Transformaciones geométricas

Transformaciones
geométricas
Autores
FERNANDEZ PEREZ-RENDON, ANTONIO LUIS
NECULA, IOANA GABRIELA
MARIN SANCHEZ, JUAN MANUEL
GARRIDO VIZUETE, MARIA DE LOS ANGELES
NAVARRO DOMINGUEZ, MARIA DE LOS ANGELES
CHAVEZ DE DIEGO, MARIA JOSEFA
DELGADO GARRIDO, OLVIDO
FALCON GANFORNINA, RAUL MANUEL
ARRIOLA HERNANDEZ, ROSARIO
RIVA MORENO, YOLANDA DE LA
SANZ DOMINGUEZ, MARIA ISABEL
DIAZ PERNIL, DANIEL
INSTRUCCIONES:
“CÓMO USAR LA REALIDAD AUMENTADA”
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Transformaciones en el plano y en el espacio
Introducción. Conceptos básicos
Definición
Se llama transformación geométrica en el plano (espacio) a toda aplicación
biyectiva t del plano (espacio) en sí mismo. El punto P ' = t(P) se
denomina transformado, homólogo o imagen del punto P.
Definición
Se llaman ecuaciones de una transformación en el plano a las ecuaciones que
permiten calcular las coordenadas del transformado P '(x ',y ') de un
punto P(x,y) dado del plano.
En este curso sólo consideramos transformaciones lineales, cuyas ecuaciones
son de la forma:
o bien, en forma matricial:
Definición
Se llaman ecuaciones de una transformación en el espacio a las ecuaciones
que permiten calcular las coordenadas del transformado P '(x ',y ',z ') de un
punto P(x,y,z) dado del espacio.
3
Definición
Se llama transformación directa, par o positiva a
geométrica que conserva la orientación de los ángulos.
toda
transformación
Se llama transformación inversa, impar o negativa a toda transformación
geométrica que cambia la orientación de los ángulos.
Definición
Se llama isometría o movimiento a toda transformación geométrica que
conserva las distancias. Diremos que una transformación geométrica M es un
movimiento si para cualesquiera puntos del plano o del espacio P y Q se
verifica que d(M(P),M(Q)) = d(P,Q).
Propiedades de las isometrías:
Toda isometría transforma rectas en rectas.
Toda isometría directa conserva el valor y la orientación de los ángulos.
Toda isometría inversa conserva el valor de los ángulos pero cambia su
orientación.
Definición
Se llama elemento doble de una transformación geométrica a todo elemento
geométrico (punto, recta, circunferencia, etc.) que permanece invariante
mediante dicha transformación. A los puntos que verifican esta propiedad (se
transforman en ellos mismos, es decir coinciden con su imagen) se les
llaman puntos fijos o puntos dobles de dicha transformación geométrica.
4
Transformaciones en el plano y en el espacio
Transformaciones geométricas en el plano
Estudiamos en este apartado las principales transformaciones geométricas en
el plano, como son la traslación, el giro, la simetría axial y la homotecia, así
como sus distintas composiciones.
5
Transformaciones en el plano y en el espacio
Traslación
Definición
Dado un vector , se llama traslación de vector , y se denota por , a la
transformación geométrica que asocia a cada punto P del plano otro
punto
de forma que se verifique
.
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Propiedades de la traslación:
Toda traslación es una isometría directa.
Toda traslación transforma rectas en rectas paralelas a ellas.
Los elementos dobles de la traslación
son las rectas paralelas al vector
Una traslación queda determinada si conocemos un punto del plano y su
imagen.
Teorema
La ecuación matricial de la traslación de vector
6
es:
dónde P(x,y) y P '(x ',y ').
7
Transformaciones en el plano y en el espacio
Simetría axial
Definición
Dada una recta e en el plano, se llama simetría respecto del eje e o simetría
axial de eje e, y se denota por Se, a la transformación geométrica que asocia a
cada punto P del plano otro punto P ' = Se(P) de forma que la recta e es la
mediatriz del segmento PP '.
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Propiedades de la simetría axial:
Toda simetría axial es una isometría inversa.
Los únicos puntos dobles de una simetría axial son los puntos del eje. Las
rectas perpendiculares a dicho eje son rectas dobles.
Una simetría axial queda determinada si conocemos un punto del plano y su
imagen.
Teorema
La ecuación matricial de la simetría axial cuyo eje e forma un ángulo α con el
semieje positivo OX, medido desde éste, es:
8
Dónde los parámetros M y N se obtienen imponiendo que un punto cualquiera
del eje, A(a1,a2), sea un punto doble:
9
Transformaciones en el plano y en el espacio
Giro
Definición
Dado un punto C del plano y un ángulo
, se llama giro de centro C y
amplitud α, y se denota por G(C,α), a la transformación que asocia a cada
punto P del plano otro punto P ' = G(C,α)(P) de forma que se verifiquen las dos
condiciones siguientes:
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Propiedades del giro:
Todo giro es una isometría directa.
