Turbina Velocidad Variable

González Acevedo, Hernando, Diseño de un controlador LQR para una Turbina de Velocidad Variable
LQR controller design for a Variable Wind Speed Turbine
Diseño de un controlador LQR para una Turbina de
Velocidad Variable
Hernando González Acevedo
[email protected]
Universidad Autónoma de Bucaramanga
Resumen. Este artículo presenta la descripción de un sistema
de generación eólica, compuesto por un generador de
inducción doblemente alimentado (DFIG), además del modelo
dinámico de cada uno de los subsistemas que la conforman. La
lógica de control regula la potencia activa y reactiva
suministrada por el DFIG, basado en la técnica por
orientación de flujo del estator, además de la velocidad
mecánica de la turbina, modificando el ángulo de paso del
aspa.
Palabras claves. Turbina eólica, Modelo del viento, Generador
DFIG, Control por orientación del flujo del estator, Control
ángulo de paso
Abstract: This paper gives a description of a wind generator
system composed by a doubly fed induction generator (DFIG),
its dynamic model and each one of its subsystems. Also, the
control logic that regulates the active and reactive power
delivered by the DFIG is described. The electrical control logic
is based on stator flux oriented technique and the turbine
speed is controlled varying the blade pitch angle. The three
regulators found had been designed using the frequency
domain approach based on genetic algorithms.
Keywords: wind turbine, wind model, doubly fed induction
generator, stator flux oriented control, blade pitch angle
control.
I.
INTRODUCCIÓN
Las publicaciones científicas y técnicas referentes a
sistemas de generación de energía eólica son frecuentes
actualmente debido al crecimiento exponencial de turbinas
instaladas en la última década en el mundo. Este proceso ha
sido especialmente significativo en Europa, pero también se
puede observar en Estados Unidos y en numerosos países
en vía de desarrollo, como en Suramérica. El modelo
matemático de una turbina eólica, con sus diferentes
subsistemas, ha sido tema de estudio en tesis doctorales [1],
[2], [3], [4], representando cada uno, con distinto grado de
detalle, todos o algunos de los fenómenos involucrados en
la transformación de la energía eólica (aerodinámicos,
mecánicos y electromagnéticos).
En la actualidad, se está pasando de un sistema de
generación de energía a partir de turbinas de velocidad fija
a turbinas de velocidad variable, en la cual un generador de
inducción doblemente alimentado (DFIG), conectado a
través de un sistema de engranajes, se utiliza en lugar de un
generador de jaula de ardilla. En el DFIG, el bobinado del
estator se encuentra conectado de forma directa a la red de
frecuencia constante y en el bobinado del rotor se inyectan
corrientes trifásicas de amplitud, fase y frecuencia variable,
a través de un inversor AC/AC, con el fin de regular la
potencia activa y reactiva suministrada por la máquina ante
variaciones en la velocidad del viento. Una alternativa
común de control para estos generadores es el control por
orientación de campo, su principal ventaja es el desacople
de la dinámica del generador permitiendo implementar dos
reguladores independientes para las corrientes del rotor Idr e
Iqr que regulan a su vez la potencia activa y reactiva [5], [6],
[7], [8], [9]. Esta lógica de control está respaldada con un
sistema que regula la velocidad mecánica del eje del rotor
por medio de un regulador PI, el cual modifica el ángulo de
ataque del aspa [10], [11], [12].
Dado que los parámetros de los elementos que conforman
una turbina eólica pueden cambiar con el tiempo, se han
propuesto nuevas estrategias basadas en técnicas modernas
como LQG [11], Hinf [12], control adaptativo [13], entre
otros, que buscan que el sistema sea insensible ante estas
modificaciones y variaciones en la velocidad del viento.
II.
MODELO DINÁMICO DEL VIENTO
La velocidad del viento se puede calcular como la suma de
dos componentes: la primera corresponde a un perfil de
velocidad media que incide sobre el área del rotor y la
segunda, denominada turbulencia, relacionada con las
variaciones temporales que presenta la señal, siguiendo un
comportamiento en frecuencia definido por el espectro de
Kaimal [3]
St ( f ) =
σ2 L
2 V0
1
 3 L 
f
1 +
 2 V0 
5
3
(1)
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20 z para z<20 mt
L=
600 para z>20 mt
σ = IVo
c=
L
2πV0
dTF = R
III.
La potencia desarrollada por una turbina eólica se
determina a partir de la relación (9), donde ρ es la
densidad del aire, A es la superficie barrida por las aspas,
V es la velocidad equivalente del viento, Cp es el
coeficiente de potencia, β es el ángulo de paso de las aspas
y ωROT es la velocidad mecánica del rotor de la turbina.
P=
(5)
Fig. 1 Diagrama de bloque del modelo equivalente de la velocidad del
viento
θ es el desplazamiento angular de la turbina. Los filtros
H(0,f) y H(3,f) caracterizan respectivamente el efecto de la
componente del viento de DC y del tercer armónico sobre el
par que genera el rotor de la turbina.
(6)
1
ρ A V 3 C p ( λ, β )
2
ω R
λ = Rot
v
(9)
(10)
El coeficiente de potencia CP depende del diseño
aerodinámico de la turbina y el máximo valor teórico es
0,593, denominado el límite de Betz. Una aproximación de
esta curva está dada por la ecuación (11).
 116
 −21
Cp = 0,5176 
- 0, 4 β - 5  e λi + 0, 0068 λ
 λi

