Práctico 3

2◦ Cuatrimestre 2016
Prof. G. Calandrini
Funciones de Variable Compleja
Trabajo Práctico N◦ 3
1. Halle el lı́mite de las siguientes funciones en los puntos indicados y determine el dominio
donde son continuas:
(a) f (z) = z.z ,
 2
z

 z
en z0 = −i.
(b) f (z) = 

2z 2 + (2 + 4i)z + 4i
(c) f (z) =
,
z + 2i
(e) f (z) =
en z0 = −2i.



sen(x − y)
+ i(1 + y 2 − x2 ) , si x 6= y
x−y


1 + i,
si x = y
, si z 6= 0
0,
2
(d) f (z) = e1/z ,
,
en z0 = 0.
si z = 0
en z0 = 0.
en z0 = 0.
2. Se desean estudiar los siguientes lı́mites
(a) limz→0
xy
2
x + y2
(b) limz→0
x2 y 2
x2 + y 2
(c) limz→0
xy 2
x2 + y 4
de la siguiente forma:
i) Calcular los lı́mites en coordenadas polares. Reemplazar x = r cos θ, y = rsenθ, y luego
calcular el lı́mite cuando r tiende a cero.
ii) Calcular los lı́mites direccionales tomando un haz de rectas y = mx , y x → 0 .
iii) Compare los resultados obtenidos en los dos pasos anteriores.
iv) Calcular los limites direccionales tomando una parabola x = y 2 , e y → 0 .
v) ¿Qué conclusión puede decir acerca de la existencia o no de los lı́mites que se quieren
estudiar? ¿En alguno de los casos puede utilizar la propiedad 3 de lı́mites de la página
18 en la guı́a de teorı́a, sobre uniformidad en θ ?
vi) Trate de resolver el caso (b) aplicando otras propiedades, sin usar coordenadas polares.
3. Calcule los siguientes lı́mites:
Re(z) + Im(z) − 1
z−i
z
(c) limz→∞ e
(a) limz→i
2z 4 + 1
z4 + 1
1
(d) limz→i
(z − i)2
(b) limz→∞
1
4. Muestre que la función f (z) = ln|z| + iArg(z), 0 ≤ Arg(z) < 2π es discontinua sobre el rayo
Arg(z) = 0.
5. Muestre que la función f (z) = |z|1/3 [cos(Arg(z)/3) + i sen(Arg(z)/3)], −π < Arg(z) ≤ π, es
discontinua sobre el rayo Arg(z) = π.
6. Calcule, por definición, la derivada de las siguientes funciones y determine en qué puntos
del plano complejo existe.
(a) f (z) = z n
(b) f (z) = z
7. Sea f (z) = |z|2 . Verifique que las ecuaciones de Cauchy - Riemann se cumplen sólo si z = 0.
¿Qué se puede decir entonces acerca de la existencia de f 0 (z) si z 6= 0? ¿Existe f 0 (0)?
8. Halle las regiones, si existen, donde las siguientes funciones son continuas, derivables y
analı́ticas. Donde sea posible, calcule f 0 (z).
(c) f (z) = yx2 − y + i xy 2
(d) f (z) = yx3 + i(x + 2y 3 ).
(a) f (z) = zz + 2z
(b) f (z) = cosh(x)cos(y) + i senh(x)sen(y)
9. Las ecuaciones de Cauchy - Riemann en coordenadas polares son:
∂u
1 ∂v
=
,
∂r
r ∂θ
∂v
1 ∂u
=−
, r 6= 0.
∂r
r ∂θ
Estudie la continuidad y la analiticidad de las siguientes funciones utilizando coordenadas
polares. Donde sea posible calcular f 0 (z) = e−iθ (ur + i vr ).
(a) f (z) = ln|z| + iArg(z), −π < Arg(z) ≤ π.
(b) f (z) = |z|1/n ei
(c) f (z) =
−iz
,
|z|2
Arg(z)
n
, −π < Arg(z) ≤ π,
z 6= 0.
z 6= 0.
 3 3
x −y +i(x3 +y 3 )


,

x2 +y 2
10. Muestre que la función f (z) = 


0,
si x + yi 6= 0
,
si x + yi = 0
es continua y satisface las ecuaciones de Cauchy - Riemann en z = 0, pero no tiene derivada
en ese punto. [Observe que f 0 y las derivadas parciales de u y v en z = 0 deben calcularse por
definición]
11. Sea f (z) = f (x + iy) = u(x, y) − i,
donde u(x, y) =
 xy2

 x2 +y4 ,
si
(x, y) 6= (0, 0)