El único punto doble de un giro es su centro.
Un giro queda determinado si conocemos el centro, un punto y su homólogo
o bien dos puntos y sus respectivos homólogos.
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Definición
Se llama simetría central de centro C al giro de centro C y amplitud 180°.
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Teorema
La ecuación matricial del giro de centro C y amplitud α es:
dónde los parámetros M y N se obtienen imponiendo que el centro C(c1,c2) del
giro sea un punto doble:
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Transformaciones en el plano y en el espacio
Producto de transformaciones
Definición
Dadas dos transformaciones geométricas t1 y t2, se llama producto
de ambas transformaciones, y se denota port2°t1, a la composición de ambas
transformaciones, es decir, al resultado de aplicar primero la transformación t1 y
a
continuación
la
transformación t2,
de
forma
que
si P ' = t1(P) y P '' = t2(P ') entonces (t2°t1)(P) = P ''.
Teorema
Si T1 es la matriz asociada a la transformación t1 y T2 es la matriz asociada a la
transformación t2, entonces la matriz asociada al producto t2°t1 es T2·T1.
Teorema
Producto de traslaciones
El producto de dos traslaciones es otra traslación cuyo vector es la suma de los
vectores de las traslaciones dadas. Es decir:
El producto de traslaciones es conmutativo, es decir, el resultado no depende
del orden en que se apliquen ambas traslaciones.
Teorema
Producto de giros concéntricos
El producto de dos giros concéntricos es otro giro del mismo centro y cuya
amplitud es la suma de las amplitudes de los giros dados. Es decir:
El producto de giros concéntricos es conmutativo, es decir, el resultado no
depende del orden en que se apliquen ambos giros.
Teorema
Producto de giros no concéntricos
El producto de dos giros no concéntricos G(C ',α ')°G(C,α) es:
12
Otro giro G(C '',α+α ') de distinto centro y amplitud α + α ' si α + α '≠2kπ.
Una traslación si α + α ' = 2kπ.
El producto de giros no concéntricos no es conmutativo, es decir, el resultado sí
depende del orden en que se apliquen ambos giros.
Teorema
Producto de giro por traslación
El producto de un giro por una traslación es otro giro de distinto centro y la
misma amplitud. Es decir:
El producto de un giro por una traslación no es conmutativo, es decir, el centro
del giro producto depende del orden en que se apliquen ambas
transformaciones.
Teorema
Producto de simetrías axiales de ejes concurrentes
El producto de dos simetrías axiales de ejes concurrentes, Se2°Se1, es un giro
de centro el punto de intersección de ambos ejes, C = e1 ∩e2, y de amplitud el
doble del ángulo que va del eje de la primera simetría que se aplica hacia el eje
.
de la segunda simetría que se aplica,
Teorema
Producto de simetrías axiales de ejes paralelos
El producto de dos simetrías axiales de ejes paralelos, Se2°Se1, es una
traslación cuyo vector es perpendicular a ambos ejes, su módulo es el doble de
la distancia entre ambos ejes y su sentido es el que va desde el eje de la
primera simetría que se aplica hacia el eje de la segunda simetría que se
aplica.
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Transformaciones en el plano y en el espacio
Homotecia
Definición
Dado un punto C del plano y un número real k≠0, se llama homotecia de
centro C y razón k, y se denota por H(C,k), a la transformación geométrica que
asocia a cada punto P del plano otro punto P ' = H(C,k)(P) de forma
que
.
Propiedades de la homotecia:
Ninguna homotecia (con k≠1) es una isometría.
Toda homotecia transforma puntos alineados en puntos alineados.
Toda homotecia conserva el valor absoluto y la orientación de los ángulos.
El único punto doble de una homotecia de razón k≠1 es su centro. Las
rectas que pasan por el centro son rectas dobles.
Una homotecia queda determinada si conocemos el centro, un punto y su
imagen, o bien si conocemos dos puntos y sus respectivos transformados.
Teorema
La ecuación matricial de la homotecia de centro C y razón k es:
dónde los parámetros M y N se obtienen imponiendo que el centro C(c1,c2) de
la homotecia sea un punto doble:
14
Teorema
El producto de dos homotecias del mismo centro H(C,k ')°H(C,k) es otra
homotecia del mismo centro y de razónk·k '.
Teorema
El producto de dos homotecias de distinto centro H(C ',k ')°H(C,k) es:
Otra homotecia de distinto centro y razón k·k ' si k·k '≠1.
