6 AREAS DE FIGURAS PLANAS - MATEMÁTICAS DEL COLEGIO

Transcripción

6.
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
EN ESTA UNIDAD VAS A APRENDER
ÁREAS
POLÍGONOS
RECTÁNGULO
CUADRADO
TRAPECIO
PARALELOGRAMO
ROMBO
TRIÁNGULO
POLÍGONO IRREGULAR
FÓRMULA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
CÍRCULO
FÓRMULA
FIGURAS IRREGULARES
Colegio Vizcaya
Áreas de figuras planas - 119
PARA EMPEZAR
1. Calcula el área y el perímetro de una habitación rectangular de dimensiones 7,4 m y 3,5 m.
2. Halla el área de una parcela triangular de 20 cm de base y 15 cm de altura.
3. Halla el perímetro y el área de un círculo de 20 cm de radio.
4. Las bases de un trapecio isósceles miden 73 cm y 28 cm. Calcula su área sabiendo que su altura mide
20 cm.
5. Halla el área de los siguientes polígonos:
a) Un cuadrado de 48 cm de perímetro.
b) Un rectángulo que tiene 100 cm de perímetro y 40 cm de base.
c) Un triángulo cuya base mide 18 cm y su altura 10 dm.
d) Un rombo cuyas diagonales miden 10 y 16 cm.
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PARA APRENDER
ÁREA DEL RECTÁNGULO
Observa el largo y el alto del rectángulo.
A lo largo (base = b) tiene 4 cm.
A lo alto (altura = h) tiene 3 cm.
3 cm
1cm2
4 cm
En total, para cubrir todo el rectángulo hemos necesitado .
* El área de un rectángulo se calcula multiplicando su base por su altura.
A rectángulo = b ⋅ h
h
b
ÁREA DEL CUADRADO
Un cuadrado es un caso particular de rectángulo
en el que la base y la altura son iguales al lado (l).
En total, para cubrir el cuadrado hemos necesitado 3·3 = 32 = 9 cm2.
1cm2
* El área de un cuadrado se calcula elevando al cuadrado su lado.
A cuadrado = l ⋅ l=l 2
h
b
ÁREA DEL PARALELOGRAMO
Tomamos un paralelogramo cualquiera y dibujamos su altura:
Cortamos siguiendo la altura y así obtenemos dos piezas:
El triángulo lo desplazamos a la derecha y lo unimos con la
otra pieza:
Obtenemos un rectángulo que tiene la misma base y altura
que el paralelogramo del inicio. Entonces el paralelogramo
y el rectángulo tienen la misma área porque se componen
de las mismas piezas.
* El área de un paralelogramo se calcula multiplicando su base por su altura.
A paralelogramo = b ⋅ h
h
b
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PARA PRACTICAR
2. Calcula el área de un rectángulo cuyos lados miden 12'5 y 13'5 cm.
3. Calcula el área de un cuadrado cuyo perímetro es igual al de un rectángulo de lados 5 y 3 cm.
4. Se quiere embaldosar un suelo de 12 m de largo y 8 de ancho con baldosas cuadradas de 0'25 m de
lado. Calcula el área del suelo y de las baldosas, así como la cantidad de baldosas necesarias para
embaldosar el suelo.
5. Un paralelogramo tiene 25 cm de altura y una base que mide cinco veces más que la altura.
Calcula su área.
6. Calcula el área de un paralelogramo de 42 cm de perímetro y 12 cm de altura.
PARA APRENDER
ÁREA DEL TRIÁNGULO
Tomamos un triángulo:
Cogemos otro triángulo igual que el anterior y lo
unimos haciendo coincidir dos lados iguales para
obtener un paralelogramo.
La base y la altura del paralelogramo son la base y la
altura de cada triángulo. Además, el área de cada triángulo es la mitad de la del paralelogramo.
* El área de un triángulo se calcula multiplicando su base por su altura y el
resultado se divide entre 2.
A triángulo =
b⋅h
2
* Si el triángulo es rectángulo, se toma
como base uno de los catetos y como
altura el otro.
h
b
h
b
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ÁREA DE UN TRAPECIO
Como hemos hecho para calcular el área del triángulo, para calcular la del trapecio también vamos
a tomar dos trapecios iguales y los vamos a unir por uno de los lados oblicuos:
b
B+b
h
h
B
B+b
De esta forma se obtiene un paralelogramo de base (B+b) y de altura h.