si
(x, y) = (0, 0)
0,
Considere los teoremas 19, 20, 21, 22, y 23 de la guı́a de teorı́a para responder los siguientes
puntos:
(a) Calcule ux (x, y) para (x, y) 6= (0, 0) y para (x, y) = (0, 0).
(b) Muestre que ux (x, y) es discontinua en (0, 0) [utilice lı́mites direccionales sobre un haz
de rectas y = mx].
2
(c) ¿La discontinuidad de ux (x, y) en (0, 0) implica que u(x, y) no es diferenciable y que f
no es derivable en z = 0?
(d) Muestre que se verifican las ecuaciones de Cauchy - Riemannn en (0, 0). ¿Esto implica
que f es derivable en z = 0?
(e) ¿u(x, y) es discontinua en (0, 0)? [recuerde ejercicio 2].
(f) ¿La discontinuidad de u(x, y) en (0, 0) implica que u(x, y) no es diferenciable y que f no
es derivable ni continua en z = 0?
12. Utilice propiedades para hallar la región del plano complejo donde las siguientes funciones
son analı́ticas y calcule su derivada allı́:
(a) f (z) =
z
z 2 +3
z
e
(b) g(z) = zcos
(z)
(c) f (z) =
1
ez +1
13. Muestre que u(x, y) es una función armónica y halle su armónica conjugada.
(a) u(x, y) = Im(z 2 + 3z + 1)
(b) u(x, y) = sen(x)cosh(y).
(c) u(x, y) = Arg(z) ,
−π < Arg(z) < π.
14. Halle la función analı́tica f (z) = u(x, y) + iv(x, y), a partir de su parte real o imaginaria,
que verifique la condición indicada:
(a) v(x, y) = e−y sen(x),
f (π) = 2.
(b) u(x, y) = 2x + x2 − y 2 + y,
f (i) = 0.
15. Muestre que:
(a) ez = ez ,
(c) sen(z) = sen(z)
(b) |e−2z | < 1 si y sólo si Re(z) > 0.
(d) cos(z) = cos(x)cosh(y) − isen(x)senh(y)
16. Halle todos los valores de z tales que:
(a) ez = −2
(b) ez = −1 − i
(c) senh(z) = 0
(d) cos(z) = 5
17. Teniendo en cuenta la siguiente notación:
Log(z) = ln|z| + iArg(z), z 6= 0, −π < Arg(z) ≤ π,
log(z) = ln|z| + iarg(z), z 6= 0, arg(z) = Arg(z) + 2kπ, k ∈ ZZ.
(a) Pase a la forma binómica los siguientes números complejos:
√
√
√ )
Log(
2
+
i
2).
log(−1)
Log( 1−i
2
(b) Muestre que:
(i) log(z1 z2 ) = log(z1 ) + log(z2 ).
(ii) log(z1 /z2 ) = log(z1 ) − log(z2 ).
Observación. Ambas igualdades deben entenderse en el sentido que cada valor del primer
miembro es un valor del segundo miembro y recı́procamente.
3
18. ¿Son válidas las propiedades anteriores para la función Log z?
19. Muestre que:
(a) eLog z = z para toda rama de log z, y para todo número complejo no nulo. Sin embargo,
la igualdad: Log ez = z, no vale para todo z, independientemente de la rama que se elija.
(b) Existe una rama del logaritmo para la cual Log(1 + i)2 = ln 2 + i 25 π, pero cualquiera sea
la rama escogida 2Log(1 + i) 6= ln 2 + i 25 π
20. Sea f (z) = Log( 1+iz
). Considere la rama principal (k = 0) del logaritmo con −π <
1−iz
Arg(z) ≤ π. Halle la región del plano complejo donde f es analı́tica y calcule su derivada allı́.
21. Verifique que:
(a) arc sen z = 1i log(iz +
(b) arc cos z = 1i log(z +
√
1 − z2)
√
z 2 − 1)
(c) arc tg z = 2i log( 1−iz
) = 2i log( i+z
)
1+iz
i−z
22. (a) Hallar el valor de arc sen 0
23. Ramas y puntos de ramificación de
(b) Resolver la ecuación tg z = 2i.
√
z.
√
(a) Dada la función multivaluada f (z) = z, 0 ≤ Arg(z) < 2π. Considere un punto z que
recorre una circunferencia alrededor de z = 0, partiendo del eje real positivo. Elija una rama
de f o función univaluada que varı́e continuamente sobre la curva, verifique que al finalizar el
recorrido, su imagen no regresa al valor inicial, si no que se acerca al valor de la “otra rama”.
Luego z = 0 es un punto de ramificación.
√
(b) ¿Cúal es el punto de ramificación de f (z) = z − 1?
(c) Calcule los siguientes lı́mites:
√
√
(i) limz→1 z, 0 ≤ Arg(z) < 2π, 1 = 1.
√
√
(ii) limz→1 z, −π < Arg(z) ≤ π, 1 = 1 .
24. Potencias y raı́ces de números complejos.
(a) Calcule
(b) Calcule
q
√ 3 q
√
−1 + i 3 y (−1 + i 3)3
q
4
√ 2 q
√
−1 + i 3 y 4 (−1 + i 3)2
(c) Observando (a) y (b), ¿qué puede decir de la propiedad
4
√
n
√ m
z m = ( n z) ?