Una traslación si k·k ' = 1.
En ambos casos, los parámetros que definen la transformación producto
deberán ser calculados de forma matricial.
Definición
Se llama semejanza al producto de un movimiento por una homotecia o de una
homotecia por un movimiento.
15
Transformaciones en el plano y en el espacio
Transformaciones geométricas en el espacio
Estudiamos en este apartado las principales transformaciones geométricas en
el espacio, como son la traslación, el giro, las simetrías y la homotecia, así
como sus distintas composiciones.
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Transformaciones en el plano y en el espacio
Traslación
Definición
Dado un vector , se llama traslación de vector , y se denota por , a la
transformación geométrica que asocia a cada punto P del espacio otro
punto
de forma que se verifique
.
Propiedades de la traslación:
Toda traslación es una isometría directa.
Toda traslación transforma puntos alineados en puntos alineados, rectas en
rectas paralelas a ellas y planos en planos paralelos a ellos.
Toda traslación carece de puntos dobles.
Las únicas rectas dobles de la traslación
vector .
La inversa de una traslación de vector
es decir, tu −1 = t − u.
son las rectas paralelas al
es otra traslación de vector
El producto (composición) de dos traslaciones de vectores
traslación de vector
y
.
El conjunto de las traslaciones es un grupo conmutativo.
Teorema
La ecuación matricial de la traslación de vector
es:
dónde P(x,y,z) y P '(x ',y ',z ') representan un punto y su transformado.
17
,
es otra
Transformaciones en el plano y en el espacio
Simetría especular
Definición
Dado un plano π en el espacio, se llama simetría especular respecto del
plano π, y se denota por Sπ, a la transformación geométrica que asocia a cada
punto P del espacio otro punto P ' = Sπ(P) de forma que el plano π es
perpendicular a la recta que une los puntos P y P ' y pasa por el punto medio
del segmento PP '.
Propiedades de la simetría especular:
Toda simetría especular es una isometría inversa.
Toda simetría especular transforma puntos alineados en puntos
alineados, rectas en rectas y planos en planos.
Los únicos puntos dobles de una simetría especular son los puntos del
plano de simetría π.
Las rectas y planos perpendiculares al plano de simetría π son elementos
dobles.
Teorema
La ecuación matricial de la simetría especular respecto del plano π cuyo
vector normal unitario es
viene dada por:
Dónde I es la matriz identidad de orden 3,
y
los parámetros P, Q y R se obtienen imponiendo que un punto cualquiera del
plano de simetría π sea un punto doble.
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Transformaciones en el plano y en el espacio
Giro
Definición
Se llama giro o rotación de eje la recta e y ángulo α, y se denota por G(e,α), a la
transformación geométrica que asocia a cada punto P del espacio otro
punto P ' = G(e,α)(P) de forma que se verifiquen las condiciones siguientes:
P ' pertenece al plano π perpendicular al eje e trazado por el punto P.
El ángulo
es α, donde C es el punto de corte del plano π con el eje e.
d(P,e) = d(P ',e).
Para definir unívocamente el giro al que se hace referencia hay que fijar un
sentido en el eje e de giro o dar un punto y su transformado.
Propiedades de los giros:
Todo giro es una isometría directa.
Todo giro transforma puntos alineados en puntos alineados, rectas en rectas
y planos en planos.
Los únicos puntos dobles de un giro son los puntos del eje e de giro.
Los planos perpendiculares al eje de giro y las esferas centradas en un
punto del eje de giro son elementos dobles.
El conjunto de todos los giros del mismo eje constituyen un grupo
conmutativo.
Debido a la dificultad de expresar las ecuaciones de un giro de eje una
recta e cualquiera, vamos a ver sólo estas ecuaciones cuando el eje de giro
coincide con alguno de los ejes coordenados.
Teorema
Giro de eje OX y ángulo α
La ecuación matricial de un giro de eje OX y ángulo α, cuando tomamos
el sentido creciente de dicho eje, es:
19
Teorema
Giro de eje OY y ángulo α
La ecuación matricial de un giro de eje OY y ángulo α, cuando tomamos
el sentido creciente de dicho eje, es:
Teorema
Giro de eje OZ y ángulo α
La ecuación matricial de un giro de eje OZ y ángulo α, cuando tomamos
el sentido creciente de dicho eje, es:
20
Transformaciones en el plano y en el espacio
Simetría axial
Definición
Dado una recta e, se llama simetría axial de eje e, y se denota por Se, a la
transformación geométrica que asocia a cada punto P del espacio otro
punto P ' = Se(P) de forma que se verifiquen las condiciones siguientes:
P y P ' están en un plano perpendicular al eje e de la simetría.