1
1
0.035
=
λi λ + 0, 08 β β 3 + 1
IV.
4, 7869dTF s + 0,9904
7, 6823dTF 2 s 2 + 7,3518dTF s + 1
(8)
V0
MODELO AERODINÁMICO DE LA TURBINA
(4)
En una turbina de tres aspas perfectamente espaciadas se ha
encontrado que las componentes que generan fluctuaciones
en el par aerodinámico son los armónicos de tercer orden de
la componente de turbulencia, con una frecuencia
fundamental igual a la velocidad del rotor. Este fenómeno
se denomina “muestreo rotacional de turbulencia”. Con el
fin de modelar este fenómeno se implementa el diagrama de
bloques de la figura 1, el cual genera una secuencia en el
tiempo equivalente a la velocidad de viento observada en un
punto sobre el área del rotor.
H (0, f ) =
(7)
R corresponde al radio del aspa de la turbina.
Para simular las fluctuaciones del viento en el dominio del
tiempo se emplea un generador de ruido blanco seguido por
un filtro análogo [2] que presente una densidad espectral de
potencia (PSD) aproximada al de Kaimal, ecuación (4).
L 0, 0182c 2 s 2 + 1,3653cs + 0,9846
V0
1,3463c 2 s 2 + 3, 7593cs + 1
0, 2766dTF s + 0, 0307
0,3691dTF 2 s 2 + 1, 7722dTF s + 1
(3)
Donde
f Frecuencia
L Longitud de escala de la turbulencia
z Altura de la torre
σ Desviación estándar de la velocidad del viento
I Intensidad de turbulencia
Vo Velocidad media del viento
H (s) = σ
H (3, f ) =
(2)
(11)
(12)
MODELO DINÁMICO DEL SISTEMA
MECÁNICO
Existen componentes mecánicos presentes en una turbina
eólica que pueden transmitir oscilaciones a la red, como son
las aspas, el eje de baja velocidad, la caja multiplicadora y
el eje de alta velocidad. Una aproximación común para
caracterizar esta dinámica es utilizar el modelo matemático
de un sistema mecánico de cuatro masas (figura 2),
considerando que la unión entre las aspas y el buje está
fuertemente amortiguada. Las ecuaciones diferenciales que
describen esta dinámica son:
T
Aer
=
1
ρ AR
2
C
p
(λ, β )
λ
TAer − DRot ( ωRot − ω1 ) − QRot = J Rot
V2
(13)
d
ωRot
dt
(14)
González Acevedo, Hernando, Diseño de un controlador LQR para una Turbina de Velocidad Variable
d
ω1
dt
d
T2 − DGen ( ω2 − ωGen ) − QGen = J Eng 2 ω2
dt
d
DGen ( ω2 − ωGen ) + QGen − TElec = J Gen ωGen
dt
DRot ( ωRot − ω1 ) + QRot − T1 = J Eng1
Donde
TAer
JRot
KRot
DRot
ωRot
JEng1 JEng2
ω1 ω2
nEng
Kgen
Dgen
ωGen
JGen
TElec
(15)
(16)
(17)
QRot = K Rot ∫ ( ωRot − ω1 ) dt
(18)
QGen = K Gen ∫ ( ω2 − ωGen ) dt
(19)
T1 ω2
=
= nEng
T2 ω1
(20)
Par aerodinámico
Momento de inercia de las aspas y el buje
Coeficiente de rigidez del eje de baja
velocidad
Coeficiente de amortiguamiento del eje de
baja velocidad
Velocidad mecánica de la turbina
Momentos de inercia de los engranes de la
caja multiplicadora
Velocidad mecánica de los engranes de la caja
multiplicadora
Relación de engranes de la caja multiplicadora
Coeficiente de rigidez del eje de alta
velocidad
Coeficiente de amortiguamiento del eje de alta
velocidad
Velocidad mecánica del generador de
inducción
Momento de inercia del generador de
inducción
Par electromagnético producido por el
generador de inducción
máquina se puede establecer utilizando el sistema de
referencia ABC o un sistema de coordenadas arbitrario dq.
En el primer caso, las inductancias son función de la
velocidad del rotor, por lo tanto los coeficientes de la matriz
de estados son variante en el dominio del tiempo. Un
cambio a un sistema de coordenadas que gire a una
velocidad angular arbitraria ωg , reduce la complejidad de
estas ecuaciones. Normalmente se utiliza la transformación
de Park, asumiendo como velocidad de referencia la de
sincronismo, ωo . La matriz de transformación para las
corrientes del estator a variables dq está dada por la
ecuación (21),

