mecánica ingeniería industrial
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mecánica ingeniería industrial
Ayuda Personalizada al Estudio. MEC€NICA INGENIER•A INDUSTRIAL Ejercicios de Examen Resueltos. JUNIO 2006 1ƒ Semana Ingenier„a T…cnica Mec†nica. PB – 3 (3,50 Puntos) – Un Cono de masa M, radio R y altura 2 R, rueda sin deslizar, sobre un plano horizontal con su v•rtice O fijo, con una velocidad angular vertical . Calcular: a) M‚dulo de la Velocidad Angular del cono. b) M‚dulo de la velocidad lineal del punto mƒs alejado del plano horizontal. c) Axoides del movimiento. a) M‡dulo de la Velocidad Angular del Cono. Dibujemos en primer lugar el esquema del movimiento del cono, al decirnos que el cono rueda sin deslizar, nos estƒn indicando que se trata de un problema de movimiento relativo, en el que existirƒ una velocidad angular de arrastre y una velocidad angular de rotaci‚n propia o spin (Eje del cono), la suma de ambas es la velocidad angular o rotaci‚n total que nos piden. El cono al trasladarse describe una circunferencia, al estar O fijo, debido a la rotaci‚n en torno al eje Z “Arrastre” Esta circunferencia serƒ la BASE del movimiento, el centro de la misma se encuentra en el eje fijo del movimiento, por el contrario el eje m‚vil del movimiento “Eje del Cono” contiene al centro de la RULETA, por tanto la ruleta serƒ la circunferencia per†metro de la base del cono, la ‡nica posibilidad de que exista tangencia entre ambas, es que el punto M de contacto entre ambos sea el CIR, cuya velocidad lineal es nula, el punto O tiene tambi•n velocidad lineal nula por lo que el eje OM coincidente con el eje X es el EIR eje instantƒneo de rotaci‚n, que debe contener a la rotaci‚n total y pasar por los puntos de velocidad lineal nula, siendo el mƒs importante el CIR centro instant†neo de rotaci‡n, siendo ademƒs el EIR la generatriz de contacto entre el axoide fijo y el axoide m‚vil. Por lo tanto ya conocemos la direcci‚n de la rotaci‚n total del cono , que serƒ el eje X. Velocidad Angular de Arrastre: Velocidad Angular de Rotaci‚n Propia: Esta tendrƒ dos componentes una seg‡n el eje X y otra seg‡n el eje Y, al estar inclinado el eje del cono. MEC€NICA – INGENIER•A INDUSTRIAL. Ayuda Personalizada al Estudio. MEC€NICA INGENIER•A INDUSTRIAL Ejercicios de Examen Resueltos. Velocidad Angular Total o Rotaci‚n Propia: De la figura nos damos cuenta que el ƒngulo que forma el eje del cono con la horizontal es el mismo que forman la rotaci‚n total con la rotaci‚n propia o spin. Y puesto que •sta es la suma de todas las rotaciones: . b) M‡dulo de la Velocidad lineal del punto m†s alejado del plano horizontal. Se trata del punto P, que es el diametralmente opuesto al punto de contacto M o CIR, utilizaremos la cinemƒtica de velocidades. Vemos que el sentido que nos ha salido, tiene toda la l‚gica y es acorde a los sistemas de referencias que hemos elegido desde el principio. MEC€NICA – INGENIER•A INDUSTRIAL. Ayuda Personalizada al Estudio. MEC€NICA INGENIER•A INDUSTRIAL Ejercicios de Examen Resueltos. c) Axoides del Movimiento. En primer lugar y lo mƒs importante, es que nos dicen Axoides del Movimiento, por lo que no es necesario calcular su ecuaci‚n, sino decir cuƒles son. El Axoide Fijo, su eje es el eje fijo del movimiento y contiene a la BASE del mismo, por lo que estƒ claro que es la circunferencia de radio que en este caso coincide con la base. El Axoide M‡vil, contiene al eje m‚vil del movimiento y a la ruleta, por tanto en este caso es el propio cono, es decir el cono de eje OC, semiƒngulo y radio R. Ambos Axoides son tangentes en la generatriz com‡n EIR eje instant†neo de rotaci‡n. Como hemos visto, lo mƒs importante del ejercicio ha sido, saber que nos estƒn preguntando y representar esto, el resto es operar con las f‚rmulas conocidas de teor†a. MEC€NICA – INGENIER•A INDUSTRIAL.