La recta definida por P y P ' es perpendicular al eje de la simetría.
Si M es el punto de corte del eje e de simetría con la recta PP ', ambos
puntos, P y P ', distan lo mismo de M.
Propiedades de las simetrías axiales:
Toda simetría axial es una isometría directa.
Toda simetría axial transforma puntos alineados en puntos alineados, rectas
en rectas y planos en planos.
Los únicos puntos dobles de una simetría axial son los puntos del eje de
simetría e.
Las rectas normales al eje de simetría son rectas dobles. Los planos
normales al eje de simetría y los que contienen a éste son planos dobles.
Teorema
Una simetría axial de eje e es un giro de eje e y amplitud 180°.
Teorema
La ecuación matricial de la simetría axial de eje e cuyo vector director unitario
es
, viene dada por:
21
dónde I es la matriz identidad de orden 3,
y los
parámetros P, Q y R se obtienen imponiendo que un punto cualquiera del eje
de simetría e sea un punto doble.
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Transformaciones en el plano y en el espacio
Simetría central
Definición
Dado un punto C del espacio, se llama simetría central de centro C, y se
denota por SC, a la transformación geométrica que asocia a cada punto P del
espacio otro punto P ' = SC(P) de forma que se verifiquen las dos condiciones
siguientes:
Los puntos P, C y P ' son colineales.
C es el punto medio del segmento PP '
Propiedades de las simetrías centrales:
Toda simetría central es una isometría inversa.
Toda simetría central transforma puntos alineados en puntos alineados,
rectas en rectas paralelas y planos en planos paralelos.
El único punto doble de una simetría central es su centro C.
Las rectas y los planos que pasan por el centro C de la simetría son
elementos dobles. Las esferas centradas en el centro de la simetría son
elementos dobles
Teorema
La ecuación matricial de la simetría central de centro C(C1,C2,C3) es:
23
Transformaciones en el plano y en el espacio
Producto de transformaciones
Teorema
Producto de simetrías axiales
El producto de dos simetrías axiales cuyos ejes son paralelos es una traslación de
vector perpendicular a ambos cuyo módulo es el doble de la distancia entre
ambas rectas.
El producto de dos simetrías axiales cuyos ejes se cortan en un punto M es un
giro de eje la recta r perpendicular a ambos ejes por el punto M y ángulo el doble
del que forman ambas rectas.
El producto de dos simetrías axiales cuyos ejes se cruzan es el producto de una
traslación por un giro (o de un giro por una traslación).
Teorema
Producto de giros
El producto de dos giros de ejes paralelos es:
Otro giro respecto a un eje paralelo a ambos si la suma de los dos ángulos de
giro no es múltiplo de 2kπ.
Una traslación si la suma de los dos ángulos de giro es múltiplo de 2kπ, en
cuyo caso el vector de la traslación es perpendicular a ambos ejes y su módulo
es el doble de la distancia entre ambos.
El producto de dos giros cuyos ejes se cortan es otro giro cuyo eje pasa por la
intersección de los ejes dados.
El producto de dos giros cuyos ejes se cruzan es igual al producto de dos
simetrías axiales cuyos ejes se cruzan.
Definición
Se llama movimiento helicoidal al producto de un giro por una traslación de
vector paralelo al eje del giro.
Teorema
Propiedades de los movimientos helicoidales
Una transformación es un movimiento helicoidal si y sólo si es producto de dos
simetrías axiales.
Todo producto de traslación por giro, o de giro por traslación, es un movimiento
helicoidal, cualquiera que sea la dirección del vector de la traslación.
El conjunto de los movimientos helicoidales es un grupo que coincide con el
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grupo de los movimientos directos.
Teorema
Descomposición de una traslación
Toda traslación de vector se puede descomponer en el producto de dos
simetrías especulares cuyos planos son perpendiculares a la dirección del
vector , separados una distancia
y tales que el sentido desde el primer
plano hacia el segundo coincide con el sentido del vector .
Teorema
Descomposición de un giro
Todo giro en el espacio de eje e y de amplitud α se puede descomponer en el
producto
de
dos
simetrías
especulares
de
planos π1 y π2 tales
es igual en magnitud y sentido a α/2.
que π1 ⋂ π2 = e y el diedro
Teorema
Descomposición de una simetría axial
Toda simetría axial de eje e se puede descomponer en el producto de dos
simetrías especulares de planos perpendiculares entre sí y que se cortan en e.
Teorema
Descomposición de una simetría central
Toda simetría central de centro C se puede descomponer en el producto de
una simetría especular de un plano que pase por C y de una simetría axial cuyo
eje sea perpendicular al plano anterior y que pase por C.
