DANIEL TRUJILLO LEDEZMA

Transcripción

MATERIAL DE USO EXCLUSIVO. UNIVERSIDAD DEL VALLE SEDE NORTE DEL CAUCA.
2016.
1
AGOSTO DE 2016
ELEMENTOS BÁSICOS DE CALCULO DIFERENCIO-INTEGRAL. CURSO ESPECIAL AGOSTO DE 2013 DANIEL TRUJILLO LEDEZMA
MATERIAL
DE USO EXCLUSIVO. UNIVERSIDAD DEL VALLE. DANIEL TRUJILLO
LEDEZMA.
2016
2
****** UNIVERSIDAD DEL VALLE ******
SEDE NORTE DEL CAUCA
ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTADURÍA PÚBLICA
MATEMÁTICA BÁSICA
PRIMER SEMESTRE
CONFERENCIAS DE CLASE
TALLER NÚMERO CERO.0: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
ESTUDIANTE: __________________________
ORIENTADOR: DANIEL TRUJILLO LEDEZMA
x
x2
x 3 x
5

)(
 )
C) ( 
5
4
3
2
3
2
D) (3x  5y)( 2  3x)(x  y)
1-. REDUCIR:
A)
5  7  3  3(2  3)   1  (3  4)  1  1
B)
 1  (3)  (3)  2  (2)  (3  (4)  3  2
x x 2 x x 3 x 4 4
)(

)(
 )
D) ( 
2
3
5
3
3
3
C) a  2b  7ab  3a  3(2b  3a)  a  1  (3  4)  b  3ab  1
E)
D)
 4  5ax  3bx 

5ax   3(ax 3bx ) 2(5ax 4bx
 7bx  11ax

2a  3b 
)




E)
2
a
b
3(a
2c (a
3b
3b
1) 2( 5a
(x3  x)(x2  x)(x  1)(x  1)
3
2
6
1
4
F) (x  x 4  x 3  x 5 )(x 2  3x 5 )
3 34 5 32 3 56 2 21 3 54
G) ( x  x  x )( x  x )
2
4
7
5
4
H)
3c )
4b
3 ) 5a
11 b
4(1  a  b  3c)  a  b  4c  3

 7a  3b  5c 

F) 3a  2b  5c  


G) (3x 2  5 y  2 x  3(2 x  4 y)   3xy  x(4 y  4 x) 
2-. EFECTÚE EL PRODUCTO QUE SE
INDICA EN CADA LITERAL:
 3(4x  1)  11x  4 2(3  5x )  10  x   15(x  2) 
 2(x  3)  2x  5(5  3x )  15x   7(x  1)  x  18 



3-. SIMPLIFIQUE:
A)
20 108  17 27  21 48  5 3  2 75
B) 5 98  7 45  4 135  9 3  6 32  243  4 125
C) 5 8  7 27  4 125  9 5  6 3  2  4 128
A)
(3x  5y)(2x  5)
B)
(x3  5x2  7)(2  3x )
D)
3
16  6 27  4 3 128  9 3  6 4 512  4 2  4 3 2
2
E) 5 160  8 405  7 243 11 2187  3125
4-. EFECTÚE Y/O SIMPLIFIQUE:
CREACIONES DE APOYO DIDÁCTICO. DE USO EXCLUSIVO.
TALLER ACTIVO Y COMPLEMENTARIO.
MATERIAL
A)
8
3
 x21   x32 

a
 . a

 

2. 3
B)
3. 3 4
C)
3. 12
3
LEDEZMA.
3
F)
ab. ab ab
x

3
4
.y

1
3
2016
2
3
.( xy) .x .y1
2
D)
3. 4
F)
2. 3. 4. 5. 2. 20
H) (32)2 .163.( 4)1.a 5 .bm.a 2 .b
x2 .3 x 4
I)
x 2 y. 3 x 2 y. 4 x 3 y5
J) ( x  (1  x
E)
G)
3
G)
I)
J)
K)
L)
3
(1  (1  (1  (
x 1y2 x3 y5 .3 x5 y3 .4 x 3 y5
( 3 x  3 y )( 3 x2  3 xy  3 y2 )
K)
M) (x
2
 y1 )(x 4  x 2 y1  y2 )
2
L)
2
x.x .x
B)
x . x2 . x 3
C)
x
.x .x
1
6
N)
D)
E)
a
2

3
1
2
2
2
x y
yz

1
3
z





1






1
2
3







3
2

5
2

2
9
8
3



 2
2 3.3 2 x 4 x 3 y.y 3 z 3
 3
2
1
5
   1  64  2 x 12 3 y 2 6 y 17 3 z .z 3
   3 

3
1
3
) )
M)
A)
1
2
x

1
3
1 1 1
3
4
5-. SIMPLIFIQUE:
3

1 1 1 1 1 1
 ) ) ) )
2 2

  3  21
  2 a bc 2
 
1
3
5
  8 2 a 4 b  5 c 2
 

x2  y  1)( x 2  y  1)
3
6
5
3
4
.ab3 .a b
2

5
a3x 1.3a1 x . 
3 5 x 2
a
4

 a 2  b2


a  b
1

 2 a 1  b 1
Ñ)
42  3 7 
O)
2 18  5 1 
P)
97  56 3  4 3
3
10 
3
5







1
3
2









1
1
32
27
TALLER ACTIVO Y COMPLEMENTARIO
MATERIAL
28  10 3 
Q)
4
5
x .y .x
S)
2
5
.y
48 
3
9-.
A)
5
3
U)

5
3
 
2

2
  6 x y 3 z3
 
2
   4 3 x 2 y 3 z 1
  

V)
( 2)4
B)
24
C)
E) (1024)0,1 F) 3 .9
1 3 34 32 52 35 113 52
64 .32.( ) x .y .z .y .x .z
4

 3 21 32 32

  4 x y z
 
 5 7  1
   2 5 x 4 y 3 z 2



Evalúe cada uno de los números dados:
1
2
I)
1
T)










1

1
2





2













3

2
3







J)
1
3
5
1
4
1
( )2
4
D)
21 
32
16 
2
2
3
G)
72
H) (32) 5
4
16  1
91  78  3  31  25  1
K) Calcule el valor de:
1

 a2  b2   a 1  b1 
E   1
 2 2 
1 
a b   a b 
4
3
L) Calcule el valor de:
 ( 5 25)3 (15 5)( 3 25) 
E  

3
5 5 125


Si a + b + c = 0 halle el valor de:
ab(c 2  a  b)  bc(a2  b  c )  ac(b2  c  a)
M)
W)
N) Evalúe
31 2  1,75
16  15,75

28
63  7
Ñ) Simplifique:
X)
(( X 2  Y 2 )( X  Y )1  2( X 1  Y 1 )1 )1
I) 6
Y)

1 



2
1 x 
x
2
Z)
1 

1   x3 
3 
4x


2
6-.
Prepare y consigne con mucho sentido y cuidado
lo concerniente a las leyes de los exponentes, tanto de
enteros como de racionales, e incluya el exponente
cero.
8a 3
 2 24ab2  a 54a
3
1
E  1
II)
1
1
1
1
x
III)
7-.
4
Prepare el tema de la racionalización,
particularmente cuando se trate de denominador
monomio, binomio y trinomio.
b2c  2abc  a2
1
3
2016
8-.
15
1
2
R)
LEDEZMA.
Prepare a conciencia el tema de los productos y
los cocientes notables.
( x 2  y2 )z ( x  y1 )2z
E 2
( y  x 2 ) z ( y  x 1 )2z
MATERIAL
2b ( a  b a  b )
IV)
2(a  b) a  a2  b2  2(a  b) a  a2  b2
V)
4
6 3
242  200  3 4 16  4 3 4096  3 8
LEDEZMA.
2016
5
O) Calcular:
2
2
1  (a  x)1  1   a  x  
1
1 
 para x=
1
2ax
a-1
1  (a  x) 


3
2
(x  y )  (x  y )
P) Simplifique:
3
2
(2 x  x 2  y 2 )( x  x 2  y 2 )
VI)
Q) Determina el valor exacto de:
E
n
2n1
n 2
2n.4
7
7
77
R) Halle el valor de x en la siguiente ecuación:
VII)
4
2a
a b
R
 a2b

b
 12  4



a b
4 a b
x 
x5
S)
x
 x 
1 

2
 1 x 
2
a 4 5 a 2
x5
y
B)
el
valor
x
y

3
y
x5
y3
 11
,
x
Halle el valor de:
x11 8 y5
S 8 5 
y
x11
X) Determina exactamente la raíz de:
32 2  32 2
2 6
1
,
4
T) Si se cumple que:
(a 1  b 1 )(a  b)1
A)
a  b  c  0, y abc =
Si
5
E  ab(a  b  c)4  bc(b  c  a)4  ac(a  c  b)4
IX)
6
 
 7 
 
7
5
numérico de la siguiente expresión será:
1  x2
VIII)
5
U)
2 3
1  2000 1  2001 1  2002 1  2003x2005 = ?
LO ROJO LO PUEDE OMITIR SIN PERDER EL
POWER!!!
MATERIAL
LEDEZMA.
2016
MATEMÁTICA BÁSICA
PRIMER SEMESTRE
TALLER CERO.1:
PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES
ESTUDIANTE: _______________________
ORIENTADOR: DANIEL TRUJILLO LEDEZMA
EJERCICIOS PROPUESTOS
17-.
(x3 - 2m – yw)(x3 – 2m + yw)
Utilizando los productos notables y sus propiedades,
escriba por simple inspección el resultado de cada una
de las expresiones propuestas:
18-.
(x7 + 20)(x7 - 19)
19-.
(a – 1)(a + 1) (a – 1)(a + 1)
20-.
(p2 – p–2)2
22-.
( x  y)( x  y)
4-. (9 + 4m2)2
23-.
( 3 x  3 y )( 3 x2  3 x .3 y  3 y2 )
5-. (1 – x)(x + 1)
( x  1) 4
24-.
x 1
x 6  64
25-.
x2
1-. (x – 1)(x + 1)
2-. (x2 + 1)(x2 + 2)
3-. (x + 51)
–1
21-. (x
+ x)3
2
6-. (x3 + 5)(x3 + 3)
7-. (x5 – 1)(x5 + 1)
8-. (x – y)2
9-. (7x – 3)2
26-.
64 p 6  1
2 p 1
27-.
m7  n7
mn
10-. (x-11 – x11)2
11-. (6ma – 5nb)2
12-. (2abx3 + 3aby2)2
13-. (x2a – 1)(x2a + 1)
14-. (5x – 10)(5x + 11)
15-.
(5x – 10)(5x + 10)
16-.
(5abx + 7aby)(5abx – 7aby)
(ax  b)3  1
ax  b  1
6
x  p6
29-.
x p
28-.
30-.
(3q )2  1
3q  1
31-.
(q)4  1
q1  1
6
MATERIAL
LEDEZMA.
2016
MATEMÁTICA BÁSICA
PRIMER SEMESTRE
TALLER NÚMERO CERO - 2: FACTORIZACIÓN
ESTUDIANTE: _______________________ORIENTADOR: DANIEL TRUJILLO LEDEZMA
EJERCICIOS PROPUESTOS
MISCELÁNEA
Factoriza en los enteros, en caso de ser factible, cada
una de las siguientes expresiones:
1-. 10abc + 20 a2bc3 - 30 axy
2-. 3xy + 12x2y3z4 – 24abcx - 6x
3-. 4x2 – a4
4-. (x – y)2 – (m – n)2
20-. (x + a)(x - 1) – 2a (x - 1) =
21-. 6m2 - 7m - 3 =
22-. 3x2 - 5x - 2 =
23-. 8y2 - 18 =
24-. x4 - 64y4 =
5-. X + x + x
1
25-. x 3  =
8
6-. x5x - x3xy2x
26-. a3 + 3a2 + 3a + 1 =
5
3
7-. 9x2 – 6x + 1
27-. 2a5 - 162a3 =
8-. 32k – 3k - 20
3
2
3
2
9-. X – 9y – 27y + x
10-. M13 – M
28-. bx2 – b – x2 + 1
29-.
11-. 21m2n2 + 24mn2 – 15mn3 =
12-. a2 + ab + ac + bc =
8
8n2
3

y

 n2 y 3
x3
x3
30-. 6m2 + 7m – 3
31-. 6m6 – 17m3 – 45
13-. y2 – 13y – 14 =
32-. H6 – 1
14-. x2 + 21x – 100 =
33-. 15q4 – 17q2 – 4
15-. 16x2 –24xy + 9y2 =
16-. 4a – 4b
6
4
34-. Z2 + 3z – 18
35-. 8(a – 1)3 – 27
=
17-. 0,25 – 0,09x
2
=
36-.
x2 
2x 1

