Equivalencias en Lógica de Predicados Equivalencias con
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Equivalencias en Lógica de Predicados Equivalencias con
Equivalencias con Cuantificadores Los cuantificadores introducen nuevas equivalencias de sentencias de la lógica de predicados: I.2 Equivalencias en Lógica de Predicados ∃X [r(X) ∨ q(X)] = ∃X r(X) ∨ ∃X q(X) ∀X [r(X) ∧ q(X)] = ∀X r(X) ∧ ∀X q(X) 2 1 Equivalencias con Cuantificadores Equivalencias con Cuantificadores Pero otras no son equivalencias: Al combinarlos con una negación: ∃X [r(X) ∧ q(X)] → ∃X r(X) ∧ ∃X q(X) ∀X r(X) ∨ ∀X q(X) →∀X [r(X) ∨ q(X)] ¬[∀X r(X)] = ∃X ¬r(X) ¬[∃X r(X)] = ∀X ¬r(X) ¬[∀X ¬r(X)] = ∃X r(X) ¬[∃X ¬r(X)] = ∀X r(X) 3 4 Consecuencia Lógica Los cuantificadores introducen nuevas reglas al aplicar inferencias lógicas: I.2 Consecuencias Lógicas en Lógica de Predicados Regla de Especificación Universal Si ∀X f(X) es verdadero, entonces la proposición f(a) también es verdadera, donde a es una constante. 6 5 Consecuencia Lógica Consecuencia Lógica Como ejemplo, sean: En Lógica de Predicados: ∀x[m(x)→c(x)] m(juan) ∴c(juan) m(X): X es un profesor de matemáticas c(X): X ha estudiado cálculo. Todos los profesores de matemáticas han estudiado cálculo. Juan es profesor de matemáticas. Por lo tanto, Juan a estudiado cálculo. 7 Consecuencia Lógica 1) ∀x[m(x)→c(x)] 2) m(juan) 3) m(juan)→c(juan) 4) c(juan) 8 Consecuencia Lógica premisa premisa especificación universal modus ponens Regla de Generalización Universal Si f(a) es verdadero para cualquier a, entonces ∀Xf(X) es verdadero. 9 Consecuencia Lógica 10 Consecuencia Lógica 1) ∀x[p(x)→q(x)] 2) p(c)→q(c) 3) ∀x[q(x)→r(x)] 4) q(c)→r(c) 5) p(c)→r(c) 3) ∀x[p(x)→r(x)] Ejemplo ∀x[p(x)→q(x)] ∀x[q(x)→r(x)] ∴∀x[p(x)→r(x)] 11 premisa Esp. Universal premisa Esp. Universal Silogismo Gen. Universal 12