25
Transformaciones en el plano y en el espacio
Homotecia
Definición
Dados un punto C del espacio y un número real k≠0, se llama homotecia de
centro C y razón k, y se representa por H(C,k), a la transformación geométrica
que asocia a cada punto P del espacio otro punto P ' = H(C,k)(P) que verifica
.
Definición
Una homotecia se llama directa si la razón es positiva; en caso contrario,
diremos que la homotecia es inversa.
Teorema
Toda homotecia de razón k≠1 no es un movimiento.
Teorema
La ecuación matricial de la homotecia de centro C(C1,C2,C3) y razón k es:
dónde C 'j = Cj (1 − k) para j = 1, 2, 3.
Teorema
Producto de homotecias
El producto de dos homotecias del mismo centro C es otra homotecia de
centro C y
razón
igual
al
producto
de
las
razones,
es
decir, H '(C,k ')°H(C,k) = H ''(C,k·k ')
El producto de dos homotecias de distinto centro es:
k·k '≠1 Otra homotecia, cuyo centro está alineado con los centros de las
homotecias dadas y de razón el producto de las razones de dichas homotecias,
es decir, H '(C ',k ')°H(C,k) = H ''(C '',k·k ').
k·k ' = 1 Una traslación cuyo vector es paralelo a la línea que une los centros
26
de las dos homotecias, es decir,H '(C ',k ')°H(C,k) = T .
Definición
Se llama semejanza de razón k a la aplicación compuesta de una homotecia
de razón k y de un movimiento.
La semejanza se llama directa si la razón de la homotecia es positiva; en caso
contrario, diremos que la semejanza es inversa.
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Transformaciones en el plano y en el espacio
Problemas propuestos
Problema 1
Hallar los puntos dobles e identificar los movimientos dados por las matrices:
Solución: A: Ta=(2,3), B: G(C(9/2, −1/2), −90°), C: Sx − y+1=0
Problema 2
Calcular la matriz de la simetría S que transforma el punto (1, − 1) en el
punto ( −3, 3).
Solución:
Calcular el centro del giro G, de amplitud π/2, que transforma el punto (2, 2) en el
punto (0, 4).
Solución: C(0, 2)
Determinar el movimiento que resulta de componer S°G°Sy=1, donde S y G son la
simetría y el giro de los dos apartados anteriores.
Solución: S°G°Sy=1 = Tv=(0,2)
˙
Problema 3
Descomponer la traslación de vector v = (1, − 1) como producto de simetrías
axiales. Demostrar que la recta 2x + 2y − 1 = 0 es doble.
Solución: Tv=(1, −1) = Sy=x − 1°Sy=x
Identificar la transformación de matriz
28
y descomponerla
como producto de simetrías axiales.
Solución: Giro G(C(0,2),90°) = Sy=x+2°Sy=2
˙
Problema 4
Obtener las ecuaciones de una simetría que transforma el punto P(1, − 1) en el
punto P '(4, 2).
Solución:
Completar los huecos en las siguientes igualdades:
Sy=3x°Sy=3x − 2 = T___
Solución: Sy=3x°Sy=3x − 2 = Ta=( −6/5,2/5)
G((2, −2),180°)°T(4,4) = S___°Sy= −x°Sy= −x°S___ = S___°S___ = G( ___ ,__ )
Solución: G((2, −2),180°)°T(4,4) = Sy=x − 4°Sy= −x°Sy= −x°Sy= −x − 4 = Sy=x − 4°Sy= −x − 4 = G(C′
(0, −4),180°)
˙
Problema 5
Obtener la matriz de la traslación de vector perpendicular a v = (1, 2) que
transforma el punto A(3, 1) en un punto de la recta x − y + 1 = 0.
Solución:
Identificar, descomponiendo previamente en producto de simetrías, el
movimiento G(A(3,1), −90°)°T( −2,0) y obtener sus ecuaciones.
Solución:
,
˙
29
Problema 6
Identificar la transformación geométrica de matriz
.
Solución: Sy=x − 1
Hallar la ecuación matricial del giro que transforma el punto P(0, − 1) en P '(0, 1) y
el punto Q(3, 1) en Q '(2, − 2).
Solución:
Obtener las ecuaciones de e1 y de e2 para que se verifique:
Solución: e1: x = 0, e2: y = x − 1
˙
Problema 7
Hallar las ecuaciones de las siguientes transformaciones geométricas:
Una traslación Tv que transforma la circunferencia de centro (2, 0) y radio 5 en la
circunferencia de ecuación x2 +y2 + 4x − 4y − 17 = 0.
Solución:
Un giro G(C,α) que transforma la recta y = x + 2 en y = − x + 4, siendo C el punto de
corte de ambas rectas y α > 0.
