Categorías de funtores enraizadas

Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Categorías de funtores enraizadas
Manuel Cortés Izurdiaga
(Trabajo conjunto con Blas Torrecillas)
Universidad de Almería
II Congreso jóvenes investigadores RSME
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Outline
1
Introducción
2
La categoría (C, Ab)
3
Clases de funtores
4
Aplicaciones
A categorías
Aplicaciones a anillos con suficientes idempotentes
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Punto de partida
REPRESENTACIONES DE QUIVERS INFINITOS
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Punto de partida
REPRESENTACIONES DE QUIVERS INFINITOS
Quivers enraizados.
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Punto de partida
REPRESENTACIONES DE QUIVERS INFINITOS
Quivers enraizados.
ANILLOS DE MATRICES TRIANGULARES
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Punto de partida
REPRESENTACIONES DE QUIVERS INFINITOS
Quivers enraizados.
ANILLOS DE MATRICES TRIANGULARES
Representación de la categoría de módulos sobre un anillo
de matrices.
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Representaciones de quivers
Quiver
Un quiver es un grafo dirigido: Q = (V , A)
V = Conjunto de vértices.
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Representaciones de quivers
Quiver
Un quiver es un grafo dirigido: Q = (V , A)
V = Conjunto de vértices.
A = Conjunto de flechas a : u → v .
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Representaciones de quivers
Quiver
Un quiver es un grafo dirigido: Q = (V , A)
V = Conjunto de vértices.
A = Conjunto de flechas a : u → v .
Fijamos R un anillo.
Representación de Q por módulos sobre R: Rep-Q
Es un funtor X : Q → R−Mod
1
X (u) es un R-módulo, ∀u ∈ V .
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Representaciones de quivers
Quiver
Un quiver es un grafo dirigido: Q = (V , A)
V = Conjunto de vértices.
A = Conjunto de flechas a : u → v .
Fijamos R un anillo.
Representación de Q por módulos sobre R: Rep-Q
Es un funtor X : Q → R−Mod
1
X (u) es un R-módulo, ∀u ∈ V .
2
X (a) : X (u) → X (v ) es un morfismo de módulos, ∀a ∈ A.
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Representaciones de quivers
OBJETIVO
Caracterizar propiedades de X en la categoría Rep-Q en
función de propiedades de:
Los módulos X (u).
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Representaciones de quivers
OBJETIVO
Caracterizar propiedades de X en la categoría Rep-Q en
función de propiedades de:
Los módulos X (u).
Los morfismos X (a).
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Anillos de matrices triangulares
Anillo de matrices triangulares
Dados R, S anillos y M un (R, S)-bimódulo
R M
T =
0 S
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Anillos de matrices triangulares
Categoría Mod-T (Green, 1982)
La categoría Mod-T es equivalente a la categoría:
OBJETOS: Triples (X , Y , ϕ)
X ∈ Mod-R.
Y ∈ Mod-S.
ϕ : X ⊗R M → Y es S-morfismo
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Anillos de matrices triangulares
Categoría Mod-T (Green, 1982)
La categoría Mod-T es equivalente a la categoría:
OBJETOS: Triples (X , Y , ϕ)
X ∈ Mod-R.
Y ∈ Mod-S.
ϕ : X ⊗R M → Y es S-morfismo
MORFISMOS: Pares (f , g) : (X , Y , ϕ) → (U, V , ψ):
f : X → U morfismo en Mod-R;
g : Y → V morfismo en Mod-S;
El siguiente diagrama conmuta:
X ⊗M
f ⊗1
-U ⊗M
ϕ
?
Y
ψ
g
-
?
V
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Anillos de matrices triangulares
Objetivo
Caracterizar propiedades de M = (X , Y , ϕ) en Mod-T en
función de:
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Anillos de matrices triangulares
Objetivo
Caracterizar propiedades de M = (X , Y , ϕ) en Mod-T en
función de:
XR .
YS .
ϕ : X ⊗ M → Y.
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Anillos de matrices triangulares
Objetivo
Caracterizar propiedades de M = (X , Y , ϕ) en Mod-T en
función de:
XR .
YS .
ϕ : X ⊗ M → Y.
Módulos projectivos
M = (X , Y , ϕ) es projectivo en Mod-T si y sólo si:
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Anillos de matrices triangulares
Objetivo
Caracterizar propiedades de M = (X , Y , ϕ) en Mod-T en
función de:
XR .
YS .
ϕ : X ⊗ M → Y.
Módulos projectivos
M = (X , Y , ϕ) es projectivo en Mod-T si y sólo si:
1
X es projectivo en Mod-R;
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Anillos de matrices triangulares
Objetivo
Caracterizar propiedades de M = (X , Y , ϕ) en Mod-T en
función de:
XR .
YS .
ϕ : X ⊗ M → Y.
Módulos projectivos
M = (X , Y , ϕ) es projectivo en Mod-T si y sólo si:
1
X es projectivo en Mod-R;
2
Y
Im ϕ
es proyectivo en Mod-S;
