocromáticas coloración nula ⇒ coloración no-heterocromática coloración no-heterocromática 6⇒ coloración nula 1 2 1 3 3 2 1 3 2 3 2 Lema. Para gráficas planas maximales: coloración no-heterocromática ⇒ coloración nula Prueba del teorema: Sea G una gráfica plana maximal de orden n con χf (G) = k Consideremos f una k–coloración no-heterocromática de G ⇓ Lem. f es una coloración nula maximal ⇓ Teo. G/f es un árbol con k vértices y k − 1 aristas ⇓ Obs. 2n − 4 ≤ 3(k − 1) Lema. Para gráficas planas maximales: coloración no-heterocromática ⇒ coloración nula Prueba del teorema: Sea G una gráfica plana maximal de orden n con χf (G) = k Consideremos f una k–coloración no-heterocromática de G ⇓ Lem. f es una coloración nula maximal ⇓ Teo. G/f es un árbol con k vértices y k − 1 aristas ⇓ Obs. 2n − 4 ≤ 3(k − 1) Lema. Para gráficas planas maximales: coloración no-heterocromática ⇒ coloración nula Prueba del teorema: Sea G una gráfica plana maximal de orden n con χf (G) = k Consideremos f una k–coloración no-heterocromática de G ⇓ Lem. f es una coloración nula maximal ⇓ Teo. G/f es un árbol con k vértices y k − 1 aristas ⇓ Obs. 2n − 4 ≤ 3(k − 1) Lema. Para gráficas planas maximales: coloración no-heterocromática ⇒ coloración nula Prueba del teorema: Sea G una gráfica plana maximal de orden n con χf (G) = k Consideremos f una k–coloración no-heterocromática de G ⇓ Lem. f es una coloración nula maximal ⇓ Teo. G/f es un árbol con k vértices y k − 1 aristas ⇓ Obs. 2n − 4 ≤ 3(k − 1) Lema. Para gráficas planas maximales: coloración no-heterocromática ⇒ coloración nula Prueba del teorema: Sea G una gráfica plana maximal de orden n con χf (G) = k Consideremos f una k–coloración no-heterocromática de G ⇓ Lem. f es una coloración nula maximal ⇓ Teo. G/f es un árbol con k vértices y k − 1 aristas ⇓ Obs. 2n − 4 ≤ 3(k − 1) Lema. Para gráficas planas maximales: coloración no-heterocromática ⇒ coloración nula Prueba del teorema: Sea G una gráfica plana maximal de orden n con χf (G) = k Consideremos f una k–coloración no-heterocromática de G ⇓ Lem. f es una coloración nula maximal ⇓ Teo. G/f es un árbol con k vértices y k − 1 aristas ⇓ Obs. 2n − 4 ≤ 3(k − 1) Lema. Para gráficas planas maximales: coloración no-heterocromática ⇒ coloración nula Prueba del teorema: Sea G una gráfica plana maximal de orden n con χf (G) = k Consideremos f una k–coloración no-heterocromática de G ⇓ Lem. f es una coloración nula maximal ⇓ Teo. G/f es un árbol con k vértices y k − 1 aristas ⇓ Obs. 2n − 4 ≤ 3(k − 1) Lema. Para gráficas planas maximales: coloración no-heterocromática ⇒ coloración nula Prueba del teorema: Sea G una gráfica plana maximal de orden n con χf (G) = k Consideremos f una k–coloración no-heterocromática de G ⇓ Lem. f es una coloración nula maximal ⇓ Teo. G/f es un árbol con k vértices y k − 1 aristas ⇓ Obs. 2n − 4 ≤ 3(k − 1) Lema. Para gráficas planas maximales: coloración no-heterocromática ⇒ coloración nula Prueba del teorema: Sea G una gráfica plana maximal de orden n con χf (G) = k Consideremos f una k–coloración no-heterocromática de G ⇓ Lem. f es una coloración nula maximal ⇓ Teo. G/f es un árbol con k vértices y k − 1 aristas ⇓ Obs. 2n − 4 ≤ 3(k − 1) Gracias!!