Solución:
Una simetría Se cuyo eje es paralelo a la recta y = 2x + 3 y que transforma en sí
misma a la cónica x2 +y2 − 4x − 2y + 1 = 0.
30
Solución:
Sea M el movimiento de matriz
y sea U(0,a).
Calcular a para que la transformaciónTU°M sea una simetría axial y obtener su eje.
Solución: a = 2, eje:x − 3y + 2 = 0
˙
Problema 8
Obtener las ecuaciones de las rectas A, B y C y las coordenadas del punto (a,b) para
que se cumpla la siguiente expresión:
t(2,0)°g((1,0),90°) = SA°Sx=1°SB°SC = g((a,b),90°)
Solución: A : x = 2, B : x = 1, C : y = x − 1, (a,b) = (2, 1)
Sea Se una simetría de eje paralelo a la recta y = 2x que transforma el origen de
coordenadas en un punto de la recta x + y − 3 = 0. Se pide:
Obtener la ecuación del eje e.
Solución: eje: y = 2x − 15/2
Obtener las ecuaciones de Se.
Solución:
Hallar la ecuación de la imagen de la cónica x2 − 4x + y2 − 25 = 0 mediante la
transformación Se.
Solución: (x − 26/5)2 + (y + 7/5)2 = 29
˙
Problema 9
Hallar la ecuación de una homotecia de centro C(2, 0) que transforma el
31
punto A(4, 2) en el punto A '( −2, − 4).
Solución:
Completar los espacios en las siguientes igualdades:
T( −3,3) = Sy=x+1°S____
Solución: T( −3,3) = Sy=x+1°Sy = x − 2
G((1,1),90°) = S____°Sy=x
Solución: G((1,1),90°) = Sx = 1°Sy=x
˙
Problema 10
Hallar las ecuaciones de las siguientes transformaciones geométricas:
Giro de centro C(1, 0) que transforma P(2, 1) en P '(2, − 1).
Solución:
Simetría axial de eje paralelo a la recta y = x tal que el transformado de Q(1, 1) está
en la recta x + 2y = 2.
Solución:
Homotecia de centro C(1, 0) que transforma la recta x + 2y = 0 en la recta x + 2y + 1
= 0.
Solución:
˙
Problema 11
32
Calcular las ecuaciones de las siguientes transformaciones geométricas en el
plano:
Simetría que transforma la circunferencia (x − 2)2 + (y − 2)2 = 2 en x2 + y2 + 2x + 2y =
0.
Solución:
Homotecia de centro C( −1, − 1) que transforma la recta y = − x + 2 en la
recta y = − x + 6.
Solución:
Giro de ángulo 45° que tiene como elemento doble la circunferencia (x + 1)2 +
2
(y − 3) = 4.
Solución:
Semejanza que se obtiene al aplicar primero una traslación de vector v = ( −1, 2) y
luego una homotecia de centroC(1, 3) que transforma el punto P( −1, 0) en el
punto P '( −3, − 3).
Solución:
˙
(Examen de febrero, curso 2009–2010)
Problema 12
Hallar las ecuaciones del giro de centro C( −1, − 1) que
transforma B(0, − 2) en B '( −2, 0).
Solución:
33
Obtener la razón de una homotecia de centro C(2, 2) tal que el transformado del
origen esté en la recta x + y = − 8.
Solución: k = 3
Hallar las ecuaciones de una homotecia que tiene por centro el origen de
coordenadas y el homólogo del puntoA(2, 1) está sobre la recta x + 3y = 10.
Solución:
Calcular las ecuaciones de una semejanza que resulta al aplicar una simetría de eje
e: y = x + 1 y a continuación una homotecia de razón k = 2 que transforma el
punto A(2, 3) en el punto A '(3, 5).
Solución:
˙
Problema 13
2
2
Dar las ecuaciones e identificar la figura transformada de (x −4) + y = 4 mediante
las siguientes transformaciones geométricas:
Sy=2x+1
, (x + 16/5)2 + (y −18/5)2 = 4
Solución:
H(C(0,0), −2)
, (x + 8)2 + y2 = 16
Solución:
Ta=(1,2)
Solución:
, (x + 5)2 + (y −2)2 = 4
Completar los espacios, según corresponda, en las siguientes igualdades:
34
T(2,3)°T__ = T( −5,5)
Solución: T(2,3)°T( −7,2) = T( −5,5)
Sy=x −2°Sy= −x+1 = ____
Solución: Sy=x −2°Sy= −x+1 = G(C(3/2, −1/2),180°)
G( ___ ,__ )°G((3,4),90°) = Sy=1°Sx=3°S__°Sy=x+1 = G( ___ ,__ )
Solución: G(C(3,1),180°)°G((3,4),90°) = Sy=1°Sx=3°Sx=3°Sy=x+1 = G(C '(0,1), −90°)
H( ___ , −2)°H((4,1),__ ) = H((4,1), −6)
Solución: H((4,1), −2)°H((4,1),3) = H((4,1), −6)
˙
Problema 14
Identificar la transformación geométrica de matriz
.