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Anillos de matrices triangulares
Objetivo
Caracterizar propiedades de M = (X , Y , ϕ) en Mod-T en
función de:
XR .
YS .
ϕ : X ⊗ M → Y.
Módulos projectivos
M = (X , Y , ϕ) es projectivo en Mod-T si y sólo si:
1
X es projectivo en Mod-R;
2
Y
Im ϕ
3
ϕ es monomorfismo.
es proyectivo en Mod-S;
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Dónde aplicar estas ideas?
Categoría de funtores aditivos sobre una categoría preaditiva
pequeña.
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Dónde aplicar estas ideas?
Categoría de funtores aditivos sobre una categoría preaditiva
pequeña.
Notación
C = Categoría preaditiva pequeña;
(C, Ab) = Categoría de funtores covariantes aditivos
F : C → Ab.
Ab = Categoría de grupos abelianos.
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Dónde aplicar estas ideas?
Categoría de funtores aditivos sobre una categoría preaditiva
pequeña.
Notación
C = Categoría preaditiva pequeña;
(C, Ab) = Categoría de funtores covariantes aditivos
F : C → Ab.
Ab = Categoría de grupos abelianos.
Proceso
1
Describir funtores F : C → Ab como los módulos sobre
anillos de matrices;
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Dónde aplicar estas ideas?
Categoría de funtores aditivos sobre una categoría preaditiva
pequeña.
Notación
C = Categoría preaditiva pequeña;
(C, Ab) = Categoría de funtores covariantes aditivos
F : C → Ab.
Ab = Categoría de grupos abelianos.
Proceso
1
Describir funtores F : C → Ab como los módulos sobre
anillos de matrices;
2
Asociar un quiver a C.
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Descripción de (C, Ab)
Notación
C = Categoría preaditiva pequeña;
(C, Ab) = Categoría de funtores covariantes aditivos
F : C → Ab.
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Descripción de (C, Ab)
Notación
C = Categoría preaditiva pequeña;
(C, Ab) = Categoría de funtores covariantes aditivos
F : C → Ab.
a, b, c ∈ C objetos;
M, F , G ∈ (C, Ab) objetos;
p : (C, Ab) → D funtor.
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
La categoría (C, Ab)
Notación
Rc el anillo textrmEnd C (c) para todo c ∈ C;
Rab el grupo abeliano HomC (a, b) para todos a, b ∈ C;
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Notación
Rc el anillo textrmEnd C (c) para todo c ∈ C;
Rab el grupo abeliano HomC (a, b) para todos a, b ∈ C;
Rab es un (Ra , Rb )-bimódulo ∀a, b ∈ C;
Existe un morfismo: tabc : Rab ⊗Rb Rbc → Rac de bimódulos
∀a, b, c ∈ C.
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Notación
Rc el anillo textrmEnd C (c) para todo c ∈ C;
Rab el grupo abeliano HomC (a, b) para todos a, b ∈ C;
Rab es un (Ra , Rb )-bimódulo ∀a, b ∈ C;
Existe un morfismo: tabc : Rab ⊗Rb Rbc → Rac de bimódulos
∀a, b, c ∈ C.
Rab ⊗Rb Rbc ⊗Rc Rcd
tabc ⊗1
- Rac ⊗R Rcd
c
tacd
1⊗tbcd
?
Rab ⊗Rb Rbd
?
tabd
-
Rad
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Descripción de los funtores
Para cualquier F : C → Ab
(a)F es un Ra -módulo a derecha ∀a ∈ C;
(a)F × Ra
(x, ra )
-
7→
(a)F
x · ra := (x)(ra )F
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Descripción de los funtores
Para cualquier F : C → Ab
(a)F es un Ra -módulo a derecha ∀a ∈ C;
(a)F × Ra
(x, ra )
-
7→
(a)F
x · ra := (x)(ra )F
F : (a)F ⊗
Existe un Rb -morfismo sab
Ra Rab → Rb para
cualesquiera a, b ∈ C;
(a)F ⊗Ra Rab
x ⊗ ra
-
7→
(b)F
(x)(ra )F
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Descripción de los funtores
El diagrama conmuta:
(a)F ⊗Ra Rab ⊗Rb Rbc
F ⊗1
sab
- (b)F ⊗R Rbc
b
F
sbc
1⊗tabc
?
(a)F ⊗Ra Rac
?
F
sac
-
(c)F
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Descripción de los funtores
Estas propiedades determinan el funtor!
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Descripción de los funtores
Estas propiedades determinan el funtor!
Todo funtor F : C → Ab queda determinado
Por una familia (Ma , sab )a,b∈C tal que:
1
Ma ∈ Mod-Ra para todo a ∈ C;
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Descripción de los funtores
Estas propiedades determinan el funtor!
Todo funtor F : C → Ab queda determinado
Por una familia (Ma , sab )a,b∈C tal que:
1
Ma ∈ Mod-Ra para todo a ∈ C;
2
sab : Ma ⊗Ra Rab → Mb es un Rb -morfismo;
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Descripción de los funtores
Estas propiedades determinan el funtor!
Todo funtor F : C → Ab queda determinado
Por una familia (Ma , sab )a,b∈C tal que:
1
Ma ∈ Mod-Ra para todo a ∈ C;
2
sab : Ma ⊗Ra Rab → Mb es un Rb -morfismo;
3
El diagrama conmuta:
Ma ⊗Ra Rab ⊗Rb Rbc
sab ⊗1
- Mb ⊗R Rbc
b
sbc
1⊗tabc
?
Ma ⊗Ra Rac
?
sac
-
Mc
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Descripción de las transformaciones naturales
M ) → (N , s N ) transformación natural:
τ : (Ma , sab
a ab
τ = (τa )a∈C tal que
τa : Ma → Na en Mod-Ra ;
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Descripción de las transformaciones naturales
M ) → (N , s N ) transformación natural:
τ : (Ma , sab
a ab
τ = (τa )a∈C tal que
τa : Ma → Na en Mod-Ra ;
El diagrama conmuta:
Ma ⊗Ra Rab
τa ⊗1ab
- Na ⊗R Rab
a
M
sab
N
sab
?
Mb
?
τb
-
Nb
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Notas
Anillos de matrices triangulares
La categoría Mod-T es equivalente a la categoría:
OBJETOS: Triples (X , Y , ϕ)
X ∈ Mod-R.
Y ∈ Mod-S.
ϕ : X ⊗R M → Y es S-morfismo
MORFISMOS: Pares (f , g) : (X , Y , ϕ) → (U, V , ψ):
f : X → U morfismo en Mod-R;
g : Y → V morfismo en Mod-S;
El siguiente diagrama conmuta:
X ⊗M
f ⊗1
-U ⊗M
ϕ
?
Y
ψ
g
-
?
V
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Interpretación
Estamos representando
T =
R M
0 S
= Categoría de funtores sobre C = {a, b}
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Interpretación
Estamos representando
T =
R M
0 S
= Categoría de funtores sobre C = {a, b}
Ra = EndC (a) = R;
Rb = EndC (b) = S;
Rba = HomC (b, a) = M;
Rab = HomC (a, b) = 0
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Interpretación
En función de idempotentes
1 0
0 0
Si e1 =
y e2 =
, entonces:
0 0
0 1
Ra = R =
1 0
0 0
T
1 0
0 0
= e1 Te1
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Interpretación
En función de idempotentes
1 0
0 0
Si e1 =
y e2 =
, entonces:
0 0
0 1
Ra = R =
Rb = S =
1 0
0 0
0 0
0 1
T
T
1 0
0 0
0 0
0 1
= e1 Te1
= e2 Te2
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Interpretación
En función de idempotentes
1 0
0 0
Si e1 =
y e2 =
, entonces:
0 0
0 1
Ra = R =
Rb = S =
Rba = M =
1 0
0 0
0 0
0 1
1 0
0 0
T
T
T
1 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 1
= e1 Te1
= e2 Te2
= e1 Te2
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Primera fase completa
Proceso
1
Describir funtores F : C → Ab como los módulos sobre
anillos de matrices;
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Primera fase completa
Proceso
1
Describir funtores F : C → Ab como los módulos sobre
anillos de matrices;
2
Asociar un quiver a C.
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Funtores
Primera aplicación de la representación
Q
Relacionar las categorías (C, Ab) y c∈C Mod-Rc .
(C, Ab) q
p
-
Y
c∈C
Mod-Rc
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Funtores
Primera aplicación de la representación
Q
Relacionar las categorías (C, Ab) y c∈C Mod-Rc .
(C, Ab) q
p
-
Y
Mod-Rc
c∈C
Funtor q
(C, Ab)
(Ma , sab )a,b∈C
(τa )a∈C
q
-
Q
c∈C Mod-Rc
(Ma )a∈C
(τa )a∈C
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Funtores
(C, Ab) q
p
-
Y
c∈C
Mod-Rc
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Funtores
(C, Ab) q
p
-
Y
Mod-Rc
c∈C
Funtor p
(C, Ab)
L
b∈C Mb ⊗ Rba , sab a,b∈C
L
b∈C τb ⊗ 1ba a∈C
p
Q
c∈C Mod-Rc
(Ma )a∈C
(τa )a∈C
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Funtores
(C, Ab) q
p
-
Y
Mod-Rc
c∈C
Funtor p
(C, Ab)
L
b∈C Mb ⊗ Rba , sab a,b∈C
L
b∈C τb ⊗ 1ba a∈C
p
Q
c∈C Mod-Rc
(Ma )a∈C
(τa )a∈C
Morfismo sab
L
L
Mc ⊗ Rca ⊗ Rab
M ⊗ Rca ⊗ Rab
c∈C
c∈C
L
L c
⊕c∈C 1c ⊗tcab
c∈C Mc ⊗ Rca ⊗ Rab
c∈C Mc ⊗ Rcb
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Adjunción
Proposición
p es adjunto a izquierda de q y p es exacto.
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
El quiver asociado a una categoría
Definición
Para cualquier C definimos Q(C) = (V (C), A(C)):
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
El quiver asociado a una categoría
Definición
Para cualquier C definimos Q(C) = (V (C), A(C)):
V (C) = C.
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
El quiver asociado a una categoría
Definición
Para cualquier C definimos Q(C) = (V (C), A(C)):
V (C) = C.
Existe a → b si y sólo si a 6= b y HomC (a, b) 6= 0 (Rab 6= 0).
Introducción
La categoría (C, Ab)
Categorías enraizadas
Quivers enraízados
Q es enraizado a izquierda si:
No tiene ciclos;
Clases de funtores
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Categorías enraizadas
Quivers enraízados
Q es enraizado a izquierda si:
No tiene ciclos;
No contiene al quiver infinito:
··· ← • ← • ← •
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Categorías enraizadas
Quivers enraízados
Q es enraizado a izquierda si:
No tiene ciclos;
No contiene al quiver infinito:
··· ← • ← • ← •
Un quiver enraizado a izquierda empieza en algún sitio y va
hacia la derecha
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Categorías enraizadas
Quivers enraízados
Q es enraizado a izquierda si:
No tiene ciclos;
No contiene al quiver infinito:
··· ← • ← • ← •
Un quiver enraizado a izquierda empieza en algún sitio y va