2π 
2π  


cos ( ωot ) cos  ωot −
 cos  ωot +
 IA 
 I ds  2 
3 
3    


(21)
I  = 
IB 
 qs  3 − sin ( ω t ) − sin  ω t − 2π  − sin  ω t + 2π    I 

o
 o

 o
  C 
3 
3 



La matriz de transformación para las corrientes del rotor
está dada por la ecuación (22)

2π 
2π  


cos ( θ ) cos  θ −
 cos  θ +
 Ia 
 I dr  2 
3 
3    


(22)
I  = 
 Ib 
 qr  3 − sin ( θ ) − sin  θ − 2π  − sin  θ + 2π    I 




  c 
3 
3 



d
θ = ωo − ωr
dt
Las ecuaciones para la tensión del estator y el rotor,
aplicando las matrices de transformación de la ecuación
(21) y (22) son
Vds 
 I ds 
 Ψds 
 Ψds 
V 
I 
Ψ 
 
 qs  = [ R ]  qs  + d  qs  + [ Ω ]  Ψqs 
Vdr 
 I dr  dt Ψdr 
 Ψdr 
 
 
 
 
Vqr 
 I qr 
Ψqr 
 Ψqr 
 Rs
0
R=
0

0
Fig. 2 Modelo de cuatro masas de una caja multiplicadora
V.
MODELO DINÁMICO DE UN GENERADOR
DFIG
Un DFIG es un generador de inducción de rotor bobinado,
con el estator conectado a la red de transmisión o a una
carga balanceada, y el rotor va unido a un inversor AC/AC,
el cual compensa la potencia reactiva. El sistema de
ecuaciones diferenciales que caracterizan la dinámica de la
(23)
0
ω
o
Ω=
0

 0
0
0
Rs
0
0
0
Rr
0
−ωo
0
0
0
0
0
0
( ωo − ωr )
0
0 
0

Rr 
(24)
(25)



− ( ωo − ωr ) 

0

0
0
(26)
González Acevedo, Hernando, Diseño de un controlador LQR para una Turbina de Velocidad Variable
 Ψds   Lss
Ψ  
 qs  =  0
Ψdr   Lm
  
