54 - amontes

Ejercicio 54 Triángulos
Applet CabriJava
(2230-405)
Sean D, E y F puntos sobre los lados BC, CA y AC de un triángulo ABC tales que
BD
CE
AF
=
=
.
DC
EA
FB
Probar que los baricentros de ABC y DEF coinciden.
Consideremos los paralelogramos EABL y F ASM , probar que F L y EM son paralelas a la mediana
de ABC por A.
Sean D0 , E 0 y F 0 los simétricos de D, E y F , respecto al punto medio de cada lado. Probar que el eje
radical de las circunferencias circunscritas a los triángulos DEF y D0 E 0 F 0 es fijo, cuando D varı́a en BC.
SOLUCIÓN:
BD
= ρ), entonces D(0, 1, ρ), en coordenadas
DC
baricéntricas relativas al triángulo ABC. Análogamente, si E y F dividen a los lados CA y AB en la razón ρ, entonces
E(ρ, 0, 1) y F (1, ρ, 0).
La recta que une F con el punto medio (ρ, 1, 1 + ρ) de DE, tiene por ecuación ρx − y(ρ − 1)z = 0; luego, contiene
— Si el punto D divide al lado BC en la razón ρ (es decir,
al baricentro G(1, 1, 1) de ABC. Ası́ mismo, la recta que une D con el punto medio de EF , (ρ − 1)x + ρy − z = 0,
y la que une E con el punto medio de F D, x + (ρ − 1)y − ρz = 0, también contienen al baricentro de ABC. En
consecuencia, ABC y DEF tienen el mismo baricentro.
— La recta paralela por E a AB es x + y − ρz = 0; la paralela por B a AC es x + z = 0. Luego, el punto de
intersección de ambas es L(−1, ρ + 1, 1).
La recta paralela a AB por C es x + y = 0 y la paralela a AC por F es ρx − y + ρz = 0, con lo que su punto de
intersección es M (−ρ, ρ, ρ + 1).
Las recta AG : y − z = 0, EM : x + (ρ + 2)y − ρz = 0 y F L : ρx − y + (2ρ + 1)z = 0, cortan a la recta del infinito,
x + y + z = 0, en el mismo punto: (−2, 1, 1), luego las tres son paralelas.
— La ecuación general de una circunferencia, en coordenadas baricéntricas, se puede poner de la forma
a2 yz + b2 zx + c2 xy + (x + y + z)(px + qy + rz) = 0.
Imponiendo que pase por los puntos D, E y F se obtienen los valores
p=−
b2 ρ − a2 ρ2 + c2 ρ3
,
(1 + ρ)2 (1 − ρ + ρ2 )
La Laguna, Miércoles 7 de Mayo del 2008
q=−
c2 ρ − b2 ρ2 + a2 ρ3
,
(1 + ρ)2 (1 − ρ + ρ2 )
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r=−
a2 ρ − c2 ρ2 + b2 ρ3
.
(1 + ρ)2 (1 − ρ + ρ2 )
Angel Montesdeoca
La ecuación de la circunferencia circunscrita a DEF es:
á
¢
¡ 2 3
¢
¡ 2 3
¢ !
c2 ρ3 − a2 ρ2 + b2 ρ
a ρ − b2 ρ2 + c2 ρ
b ρ − c2 ρ2 + a2 ρ
2
2
2
a yz + b xz + c xy − (x + y + z)
x+
y+
z .
(ρ + 1)2 (ρ2 − ρ + 1)
(ρ + 1)2 (ρ2 − ρ + 1)
(ρ + 1)2 (ρ2 − ρ + 1)
Como casos particulares están: si ρ = 0, es la circunferencia circunscrita a ABC:
a2 yz + b2 zx + c2 xy = 0,
si ρ = 1, es la circunferencia de los nueve puntos:
µ 2
¶
−a + b2 + c2
a2 − b2 + c2
a2 + b2 − c2
2
2
2
c xy + b xz + a yz + −(x + y + z)
x+
y+
z = 0,
4
4
4
y si ρ = −1, es la recta del infinito: x + y + z = 0.
Los puntos simétricos de D, E y F , respecto al punto medio del lado que los contienen son, respectivamente,
D0 (0, ρ, 1), E 0 (1, 0, ρ) y F 0 (ρ, 1, 0); se cumple
BD0
CE 0
AF 0
1
=
=
= .
0
0
0
DC
EA
F B
ρ
La circunferencia circunscrita a D0 E 0 F 0 es:
¶
µ 2
a2 ρ − c2 ρ2 + b2 ρ3
b2 ρ − a2 ρ2 + c2 ρ3
c ρ − b2 ρ2 + a2 ρ3
c2 xy + b2 xz + a2 yz − (x + y + z)
y
+
z
+
x
.