3 9
18-. 21ax + 35ay + 20y + 12x =
37-. R6 + 4R3 - 77
19-. b5 - b3 =
38-. 6x2 + 7x – 3
7
MATERIAL
LEDEZMA.
2016
8
39-. 8 – (3 + x)3
67-. 252N + 1 – 5. 52N – 12
40-. Ax + A – x – 1
68-. 15. 22M – 2 + 14. 2M – 1 – 8
41-. M4 - 64N4
69-. X2 + 7X + Y2 – 7Y – 2XY – 8
42-. X4 + X2Y2 + Y4
70-. 1 + Z10 – 2Z5
43-. 1 – 9f2 + 24fg – 16g2
71-. 9 – N2 – 25 – 10N
44-. A6 - 4A3 – 480
72-. (7A2)2 + 24(7A2) + 128
45-. M4 + M2 + 25
73-. AM – 6BN – 3AN + 2BM
46-. Q2 + Q – 42
74-. ABD + ABE + ACD + ACE + B2D +B2E + BCD +
BCE
47-. T4 - 8T2 – 240
2
2
3
X 6 144 A10 B12

900
75-. 49
3
48-. X – Y + X – Y
49-. E4 + E2 + 1
¡PILAS CON LA REGLA DE RUFFINI!
50-. 1 – W 12
76-. 4A2 – 9X2 + 49B2 – 30 XY – 25Y2 -28AB
51-. X2 – WX + XY – WY + XZ – WZ
77-.
52-. X(A + B) – A – B + 3A + 3B
53-. (W – X)4 – 15 – (W – X)0
54-. 22X – 2X + 1 – 3
4
3
(CON W ≠ X)
196x 8 y12 z 20
400m24n8m

225a8b16
10000h2mk18mnpq
78-. En la miscelánea de la Matemática Progresiva
para el grado octavo, en el ejercicio 63, aparece:
37-. 2L2 – 15L + 22
X4  B4  C4  2B2 X2  2C2 X2  2B2C2
2
55-. X – 7X + 13X + 3X – 18
40-. 4X – 1- 2X + 1 + 4
56-. A3X + 7A2X – 8AX
Demuestre que la factorización completa queda:
(X  B  C)(X  B  C)(X  B  C)(X  B  C)
57-. 32X – 4 + 2. 32 – X + 9 4 – 2X
58-. 3x3  5x2  6x  10
79-. Al factorizar la expresión: x5  1 , se obtiene?
59-. 3x 1/ 2  4x1/ 2  x3 / 2
80-. Al factorizar la expresión: x7  1 , resulta?
60-. (m2  2m)2  2(m2  2m)  3
81-. Al factorizar la expresión: a5  b5 , se obtiene?
61-. (n2  1)2  7(n2  1)  10
82-. 17K2 –19K + 2
63-. Demuestre que:
1
2
ab   a  b   a2  b2 


2
83-. 74k– 6– 5.72k –3 – 104


84-. XY + 4X2 + 9Y2 + 11XY
85-. abdf + cxy – abxy – cdf
64-. Demuestre que:
a
2
 
 b2  a2  b2

2
, es un cuadrado perfecto.
87-. 5Q4 – 52Q2 + 63
65-. Demuestre que:
a
2

 b2 c2  d2
   ac  bd  ad  bc 
2
86-. M2 – 9M + 20
2
2
66-. 49X – 3 – 7X – 3 – 12
88-. 4X4 – 7X2 + 2 + X0 con X ≠ 0
89-. K6x + 8 – 17. K3x + 4 + 42
MATERIAL
LEDEZMA.
2016
9
SANTANDER DE QUILICHAO
ÁREA DE MATEMÁTICAS
CÁLCULO
TALLER NÚMERO CERO - 3 REPASO MATEMÁTICA BÁSICA
1)
2-.
5y = 3 + 2x
3x = 2y + 1
y
f(x)=2/x-3
8
2)
3)
4)
2x + 5y = 14
3x = 2y + 2
6
4
4p – 5q = – 1
3p = 2q + 1
2
x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-2
7m – 5n = – 3
3m = 4n – 5
-4
-6
1
5

3
x 2y
1
3
7


2x y
4
5)
-8
3-.
y
f(x)=-3x+5
8
Identifique los gráficos de funciones
lineales, y de éstos, determine su
ecuación.
6
4
2
x
1-.
-8
y
-6
-4
-2
2
4
6
8
f(x)=2x-3
-2
8
-4
6
-6
-8
4
4-.
2
y
x
f(x)=5
8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
6
-2
4
-4
2
x
-6
-8
-6
-4
-2
2
4
-2
-8
-4
-6
-8
6
8
MATERIAL
GRAFICA
LAS
INECUACIONES
SIGUIENTES
1-. y  2x  3
2-. 2y  x  2
3-. 1 x  2y  1  0
4-.  1 x  4y  2
3
2
3-.
1
2-.  2  y  x
x  3y  1
1 x
 4y  1
2
y2
 2x  2
3

RESUELVE
PROBLEMAS
201610
ello acaba de llenar completamente el recipiente donde
está el ácido al 40%, agregándole 100 centímetros
cúbicos de ácido puro, podemos garantizar que la
capacidad del recipiente es de:
A) 120 cm3
B) 400 cm3
3
C) 500 cm
D) 600 cm3
5-. Si hay el doble de ácido al 16% que ácido al 40%, y
EN UN MISMO PLANO, GRAFIQUE
CADA PAR DE INECUACIONES
1
1-.  2 x  4y  1
2x  y  1
LEDEZMA.
4-. Si el químico requiere un ácido al 50%, y para
se les agrega independientemente agua pura a cada
uno, para diluirlos hasta dejarlos con una
concentración del 10% se observa que:
A) El ácido al 40% requiere un 300% de su volumen en
agua
B) El ácido al 16% requiere el 6% de su volumen en
agua
C) Al ácido al 40%, hay que agregarle 2,5 veces su
propio volumen en agua
D) El volumen de agua que se requiere es igual a la
suma de los volúmenes de los ácidos.
y
4-. 1  4 y  x
3x  y  1
LOS
SIGUIENTES
1-. Debido al aumento del costo de la materia prima,
una pizzería aumentó precio de sus artículos de $
4500 a $ 5000 lo que hizo disminuir las ventas de 800
a 560 pizzas. Suponiendo que la demanda es lineal,
cuantas pizzas venderá si decide fijar un nuevo precio
de $ 6000
RESPONDA LAS PREGUNTAS 2 A 5 DE
ACUERDO A LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
Un químico tiene dos recipientes de la misma
capacidad parcialmente llenos, uno con ácido sulfúrico
al 16% y el otro con ácido sulfúrico al 40%.
2-. Si el químico toma el recipiente con ácido al 16% y
lo acaba de llenar completamente con ácido puro, la
nueva mezcla tendrá una concentración del 20%. La
cantidad agregada respecto a la que hay inicialmente
en el recipiente es:
A) La misma
B) el doble
C) la mitad
D) veinte veces menor
3-. Si el ayudante del químico mezcla completamente
los ácidos de los dos recipientes dándose cuenta de
que el volumen del más concentrado es el doble que el
del menos concentrado, la concentración de la mezcla
final es del:
A) 32%
B) 24%
C) 56%
D) 28%
6-. Si se mezclan 3 litros de aceite del tipo A con 7
litros del tipo B el precio de la mezcla es de 43 dólares
por litro, sin embargo si se mezclan 3 litros de aceite A
con 2 litros de aceite B el precio de la mezcla es de 46
dólares el litro. Halle el precio de cada tipo de aceite.
APLICACIONES DE LAS
INECUACIONES
1. El administrador de una fábrica debe decidir si
deben producir sus propios empaques, que la
empresa ha estado comprando a otros
proveedores a U$ 1,1 la unidad. La fabricación
de los empaque incrementaría los costos
generales de la empresa en U$ 800 al mes y el
costo de material y de mano será de U$ 0,6
por cada empaque. ¿Cuántos empaques
deberá utilizar la empresa al mes para justificar
la decisión de fabricar sus propios empaques?
2. Un fabricante puede vender todas las unidades
que produce a un precio unitario de $ 30, y
tiene costos fijos de $ 12.000 al mes, además
le cuesta $ 22 producir cada artículo. ¿Cuantas
unidades
debe
producir
y
vender
mensualmente para obtener utilidad?
3. Un artículo que se produce se puede vender a
$ 150. Los costos fijos semanales $ 1500 y
costos por unidad de $ 100 en materiales y
mano de obra. Hállese el número de artículos
que se deben producir y vender para que las
utilidades semanales no inferiores a
$
1000.
MATERIAL
4. Al precio de P por unidad, X unidades de cierto
articulo puede venderse al mes en el mercado,
con P = 600 – 5X. ¿Cuántas unidades deberán
venderse para obtener ingresos de por lo
menos $ 17.000.
5. Un fabricante puede vender X unidades a un
precio unitario P = 200 – X. ¿Qué número de
unidades deberá venderse par obtener
ingresos mínimos de $ 9.900?
6. Si los costos de operación para el ejercicio
anterior son C = 8000 + 75X, ¿Cuántas
unidades deberán producirse y venderse para
obtener una utilidad de al menos $ 5500?
7. Un fabricante puede vender todas las unidades
que produce a un precio unitario de $ 25, los
costos totales son C = 3000 + 20X – 0,1 x 2 .
¿Cuántas unidades deberán producirse y
venderse para obtener alguna utilidad?
8. Un editor puede vender 12000 ejemplares de
un libro al precio de $ 25 cada uno. Por cada
peso de incremento en el precio, las ventas
bajan en 400 ejemplares. ¿Qué precio máximo
deberá fijarse a cada ejemplar con el objeto de
lograr ingresos no inferiores a $ 300.000?
9. 50-. (Este es de programación lineal) La
compañía "Rugecan" produce dos tipos de
alimentos, A y B, para perros. Cada lata del
tipo A contiene 200 gr. de carne y 100 gr. de
harina, mientras que la de tipo B contiene 140
gr. de carne y 160 gr. de harina. Las
instalaciones pueden manipular un máximo de
78 Kg. de carne y 48 Kg. de harina a la hora.
Si el beneficio obtenido de la marca A es de
300 pts. por lata y el de la marca B es de 240
pts. por lata, ¿cuántas latas de cada tipo
deben producirse para maximizar el beneficio?
5-.
X 1
3-.
A A B
A X 3  A XB3
X 2  4 XY  3Y 2
2-.
Y2  X2
2X
4-.
2x  1
2x  3
 2
2
x  2x x  x  2
201611
6 X  12
Y 2 1
. 2
9
X 2 1
7-.
8-. 4 XY  4 X X  3 X  2
.
3X  3
6
6 X AB 3Y B  A
9-.
/
4Y AB 8 X AB
A  2AB 2B  1
/
2 A2
6A
10-.
X Y
2
2M 2  5M  2
11-.
12-. 3 X
X Y
2M  1
X
3
AB AB

A

B
AB
13-.
14-.
AB
1
AB
15-.
4
3
1
16-.
1
1
1
A
1
1
1
1
1
X
1
1
2
1
2A  1
3
2A  1
F 1 F 1

F

1
F 1
17-.
1
1

F 1 F 1
18-.
R
T
S


(S  R)(R  T) (R  T)(T  S) (T  S)(S  R)
19-.
x 2  y2  x  y x  y 
.