Ψqr   0
0
Lm
Lss
0
0
Lrr
Lm
0
0   I ds 
 
Lm   I qs 
0   I dr 
 
Lrr   I qr 
uuur
El fasor de corriente de magnetización, I ms , suponerlo
(27)
constante.
Considerar la frecuencia de la red eléctrica a la cual se
encuentra conectado el bobinado del estator constante.
Asumiendo que el flujo del estator se encuentra en una sola
dirección y es constante se puede realizar las siguientes
simplificaciones a las ecuaciones del flujo magnético,
ecuación (27).
Donde
Rs Resistencia del bobinado del estator
Lss Inductancia del bobinado del estator
Rr Resistencia del bobinado del rotor
Lrr Inductancia del bobinado del rotor
Lm Inductancia mutua
Pf Número de par de polos
uuur
Ψds = Lm I ms = Lss I ds + Lm I dr
3
Pf Lm ( I dr I qs − I qr I ds )
2
3
PACT = (Vds I ds + Vqs I qs )
2
3
QREA = (Vqs I ds − Vds I qs )
2
Te =
(33)
Ψqr = σLrr I qr
(34)
L2m
Lss Lrr
(35)
La dinámica del generador DFIG en variables de estado, al
aplicar esta simplificación, está dado por la ecuación (36).
(30)
El generador DFIG presenta dos modos de operación que
dependen de la magnitud y fase de la tensión del rotor con
relación al voltaje inducido: si el voltaje del rotor se
encuentra en contrafase con el voltaje inducido y su
magnitud es menor, se denomina modo sub-síncrono. El
segundo modo, denominado sobre-sincrono se presenta
cuando el voltaje del rotor está en fase con el voltaje
inducido y su magnitud es mayor. Al controlar la potencia
del generador a través de una tensión aplicada al rotor se
debe garantizar el modo sobresíncrono, para lo cual lo se
debe limitar la tensión a los cuadrantes 0 ≤ Vdr ≤ ∞ y
−∞ ≤ Vqr ≤ 0 , para evitar inestabilidad del sistema de
generación.
VI.
(32)
L uuur
Ψdr =
I ms + σLrr I dr
Lss
σ = 1−
(28)
(29)
Ψqs = 0 = Lss I qs + Lm I qr
2
m
El par electromagnético, la potencia activa y la potencia
reactiva al aplicar la transformación de Park se definen,
respectivamente, como
(31)
CONTROL POR ORIENTACIÓN DEL FLUJO
DEL ESTATOR
Para controlar la potencia activa y reactiva de un generador
de inducción doblemente alimentado, conectado a la red
eléctrica, se recomienda el control por orientación del flujo
estator. El objetivo de la técnica es aproximar el
comportamiento dinámico del generador de inducción a una
máquina de corriente continua, para lo cual se debe
considerar las siguientes apreciaciones:
Despreciar la resistencia del bobinado del estator, Rs ,
usualmente justificado en máquinas con una potencia
mayor a 10 Kw.
 Rr
 .  −
I
 dr  =  σLrr
 .  
 I qr   −ωsl


 1
ωsl 
 I dr   σLrr
 +
Rr   I qr  
−

 0
σLrr 

VA = Vqr −

0 
V
  dr  (36)
1   VA 
σLrr 
uuur
ωsl L2m I ms
Lss
(37)
La potencia activa y reactiva, en el nuevo sistema de
referencia, se definen respectivamente:
3 uur
PACT = − Vs
2
uu
r
2

3  Vs
QREA =
−
2  ωo Lss

VII.
Lm
I qr
Lss
uur
Vs Lm
Lss
(38)

I dr 



(39)
CONTROLADOR LQR
La técnica de control por orientación del flujo del estator
permite desacoplar la dinámica del generador DFIG,
implementando dos controladores independientes que
regulan simultáneamente la potencia activa y reactiva, a
partir del control de la corriente directa, Idr, y la corriente en
cuadratura del rotor, Iqr, El diagrama de bloques de la figura
3 corresponde a la estructura de control implementada,
donde:
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R (t ) . Señal de referencia I dr ref o
I qr ref , que se
obtienen de las ecuaciones (38) y (39), respectivamente.
I
I
G ( s ) . Función de transferencia dr
o qr , las
Vdr
VA
cuales se determinan de la representación en variables de
estado del generador DFIG, ecuación (36), considerando
el deslizamiento constante.
A, B, C . Representación en variables de estado del
generador DFIG, ecuación (36).
Y (t ) . Corriente del rotor, I dr o I qr .
u (t ) . Tensión del rotor, Vdr o VA .
[ Ki
K ] . Matriz de ganancia de estados.
L . Matriz de retroalimentación de estados, la cual se
determina por medio del comando kalman de la toolbox
de control robusto de matlab, definiendo en primer lugar
la esperanza matemática del ruido blanco que se espera en
cada uno de los estados y en la salida del sistema.
El porcentaje de cruce se fijo fue del 60 % y el de mutación
del 1%. El algoritmo se detiene si la desviación estándar de
la función de aptitud de cada uno de los individuos es
inferior a 0.01 o se alcanza un número máximo de
iteraciones, que en este trabajo se definió en 500.
El control de la velocidad de la turbina se realiza mediante
la técnica por variación del ángulo de paso, definido como
el ángulo que se forma entre la cuerda del perfil
aerodinámico en la punta de la pala y el plano de rotación,
una vez alcanzado el valor nominal. El esquema de control
se observa en la figura 4, donde:
R (t ) . Velocidad mecánica de referencia del eje de baja
velocidad.
G ( s ) . Función de transferencia
ω gen
β , la cual se
obtiene de linealizar el sistema ecuaciones
que
relacionan la dinámica del viento, el sistema mecánico y
el generador DFIG, aplicando la expansión de Taylor.
A, B, C . Representación lineal, en variables de estado,
de la dinámica de una turbina eólica.
Y (t ) . Velocidad mecánica del generador DFIG, ωgen .
u (t ) . Ángulo de paso del aspa, β .
Fig. 3 Diagrama de bloques de un regulador LQR para la potencia de un
generador DFIG
Las ganancias K i y K se determinan de forma que
minimice la ecuación (40), donde Q y R son matrices
diagonales, en la cual la selección de los elementos ai y bi
se realiza mediante algoritmos genéticos, definiendo la
función objetivo, ecuación (41), en base de las
características de la respuesta transitoria del sistema ante
una entrada escalón, específicamente del valor en estado
estable que alcanza la componente en directa o cuadratura
de la corriente del rotor, Yss, y el índice de desempeño ISE
de la señal de error y la acción de control, u(t). N es el
número de puntos sobre los cuales se evalúa la respuesta
transitoria y t(i) es el vector correspondiente al tiempo de
simulación.
J =∫
∞
0
( x Qx + u Ru ) dt
a
Q= 1
0
'
'
0
a2 
(40)
R = [b]
2
2
N
N


