INTEGRACIÓN POR PARTES

Matemáticas II
INTEGRACIÓN POR PARTES
Las integrales que podemos resolver con este método son:
∫ x n cos xdx n ∈ N, n ≥ 1
a. Integrales de la forma: ∫ x n sin xdx
b. Integrales de la forma: ∫ e x cos xdx
∫ e x sin xdx
c. Integrales de la forma: ∫ x n ln xdx
n∈N
d. Integrales de la forma: ∫ sin n xdx
∫ cos n xdx
e. Integrales de la forma: ∫ arcsin xdx
∫ x n e x dx
n ∈ N, n > 1
∫ arccos xdx
∫ arctan xdx
∫ arccot xdx
En el ejercicio n o 8, antes de integrar por partes considera que cos 2 x = 1 1 + cos 2x
2
En el ejercicio n o 9 haz primero el cambio de variable:
y = arcsin x 
1.
∫ arcsin xdx = arcsin xx − ∫
x = sin y
dx = cos ydy
1
x dx = arcsin xx + 1 − x 2  + C
1 − x 2 
1
∫ x 2 arctan xdx = 13 arctan xx 3 − ∫
x 3 dx = 1 arctan xx 3 − 1 x 2 + 1 ln3 + 3x 2  + C
3
6
6
31 + x 2 
3. ∫ x cos xdx = x sin x − ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C
2.
4.
∫ cos x lnsin xdx = lnsin x sin x − ∫ cos x dx = lnsin x sin x − sin x + C
5.
∫ arcsin 2xdx = arcsin 2xx − ∫
2
x dx = arcsin 2xx + 1 1 − 4x 2  + C
2
1 − 4x 2 
∫ x 1 + x dx = 23 x 1 + x − ∫
7. ∫ x 2 e 3x dx = 1 x 2 e 3x − ∫ 2 xe 3x dx =
3
3
3
3
3
5
2
− 4
+C
1 + x dx = 2 x 1 + x
1 + x
3
15
3
1 x 2 e 3x − 2 xe 3x + ∫ 2 e 3x dx = 1 x 2 e 3x − 2 xe 3x + 2 e 3x + C
3
9
9
3
9
27
1
1
1
1
1 2x
2x
2
2x
2x
2x
2x
8. ∫ e cos xdx = ∫ e 1 + cos 2xdx = ∫ e dx + ∫ e cos 2xdx = e + 8 e cos 2x + 18 e 2x sin 2x + C
2
2
2
4
1
1
1
arcsin
x
y
y
y
arcsin
x
2
9. ∫ e
dx = ∫ e cos ydy = e cos y + e sin y = e
1 − x + 1 e arcsin x x + C
2
2
2
2
10. ∫ x sin xdx = − x cos x − ∫− cos x dx = − x cos x + sin x + C
6.
11.
∫ xe x dx = xe x − ∫ e x dx = xe x − e x + C
∫ x 2 ln xdx = 1 ln xx 3 − ∫ 13 x 2 dx = 1 ln xx 3 − 1 x 3 + C
3
3
9
13. ∫ x 2 sin xdx = − x 2 cos x − ∫−2x cos x dx = − x 2 cos x + 2x sin x + ∫−2 sin x dx =
12.
− x 2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C
14. ∫ x 3 e 2x dx = 1 x 3 e 2x − ∫ 3 x 2 e 2x dx = 1 x 3 e 2x − 3 x 2 e 2x + ∫ 3 xe 2x dx =
2
2
2
4
2
1 x 3 e 2x − 3 x 2 e 2x + 3 xe 2x − ∫ 3 e 2x dx = 1 x 3 e 2x − 3 x 2 e 2x + 3 xe 2x −
2
4
4
4
2
4
4
2
1
x
1
2
2
15. ∫ x arctan xdx = arctan xx − ∫
dx = arctan xx − 1 x +
2
2
2
21 + x 2 
16. ∫ sin x sin 3xdx = − 1 sin x cos 3x − ∫ − 1 cos x cos 3x dx =
3
3
− 1 sin x cos 3x + 1 cos x sin 3x + ∫ 1 sin x sin 3x dx
3
9
9
Obtenemos la siguiente igualdad:
∫ sin x sin 3xdx = − 13 sin x cos 3x + 19 cos x sin 3x + 19 ∫ sin x sin 3x dx
8 ∫ sin x sin 3xdx = − 1 sin x cos 3x + 1 cos x sin 3x
9
3
9
Isabel Rodríguez Fernández
3 e 2x + C
8
1 arctan x + C
2
1
Matemáticas II
9 sin x cos 3x + 1 cos x sin 3x = − 3 sin x cos 3x + 1 cos x sin 3x
∫ sin x sin 3xdx = − 24
8
8
8
1
x3
1
1
2
2
2
2
2
17. ∫ x arcsin x dx = 2 arcsin x x − ∫
dx = 2 arcsin x x + 2 1 − x 4  + C
4
1−x
18.
19.
20.
21.
22.
∫ e ax sin bxdx = − 2 b 2 e ax cos bx + 2 a 2 e ax sin bx + C
a +b
a +b
1
1
∫ sin 3x cos 2xdx = −
cos 5x − cos x + C
10
2
∫ sin 4 xdx = − 14 sin 3 x cos x − 38 cos x sin x + 38 x + C
4 cos 2 x sin x + 8 sin x + C
∫ cos 5 xdx = 15 cos 4 x sin x + 15
15
2 cos 3 x + C
∫ sin 3 x cos 2 xdx = − 15 cos 3 x sin 2 x − 15
Isabel Rodríguez Fernández
2