x
x y xy
20-.
1
1
A 1


A  1 ( A  1)( A  2) ( A  1)( A  2)( A  3)
21-.
X  2 X  3 X 1


X 1 X  2 X  3
SIMPLIFICA COMPLETAMENTE CADA UNA DE
LAS SIGUIENTES FRACCIONES ALGEBRAICAS:
X 3 Y  XY 3
1-. 2
X Y  XY 2
3
2
2

 2
A A 1 A
LEDEZMA.
3
2
X

 2
6-. X  2 X  2 X  4
1
1
B
B



2
3  3B 3  3B 6  6B
2  2B 2
2 X 2  7 XY  15Y 2
X 3  4 X 2Y
23-.
X 2  3 XY  40Y 2
X 2  4 XY  32Y 2
22-.
MATERIAL
26-.
40-.
x 5
8x
7

 2
3
x 1 x 1 x  x 1
2
5
4x  7

 2
x 3 x 2 x  x 6
41-.
p
1
p  13


3 p  6 6 p  12 12p  24
5x 2
4y 2 14m
X
X
7y 3  1 x  1 5 x 4
42-.
5 x  25 7 x  7
X
14
10 x  5
27-.
9
10y
24 x

 2
x  3y ( x  3y )( x  3y ) x  9y 2
28-.
m
2b 2


m  n 3a 3
2
xy  2y 2 x 2  2xy  y 2
43-.
X
x 2  xy
x 2  2xy
44-.
x 2  4 xy  4y 2
x2
X
x 2  2xy
x 2  4y 2
29-.
m3
m 1
m4


2
m  1 2m  2 4m  4
30-.
ab ab
4a 2

 2
a  b a  b a  b2
45-.
31-.
a 1
a  2 a2  2a  6


3a  3 6a  6
9a2  9
46-.
x 2  3 xy  10y 2 x 2  16y 2
x 2
x 2  2xy  8y 2
x  4 xy
32-.
1
2
3
 2
 2
a  2a  24 a  2a  8 a  8a  12
47-.
( x  y )2  R 2 ( x  y )2  R 2
x
( x  R )2  y 2 x 2  xy  xR
48-.
16 x 2  24 xy  9y 2 64 x 3  27y 3
/
16 x  12y
x 2  9y 2
2
a3
a3
a 1
 2

33-. 3
a 1 a  a 1 a 1
34-.
k 5
k 4
k 3
 2
 2
k  k  12 k  2k  15 k  9k  20
2
3a
a 1
10a  1
35-.
 2
 2
2
2a  2a  4 4a  8a  32 8a  40a  32
1
a2  9 x 2
a
 3
 2
3
4a  12x a  27 x
a  3ax  9 x 2
4x 2  1
( x  1)2
x 3
 2

37-.
2
2x  8 x  4 x  4 x  2
36-.
38-.
201612
7
3
3
 2
 2
2x  5 x  3 2x  x  6 x  x  2
2
2
25-.
LEDEZMA.
39-.
R 8
R  2R
.
 4 8  2R  R 2
24-. R  4R
3
R  2R 2  4R
R4
3
2x
x 1
1
 2

3 x  11x  6 x  9 3 x  2
x 3  6 x 2 y  9 xy 2
dividido
2 x 2 y  7 xy 2  3 y 3
entre
8 x 2  2 xy  y 2
4x 2  y 2
8 x 3  12 x 2 y  6 xy 2  y 3
49-. Simplificar:
6 x 2  xy  y 2
c4
27a 3  b 3
.
2
2
50-. Simplificar 9a  b 3 ac 3 bc
ac  bc
3a 2  2ab  b 2
3u 2  10uv  3v 2 2u  v
.
2
2
u  3v
2
u

5
uv

3
v
51-.
2
6u  11uv  3v 2
4u 2  12uv  9v 2
2
MATERIAL
A)
ALGUNOS EXAMENES DE OTRAS
LEDEZMA.
201613
5 w
2 w

50w  5w  20w
80w  2,5 8w  45w
UNIVERSIDADES
EXAMEN UNO
1-. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones
simultáneas:
A) Gráficamente
B) Analíticamente
B)
2 8
2

48  5 2 4 3  50
3) Simplificar las siguientes expresiones:
2
x
y  2
3
2
3
5x
y
 5,5
8
6
2-. Miriam’s puede ofrecer 100 pares de zapatos
al mes a un precio de $ 17.500 c/u y a este precio
son demandados 125 pares. A $ 20.000 cada par
puede ofrecer 25 pares más, pero su demanda se
reduce en 8 pares.
(1) Encontrar las ecuaciones para la oferta y la
demanda suponiendo que estas son lineales
(2) En qué punto la oferta y la demanda son
iguales
EXAMEN DOS
A)
B)
6
14
8
 2
 2
w  16 w  5w  4 w  3w  4
w5
12w
2
3

w3 w2
2
4-. Factorizar las siguientes expresiones
A)
9x2n  3xn yn  y2n
B)
2x 2  7yx 2  15x 2 y2
5
3
1
EXAMEN CUATRO
1-. Un concesionario puede vender 40 taxis de
servicio público a $ 14.000.000 c/u y asume que
por cada $ 400.000 que aumente al precio de
cada taxi, dejará de vender 1.
A) Cuántos taxis debe vender y a qué precio para
obtener unos ingresos totales de $ 560.000.000
sin vender todos los vehículos?
B) Hallar la ecuación de la demanda
C) Cuál es el precio óptimo para maximizar el
ingreso?
B)
2x  5  3x  8
2-. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el
método de Gauss:
3x  y  1  4z
x  z
2y  z  2
3-. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando
determinantes:
2-. Resolver las siguientes ecuaciones:
A)
1-. Resolver la siguiente inecuación:
xz0
z  2y  2
3x  4z  1  y
35
30
 25  2
Q 1
Q 1
2 Q  20  4  2 2Q  1  0
EXAMEN TRES
4-. Hallar A x B si:
A)
B)
X  13  2 X  6  10
 4 1 2 


A   1 2 1 
 3 1 1


14
12
 2
 10
x 1 x 1
2-. Racionalizar
expresiones:
y
simplificar
las
siguientes
 1
 14

2
B
 7

 1
 2
3
14
1
7
1
2
5 
14 

3 
7 

1 

2 
EXAMEN CINCO
MATERIAL
A)
B)
DE USO EXCLUSIVO. UNIVERSIDAD DEL VALLE. DANIEL TRUJILLO LEDEZMA.
201614
2-.
Resolver
el
siguiente
sistema
de
ecuaciones
18
utilizando determinantes:
 15  0
2
21

x 1 x 1
x  20  2x  1  2
2-. Simplificar y racionalizar las siguientes expresiones:
A)
B)
5
4x

1  3 2x  2x 2
x2  x  5
8  4x
x2  2
 2

x7
x  9x  14 x  7
3-. Factorizar las siguientes expresiones:
2x  z  3y  3
2y  x  2
4x  2z  0
3-. Resolver las siguientes inecuaciones:
A)
5  x  3  15
B)
x2  5x  6  0
 1 0 0
4-. Hallar A x B si:


A   0 3 0 
0 0 4


140x2  xy  3y2
4
2 2
4
B) 4x  4x y  9y
A)
4-. Simplificar y/o realizar las siguientes operaciones:
5
2
A)
3
2
11x  x y  12x y2
5
2
x y
x3 
B)
1
2
Extra: resolver:
método de gauss:
2y  3z  12  0
xy1
2z  5  3x
1-. Un vendedor sabe por experiencia que si vende sus
revistas a $1500 cada una, puede vender 800 revistas, pero
si aumenta el precio de cada revista en $ 300 deja de vender
50 revistas. Suponiendo que la demanda es lineal:
A) Hallar la ecuación de la demanda
B) Cuantas revistas debe vender y a qué precio para obtener
ingresos por $ 1.200.000 pero vendiendo menos revistas.
C) Cual debe ser el precio para maximizar el ingreso?
2-. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones
simultáneas:
A) Gráficamente
B) Analíticamente
2-. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando
determinantes:
3-. Hallar
A 1 si:
 2 1 3 


A   3 0 5 
2 1 1 


4-. Resolver las siguientes inecuaciones:
B)
2 w3 w8 1
EXAMEN OCHO
EXAMEN SEIS
A)

0

0

1

4
5
2
13x 2 112

 10x
5
25
5x  2
3x  2z  5
x  1 y
2y  12  3z

1 0

1
B  0 

3

0 0

x2  x  12  0
x3 2 5
2x 1
 y2
3 2
5y 3x 11


6
8
2
3-. Debido al aumento del costo de los insumos, una
papelería aumentó precio de la revista Las Bandas de $
23.400 a $ 30.000 lo que hizo disminuir las ventas de
4000 a 3200 revistas a la semana. Suponiendo que la
demanda es lineal, cuantas revistas venderá si decide
fijar un nuevo precio de $ 25.000? ¿Qué precio implicaría
una demanda nula?
EXAMEN SIETE
método de gauss:
4x  2z  0
2y  x  2
2x  z  3y  3
PARA
QUIEN
ESTUDIA
EL
CONOCIMIENTO PIERDE SU CALIDAD DE
INFINITO Y SE PERCIBE TAN CERCANO,
COMO UNA CARICIA… COMO UN BESO…
MATERIAL
LEDEZMA.
201615
CÁLCULO
TALLER NUMERO 1 LIMITES
ORIENTADOR: DANIEL
TRUJILLO
LEDEZMA
CALCULE CADA UNO DE
LOS SIGUIENTES LIMITES,
EN CASO DE QUE EXISTAN:
1-.
5-.
lim3x  2x  7
2
2-.
x 3
lim
a 1
a 1
3
6-. lim
f 1
a 1
3x 2  8x  16
9-. lim
x  4 2x 2  9x  4
f3  f
13-.
lim 3
a 1
k 1
16-.
k k
11-. lim
x 1
2  x 1
x 1
4X  3 X2
14-. lim
x 3
X 3
3
a  26 a  1
a  m  3  a
lim
1
3
17-. lim X 2  1  X 2  1
m
x 
lim x( x 2  1  x )
x 
a 2  1 si   3
19-.
3
(a  1)2
m 0
X3  X
8-. lim 2 3
x 1 X 
X
k3  k2
2m2  128
m2  8m
1
1 X  X 2  1
15-. lim
x 0
X
p3  1
4-. lim
p 1 p  1
7 x
3-. Lim
x 7
7x
7-. lim
f f
10-. lim
M
3x  1  4
12-. lim
x 5
x3  2
18-.
x2  4
lim
x 1 x  2
lim
2a  4 si  > 3
x3
22-. lim
a 2
3
26-. lim
x 1
23-. lim
a2
a 2
m 4
x 2  3  3 (x  1)2
x 1
1
a 1
2
29-. lim
a 2 4  a 2
30-.
2X+3 Si X  1
20-. lim
x 1
21-.
6X –1 Si X >1
8x 2
24-. lim
x 0
x
m4
3
m 2
3
27-. lim
x 1
aX3 si X<1
9  x 3  3 5x 3  3
2x 2  1  x 2  2
(2m  1)3  m
lim
m 1
2  2m
31-.
lim
x 1
bX2 si X  1
3
m  26 m  1
(m  1)2
25-. lim
m 1
(a  1)2  1
28-. lim
a 0
a3
1  (2x  1)3
lim
x 0
x
MATERIAL
32-
f( x x )  f( x )
lim
33-.
lim
x
x 0
lim
f( x h)  f( x )
h 0
Si f( x )
36-.
39-.
ln(1  KX )
41-. lim
x 0
X2
2
47-.
2 

lim  1 
x 
X 


42-.
2
59-
X 1
4 X 5
7 3 x 3
lim
x 8
x 8
37-.
lim
f( x h)  f( x )
h 0
h
40-.
X
h
ln(1  Kx)
x 0
x
lim
3

lim  1  
x 
X

43-.
 4x 
lim 

x  1  4x


x
X
46-.
X
 1  3x 
lim 

x  2  3x


4x 1
X 2
48-. lim  1  3X 
1
49-. lim  1  5X 
X
51-.
54-
X 3
X 3
lim
x 3
52-.
4 Q
Q 1 Q  1
lim
3
57- xlim
0
55-.
x3  8  3 x  8
lim
x 4
3X
x4
x4
X 1
x 2 (2  X )2
lim
3
58-. alim
1
x x2  2  x
a2  3  3 (a  1)2
a 1
18  3 z  1  4
lim
x 9
z9
60-.
(3x  h)2  9x 2
61-. lim
h0
h
4
x 0
x 0
x
x2  9
53-. lim
x 3 x  3
56-. xlim
 -1
f( x h)  f( x )
1

lim  1  
x 
X

f( x x )  f( x )
Si f( x )  (x  a)2 , halle:
x 0
45-.
lim
x 0
lim x (ln( x  1)  ln x )
X
 2X2  5X  3 
lim 