Solución: G(P(1,−1),180°)
Calcular el eje y las ecuaciones de una simetría de eje paralelo a la recta x + y − 4 =
0 que deja invariante la circunferencia x2 − 4x + y2 − 2y + 1 = 0.
Solución: Eje: x + y = 3
Obtener las ecuaciones de las rectas e1 y e2 para que se verifique:
Solución: e1: y = 2
e2: y = x
˙
(Examen de junio, curso 2010–2011)
35
Problema 15
Obtener
los
transformados
de
los
siguientes
puntos
mediante
las
transformaciones geométricas en el espacio indicadas:
P(4, 5, 2) mediante la traslación de vector v = (−3, 0, 6).
Solución: P '(1, 5, 8)
P(0, 3, 6) mediante la simetría especular de plano π: −x + y + z + 3 = 0.
Solución: P '(8, 5, − 2)
P(7, − 1, 3) mediante el giro de eje OY de ángulo 90° y sentido creciente.
Solución: P '(3, − 1, − 7)
P( −1, 9, − 3) mediante la simetría central de centro el punto M(1, 0, − 3).
Solución: P '(3, − 9, − 3)
P(3, 5, 2) mediante la homotecia de centro C(6, 2, − 1) y razón 2.
Solución: P '(0, 8, 5)
P(0, 8, − 3) mediante la simetría axial de eje e cuya ecuación vectorial es (x,y,z) =
(2, 1, 2) + λ (1, 0, 0).
Solución: P '(0, − 6, 7)
˙
Problema 16
Calcular las ecuaciones de las siguientes transformaciones geométricas en el
espacio:
Simetría especular respecto del plano que pasa por el punto P(1, 0, 0) y cuyo vector
normal es n = (1, − 1, 2).
Solución:
Giro de eje OZ, ángulo 45° y en sentido creciente.
36
Solución:
Traslación que transforma el punto P(1, 3, 6) en el punto P '(1, 5, 4).
Solución:
Movimiento helicoidal resultante de la composición de la traslación y el giro (en
ese orden) anteriores.
Solución:
˙
Problema 17
Dados los planos de ecuaciones π1: x + y = 1 y π2: x + y = 4, encontrar las ecuaciones
del movimiento M =Sπ2°Sπ1.
Solución:
Dados los planos de ecuaciones π1: z = 1 y π2: x + y − z = 2, encontrar las ecuaciones
del movimiento M =Sπ2°Sπ1. ¿De qué movimiento se trata?
Solución:
eje π1 ⋂ π2
, Giro de
˙
Problema 18
37
Calcular las ecuaciones de la transformación geométrica en el espacio
resultante de efectuar primero un giro de ejeOY y ángulo 90° en sentido
creciente y a continuación una traslación de vector v = (0, 3, 0). ¿Qué
transformación resulta?
Solución:
, Movimiento helicoidal
Problema 19
Calcular las ecuaciones de la simetría axial de eje la bisectriz del plano OY Z.
¿Cuál es el transformado del punto P(1,1, 1) mediante dicha simetría axial?
, P '( −1, 1, 1)
Solución:
Problema 20
Obtener la matriz de una traslación de vector paralelo a v = (1, 2) que transforma la
recta de ecuación x − y + 1 = 0en x − y + 4 = 0.
Solución:
Identificar, descomponiendo en producto de simetrías, el
movimiento M = T( −2,0) ∘ G((3,1), −90°) y hallar sus ecuaciones.
Solución: G((2,2), −90°)
Sea S la simetría especular de plano 3x + 4y = 0.
Calcular la ecuación matricial de S.
Solución:
38
Hallar la ecuación del transformado del eje OY .
Solución:
˙
(Examen de junio, curso 2009–2010)
Problema 21
Hallar la ecuación de la homotecia H de razón k > 0 que transforma la
circunferencia x2 + y2 − 2y = 0 en la circunferencia x2 + y2 − 2y − 8 = 0.
Solución:
Obtener la ecuación de la simetría axial S respecto de la cual son invariantes el
punto P(2, 1) y la recta x + y + 3 = 0.
Solución:
Dar la matriz del giro en el espacio de eje OY y amplitud π/4 en sentido creciente.
Hallar también el punto Q del espacio cuyo transformado mediante dicho giro es el
punto Q′(1, 2,−1).