hacia la derecha
Definición
C es enraizada a izquierda si Q(C) es enraizado a izquierda.
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Objetivo
Objetivo
Estudiar los funtores proyectivos y planos en (C, Ab).
C es enraizada a izquierda;
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Objetivo
Objetivo
Estudiar los funtores proyectivos y planos en (C, Ab).
C es enraizada a izquierda;
M)
Utilizando la representación: (Ma , sab
a,b∈C en función de
propiedades de:
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Objetivo
Objetivo
Estudiar los funtores proyectivos y planos en (C, Ab).
C es enraizada a izquierda;
M)
Utilizando la representación: (Ma , sab
a,b∈C en función de
propiedades de:
Los módulos Ma ;
M
Los morfismos sab
.
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Funtores proyectivos
Teorema
M)
Sea C preaditiva enraizada a izquierda y M = (Ma , sab
a,b∈C un
funtor. Son equivalentes:
1
M es proyectivo en (C, Ab).
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Funtores proyectivos
Teorema
M)
Sea C preaditiva enraizada a izquierda y M = (Ma , sab
a,b∈C un
funtor. Son equivalentes:
1
M es proyectivo en (C, Ab).
2
Existe (Pa )a∈C proyectivo en
Q
a∈C Mod-Ra
((Pa )a∈C ) p ∼
=M
tal que
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Funtores proyectivos
Teorema
M)
Sea C preaditiva enraizada a izquierda y M = (Ma , sab
a,b∈C un
funtor. Son equivalentes:
1
M es proyectivo en (C, Ab).
2
Existe (Pa )a∈C proyectivo en
Q
a∈C Mod-Ra
tal que
((Pa )a∈C ) p ∼
=M
Nota
Q
Si (Pa )a∈C proyectivo en a∈C Mod-Ra , entonces
((Pa )a∈C ) p es proyectivo en (C, Ab)
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Funtores proyectivos
Teorema
M)
Sea C preaditiva enraizada a izquierda y M = (Ma , sab
a,b∈C un
funtor. Son equivalentes:
1
M es proyectivo en (C, Ab).
2
Existe (Pa )a∈C proyectivo en
Q
a∈C Mod-Ra
tal que
((Pa )a∈C ) p ∼
=M
Nota
Q
Si (Pa )a∈C proyectivo en a∈C Mod-Ra , entonces
((Pa )a∈C ) p es proyectivo en (C, Ab)
p preserva objetos projectivos!
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Funtores proyectivos
Teorema
M)
Sea C preaditiva enraizada a izquierda y M = (Ma , sab
a,b∈C un
funtor. Son equivalentes:
1
M es proyectivo en (C, Ab).
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Funtores proyectivos
Teorema
M)
Sea C preaditiva enraizada a izquierda y M = (Ma , sab
a,b∈C un
funtor. Son equivalentes:
1
2
M es proyectivo en (C, Ab).
Se cumplen:
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Funtores proyectivos
Teorema
M)
Sea C preaditiva enraizada a izquierda y M = (Ma , sab
a,b∈C un
funtor. Son equivalentes:
1
2
M es proyectivo en (C, Ab).
Se cumplen:
1
P Ma M
b6=a Im sba
es proyectivo en Mod-Ra .
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Funtores proyectivos
Teorema
M)
Sea C preaditiva enraizada a izquierda y M = (Ma , sab
a,b∈C un
funtor. Son equivalentes:
1
2
M es proyectivo en (C, Ab).
Se cumplen:
P Ma M
b6=a Im sba
es proyectivo en Mod-Ra .
P
M
2 Si Ma =
b6=a Im sba ⊕ Ka entonces ⊕b6=a s ab es
monomorfismo.
1
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Funtores proyectivos
Teorema
M)
Sea C preaditiva enraizada a izquierda y M = (Ma , sab
a,b∈C un
funtor. Son equivalentes:
1
2
M es proyectivo en (C, Ab).
Se cumplen:
P Ma M
b6=a Im sba
es proyectivo en Mod-Ra .
P
M
2 Si Ma =
b6=a Im sba ⊕ Ka entonces ⊕b6=a s ab es
monomorfismo.
1
Nota
M
sM
ab es la restricción de sab a Rab ⊗ Kb . Es decir:
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Funtores proyectivos
Teorema
M)
Sea C preaditiva enraizada a izquierda y M = (Ma , sab
a,b∈C un
funtor. Son equivalentes:
1
2
M es proyectivo en (C, Ab).
Se cumplen:
P Ma M
b6=a Im sba
es proyectivo en Mod-Ra .
P
M
2 Si Ma =
b6=a Im sba ⊕ Ka entonces ⊕b6=a s ab es
monomorfismo.
1
Nota
M
sM
ab es la restricción de sab a Rab ⊗ Kb . Es decir:
Rab ⊗ Kb
- Rab ⊗ Mb
- Ma
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Anillos de matrices triangulares
Módulos proyectivos
M = (X , Y , ϕ) es proyectivo en Mod-T si y sólo si:
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Anillos de matrices triangulares
Módulos proyectivos
M = (X , Y , ϕ) es proyectivo en Mod-T si y sólo si:
1
X es proyectivo en Mod-R;
2
Y
Im ϕ
3
ϕ es monomorfismo.
es proyectivo en Mod-S;
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Anillos de matrices triangulares
Módulos proyectivos
M = (X , Y , ϕ) es proyectivo en Mod-T si y sólo si:
1
X es proyectivo en Mod-R;
2
Y
Im ϕ
3
ϕ es monomorfismo.
es proyectivo en Mod-S;
Quiver asociado a T
•→•
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
El quiver tiene que ser rooted!
Ejemplo
Fijamos R un anillo y M