2
x 
 2X  X  3 
 3 
50-. lim  1  x 
x 0
 5 
34-.
x
3
 x , halle:
h 0
h
10x  5 x
38-. lim
x 0
x
44-.
lim
201616
Si f( x )  x, halle:
x 0
Si f( x )  ax  b, halle:
35-.
1
, halle:
x 1
f( x x )  f( x )
Si f( x ) 
Si f( x )  x 2  1, halle:
LEDEZMA.
3
*
62 -. lim
f 5
f  3f  1  1
f 5
0 
;
;0  ;00 ;  0 ;1 ;   
NOTA: FORMAS INDETERMINADAS: 0 
MATERIAL
LEDEZMA.
201617
CÁLCULO I
TALLER NUMERO 2 CONTINUIDAD
1-. Para las siguientes funciones determínese si SON o NO continuas, en caso de que
sean discontinuas, decir la clase de discontinuidad que presentan, y en caso de que sea
evitable, redefina la función para hacerla continua.
2X –1 si X<3
3X –1 si X<-3
17X –9
si X>4
X – 4 si -3  X<0
A) f(x) = -9
si -3  X  1 B) g(x) = 63
si X =4 C) R(x) =
2
2
X –11 si X>1
107 –3X si X<4
-3 si 0  X<2
X2 – 8 si X  2
2 x ,
si x  0

2

si 0 < x  2
2,
ax  2x, si x  1
D) h(x) =  x 1
E) f(x) =

2

8x  a , si x > 1
3  2, si x > 2


2-.para las siguientes funciones halle los valores de a y/o b que las hacen continuas:
a
3aX2 –2b si X< -2
3aX2 + b si X<1
1 - , X  (o,1)
X
A) f(x) = 1
si X = -2
B) g(x) = 4
si X = 1 C) h(x) =
2aX –b
si X> -2
2aX – b si X>1
bX3+8 X  1
X
D) P(x) = aX+b
-2X
si
si
si
X  1
1 < X < 4
X  4
 2x  3
 2
ax  b
E) f(x) = 
c

3 x  5

2
si
x

-1
si -1 < x < 2
si
x = 2
si
x
> 2
3-.Sean:
X2 + 3 si X  1
F(x) =
X2
si X  1
2
si X >1
g(x) =
X+1
si X>1
Halle una fórmula para f(x).g(x) y decida si esta función es continua en X = 1.
MATERIAL
LEDEZMA.
201618
CÁLCULO I
TALLER NÚMERO 3 DERIVADAS
ESTUDIANTE: __________________________________ DANIEL TRUJILLO LEDEZMA
1-. DERIVE POR DEFINICIÓN:
A) y = 2X
B) F (X) = 3 + 2X
1 – X2
C) F(X) =
m
F) F(Q) = senQ
G) y = e X
2m  1
1 x
I) f ( x ) 
J) q( x )  (1  x )2
K) g( x )  sen2 x
2x  1
E)
F(m) =
H)
D) y =
ln( x  1)  ln( x)
y =
L) s ( x ) 
x 1
x 1
7 x
x 1
2-. CALCULE LA DERIVADA DE CADA UNA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES:
B) y = X3 –X2 –X + 4
A) y = -X +1
E) f(m) =
H) y =
2m 4
a 2  m2
aX
a X
F) f(p) = ( 4 –3p3 ) ( 2 –5p2 )
I) f(r) = ( r3 –a2 )7
L) y = (a  x) 3 a  X
O) y =
R) y =
loga  X2  1
7
X
S) y =
X) f(m) =
N) y =




X2  m2

T) y = XlnX
Y)
4
K) f(Q) = ( 4 - 3 Q )3
x ( x 2  1)
( x  1)2
P) y = Ln x  1  x
a ln X
Senm
2 cos 2 m
3
D) f(x) = 5X6/5 – 4X3/4 + 8X
G) g(x) = ( X3 –1)(X2 –2)(X –3)
J) y =
1 X
1 X
2
W) f(r) = lnCosR
Z2) y =
M) y =
 n  n2  X 2
n  X  n.ln 

X

2
C) y = X + X ½ + X1/3
SenX
Ñ) y =
2

U) y =
Z) F(a) =
x2  1
x
ae
X
aa
lnX
Z3) f(x) = (ax  b)(bx  c)(cx  d ))(dx  e) Z4) y =
Z5) f(x) = Determine f‟(0) si f(x) =

X
m Xm
e e m
2
Q) f(a) = ln(lna)
V) y = e
Z1) y =
xx
(lnX)lnX
xlogX X
ln X
senx  ln(g( x )), con g(0) = e y g'(0) = 2e

MATERIAL
3.DERIVE LAS SIGUIENTES
FORMA MÁS SIMPLE:
A) y =
X
 
n
nX
B) f(r) =
F) y = 10XTANX
X
 
R
R
FUNCIONES
EXPRÉSELAS
EN
201619
SU
X
C) y = XSenX
G) y = (arcsenX)2
J) y = arcsen senX
Y
LEDEZMA.
K) y = arctan
H) y =
2X
1 X 2
D) y = (SenX)X
4  2X
E) y = (SenX)TanX
I) f(x) = arcCos lnX
L) f(r) = 2R.3R
M) y =
3
3 X
4.DERIVE:
A) y2 = 4p(X – h)
B) X2 +y2 = R2
E) y = Cos(X + y)
F) Cosxy = y
C) X1/3 + y1/3 = a1/3
G) (X –y)2 –(X + y) –3 = XSenX
y
X
- ln
= Xy
X
y
Xy Xy
L) Xy4 + X2y3 + X3y2 –X4y –X5 + Xy = ln7
M)

 lnX
X
y
I) lnXY + ln(X+y) = X
D) (bx)2 + (ay)2 = (ab)2
J) ln
H) Xy –yX = R
K)
eX –e –y = 1
N) eXy + eX –y = e X
 arcsenx 
5 Halle dy/dx si y  f 

x


6. HALLE LOS VALORES DE LAS CONSTANTES a Y b PARA QUE LA
FUNCIÓN:
f( x )
x3
si x < 1 


ax + b si x  1 
Sea diferenciable en X = 1.
7. Halle los valores de las constantes a y b para que la función:
f( x )
 a

si x  (0, 1)
1 
 x

3
bx + 8 si x  1



Sea diferenciable en X = 1.
8. A) Utilice la definición de derivada para calcular f’(a) si f(x) =
B) Calcule g’ (
2)
1 x
f( x 2 )  1
si f’ (2) = 1, f(2) = 3, g(x) =
9. Si g(x)  f( x2 ) , f '(4)  3, f''(4)  1, halle g'' (2)
MATERIAL
LEDEZMA.
201620
10 Si y = f(x) es una función derivable en un intervalo I, calcule dy/dx dado que:
y
arctan    ln x 2  y 2
x
11 Sea f(x) una función diferenciable en el intervalo I, Calcule dy/dx en cada caso:
A) f(x) = g(arctan x)
B) f(x) = (sen x)x
x
C)
f
(t )
dt  x 3  x 2
0
D) f(x) = ln(x2 – cosx5)
12. Encuentre una función diferenciable y = f(x) que cumpla:
f '( x ) 
x3
4  x2
para x  2 y f(0)  1
13 Si f(t) = (g2(t) – 4)3/5 , g(0) =
3 , g’(0) = 5, halle f’(0).
14 Si f(2) = 9, f’(2) = 6, g(x) =
f( x ) , encuentre g’(2) .
1-.
Si f(x)
1- cosx

 
x

0
si
si

x  0

x = 0

calcule f'(0)
PARA ALUMNOS MÁS “AMBICIOSOS”
1-. Derivar:
C) y =
a
Xa

ln
A) y = arctan
X
Xa
ln(X  X2  a2
D) y =
 1 X 
B) y = ln 

 1 X 
X X X
E) y =
2-. Demostrar que si U = 2lnCotS y V = TanS + CotS, entonces
3-.Si y = Xn hallar y (4)
1
4

1
arcTanX
2
X 3X 4X
dU
 Tan2S .
dV
4-.Si F(R) = SenRCosR hallar F(3)(R) 5-.Si F(m) = m3em hallar F4(m)
6-. Hallar la derivada se tercer orden de: y =
aX
MATERIAL
LEDEZMA.
201621
CÁLCULO I
TALLER NUMERO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA
RECTAS TANGENTES Y NORMALES
1-.Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a las siguientes curvas en el punto
indicado:
A) y = X (4,2)
B) y 2 = X + 1 (3,2)
C) y = X3 –2X2 (1, -1)
2-.Hallar la ecuación de la recta normal a cada uno de las siguientes curvas en el punto
dado:
A) y = 2X2 –3X + 1 ( 1, 0 )
B) y = X 3 –X + 1 (2,7)
8a 3
3-.Hallar las ecuaciones de la recta tangente y la normal a la curva: y =
en el
4a 2  X 2
punto donde X = 2ª
4-.Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y = X2 –2X + 1y que es paralela a la
recta X+3y = 4
5-.Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva: y = 4 – X3 y que es perpendicular a
la recta -3y + X –4 = 0
6-.Siendo F(x) = X2 + aX +b, hallar a y b tales que la recta y = 2X sea tangente
grafica de f en (2,4)
a la
7-.Hallar a, b y c para los cuales las graficas de los dos polinomios F(x) = X2 + aX + b y
g(x) = X3 – c se corten en el punto (1,2) y tengan la misma tangente en dicho punto.
8-.Demostrar que la recta y = -X es tangente a la curva dada por la ecuación
=X 3 –6X2 + 8X. Hallar los puntos de tangencia. Vuelve a cortar la curva esa tangente?
y
9-.Hállense los coeficientes a, b, c y d, de tal suerte que la curva: y = aX 3+bX2+cX+d, sea
tangente a la recta y = 3X –3 en el punto (1,0) y tangente a la recta y = 18X –27 en el
punto (2,9).
10-.Existen dos rectas tangentes a la curva y = –X2 + 4X –2 , que pasan por el punto (2,6).
Halle las ecuaciones de tales rectas y represéntelas gráficamente para comprobar el
resultado.
MATERIAL
LEDEZMA.
201622
2
11-.Existen dos rectas tangentes a la curva y = 2X – 5X que pasan por el punto (–
3,1). Halle las ecuaciones de tales rectas y represéntelas gráficamente para comprobar el
resultado.
OPTIMIZACIÒN DE MODELOS MATEMÁTICOS (MÁXIMOS Y MINIMOS)
1-.Hallar dos números positivos cuyo producto sea 100 y cuya suma sea mínima.
2-.Hallar dos números positivos cuyo producto sea 64, y la suma de uno de ellos con el
cuadrado del otro sea mínima.
3-.Hallar el área máxima de un rectángulo inscrito en un circulo de radio R.
4-.Hallar las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede
inscribirse en una esfera de radio A.
5-.Probar que de todos los rectángulos de área dada, el cuadrado tiene el menor
perímetro.
6-.Halle las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que se puede
inscribir en un cono circular recto de 3 m de altura y 2 m de radio.