El área del paralelogramo será:
A paralelogramo = (B+b )⋅ h
Entonces la del trapecio que es la mitad de la del paralelogramo será: A trapecio =
(B+b )⋅ h
2
* El área de un trapecio se calcula multiplicando la suma de las dos bases por
la altura y dividiendo el resultado entre 2.
b
A trapecio =
(B+b )⋅ h
h
2
B
ÁREA DEL ROMBO
Observa el siguiente rombo:
D
d
Tiene dos diagonales.
A la diagonal menor la indicamos con la letra d.
A la diagonal mayor la indicamos con la letra D.
Si lo cortamos por la mitad, nos damos cuenta de que está compuesto por dos triángulos iguales:
La base de uno de los triángulos es la diagonal menor (d)
y la altura es la mitad de la diagonal mayor (D/2)
A triángulo =
D/2
b ⋅ h d ⋅ (D/2)
=
2
2
Como el rombo son dos triángulos:
A rombo =
d
d ⋅D
2
* El área de un rombo se calcula multiplicando sus dos
diagonales y dividiendo el resultado entre 2.
A rombo
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D ⋅d
=
2
D
d
PARA PRACTICAR
7. Calcula el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 13'5 y 12'3 cm.
8. Calcula el área de un triángulo equilátero cuyo perímetro es 15 cm.
9. Calcula el área de un rombo cuyas diagonales miden 25 y 16 cm.
10. Calcula el área de un trapecio de 7 cm de altura y cuyas bases miden 9 y 5 cm.
11. Calcula el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 12 y 15 cm y su lado oblicuo mide 5 cm.
PARA APRENDER
ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR
Vamos a calcular el área del siguiente polígono regular:
Si trazamos todos sus radios, vemos que el polígono
queda dividido en 6 triángulos iguales:
Si calculamos el área de uno de esos triángulos, bastará con multiplicar el resultado por el número de lados y así obtendremos el área del polígono.
Tomemos uno de esos triángulos:
La base del triángulo es el lado (l) del polígono.
La altura del triángulo corresponde con el
apotema (a) del polígono
b ⋅ h l ⋅a
A triángulo =
=
2
2
a
a
l
l
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Ahora multiplicamos por el número de lados:
Como 6·l = perímetro:
A hexágono =
A hexágono = 6 ⋅
l ⋅a
2
p ⋅a
2
* El área de un polígono regular se calcula multiplicando su perímetro por
su apotema y dividiendo el resultado entre 2.
A polígono regular =
p ⋅a
2
a
l
ÁREA DE UNA FIGURA IRREGULAR
Para calcular el área de una figura irregular, ésta se
descompone en figuras más sencillas de las que sepamos
calcular su área (triángulos, rectángulos, trapecios,…).
Se calcula el área de cada una de esas figuras y luego se suman todas las cantidades.
ÁREA DEL CÍRCULO
* El área de un círculo se calcula elevando al cuadrado su radio y
multiplicando por π .
A círculo = π ⋅ r 2
r
Recuerda:
Longitud de la circunferencia: L = d ·π = 2 · r ·π
ÁREA DE UNA CORONA CIRCULAR
2c
m
Calcula el perímetro y el área de la siguiente corona circular.
5 cm
¿Podrías dar una fórmula para el área de una corona circular?
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PARA PRACTICAR
12. En una mesa hexagonal se quieren sentar seis alumnos. ¿Qué superficie le corresponde a cada uno
si la mesa tiene 4'8 m de lado y su apotema es 4'2 m?
13. El edificio del Departamento de Defensa de Estados Unidos tiene forma de pentágono regular.
Si los lados miden 120 m y su apotema mide 85 m, calcula los km2 que ocupa.
14. Calcula el área de las siguiente figura:
12 m
5m
2m
2m
10 m
16 m
15. Calcula la superficie de una bandeja circular de 40 cm de diámetro.
16. Calcula el área de la siguiente figura:
100 m
40 m
17. Calcula el área de un jardín que tiene forma de corona circular de 16 y 12 cm.
18. En una plaza circular de 10 m de radio se quiere colocar en el centro una fuente de forma circular
de 5 m de radio. ¿Qué área tiene la plaza que rodea a la fuente?