Solución:
, Q(√2, 2, 0)
˙
(Examen de diciembre, curso 2010–2011)
Problema 22
Para un estudio gráfico plano hay que aplicar, en primer lugar, la simetría de
eje r: x−y + 2 = 0 y posteriormente el giro de centro el punto C(−2, 1) y
amplitud α = − 90°, obteniéndose un movimiento que denotaremos por M.
Calcular la matriz asociada a la transformación M.
39
Solución:
¿Presenta M puntos dobles? Justificar la respuesta.
Solución: No
Expresar M como M = Se°Tv, descomponiendo para ello el giro dado en el
enunciado en producto de simetrías axiales.
Solución:
Hallar la ecuación matricial de la simetría axial de eje
.
Solución:
˙
(Examen de febrero, curso 2010–2011)
Problema 23
A la circunferencia x2 + y2 − 8x + 12 = 0 se le aplica un giro de centro el origen de
coordenadas y amplitud 60°, transformándose en C '. Esta circunferencia,
mediante la traslación de vector v = (2, 2), se transforma en C ''. Hallar la ecuación
de C ''.
Solución: x2 + y2 − 8x− 4(1 +√ 3)y + 28 + 8√3 = 0
2
Si a la parábola de ecuación y = x se le aplican los mismos movimientos que a la
circunferencia anterior, ¿cuál será la ecuación de la parábola resultante?
Solución: 3x2 + y2 − 2√3xy + (4√3 − 14)x + (2√3 − 4)y + 20 − 4√3
˙
Problema 24
Consideramos el giro de amplitud π/4 que transforma el punto (1, 1) en
el ( −3, 0):
40
¿Cuál es su matriz?
¿Qué punto es su centro?
(√2/2 − 1/2, − 2√2
− 3/2)
( −3 − √
2, 0)
( −√12, −
(√2/2 − 1, 1/2
3/2)
− √2)
( −2, 0)
( −2, −√ 2 − 1)
La imagen del punto (0, −√ 2) es:
( −√2 − 1, − 2)
(0, −√ 2)
˙
Problema 25
Se necesita aplicar la simetría cuyo eje es paralelo a la recta y = − 3x y que
transforma el origen de coordenadas en un punto de la recta x − y + 2 = 0.
La ecuación de su eje es:
3x + y + 10 = 0
y = −3x
3x + y + 5 = 0
No tenemos información suficiente sobre la simetría como para
calcular su eje.
La ecuación matricial de la simetría es:
No es posible obtener la ecuación matricial de esta simetría
porque la pendiente de la recta que determina su eje es −3.
41
2
2
La ecuación de la imagen de la circunferencia x + y + 2x + 4y + 1 = 0 mediante la
simetría es:
No se pueden aplicar transformaciones geométricas a objetos que
no sean puntos.
x2 + y2 + 2x + 4y + 1 = 0
x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0
x2 + y2 = 2
˙
Problema 26
De las siguientes matrices,
transformación Sy=2x°Sy=2x+1:
señala
la
que
Ninguna de las anteriores.
Problema 27
42
representa
a
la
Consideramos la homotecia que tiene como imágenes de (0, 3) y (3, − 3/2) a
los puntos (4, − 2) y (3, − 1/2), respectivamente.
El centro de la homotecia es:
Para las homotecias, no se define ningún punto como centro
(4, − 1)
(3, − 3/4)
(12, − 3)
El vector de la homotecia es:
Para las homotecias, no se define ningún vector
(4, − 5)
(0, 1)
(4, − 1)
La razón de la homotecia es:
1/3
−1/3
3
−3
La matriz de la homotecia es:
˙
Problema 28
Marca la opción correcta para que se verifiquen las siguientes igualdades:
G((1,1),90°) = Sy=x°S
43
H(
,8)
x=1
y=1
y=−x+2
Ninguna de las anteriores
= H((2,0), −4)°H((2,0),
)
(2, 0) y 2
(0, 2) y −2
(2, 0) y −3
Ninguna de las anteriores
˙
Problema 29
En un estudio conjunto se consideran las siguientes transformaciones
geométricas en el espacio:
Simetría especular respecto del plano que contiene al punto (2, 1, 0) y es paralelo
a x − y + 3 = 0.
Giro de eje OX, ángulo 3π/4 y en sentido creciente.
Traslación que transforma el punto ( −1, 3, 4) en (1, 4, 3).
Simetría axial de eje
.
Simetría central de centro ( −2, 6, 1).
Homotecia de razón 3 que transforma el punto (1, 0, − 2) en el (2, 5, − 1).
Movimiento helicoidal
Semejanza Sx − y − 1=0°H(( −1,1,0),3).
˙
Se necesita indicar, para cada transformación, si alguna de las matrices
dadas a continuación es su matriz y en caso afirmativo escribir cuál de
ellas.
44
45