7-.Un recipiente metálico debe contener 250 cm3 de borojó. Si se requiere que tenga la
forma de un cilindro circular recto, hallar el radio de la base y la altura, para que en su
construcción se utilice el mínimo de material.
8-.Si los tres lados de un trapecio tiene longitud L centímetros, qué longitud ha de tener
el cuarto lado para que el área sea máxima?
9-.De una lámina muy delgada de lado a, se desea construir una caja abierta del mayor
volumen posible; recortando cuadrados iguales en las esquinas de la lamina, y, luego
doblando hacia arriba los bordes.¿cuál debe ser el lado del cuadrado que se corte?
10-.Un rió tiene un codo de 45 o como se muestra en la grafica. Se desea construir un
corral bordeado por dos lados por el rió y por los otros dos lados por
1500 m de
valla ABC. Hallar las dimensiones del corral de área
máxima.
A
135º
X
B
45º
C
11-.Halle el punto (o los puntos) de la hipérbola y2 – x2 = 1 cuya distancia al punto (2,0)
sea mínima.
12-.La resistencia de una viga rectangular, es proporcional a su ancho y al cuadrado de
la altura de su sección. Calcule las dimensiones de la viga más resistente que se puede
cortar de un tronco en forma de cilindro circular recto de R centímetros de radio.
MATERIAL
LEDEZMA.
201623
2
13-.Una página ha de contener 30cm de impresión. Los márgenes superior e inferior
tienen un ancho de 2cm. Los márgenes laterales tienen 1cm. Hallar las dimensiones de la
pagina para que se use la menor cantidad de papel.
14-. Cuál es el máximo volumen posible de un cono inscrito en una esfera de radio R?
15-. Un recipiente cilíndrico está diseñado para contener 1000 cm3 el material de la base
cuesta dos veces más que el de su cara lateral. Halle el radio y la altura del recipiente
más económico.
16-. La rigidez de una viga rectangular es proporcional al producto de su ancho por el
cubo de la altura de su sección. De que forma debe cortarse la viga de un tronco
circular recto de radio R con el fin de que la rigidez de la viga sea máxima?
17-. Un campo petrolero que contiene 20 pozos, ha estado produciendo 4000 barriles
diarios de petróleo. Por cada nuevo pozo perforado, la producción diaria de cada pozo
decrece en 5 barriles. ¿Cuántos pozos nuevos deben perforarse para maximizar la
producción total diaria del campo petrolero?
18-.Se debe fabricar una caja rectangular con un volumen de 400 cm3. el fondo es un
rectángulo cuyo largo es el doble del ancho. El material para el fondo tiene un costo de
$ 7 el cm2, y para la tapa y los otro cuatro lados cuesta $ 5 el cm 2.¿Qué dimensiones
minimizan el costo de la caja?
19-. Un campesino que gusta del calculo sabe que si planta 60 guayabos en su finca, la
producción media por árbol será de 475 guayabas, y ésta decrecerá en 5 guayabas por
cada árbol que se incremente en el plantío. ¿Qué cantidad de árboles se debe plantar
para maximizar la producción total? ¿Cuál es la máxima producción total?
20-.Una oficina de bienes raíces tiene un edificio de 100 apartamentos. Cuándo la renta
es de $48.000 mensuales por cada apartamento, todos están ocupados. La experiencia ha
mostrado que por cada incremento mensual de $4000 en la renta, se desocupan 5
apartamentos. El costo de mantenimiento de cada apartamento es de $8000 mensuales.
¿Qué renta debe ser colocada para maximizar la utilidad?
21-.Determine el área del máximo rectángulo que se puede inscribir en un triangulo
rectángulo cuyos catetos tienen a y b cm de longitud, si los lados del rectángulo se
encuentran a lo largo de los catetos.
22-.Un contratista esta removiendo tierra por una gran excavación, puede conducir sus
camiones por dos carreteras distintas. Hay 1800 m3 de tierra por remover y cada camión
puede cargar 10 m3 por viaje. Por una carretera, el costo por cada carga es de 1 + 2X 2
pesos, si X camiones emplean la carretera. Por la otra es de 2 + X2 pesos. ¿Cuántas
cargas deben enviarse por cada ruta para minimizar los costos?
23-.el costo de fabricar X unidades de un artículo es : C(x) = X 2 –2X + 30, cuál es el costo
mínimo?
24-.Cuando un objeto extraño penetra a la traquea, el organismo responde tosiendo, lo
que se consigue por contracciones bruscas de la traquea, que hacen que la velocidad del
MATERIAL
LEDEZMA.
201624
aire que sale por la misma, se incremente. Si la velocidad de salida del aire se
expresa por V = K(R – r)r2, donde K es una constante de proporcionalidad, R el radio
normal de la traquea y r el radio de la traque al toser, ¿qué condición debe cumplir r,
para que la velocidad de salida del aire sea máxima?
25-. Un biólogo ha calculado, que cuando cierta víbora inocula su veneno a un individuo
de talla media, la concentración de veneno en la sangre de este, después de T horas de
ser atacado. Está dada por: C(T) = 5T 2 . si se sabe que el antídoto seria ineficiente Si
18  2T
se aplica después de que el veneno alcance su máxima concentración, de cuanto tiempo
se dispone para aplicar el antídoto a una persona que ha sido atacada por tal víbora?
26-. Se ha de construir un tanque con base cuadrada horizontal y lados rectangulares verticales.
No tendrá tapa, pero deberá tener una capacidad de 4 m3. El material metálico con que se
construirá el tanque tiene un costo de 10 euros el metro cuadrado. Hállese las dimensiones que
impliquen un costo de construcción mínimo.
27-. Una compañía obtiene una utilidad de u$ 5 por cada artículo que vende. Si gasta D dólares en
publicidad a la semana, el número de artículos que vende está dado por:
kD
X = 2000(1 – e– )
Donde K = 0.001. Determine el valor de A que maximiza la utilidad neta.
28-. El área de la superficie de una celdilla en un panal es:
3s 2  3  cos
S  6hs 