(1 + ρ)2 (1 − ρ + ρ2 )
(1 + ρ)2 (1 − ρ + ρ2 )
(1 + ρ)2 (1 − ρ + ρ2 )
El eje radical de las circunferencias circunscritas a DEF y a D0 E 0 F 0 es:
(b2 − c2 )x + (c2 − a2 )y + (a2 − b2 )z = 0,
que es independiente de ρ.
Su polo trilineal (triplo) es el punto
µ
1
,
b2 − c2
1
,
c2 − a2
1
a2 − b2
¶
.
Se trata del punto de Steiner, intersección del la circunferencia circunscrita a ABC con la elipse de Steiner (circunscrita a ABC y con centro en el baricentro) y el el eje radical hallado es un diámetro de esta elipse. Este punto de
Steiner es el X99 de en ”The Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)” de Clark Kimberling(1)
Observaciones adicionales:
Los centros K y K 0 de las circunferencia circunscritas Γ y Γ0 a los triángulos DEF y A0 B 0 C 0 , respectivamente,
describen una misma cúbica, cuando varı́a D (E ó F , lo mismo da, pues un punto condiciona a los otros), de ecuación
paramétrica:
¡¡
¢
¡
¢¢
¡
¢ ¡
¢
x = −(t − 1)2 (t + 1)a4 + t3 − 3t2 + 2t + 1 b2 + c2 t3 + 2t2 − 3t + 1 a2 − b2 − c2 t b2 − c2 t
¡¡
¢
¢
¡
¢
y = −t2 a4 + t3 + 2t2 − 3t + 1 b2 + c2 t(t + 1) a2 − c4 t − b4 (t − 1)2 (t + 1) + b2 c2 t3 − 3t2 + 2t + 1
¡
¡
¢¢
¡
¢
z = −ta4 + t(t + 1)b2 + c2 t3 − 3t2 + 2t + 1 a2 − b4 t2 − c4 (t − 1)2 (t + 1) + b2 c2 t3 + 2t2 − 3t + 1
Esta cúbica tiene un punto doble en el circuncentro O de ABC, su ası́ntota
(−a4 − 4b4 + 13b2 c2 − 4c4 − 2a2 (b2 + c2 ))x + (−4a4 − 2a2 b2 − b4 + 13a2 c2 − 2b2 c2 − 4c4 )y+
+(−4a4 + 13a2 b2 − 4b4 − 2a2 c2 − 2b2 c2 − c4 )z = 0,
es perpendicular al eje radical (fijo) ` de las circunferencias Γ y Γ0 en el punto de éste:
³
S 8a6 − b6 − 6b4 c2 − 6b2 c4 − c6 − 15a4 (b2 + c2 ) + 3a2 (b4 + 10b2 c2 + c4 ),
(1) http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/index.html
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Angel Montesdeoca
−a6 + 8b6 − 6a4 c2 − 6a2 c4 − c6 − 15b4 (a2 + c2 ) + 3b2 (a4 + 10a2 c2 + c4 ),
´
−a6 − 6a4 b2 − 6a2 b4 − b6 + 3(a4 + 10a2 b2 + b4 )c2 − 15(a2 + b2 )c4 + 8c6 .
La tangente a la cúbica, perpendicular al eje radical `, corta éste en en el punto
³
T b6 − 2b4 c2 − 2b2 c4 + c6 − a4 (b2 + c2 ) + a2 (−3b4 + 10b2 c2 − 3c4 ),
a6 − 2a4 c2 − 2a2 c4 + c6 − b4 (a2 + c2 ) + b2 (−3a4 + 10a2 c2 − 3c4 ),
´
a6 − 2a4 b2 − 2a2 b4 + b6 + (−3a4 + 10a2 b2 − 3b4 )c2 − (a2 + b2 )c4 .
Y la recta la perpendicular, por el punto doble de la cúbica (circuncentro de ABC), a ` corta a ésta en
³
R a6 + 5a2 b2 c2 − 2a4 (b2 + c2 ) − b2 c2 (b2 + c2 ),
b6 + 5a2 b2 c2 − 2b4 (a2 + c2 ) − a2 c2 (a2 + c2 ),
´
−a2 b2 (a2 + b2 ) + 5a2 b2 c2 − 2(a2 + b2 )c4 + c6 .
Los puntos R, S y T obtenidos son puntos denominados ”triangle centers” en ”The Encyclopedia of Triangle Centers
(ETC)” de Clark Kimberling. (Applet CabriJava)
Γ
Γ
http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejtr2230.pdf
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