f = 100 −  0,005∑ e ( i ) + 2,5∑ u ( i ) + 5Yss 


i =0
i =0


(41)
Fig. 4 Diagrama de bloques de un regulador LQR para la velocidad
mecánica de un generador DFIG
La selección de los elementos de la diagonal para las
matrices Q y R, utilizadas para el diseño del regulador
LQR, se realiza mediante algoritmos genéticos. La función
de aptitud está definida por la ecuación (42), en la cual se
utiliza el índice ITSE del error y de la acción de control
para caracterizar la respuesta transitoria del sistema ante
una entrada escalón, para un porcentaje de cruce del 60% y
de mutación del 4%.
2
2
N
N


f = 100 −  0, 0008∑ t ( i ) * e ( i ) + 0, 005∑ t ( i ) * u ( i ) 


i =0
i =0


(42)
VIII. EVALUACIÓN DEL SISTEMA DE CONTROL
El desempeño del controlador LQR se comparó con un
regulador PI diseñado a partir de algoritmos genéticos [16],
para una turbina eólica NM 2000/82, fabricada por Neg
Micon. Los valores de referencia corresponden a una
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potencia activa de -2 MW y una velocidad mecánica de
1515 rpm. En la figura 5 se puede observar la respuesta
transitoria del sistema para una velocidad media del viento
de 14 m/s con una intensidad de turbulencia del 40%. Al
comparar el comportamiento de las variables se puede
observar que el primer regulador presenta una acción de
control mas suave controlando la velocidad mecánica del
generador, lo cual es recomendable para actuadores
hidraulicos, dispositivos que se acondicionan para
modificar el ángulo de paso del aspa, que presentan un
tiempo de respuesta del orden de 10 grados por minuto. La
tensión que se aplica al rotor del generador DFIG es mayor
en el regulador LQR pero no permite que la potencia activa
sea superior a la nominal de la turbina, para picos en la
velocidad del viento, al igual que el transitorio es mas suave
comparado por el regulador PI.
b)
TABLA I
PARÁMETRO DE UN GENERADOR DFIG
Frecuencia nominal [Hz]
Resistencia del bobinado del estator [Ω]
Inductancia del bobinado del estator [mH]
Resistencia del bobinado del rotor [Ω]
Inductancia del bobinado del rotor
Inductancia mutua [mH]
Número de par de polos
Momento de inercia [Kgm2]
50
0.001
0.07
0.0013
0.08
3
2
65
TABLA II
PARÁMETROS DEL SISTEMA MECÁNICO
Momento de inercia de las aspas y el buje [Kg-m2]
Coeficiente de rigidez del eje de baja velocidad [Kgm2/sg2]
Coeficiente de amortiguamiento del eje de baja
velocidad [Kg-m2/sg2]
Coeficiente de rigidez del eje de alta velocidad [Kgm2/sg]
Coeficiente de amortiguamiento del eje de alta
velocidad [Kg-m2/sg]
Relación de engranes de la caja multiplicadora
49.5*105
c)
114*106
105
755.658*103
1*10
Fig. 5 Control PI Vs. Control Robusto. a) Velocidad del viento – 14 m/s. b)
Velocidad mecánica DFIG. c) Potencia activa DFIG.
IX.
83.5
La combinación del control por orientación del flujo del
estator y el control por el ángulo de paso permiten regular
de forma efectiva la potencia activa suministrada por el
generador de inducción a altas velocidades del viento,
observando que el controlador LQR es más robusto ante
variaciones de la velocidad del viento comparado con un
regulador PI, con una menor acción de control mas suave.
X.
a)
CONCLUSIONES
3
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