2  sen



Donde h y s son constantes positivas y
ө es el ángulo entre las paredes superiores que
interceptan a la altura de la celda. Averiguar el ángulo que minimiza el área S.
29-. La potencia eléctrica P en vatios en un circuito de corriente continua con dos resistencias R1
y R2 , conectadas en serie, es:
P
vR1R2
(R1  R2 )2
Donde v es el voltaje. Si v y R1 se mantienen constantes, ¿qué resistencia R2 produce la
máxima potencia?
30-. La ecuación: E 
kqx
Da la intensidad del campo eléctrico en el eje de un anillo
( x  a2 )3 / 2
2
cargado uniformemente, donde q es la carga total, k una constante y a es el radio del anillo.
¿Para qué valor de x es máximo E?
31-. Hállense todos los puntos de la gráfica de y = 4 – x2 que estén más cerca del punto (0, 2).
32-. Un servicio de entrega nocturna repartirá solamente paquetes cuyo volumen no sobrepase los
90 cm3 ¿Qué dimensiones debe tener una caja de lados cuadrados para que su volumen sea
máximo?
MATERIAL
LEDEZMA.
201625
33-. Después de un proceso de descontaminación, la cantidad de un contaminante por
centímetro cúbico, en una planta química, t días después del tratamiento, está dada por la
expresión: C(t) = 14t2 – 112t + 325 con ( 0 ≤ t ≤ 9). ¿Cuántos días después del tratamiento la
contaminación es mínima?
34-. La concentración en miligramos por cm3 de la droga LDS en el torrente sanguíneo de una
persona después de t horas de administrada está dada por:
C( t ) 
0,18t
t  3t  25
2
Hállese el momento cuando la concentración es máxima.
35-. El costo de operación de un camión en carretera abierta independientemente de los costos de
trabajo es (0,13 + v/500) dólares por kilómetro, donde v es la velocidad constante del camión en
km/h. El salario del chofer del camión es de $ 980 dólares la hora. ¿Que velocidad debe mantener
el camión en una distancia de 600 kilómetros para minimizar los costos?
36-. Un propietario desea encerrar un área rectangular de 800 m2 en su finca. Tres lados deben
ser de malla de alambre, y el otro de ladrillo. La malla de alambre cuesta 8 dólares el metro; el
ladrillo cuesta 24 dólares el metro. ¿Cuáles son las dimensiones del encierro para que los costos
sean mínimos?
37-. Para cada envío una firma tiene un costo de u$ 50 por embarque. Los costos de trasporte
(almacenaje, seguros, etc.) son de u$ 4 por unidad. Las ventas son uniformes durante el curso del
año y se espera que lleguen 2500 unidades. Halle la cantidad óptima de cada pedido que
minimice los costos de inventario anual y determine el costo mínimo (CEP cantidad económica por
pedido), si cada unidad cuesta u$2.
38-. La curva total de un producto T de un factor de producción se deriva de una función de
producción, permitiendo que las proporciones de un factor (digamos, trabajo) varíen mientras se
mantienen constantes los otros factores (capital, tierra). Dada T = 300L 2 – 10L3, grafique el
producto total y marginal del trabajo y muestre la relación entre los dos.
39-. Dada la ecuación para una isocuanta de producción que representa las diferentes
combinaciones de insumos K y L, que se pueden emplear para producir un nivel específico de
producción Q (para el caso de 6480 unidades):
4/5 1/5
40L K
= 6480
a) Emplee la derivación implícita para hallar la pendiente de la isocuanta dK/dL que en economía
se denomina tasa marginal de sustitución técnica.
b) Evalúe la tasa marginal de sustitución técnica (TMST) en L = 243, K = 32.
40-. El porcentaje de árboles frutales de una plantación que han sido infectados por cierta plaga
está dado por:
P( t ) 
100
1  50e 0,1t
Donde t es el tiempo en días. Calcule el tiempo en que P’ (t) es máximo. ¿Qué significa este
tiempo?
MATERIAL
LEDEZMA.
201626
41-. Cuando una tarea de repetición (por ejemplo resolver problemas de cálculo) se realiza
cierto número de veces, la probabilidad de hacerla correctamente crece. Un modelo usado
algunas veces para esta probabilidad de éxito es:
P
AN
N B
Donde A y B son constantes y N es el número de veces que se ha realizado la tarea. Calculando
el lim P interpreta A. calcule dP/dN en N = 0.
N 
**42-. El costo de construcción de un edificio destinado a oficinas es de $50.000 para el
primer piso, $52.500 para el segundo; $55.000 para el tercero, y así sucesivamente. Otros
gastos (terreno, plano, cimentación, etc.) son de $350.000. la renta anual neta es de $500
para cada piso. ¿cuántos pisos darán el más alto tipo de interés de la inversión?
VARIABLES RELACIONADAS
1-.Un globo esférico pierde aire a razón de 120  cm3/min., si para un instante dado, el
radio es R y éste varía a una rata de 7,5 cm/min. Cual es el valor de R?
2-. Halle la razón de cambio del radio. De un balón esférico que gana aire a razón de
100  cm3/min., cuando el radio es de 5cm.
3-. Un globo esta subiendo a una velocidad de 5 m/seg. Cuando el globo esta a una
altura de 15 m, un automóvil pasa por debajo de él. Si el automóvil se desplaza en línea
recta a una velocidad de 10 m/s, ¿Con que rapidez cambia la distancia entre el globo y el
automóvil un segundo después?
4-. Una partícula se mueve en la orbita circular x2 + y2 = 25, cuando pasa por el punto
(3,4) su coordenada y, disminuye a razón de 2 unidades por segundo. ¿Cómo varia la
coordenada X?
5-. Se infla un balón a razón de 100
cuando este es de 10 cm.?
 cm /min. ¿Con
3
que velocidad cambia el radio
6-. Se tiene un tanque de forma cónica de vértice hacia abajo, si le entra agua a razón
10  cm3/min., ¿a que velocidad cambia la altura del agua cuando ésta es de 5 cm.?
7-. Un tanque cónico de vértice hacia abajo tiene 10 dm de diámetro y 20 dm de altura.
Si le está entrando agua a razón de 200  dm3/min., cuál es la razón de cambio del nivel
de agua, cuando la profundidad del agua es de 5 dm?
8-. Un tanque de agua tiene forma de cono con vértice hacia arriba con una altura de 10
dm y con un radio de 4 dm. Si se llena a razón de 4  dm3/min., cuál es la razón de
cambio del nivel del agua, cuando la profundidad del agua es de 3 dm?
9-. En un montón de forma cónica se deja caer arena a razón de 10 m 3/min. Si la altura
del montón de arena es dos veces el radio de la base, ¿A que velocidad aumenta la
altura, cuando ésta es de 8 m?
MATERIAL
LEDEZMA.
201627
10-.La base de un triangulo isósceles mide 6 pulgadas. Si la altura del triangulo aumenta
a razón de 2 pulgadas / segundo; ¿Cuál es el coeficiente de variación del ángulo del
vértice, cuando la altura es de 4 pulgadas?
11-.Un abrevadero tiene una longitud de 5 m y sus extremos son triángulos isósceles con
una altura de 1 metro, y 2 metros de base, estando el vértice opuesto a la base hacia
abajo. Si se vierte agua en el abrevadero
a razón de 2 m3/min., a qué velocidad
aumenta el nivel del agua en el abrevadero cuando la profundidad del agua es de 40
cm? ¿Cuánto tiempo demorara el abrevadero en elevarse?
12-.Un pescador ubicado en un puente a 10 metros por encima del nivel del agua,
arrastra un pez que mordió el anzuelo y rebobina el hilo a 0,5 m/seg. Suponga que el
pez está permanentemente en la superficie del agua. Cuál es la aceleración del pez en el
instante en que la longitud del hilo es 30 m?
13-.Un diamante de baseball tiene la forma de un cuadrado con lados de 30 metros. Si
un jugador está corriendo de la segunda a la tercera base a una velocidad de 18 m/s, ¿A
qué razón está cambiando su distancia al punto de recepción cuando se encuentra a 15
metros de la tercera base?
1ra
2da
3ra
Recepción
14-.La piscina que se muestra en la figura tiene dimensiones que se indican. Si se
introduce agua en ella a razón de 4 m3/min y hay dos metros de profundidad en la parte
más honda:
20 m
4m3/min.
3m
50 m
8m
A) ¿Qué porcentaje de la piscina está llena?
B) ¿A que ritmo sube el nivel del agua en ese momento?
15-.Una artesa con las medidas que se muestran en la figura acaba en triángulos
isósceles. Si se echa agua en ella a razón de 2 pies3/min., ¿Cómo está subiendo el nivel
del agua cuando hay un pie de profundidad?
MATERIAL
LEDEZMA.
201628
16-.Una escalera de 10 metros de longitud se apoya contra un edificio, hallándose la
base del edificio a 8 metros del extremo inferior de la escalera. Hallar:
2 p3/min
12 P
3P
3P
1P
A) La velocidad con que se mueve el extremo superior de la escalera cuando el
inferior se aleja del edificio a una velocidad de 3 m/seg.
B) La velocidad a la que disminuye la pendiente
17-.Un hombre de 2 metros de estatura, camina a razón de 3/2 m/s, alejándose de un
manantial luminoso situado a 5 metros de altura. Cuando se halla a 8 metros de la
fuente de luz:
A) ¿A que velocidad cambia la longitud de su sombra?
B) ¿A que velocidad se mueve el extremo de su sombra?
18-.Un farol se halla a 40 metros de altura, y desde un punto situado a 10 metros del
farol, y a su misma altura, se deja caer un guijarro. Suponiendo que este cae según la
ecuación de posición: S = 5T 2, hallar la velocidad a la que se mueve su sombra sobre el
suelo, un segundo después de empezar a caer.
19-. Para un producto definido, un fabricante ha determinado que el ingreso total por la
venta de X unidades está dado por la ecuación: I(x) = 200X –X2, y que el costo total esta
dado por la ecuación: C(x) = 500 + 8X. Suponga que el fabricante está produciendo y
vendiendo X unidades a razón de 8 diarias hasta el momento en que se produce la
centésima unidad. En dicho momento, ¿Cuál es la razón de cambio del ingreso total, del
costo y de la utilidad?
20-.Halle la razón de cambio del ingreso total, del costo y de la utilidad para una
empresa que presenta la siguiente información:
I(x) = 280X –0,4X2
C(x) = 5000 + 0,6X2 , Cuando X = 200 y dx/dT = 30 unidades diarias.
1 4
x  x 3  x 2 , indicando puntos críticos, máximos y
4
mínimos locales, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión y concavidades.
21-. Trace la gráfica de la función y 
MATERIAL
LEDEZMA.
201629
PROBLEMAS TIPICOS DE ADMINISTRACIÓN Y ECONOMIA
1-.El costo promedio de fabricar cierto articulo está dado por la expresión: C  5  48  3X 2 ,
X
donde X es el numero de artículos producidos. Halle el valor mínimo de C.
2-.Si la relación de demanda es x = 1000 – 50p, calcule la elasticidad de la demanda cuando:
A) p = 5
B) p = 10
C) p = 15
3-. Con respecto a la relación de demanda x = k(1 – p – p2 ), determine el valor de p que hace
que n = -1. Halle los valores de p para los cuales la demanda es:
a) Elástica
b) Inelástica
4-. Una población tiene un tamaño P(t) en el tiempo t dado por la función logística:
P( t ) 
A
1  Be t
Donde A y B son constantes. Encuentre el valor de t en el cual la razón de crecimiento es
máxima.¿Cuál es la razón de crecimiento máxima?
5-. La reacción a dos drogas como función del tiempo (medido en horas) está dada por:
R1( t )  te t
y
R2( t )  te 2t
2
¿Qué droga tiene la reacción máxima mayor?
6-. La producción
y (en toneladas por hectárea) de cierto cultivo de trigo está dada por
y  a(1  e )  b , donde a, b y k son constantes y x es el número de kilos por hectárea de
fertilizante. La utilidad generada por la venta de trigo está dada por P  py  c0  cx , donde p
es la utilidad por tonelada, c es el costo por kilo de fertilizante y c 0 es el costo fijo. Determine
cuánto fertilizante debe usarse a fin de maximizar la utilidad P.
 kx
7-. Una empresa vende todas las unidades que produce a $4 cada una. El costo total de
la empresa C por producir X unidades está dado en dólares por: C = 50 + 1,3X + 0,001X 2.
A) Escriba la expresión para la utilidad total U como función de X
B) Determine el valor de X que maximice la utilidad
C) ¿Cuál es el valor de la utilidad máxima?
8-.Un material se demanda a una tasa de 10.000 unidades por año; el precio al costo del
material es de $2 por unidad; el costo de volver a llenar el almacén por orden, sin
importar el tamaño de la orden (X), es de $40 por orden; el costo de almacenar el
X
material por un año es del 10% del valor de las existencias   .
2
400.000 X

Pruebe que el costo total C está dado por: C  20.000 
X
10
Determine el tamaño del lote económico, esto es, el valor de X para el cual C es
mínimo.
9-.Un banco quiere recortar sus costos laborales reduciendo el numero de cajeros pero
espera una pérdida de negocios debido al descontento de los clientes por el tiempo de
esperar. Supongamos que el salario de los cajeros es de $800.000 mensuales y la
MATERIAL
LEDEZMA.
201630
500.000.000
pésos mensuales.
n 5
Determine el valor de n que minimiza la suma de sus perdidas más el costo del salario.
perdida
de
utilidad por tener
n
cajeros es
de
10-.Un fabricante de radiograbadoras que compra 6.000 transistores al año a un
distribuidor quiere saber la frecuencia con que debe hacer los pedidos. Si los pide con
mucha frecuencia, se elevan los costos por despacho, pues debe pagar unos derechos de
pedido sobre cada despacho por concepto de manipulación y transporte. Por otra parte, si
hace pedidos con poca frecuencia, cada despacho será grande y se elevara el costo de
almacenamiento de los transistores hasta el momento en que sean utilizados.
Atendiendo a que los derechos de pedido son de $20 por despacho, y que el costo de
almacenamiento de cada transistor durante un año es de 96 centavos, así como el costo
de cada transistor es de 25 centavos y aceptando que los transistores se utilicen a una
rata constante durante el año, y que cada despacho llega exactamente en el momento en
el que el anterior se ha agotado,¿Cuántos transistores debe pedir el fabricante cada vez,
para hacer mínimo el costo?¿Con que frecuencia debe pedir los transistores para
minimizar costos?
11-. Durante el verano los miembros de un club local de muchachos han estado
recogiendo botellas usadas que proyectan entregar a una fabrica de vidrio para que las
vuelva a usar. Hasta ahora, en 80 días, los muchachos han recogido 24.000 libras de
vidrio por las cuales la fabrica de vidrio ofrece ordinariamente pagar a 1 centavo la libra.
Sin embargo, como las botellas se están acumulando con más velocidad que aquella a la
cual pueden volverse a usar, la fabrica proyecta reducir en 1 centavo cada día el precio
que se ha de pagar por cada 100 libras de vidrio usado. Suponga que los muchachos
pueden seguir recolectando botellas a la misma rata y que los costos de transporte hace
imposible realizar más de un viaje a la fabrica de vidrios. ¿Cuál es la fecha en que es
más provechoso para los muchachos concluir su proyecto de verano y entregar las
botellas?
12-.Una firma de plásticos ha recibido un pedido del departamento de recreación de la
ciudad para fabricar 8000 tablas de entrenamiento especiales de espuma de plástico para
su programa de natación de verano. La firma posee 10 maquinas, cada una de las cuales
puede producir 30 tablas de entrenamiento por hora. El costo de adaptación de la s
maquinas para producir estas tablas especiales a $20 por maquina. Una vez que estas
maquinas han sido adaptadas, la operación es completamente automática y puede ser
supervisada por un solo capataz que gana $4,8 por hora.
A) ¿Cuántas de las maquinas deben usarse para reducir al mínimo el costo de
producción de las tablas de entrenamiento?
B) ¿Cuánto gana el capataz, si usa el numero optimo de máquinas?
13-. Para construir seis jaulas de un zoológico se tienen 400 metros de un enrejado. El diseño de
las jaulas se muestra en la siguiente figura. No se utiliza reja en un lado, puesto que se utiliza una
pared ya existente. Halle el área máxima que se puede encerrar en estas condiciones.
MATERIAL
LEDEZMA.
201631
2
14-. Para construir seis jaulas de un zoológico, que encierren un área de 300 m . El diseño de
las jaulas se muestra en la siguiente figura. Se debe utilizar enrejado, salvo en un lado, puesto que
se utiliza una pared ya existente. Halle las dimensiones óptimas si se sabe que el costo por metro
del enrejado es de p pesos y el de la pared es cinco veces más caro.
15-. Un hombre está parado en el punto A en la orilla de un río recto de dos kilómetros de ancho,
y desea alcanzar el punto B que está a 7 kilómetros corriente abajo sobre la orilla opuesta,
primero remando en su barca hasta un punto P de la orilla opuesta y después caminando la
distancia restante X hasta B. Puede remar a razón de 3 km/h y caminar a razón de 4 km/h.
Determine el valor de X pata que el tiempo utilizado sea mínimo.
16-. Para poder vender X unidades de su producto semanalmente, una compañía debe gastar A
 400 
dólares semanales en publicidad, donde A  200ln 
 . Los objetos se venden a $5 cada
 500  x 
uno. La utilidad neta es entonces R = 5X – A. calcule la razón de cambio de R respecto a A.
17-. Un ecólogo cultiva peces en un lago. Entre más peces introduzca, habrá más competencia
por el alimento disponible y el pez ganará peso en forma más lenta. De hecho, se sabe por
experimentos previos que cuando hay n peces por unidad de área del lago, la cantidad promedio
en peso que cada pez gana durante una temporada está dada por w = 600 – 30n gramos. ¿Qué
valor de n conduce a la producción total máxima en el peso de los peces?
18-. Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artículos que produce a un
precio de $6 cada uno. El costo de producir x artículos a la semana es
C( X )  1000  6 x  0,003 x 2  106 x 3 . Halle el valor de x que maximice la utilidad.
19-. Una gran empresa tiene un costo total C( X )  1000  6 x  0,003 x 2  106 x 3 , por producir x
artículos a la semana, y el precio al que puede venderse cada artículo esta dado por la función
demanda p  12  0,0015 x . Determinar el precio y el volumen de ventas para que la utilidad sea
máxima.
20-. Las funciones de costo y demanda de una empresa son: C( x )  5 x y p  25  2 x
respectivamente. Hállese el nivel de producción que maximizará las utilidades de la empresa.
¿Cuál es esa utilidad? Si se impone un impuesto t por cada unidad y la empresa lo carga a su
costo, encuentre el nivel de producción que maximizará las utilidades de la empresa. Determine el
impuesto por unidad t que debe imponerse para obtener un máximo impuesto sobre la renta.
21-. Una compañía de petróleo requiere un oleoducto de una torre de perforación situada mar
adentro a una refinería que se construye en la costa cercana. La distancia de la torre de
perforación al punto más cercano P sobre la costa es de 20 km., y la distancia a lo largo de la
costa de P a la refinería es de 50 km. A partir de la refinería, el oleoducto recorrerá una distancia
X a lo largo de la costa, después seguirá una línea recta hasta la torre de perforación. El costo por
kilómetro de oleoducto bajo el agua es tres veces más caro que el correspondiente sobre la tierra.
Halle el valor de x que minimiza el costo total del oleoducto.
MATERIAL
LEDEZMA.
201632
CÁLCULO I
TALLER NUMERO 5 TEOREMAS DE ROLLE Y DEL
VALOR MEDIO. REGLA DE L‟HOPITAL
1-. Hallar el valor de C que cumple las condiciones del teorema de rolle, siendo
= X3 –12X en [ 0, 2 3 ].
F(x)
2-.Hallar todos los C en el intervalo ( -2 , 2 ) tales que F’(c) = 0 siendo F(x) = X4 –2X2
4
f (4)  f (1)
, hallar todos los C en (1,4) tal que F’(c) =
X
4 1
4-.Dos patrullas equipadas con radar están situadas a 8 Km de distancia en una
autopista. Un auto pasa frente a una de ellas, y ser le mide una velocidad de 60 Km/h.
Cinco minutos después, al pasar frente a la otra patrulla, está le mide una velocidad de
50 Km/h. Muestre si en algún momento en estos cinco minutos, el auto ha superado la
velocidad máxima establecida que es de 75 Km/h.
3-.Dada F(x) = 5 
5-.Hallar en caso de que existan, cada uno de los siguientes limites:
X n 1
A) Lim
X 1
X→1
E) Lim
X→0
X→0
y→0
aX  bX
X
ln Tan7 X
I) Lim
X→0 ln Tan2 X
M) Lim
B) Lim
e y  e y
Seny
C) Lim
X→0
ln( SenX )
ln SenX
X→0ln Sen3 X
F) Lim
2
X→  2 (  2 X )
G) Lim
X
J) Lim (1  X )Tan
2
X→1
 arcSenX 