C = {a, b}



un R-módulo a derecha:
EndC (a) = R
EndC (b) = EndR (M)
HomC (a, b) = HomR (M, R)
HomC (b, a) = M
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
El quiver tiene que ser rooted!
Ejemplo
Fijamos R un anillo y M




C = {a, b}



un R-módulo a derecha:
EndC (a) = R
EndC (b) = EndR (M)
HomC (a, b) = HomR (M, R)
HomC (b, a) = M
Tomamos P ∈ (C, Ab) determinado por:
P
P
(R ⊕ M, HomR (M, R) ⊕ EndR (M), sab
, sba
)
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
El quiver tiene que ser rooted!
Morfismos sab
Pa ⊗ Rab
(R ⊕ M) ⊗ Hom(M, R)
Conmutamos
?
(R ⊗ Hom(M, R)) ⊕ (M ⊗ Hom(M, R))
(r ⊗ f , m ⊗ g)
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
El quiver tiene que ser rooted!
Morfismos sab
Pa ⊗ Rab
(R ⊕ M) ⊗ Hom(M, R)
Conmutamos
?
(r ⊗ f , m ⊗ g)
?
(rf , m · f (_))
(R ⊗ Hom(M, R)) ⊕ (M ⊗ Hom(M, R))
Hom(M, R) ⊕ End(M)
?
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
El quiver tiene que ser rooted!
Morfismos sba
Pb ⊗ Rba
(Hom(M, R) ⊕ End(M)) ⊗ M
Conmutamos
?
(Hom(M, R) ⊗ M) ⊕ (End(M) ⊗ M)
(f ⊗ m, g ⊗ n)
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
El quiver tiene que ser rooted!
Morfismos sba
Pb ⊗ Rba
(Hom(M, R) ⊕ End(M)) ⊗ M
Conmutamos
?
(f ⊗ m, g ⊗ n)
?
(f (m), g(n))
(Hom(M, R) ⊗ M) ⊕ (End(M) ⊗ M)
R⊕M
?
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
El quiver tiene que ser rooted!
Morfismos sba
Pb ⊗ Rba
(Hom(M, R) ⊕ End(M)) ⊗ M
Conmutamos
?
(f ⊗ m, g ⊗ n)
?
(f (m), g(n))
(Hom(M, R) ⊗ M) ⊕ (End(M) ⊗ M)
?
R⊕M
Imagen de sba
Im sba = tM (R) ⊕ M;
tM (R) =
X
f ∈hom(M,R)
Im f
La categoría (C, Ab)
Introducción
El quiver tiene que ser rooted!
Entonces
1
P es proyectivo;
Clases de funtores
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
El quiver tiene que ser rooted!
Entonces
1
P es proyectivo;
2
P = t (R) ⊕ M.
Im sba
M
Clases de funtores
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
El quiver tiene que ser rooted!
Entonces
1
P es proyectivo;
2
P = t (R) ⊕ M.
Im sba
M
Por tanto:
P no es un
Si tM (R) no es un sumando directo de R ⇒ Im sba
sumando directo.
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
El quiver tiene que ser rooted!
Entonces
1
P es proyectivo;
2
P = t (R) ⊕ M.
Im sba
M
Por tanto:
P no es un
Si tM (R) no es un sumando directo de R ⇒ Im sba
sumando directo.
No se cumple el teorema!
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
El quiver tiene que ser rooted!
Entonces
1
P es proyectivo;
2
P = t (R) ⊕ M.
Im sba
M
Por tanto:
P no es un
Si tM (R) no es un sumando directo de R ⇒ Im sba
sumando directo.
No se cumple el teorema!
Quiver de C: No es rooted!
•
-•
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
El quiver tiene que ser rooted!
Equivalencia
La categoría (C, Ab) es equivalente a Mod-T donde
R Hom(M, R)
T =
M
End(M)
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Funtores planos
Definición
Un funtor F ∈ (C, Ab) es plano si
F = l«ım Pi
−→
para una familia dirigida (Pi , fij )i≤j de funtores proyectivos.
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Funtores planos
Definición
Un funtor F ∈ (C, Ab) es plano si
F = l«ım Pi
−→
para una familia dirigida (Pi , fij )i≤j de funtores proyectivos.
Teorema
M)
Sea C preaditiva enraizada a izquierda y M = (Ma , sab
a,b∈C un
funtor. Son equivalentes:
1 Se cumplen:
1
P Ma M
b6=a Im sba
es plano en Mod-Ra .
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Funtores planos
Definición
Un funtor F ∈ (C, Ab) es plano si
F = l«ım Pi
−→
para una familia dirigida (Pi , fij )i≤j de funtores proyectivos.
Teorema
M)
Sea C preaditiva enraizada a izquierda y M = (Ma , sab
a,b∈C un
funtor. Son equivalentes:
1 Se cumplen:
1
2
P Ma M
b6=a Im sba
es plano en Mod-Ra .
P
M
Existe una descomposición Ma =
Im
s
ba ⊕ Ka
b6=a
entonces ⊕b6=a sab es monomorfismo.
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Funtores planos
Definición
Un funtor F ∈ (C, Ab) es plano si
F = l«ım Pi
−→
para una familia dirigida (Pi , fij )i≤j de funtores proyectivos.
Teorema
M)
Sea C preaditiva enraizada a izquierda y M = (Ma , sab
a,b∈C un
funtor. Son equivalentes:
1 Se cumplen:
1
2
2
P Ma M
b6=a Im sba
es plano en Mod-Ra .
P
M
Existe una descomposición Ma =
Im
s
ba ⊕ Ka
b6=a
entonces ⊕b6=a sab es monomorfismo.
M es plano en (C, Ab) y pertenece a Im p.
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Funtores planos
Teorema
1
M es plano en (C, Ab) y pertenece a Im p.