19. Una plaza de toros tiene 50 m de radio y el pasillo de detrás de la barrera es de 3 m.
Calcula el área del pasillo.
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PARA ENTRENAR
20. Calcula el perímetro y el área de un triángulo equilátero de 4,5 cm de lado y 2,6 cm de altura.
21. Halla el área de un hexágono regular cuyo lado mide 6 cm y su apotema es de 40 mm.
22. Calcula el área de un trapecio cuyas bases miden 8 y 5 m y su altura es de 45 dm.
Calcula el perímetro del trapecio anterior.
23. ¿Cuánto medirá el área de cada uno de los cuatro triángulos iguales que se forman al dibujar las dos
diagonales de un rombo, si éstas miden 9,4 cm y 6,6 cm?
24. Un rectángulo tiene 221 cm2 de área.
a) ¿Cuánto mide la altura de dicho rectángulo, si su base es de 17 cm?
b) Calcula su perímetro.
25. El perímetro de un pentágono regular es de 45 cm, y su apotema de 64 mm. ¿Cuál es su área?
26. Calcula el área de un círculo de 9 cm de diámetro y la longitud de su circunferencia
correspondiente.
27. Calcula el área de un círculo sabiendo que su circunferencia mide 3,768 dm.
28. Averigua el perímetro y el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 58 y 48 mm,
respectivamente y su lado oblicuo 1’3 cm.
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29. Calcula la superficie de las siguientes figuras.
b)
c)
d)
8m
4m
a)
6m
3’5 m
5’2 m
5m
4m
e)
f)
g)
h)
3’5 m
8’7 dm
12 m
8’2 m
j)
k)
8m
6’4 cm
5m
4 cm
7 cm
n)
8’2 m
l)
4 cm
9m
m)
o)
6m
12
3 cm
p) 8 m
5m
’2
m
7’4 m
8m
9m
6 cm
12 m
7m
i)
10 dm
4’2
cm
12 m
10 cm
4m
8m
5m
r)
D=?
15 m
u)
d=4 m
A=16 m2
B=12 cm
v)
x=?
5 cm
b=?
A=50 cm2
l=9 m
A=60 m2
s)
6m
t)
3m
b=?
a=?
A=60 m2
A=12 cm2
w)
6’9 m
l=?
A=165’5 m2
x) 10 m
10 m
10 m
5m
q)
4m
4m
12 m
29 m
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30. Calcula la superficie de un hexágono regular de 8 cm de lado.
31. Un jardín de forma rectangular de 48 m de largo por 36 m de ancho se ha sembrado de hierba,
dejando un paseo alrededor de 3 m sin sembrar. ¿Cuánto habrá costado la siembra si nos cobran a 15 €
el m2?
32. Calcula el área de las siguientes figuras:
10 m
6 cm
6m
20 m
2 cm
6’3 m
15 m
2’5 m
7m
6m
30 m
4m
1’5 m
2’5 m
6 cm
5 cm
8 cm
6m
3 cm
3m
2 cm
33. El área de un triángulo es 18,86 cm2. Si la altura mide 4,6 cm, ¿cuánto mide la base?
34. El lado de un rectángulo es doble que el otro y su perímetro es de 21 cm. Averigua su área.
35. La base de un triángulo isósceles mide 32 cm y los otros lados 38 cm cada uno.
Calcula su perímetro y su área.
36. Halla el perímetro y el área de:
2m
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3m
5m
0’4 m
37. Una piscina rectangular de 10 m de largo por 5 m de ancho está rodeada por un paseo de 40 cm.
¿Cuánto mide el borde exterior del paseo?
0’4 m
38. Encuentra el área de las figuras coloreadas, sabiendo que el cuadrado es de 2 cm de lado.
3 cm
39. Halla el área de la figura coloreada:
5c
m
4 cm
40. Calcula el área de un triángulo cuya base mide 18 cm y su altura 2/3 de la base.
41. Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de 2 cm de radio .
Dibújalo y calcula el área del recinto comprendido entre ambas.