X


1
X2
sen(
N) lim
x 0
TanX  X
X  SenX
a


K) Lim 1 
X
X→  

6
 x) 
1
2
O)
x
SenX
1  CosX
D) Lim
+
X→0
H) Lim
X→0
X  arcSenX
Sen 3 X
 X 

L) Lim 
X→0  SenX 
X
a
S) mlim
0
m
a
 b m  ln  
b
m

lim( 9 x 2  4 x  3 x )
1
 senm  m2
 6
 m 
e

lim 
R) m
0
m
sen(senx )
1
x
Q) lim
x 0
x

X
T) xlim

 

a 
2
X2
x 
1
1
(1  )x  e
x
P) xlim

x
1
X
b 



X
MATERIAL
LEDEZMA.
201633
CÁLCULO I
TALLER NÚMERO 6 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
ANÁLISIS GRAFICO
1-. En cada caso halle la segunda derivada:
n
A) y = lnX
B) y =
2
C) y = e X
X
D) F(x) =
eX
X
X
2-.Halle las tres primeras derivadas de cada una de las siguientes funciones:
A) y = Sen3X
B) y = XCosX
C) y = -5X2 + 20X +100
E) y = ln(lnX)
F) F(x) =
D) F(x) = Sen( SenX)
eSenX
3-. Suponiendo que f es una función derivable parta todo x calcule:
d
d
f (x 2 )  1
f ( x 2  1)
A)
B)
dx
dx



4-. Sabiendo que h(0) = 3, h’(0) = 2, halle f’(0) si:
A) f ( x )  xh( x )  4

B) f ( x )  3 x 2 (h( x )  5 x )
5-. Sea h(x) = F(g(x)). ¿Para cuál valor de x se puede calcular h’(x)?¿Qué es h’(x) en ese valor?
6-. De las funciones f y g se sabe que f(3) = 2, f’(3) = 4, g(5) = 3 y g’(5) = 7. ¿En cual valor de x
es posible calcular (f o g)? ¿A qué es igual?
7-. Sea g una función diferenciable tal que su derivada es 1/(x3 + 1). Sea h(x) = g(x2). Halle h’(x).
8-. Trace las curvas y = x2 +1 y y = -x2. Halle las ecuaciones de las rectas que son tangentes
a ambas curvas simultáneamente.
1
9-. Halle y’’(1) si y(1) = 2 y x5 + xy + y5 = 35
X
X


1

2
Halle: lim 
d 2f

x 0

x
10-. Halle todas las funciones que verifican
 2 
2
dx
M
11-. Dada la ecuación f ( x ) 
, halle f(x)’ con a, k y M constantes.
1  ae  Mkt

1
2
1

12-. Derive ln(2 x  1) 
2 
8
2 x  1 2(2 x  1) 
13-. Elabore la gráfica de f ( x )  xe  x /( x  1) , y señale las intersecciones con los ejes, los puntos
críticos, máximos y mínimos relativos y las asíntotas.
MATERIAL
LEDEZMA.
201634
14-. Sea f ( x )  57 x 68 x 3 , demuestre que f(x) es proporcional a f’(x).
15-. Halle Y’(0) si Y = f(x) es una función que satisface la ecuación ln(y  1)  xy  ln2 .
16-. Sean f y g funciones diferenciables, demuestre que:
A)
(fg )' f ' g '
 
fg
f
g
y
B)
(f / g )' f ' g '
 
f /g
f
g
La función de posición de un móvil está dada por la expresión:
X(T) = -5T2 + 20T + 10, halle la posición, la velocidad y la aceleración para T igual a:
A) 1 s
B) 1,5 s
C) 2 s
D) 3 s
14-.Utilizando los criterios de la primera y segunda derivada, bosqueje la grafica de las
siguientes curvas, mostrando:
A) Dominios y rangos
B) Valores críticos
C) Puntos críticos
D) Cortes con los ejes
E) Máximos y mínimos
F) Puntos de inflexión
G) Discontinuidades
H) Asíntotas
I ) Simétricas
J) Intervalos de crecimiento y decrecimiento
K) Concavidades
3
A) Y = X 
E) F(x) =
3 2
X
2
X 2 1
X2 4
X 2  4X  4
 X3  X2 4
X
B) F(x) =
C) Y =
D) Y2 =
2
X 2
X
X 1
2
3
3
4 X
X 1
X 8
F) Y = 2
G) Y =
H) F(x) =
2
2
X ( X  1)
( X  1)( X 2  4)
X 4
NOTA: Para G y H sólo presente asíntotas, cortes con los ejes, dominio, y gráfica.
15-.En cada uno de los siguientes ejercicios, halle los limites laterales, para los valores de
X que anulan el denominador.
1
A) F(x) = 2
X 4
D) Y =
X 2 1
X2  X 2
2 X 1
F) Y = X
2 1
4  3X
B) Y =
4  3X
E) Y =
( X  1) 2
C) Y =
X 2 1
4 X
4 X
X 2 1
G) y = X 1
3 1
4
H) Y =
2
1
X 1
1
MATERIAL
LEDEZMA.
201635
CÁLCULO I
TALLER NUMERO 7 LA INTEGRAL INDEFINIDA
CALCULAR CADA UNA DE LAS SIGUIENTES INTEGRALES:
1-.

X 5 dX
2-.
7X
5-. e
 dX
 3
X 2 

4-.

dX
 X

3



8-.

11-.
15-.
18-.

( X  X 2  X 3 )dX
dX
3X  5

9-.
dX
X ln X
12-.

X
2 dX
 X  8 X dX
3X  2
 3X  4 X  5 dX
2
5
4
21-.
 1  2X
24-.

dX
19-.
22-.
2
dX
X 9
dX
2

25-.




a
SenmX dX
X2
2
.


X 2  1 X dX
14-.

3 X e X dX
X  7 X dX
17-.
X
X 3  7 X 5dX
20-.
 5 X
a X  b X 2 dX
23-.
X X
a b
dX
3  5X
26-.
2
29-.
2
2
dX
( X  1)( X  2)( X  3)

32-.
2
4 X
X
2
4
X
dX
6X  7
2
 7X  4
X
3
1
1  ln 2 X
X
 3X

2
dX
1

dX
 X 1
3 X 7 dX
3
4
27-
dX
35-.
30-.
 3dX
4 X 24 X  3
dX
34-.
ln X
dX
X
3X 2  2 X
6
dX
28-.
7-.
XdX
 2X  2X  1
 X  3X  1
dX
dX
31-.
 4 X  3X  2  3  8X  2 X
.
( X  X  3 X )dX
10-.
7
5


dX
5  3X
13-.
16-.
2

6-.
3-.
X
dX
3
1
33-
MATERIAL
36-.

Xe X dX
 X ln X
 ln X
37-.

4dX
X 4 1
41-.
43-.

X 2 4  X 2 dX
44-.
46-.

Cot(9 X  5)dX
49-.

40-.
Sen3 X
3
52-.

55-.
X
dX
4
2
38-.

X 3 ln X dX

dX
1
3
42-. ln( X  1  X 2 )dX
 Sen 5 X
 Tan2 X
45-.
2
47-.

TanXSec2 X dX
50-.

Cos (lnX)
dX
X

XarcSenX dX
X
39-.
201636

 1 dX
dX
Cos 3 X
3
dX
LEDEZMA.
53-. arcTan X dX
dX
48-.
 Cote e
51-.
e
54-.
e X dX
56-.
X


SenX
X
dX
CosX dX
3
X 3 4  X 2 dX
a 2  X 2 dX
NOTA: Las siguientes funciones elementales no tienen integrales elementales:
x x 1
1-.
4-.
senx
x
2--.
n
x2  1
para n = 3, 4, 5, ...
5-. x tan x
6-.
2x
x
7-.
x n  1 para 3, 4, 5, ...
3-.
2X
2
8-. e  X
2
OTRICOS FACILES PA‟ QUE TE DEN MORAL
3

5
1-.
X
5-.
 1 x
9-.
 (x
5
3
2-.  ( X
dx
2
dx
 1) dx
2
6-.


3
5
5
 )dx
3
3-.  7e
3  4x
dx
x2
7-.
3
 x
5
dx
1 2x
 1 x
2
4-.
10-.  (1  e ) dx
2
dx
8-.  ( X 1  X )2 dx
dx
x2  1
dx
11-. 
(2 x  3)2
3x 3
5 x
4x
12-.
X

3
5
dx
1
e2x
dx
13-. 
(3  e 2 x )2
17-.
x
 (ax  b)2 dx
ex
14-.  2 dx
x
18-.
x2
 (ax  b)2 dx
15-.
sen(ln x )
 x dx
19-.
 xsenxdx
16-.
x2
 ax  b dx
20-.  e x cos xdx
MATERIAL
LEDEZMA.
PARA LOS ALUMNOS MÁS “AMBICIOSOS”
X
e
(1  X ln X )
X3 6
1-.
2-.
3-.
TanX
dX
dX

4-.
7-.