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Funtores planos
Teorema
1
2
M es plano en (C, Ab) y pertenece a Im p.
Q
Existe (Pa )a∈C plano en a∈C Mod-Ra tal que
((Pa )a∈C ) p ∼
=M
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Funtores planos
Teorema
1
2
M es plano en (C, Ab) y pertenece a Im p.
Q
Existe (Pa )a∈C plano en a∈C Mod-Ra tal que
((Pa )a∈C ) p ∼
=M
Nota
Q
Si (Pa )a∈C plano en a∈C Mod-Ra , entonces
((Pa )a∈C ) p es plano en (C, Ab)
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Categorías perfectas
Definición
C es perfecta a derecha si todo funtor plano de (C, Ab) es
proyectivo.
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Categorías perfectas
Definición
C es perfecta a derecha si todo funtor plano de (C, Ab) es
proyectivo.
Teorema
Para C son equivalentes:
1
Todo funtor plano en Im p es proyectivo;
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Categorías perfectas
Definición
C es perfecta a derecha si todo funtor plano de (C, Ab) es
proyectivo.
Teorema
Para C son equivalentes:
1
Todo funtor plano en Im p es proyectivo;
2
Rc es un anillo perfecto a derecha ∀c ∈ C.
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Categorías perfectas
Definición
C es perfecta a derecha si todo funtor plano de (C, Ab) es
proyectivo.
Teorema
Para C son equivalentes:
1
Todo funtor plano en Im p es proyectivo;
2
Rc es un anillo perfecto a derecha ∀c ∈ C.
3
C es perfecta a derecha.
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Categorías finitamente presentadas puro-semisimples
Definición
La categoría A aditiva y cocompleta es localmente finitamente
presentada is para todo A ∈ A
A∼
= l«ım Ui
−→
para un sistema directo (Ui , fij )i≤j de módulos finitamente
presentados.
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Categorías finitamente presentadas puro-semisimples
Definición
La categoría A aditiva y cocompleta es localmente finitamente
presentada is para todo A ∈ A
A∼
= l«ım Ui
−→
para un sistema directo (Ui , fij )i≤j de módulos finitamente
presentados.
Definición
La categoría A aditiva y localmente finitamente presentada es
puro-semisimple si para todo A ∈ A
M
∃B ∈ A y {Ui : i ∈ I} f. p. tales que A ⊕ B ∼
Ui
=
i∈I
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Categorías finitamente presentadas puro-semisimples
Notación
Si A es localmente finitamente presentada
fp(A) = {A : A es f.p}
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Categorías finitamente presentadas puro-semisimples
Notación
Si A es localmente finitamente presentada
fp(A) = {A : A es f.p}
Teorema
Si A es localmente finitamente presentada, son equivalentes:
1
A es puro-semisimple;
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Categorías finitamente presentadas puro-semisimples
Notación
Si A es localmente finitamente presentada
fp(A) = {A : A es f.p}
Teorema
Si A es localmente finitamente presentada, son equivalentes:
1
A es puro-semisimple;
2
(fp(A), Ab) es perfecta a derecha.
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Categorías finitamente presentadas puro-semisimples
Notación
Si A es localmente finitamente presentada
fp(A) = {A : A es f.p}
Teorema
Si A es localmente finitamente presentada, son equivalentes:
1
A es puro-semisimple;
2
(fp(A), Ab) es perfecta a derecha.
Definición
A es fp-enraizada a izquierda si fp(A) es enraizada a izquierda.
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Categorías finitamente presentadas puro-semisimples
Teorema
Si A es localmente finitamente presentada, son equivalentes:
1
A es puro-semisimple;
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Categorías finitamente presentadas puro-semisimples
Teorema
Si A es localmente finitamente presentada, son equivalentes:
1
A es puro-semisimple;
2
Para todo U ∈ A finitamente presentado, EndA (U) es un
anillo perfecto a derecha.
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Anillos con suficientes idempotentes
Definición
R es un anillo con suficientes idempotentes si
M
M
Rei =
ei R
R=
i∈I
i∈I
para una familia de idempotentes ortogonales {ei : i ∈ I}.
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Anillos con suficientes idempotentes
Definición
R es un anillo con suficientes idempotentes si
M
M
Rei =
ei R
R=
i∈I
i∈I
para una familia de idempotentes ortogonales {ei : i ∈ I}.
Relación con categorías pequeñas
Existe una correspondencia biyectiva:




 Clases de equivalencia 
 Clases de equivalencia 
de Morita
de Morita




de anillos con s.i.
de categorías pequeñas
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Anillos con suficientes idempotentes y categorías
Categorías Morita equivalentes
C y D son Morita equivalentes si
(C, Ab) ∼
= (D, Ab)
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Anillos con suficientes idempotentes y categorías
Categorías Morita equivalentes
C y D son Morita equivalentes si
(C, Ab) ∼
= (D, Ab)
Categoría C(R) asociada a R
Si R es con suficientes idempotentes {ei : i ∈ I}, la categoría
asociada C(R) es
C(R) = I;
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Anillos con suficientes idempotentes y categorías
Categorías Morita equivalentes
C y D son Morita equivalentes si
(C, Ab) ∼
= (D, Ab)
Categoría C(R) asociada a R
Si R es con suficientes idempotentes {ei : i ∈ I}, la categoría
asociada C(R) es
C(R) = I;
HomC(R) (i, j) = HomR (Rei , Rej ) para todo i, j ∈ I.
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Anillos con suficientes idempotentes y categorías
Categorías Morita equivalentes
C y D son Morita equivalentes si
(C, Ab) ∼
= (D, Ab)
Categoría C(R) asociada a R
Si R es con suficientes idempotentes {ei : i ∈ I}, la categoría
asociada C(R) es
C(R) = I;
HomC(R) (i, j) = HomR (Rei , Rej ) para todo i, j ∈ I.
Anillo enraizado a izquierda
R es enraizado a izquierda si C(R) es enraizada a izquierda.
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Traducción de resultados
Módulos proyectivos
Si R es enraizado a izquierda y M ∈ Mod-R, son equivalentes:
1
M es proyectivo;
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Traducción de resultados
Módulos proyectivos
Si R es enraizado a izquierda y M ∈ Mod-R, son equivalentes:
1
M es proyectivo;
2
Existe (Pi )i∈I proyectivo en
M∼
=
Q
i∈I
MM
i∈I
j∈I
Mod-ei Rei tal que
Pi ⊗ ei Rej
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Traducción de resultados
Módulos proyectivos
Si R es enraizado a izquierda y M ∈ Mod-R, son equivalentes:
1
M es proyectivo;
2
Existe (Pi )i∈I proyectivo en
M∼
=
Q
i∈I
MM
i∈I
Mod-ei Rei tal que
Pi ⊗ ei Rej
j∈I
Anillos perfectos
Si R es enraziado a izquierda, son equivalentes:
1
R es perfecto a derecha;
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Traducción de resultados
Módulos proyectivos
Si R es enraizado a izquierda y M ∈ Mod-R, son equivalentes:
1
M es proyectivo;
2
Existe (Pi )i∈I proyectivo en
M∼
=
Q
i∈I
MM
i∈I
Mod-ei Rei tal que
Pi ⊗ ei Rej
j∈I
Anillos perfectos
Si R es enraziado a izquierda, son equivalentes:
1
R es perfecto a derecha;
2
ei Rei es perfecto a derecha ∀i ∈ I.
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Traducción de resultados
Anillos fp-enraizados
R es fp-enraizado a izquieda si la categoría fp(Mod-R) es
enraizada a izquierda.
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Traducción de resultados
Anillos fp-enraizados
R es fp-enraizado a izquieda si la categoría fp(Mod-R) es
enraizada a izquierda.
Anillos puro-semisimples unitarios
Si R es fp-enraizado a izquierda unitario son equivalentes:
1
R es puro semisimple a derecha;
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Traducción de resultados
Anillos fp-enraizados