42. Para embaldosar un patio rectangular, se han necesitado 175 baldosas de 20 dm2 cada una.
¿Cuántas baldosas cuadradas de 50 cm de lado necesitaremos para cubrir el patio, idéntico, de mis
vecinos?
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43. El área de un rombo es 24 cm2. Si una de sus diagonales mide 8 cm, ¿cuál será su perímetro?
44. Calcula el área de las figuras coloreadas:
2 cm
3 cm
1cm
20 cm
45. Koldo quiere poner baldosas en su habitación que mide 3’2 cm de ancho por 4’8 cm de largo.
Las baldosas son cuadradas de 40 cm de lado. Calcula cuánto le costará si cada baldosa cuesta 4 €
y la mano de obra 11 € el m2.
46. Una fuente circular de 5 m de radio está rodeada de un paseo de 3 m de ancho.
¿Cuántos metros necesita el jardinero para vallar el paseo?
¿Cuánto cuesta embaldosar el paseo si sale a 5 € el m2?
47. Calcula el área del jardín interior del Pentágono (Washinton) suponiéndole 50 m de lado y 35 m de
apotema.
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48. Calcula el área de la siguiente figura sabiendo que el cuadrado exterior tiene un lado de 7 cm.
49. Calcula el perímetro y el área del siguiente círculo:
10 cm
8m
50. Calcula la longitud del contorno y el área de la parte coloreada:
8m
51. En un parque circular de 10 m de radio se quiere colocar en el centro una fuente también circular
de 5 m de radio. ¿Qué superficie del parque rodea a la fuente?
52. Alrededor de un campo circular de 11 m de radio se construye un paseo de 2 m de ancho.
¿Cuál será el área del paseo?
53. Un agricultor tiene un campo cuadrado cuyo lado mide 30 m. Vende una franja de 12 m de ancho.
¿Cuántos m2 le quedan para sus cultivos?
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54. Halla el área de las siguientes figuras:
10 mm
3m
4m
7m
4m
6m
15
7
3 cm
12 cm
4 cm
8 cm
5’5 cm
5m
4’33 m
5m
5m
6 dam
6 dam
6 dam
24 dam
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55. Calcula la altura de un triángulo cuya base es de 12 cm y su área de 30 cm2.
56. Calcula el perímetro y el área de un trapecio de bases 24 y 12 cm, si su altura es de 0’85 m.
57. ¿Cuál es la superficie de una corona circular cuyos radios son 40 y 18 cm?
58. Una vaca está atada a un árbol que se encuentra en un prado. Si la cuerda tiene 12 m de longitud,
¿cuál es el área de prado que se halla al alcance del animal?
59. En un campo de fútbol el radio del círculo central mide 9,15 m.
Calcula la longitud de la circunferencia central que hay que pintar.
60. Calcula el área y el perímetro de:
38 m
12 cm
30 m
10’4 cm
24’2 m
12 m
20 m
da
m
32 dm
25
15 dm
49 dam
48 dm
6 km
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61. Calcula el área de los siguientes polígonos descomponiendo en suma de triángulos.
Las cuadrículas son de 1 cm.
90 m
62. Un terreno tiene forma de rombo. Si las diagonales miden 180 m y 90 m,
¿cuál debería ser el lado de un cuadrado de igual área?
180 m
63. Un terreno tenía forma cuadrangular. Posteriormente le añadieron dos parcelas que son triángulos
rectángulos isósceles. Sabiendo que el área del cuadrado mide 1600 m2, calcula cuánto costará
vallar la nueva parcela, si el metro cuadrado de valla cuesta 36’20 €.
64. Se fabrica un espejo con forma de octógono regular como el de la figura. Calcula su área.
80 c
m
6 cm
96’
65. Se colocan 9 discos de 1 m de diámetro según el dibujo. Calcula el área de la región coloreada.
66. El perímetro del cuadrado interior es de 32 cm. Calcula el área y el perímetro del cuadrado
exterior.
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67. Calcula el área de la figura:
1m
2m
1m
1m
2’5 m
1m 1m 1m 1m 1m
68. Los arcos de la figura siguiente pertenecen a circunferencias de 6 m de radio. Calcula su área.
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