R es fp-enraizado a izquieda si la categoría fp(Mod-R) es
enraizada a izquierda.
Anillos puro-semisimples unitarios
Si R es fp-enraizado a izquierda unitario son equivalentes:
1
R es puro semisimple a derecha;
2
EndR (M) es un anillo perfecto a derecha para todo módulo
finitamente presentado M.
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Notas finales
Spices
Una spices es una tupla (Ra , Rab , tabc )a,b,c∈A donde
1
Ra es un anillo ∀a ∈ A;
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Notas finales
Spices
Una spices es una tupla (Ra , Rab , tabc )a,b,c∈A donde
1
Ra es un anillo ∀a ∈ A;
2
Rab es un (Ra , Rb )-bimódulo.
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Aplicaciones
Notas finales
Spices
Una spices es una tupla (Ra , Rab , tabc )a,b,c∈A donde
1
Ra es un anillo ∀a ∈ A;
2
Rab es un (Ra , Rb )-bimódulo.
3
- Rac es un
tabc : Rab ⊗Rb Rbc
(Ra , Rc )-morfismo que hace conmutativo el diagrama:
tabc ⊗1 Rab ⊗Rb Rbc ⊗Rc Rcd
Rac ⊗Rc Rcd
tacd
1⊗tbcd
?
Rab ⊗Rb Rbd
?
tabd
-
Rad
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Categoría de representaciones de una spices Rep-S
Representación de S
Una familia (Ma , sab )a,b∈C tal que:
1
Ma ∈ Mod-Ra para todo a ∈ C;
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Categoría de representaciones de una spices Rep-S
Representación de S
Una familia (Ma , sab )a,b∈C tal que:
1
Ma ∈ Mod-Ra para todo a ∈ C;
2
sab : Ma ⊗Ra Rab → Mb es un Rb -morfismo;
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Categoría de representaciones de una spices Rep-S
Representación de S
Una familia (Ma , sab )a,b∈C tal que:
1
Ma ∈ Mod-Ra para todo a ∈ C;
2
sab : Ma ⊗Ra Rab → Mb es un Rb -morfismo;
3
El diagrama conmuta:
Ma ⊗Ra Rab ⊗Rb Rbc
sab ⊗1
- Mb ⊗R Rbc
b
sbc
1⊗tabc
?
Ma ⊗Ra Rac
?
sac
-
Mc
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Notas finales
Proceso
Partimos de una categoría pequeña C;
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Notas finales
Proceso
Partimos de una categoría pequeña C;
Le asociamos una spices S de forma que:
(C, Ab) ∼
= Rep − S
Aplicaciones
La categoría (C, Ab)
Introducción
Clases de funtores
Notas finales
Proceso
Partimos de una categoría pequeña C;
Le asociamos una spices S de forma que:
(C, Ab) ∼
= Rep − S
Estudiamos los funtores F ∈ (C, Ab) en función de su
representación asociada en Rep-S.
Aplicaciones
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Notas finales
Relación entre categorías pequeñas y spices
Existe una correspondencia biyectiva:




 Clases de equivalencia 
 Clases de equivalencia 
de Morita
de Morita




de spices.
de categorías pequeñas
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Notas finales
Relación entre categorías pequeñas y spices
Existe una correspondencia biyectiva:




 Clases de equivalencia 
 Clases de equivalencia 
de Morita
de Morita




de spices.
de categorías pequeñas
Definición
Dos spices S y S0 son Morita equivalentes si
Rep-S ∼
= Rep-S0
Introducción
La categoría (C, Ab)
Clases de funtores
Aplicaciones
Notas finales
Relación completa
Existe una correspondencia biyectiva:


 Clases de eq. 
de Morita


de anillos con s.i.
6
?


 Clases de eq. 
de Morita


spices


 Clases de eq. 
de Morita


de cat. peq.