10-.
X
X
X
dX
X 1
arcSen
7
7

X 
X8 
5-.
X
14
8-.
X 15
CosX
dX
1  CosX
13-. Demuestre que
 (X

11-.
dx
dX
6-.
 X )( X 2  X  1)
2
Sec3 dX
 Sen
 1  a cos x

 6X 2  8
4

9-.
dX
2

12-.
X  Tan 2 X
2
1  a2

arctan 


X
4


X
3
1
201637
dX
dX
dX
4  5SenX
Sen 2 X
dX
1  CosX
1 a
x 
tan
c
1 a
2

14-. Demuestre que:
:
(2  x  x 2 )dx

x2
2  x  x2
2 

ln 

x
4

2  x  x2
2
 2x  1
   arcsen 
c
x
4
2



15-. Demuestre que:
x
dx
3
1 x5



 2( 3 1  x 5 )  1 
1
( 3 1  x 5 )2
3

c
ln 
arctan 
3
3
5 2
5



10 
5
3
 ( 1  x )  ( 1  x )  1


16-.Halle una función cuya tangente tenga la pendiente
2X
1  3X 2
para cada valor de X
cuya grafica pase por el punto ( 0,5 ).
17-.Se calcula que dentro de T años el valor de un metro cuadrado de terreno en
Santander de Quilichao, estará aumentando a una rata de
0,3 X 3
0,2 X 4  10000
pesos por año.
Si el terreno vale actualmente $50.000 el m2, ¿Cuanto valdrá dentro de 10 años?
18-. Halle todas las funciones y = f(t) tales que:
dy
 k ( y  A) , A y k son constantes.
dt
di
 Ri  E , aparece en el estudio de los circuitos eléctricos.
dt
Resuélvala para di/dt en términos de i.
19-. La ecuación diferencial L
20-. Dada la función de demanda: p = 70 - x2, y suponiendo que el equilibrio de mercado P0 = 34
y X0 = 6, halle el superávit del consumidor.
21-. Dada la ecuación de la oferta: p = (x + 4)2 y suponiendo que en el equilibrio del mercado p0 =
81 y X0 = 5, halle el superávit del productor.
MATERIAL
LEDEZMA.
201638
CÁLCULO I
TALLER NUMERO 8 LA INTEGRAL DEFINIDA
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
CALCULE LAS SIGUIENTES
INTEGRALES:
1-.

3
(X
2
 4dX
0

4-.

5
(5  X )
0
1
1
1 

X
dX
dX
2
 4  2X
6-.
 3  2X
7-.
 e dX
5-.
2
3
1
1
dX
dX
X
0
3
8-.

9-.
  2 X  1  4  dX
3
6
(T  1) 2
(T esta en horas y la
distancia en Km.). ¿Qué distancia recorre
el objeto en 30 minutos?
4
3-.
por 14 
 4 X  1) dX
1
2-.
12-.La velocidad de un objeto está dada
9 X
2
dX
2
0
10-.Halle una función cuya tangente tenga
la pendiente X X 2  5 para cada valor
de X y cuya grafica pase por el punto (
2,10 ).
11-.La población de un municipio crece a
razón de 20  6 X personas por mes.
¿En que cantidad aumentara la población
durante los próximos nueve meses?
13-.El
valor
de
reventa
de
cierta
maquinaria industrial disminuye a una rata
que cambia con el tiempo. Cuando la
maquinaria
tiene T años, la rata a la
cual
esta
cambiando
su valor
es
t / 5
pesos por año. Si la
960 * e
maquinaria se compró nueva por $5200,
¿Cuál es el valor de dicha maquinaria
dentro de 10 años?
14-.Un fabricante calcula que los ingresos
marginales son 100 q 1 / 2
pesos por
unidad, cuando su producción es de q
unidades. Se sabe que el costo marginal
correspondiente es de 0,4q pesos por
unidad. Suponga que la utilidad del
fabricante es de $52000 cuando el nivel
de su producción es de 20 unidades.
¿Cuál es la utilidad máxima? ¿Cuál es la
utilidad cuando el nivel de producción es
de 25 unidades?
15-. La utilidad marginal de cierto almacén
es de 100 - 2X pesos por unidad, cuando
se venden X unidades. Si la utilidad de
tal almacén es de $70.000 cuando se
venden 10 unidades, ¿Cuál es la utilidad
máxima posible del almacén?
16-.El ingreso marginal de cierto almacén
se
expresa
por
7
4
X2

X.
Si
el
MATERIAL
LEDEZMA.
201639
ingreso por la venta de cuatro unidades
es de $10.000, siendo X el numero de
unidades, calcule el ingreso por la venta
de 1600 unidades.
22-. Halle el valor promedio de la función
1
f(x) =
en el intervalo 3,7 .
x 3
17-.El costo marginal de cierta empresa
está dado por: 7  X
y el ingreso
marginal
correspondiente
por
23-. El costo marginal de un productor es
1 2
x  x  180. Halle el costo total de
12
fabricar cinco unidades adicionales si se van
a producir tres unidades corrientemente.
2 X  X 1 / 2  15 . Si la utilidad cuando se
producen y se venden 100 artículos es
de $100.000, calcule la utilidad que
produce la comercialización de 250
artículos.
18-.Se ha calculado que dentro de T
meses la población de una ciudad
2/3
cambiara a razón de 12+5T
personas
por mes. Si la población actual es de
70.000 personas, ¿Cuál será la población
dentro de 8 meses?
19-. La razón anual de consumo de agua
en miles de millones de litros para la
ciudad de Santander de Quilichao está
dada por: C’(T) = 4T + e0.1T, donde T = 0
representa el año 2000. halle el nivel
total de consumo de agua para el periodo
2000 – 2010 . si la reserva de agua es de
100 mil millones de litros y la razón de
consumo anual es de 1,124e0.012T,
en
cuántos años se quedaran sin agua?
20-.Una tubería arroja agua contaminada
al rió “agua sucia” a razón de 6T 2 – 4T +
80 m3/día. Cuántos metros cúbicos de
agua contaminada habrá arrojado la
tubería al cabo de un mes?
21-. Un objeto es lanzado hacia arriba a 352
metros por encima de la tierra con una
velocidad en un tiempo t dada por:
V(t) = 144 – 32t, Halle la altura S del objeto
en el tiempo t, el tiempo que demora el objeto
en el aire y la altura máxima que alcanza el
objeto. (no tenga en cuenta la resistencia del
aire)
24-. De una mina de oro se extrae mineral a
razón de 4,8e0,016t toneladas al año. Halle la
extracción total:
A) desde el año 0 al año 10.
B) Desde el año 0 al año n.
25-. De acuerdo con
ingeniero Torpindolfio, el
producto es C = 6 x
promedio de producir
unidades.
los cálculos del
costo de un nuevo
 15. halle el costo
las primeras 64
26-. Un fabricante introduce una nueva
técnica para ahorrar a razón en dólares por
año, S '(t )  400  t 2 . El costo marginal de
producción en dólares por año también
aumenta con la nueva técnica y está dado por
C '(t )  t 2  20t .
A) Establezca cuánto tiempo será rentable el
empleo de la nueva técnica y
B) La cantidad total T ahorrada durante este
período.
27-. Los arboricultores han calculado que una
especie particular de árbol crece a razón de
1
2,5 
metros por año. ¿Cuánto
(t  2)2
crecerá dicho árbol en el tercer año?
28-. Los costos de mantenimiento en una
fábrica se aumentan a medida que la planta y
el equipo se desgastan. Si la razón de
incremento en los costos de mantenimiento
en dólares por año es 75t2 + 9000, donde t
son los años, halle los costos totales de
mantenimiento de la fábrica desde el año 4 al
año 6.
MATERIAL
29-. Hallar el área de la región limitada
por las gráficas de: F(x) = 2X2 –3X + 2, el
eje X y las rectas X = 0 y X = 2.
30-.Calcular el área de la región limitada
X
por la grafica de Y 
X
2
1
el eje X y
LEDEZMA.
201640
39-. Las funciones de la oferta y la
demanda de cierto producto están dadas por:
S : p  g ( x )  52  2 x
D : p  f ( x )  100  x 2
Determine el excedente del consumidor y del
productor, suponiendo que se ha establecido
el equilibrio del mercado.
la recta X = 3.
31-. Determine el área entre las curvas
y  x 2  9 y y las lineas x  0 y x = 4 .
32.Hallar el área de la región limitada por
las graficas de: Y = X2 + 2; Y = -X; X = 0
y X=1
33-. Determine el área entre las curvas
y  x 2  5 y y  x 3 y las líneas x = 1 y
x = 2.
34-.Hallar el área de la región limitada
entre las curvas y = 4 – X2 y h = X2 + 2.
35-.Calcular el área de la región limitada
entre las curvas F(x) = X2 y g(x) = X
35-. Halle el área entre las siguientes curvas
y  x 2  4 x  8 y y = 2x , desde x = 0
hasta x = 3.
36-. Calcule el área limitada por las curvas
y  x 2 , y = 6x y y = 8x - 2 , desde
x = 0 hasta x = 2
37-. Halle el volumen generado al hacer girar
al hacer girar alrededor del eje x la curva:
f ( x ) 5 x 2 con a = 1 y b= 3.
38-. Un cilindro de altura h y de radio r se
genera al hacer girar alrededor del eje x el
área bajo la curva y = r desde x = 0 a X
= h. Encuentre la fórmula para el volumen de
tal cilindro.
40-. Un punto se mueve a lo largo del eje
En el tiempo t su velocidad es 3t2 -16t +5.
el punto está en el origen el instante t =
hallar la posición en el tiempo t. ¿Cuál es
posición para el instante t = 10?
41-. Está saliendo agua de una llave de
modo que t minutos después de haberla
abierto el agua fluye a una tasa de 6t + 5
litros/min. ¿Cuánta agua sale de la llave
durante los primeros tres minutos?
42-.Calcular el volumen de los sólidos que
se generan al girar la región dada al
rededor del eje X:
A) Y = -X + 1
B) Y = 4 –X2
C) Y = X
D) Y = X2
X=0
X=0
X=1
Y = X3
X=1
X=2
X=4
43-.Calcular el volumen de los sólidos que
se generan al girar la región dada
alrededor del eje Y:
A)Y = X2 B) Y = 16  X 2
P1(0,0)
P1(4,0)
P2(2,4)
P2(0,4)
X = -Y2 + 4Y
P1(3,1)
P2(0,4)
44-. Halle la solución general de:
dy
 y (1  Y )
dx
PARA QUIEN ESTUDIA EL CONOCIMIENTO PIERDE
SU CALIDAD DE INFINITO, Y SE PERCIBE TAN
CERCANO COMO UNA CARICIA. . . COMO UN BESO…
x.
Si
1,
la
MATERIAL
LEDEZMA.
201641
CONTADURÍA PÚBLICA
CÁLCULO
PRIMER EXAMEN PARCIAL
NOMBRE :____________________CÓDIGO:________
1-.Calcular los siguientes límites:
A) Lim X  1 2
(2  X)
123X 13
X→2
 123X  1 
B) Lim 

X→0  123X  1 
2-.hallar a y b para que la función sea
continua:
F(x) =
aX2+ 3b
-1
2aX –b
si X > -1
si X = -1
si X < -1
3-.Derive por definición:
A) F(x) = aX2 + bX + C
2X  a
B) F(x) =
2X  b
4-.Derive:
A)
F(x) =
ln(6 X 2  X  1)  ln(2 X  2)
B) X2y3 – X3y2 = lnX2y
1 X 2  X  X 3
X3  X4  X5
xe x  1
x
D) y = xe  1
C) y =
ORIENTADOR: DANIEL TRUJILLO L
5-. Hállense los coeficientes a, b, c y d,
de tal suerte que la curva: y = aX3 + bX2 +
cx + d, sea tangente a la recta y = 3X – 3
en el punto (1,0) y tangente a la recta y
= 18X – 27 en el punto (2,9).
6-. Resuelva cada uno de los siguientes
problemas:
A) Un abrevadero tiene una longitud de 5
m y sus extremos son triángulos isósceles
con una altura de 1 metro, y 2 metros de
base, estando el vértice opuesto a la
base hacia abajo. Si se vierte agua en el
abrevadero a razón de 2 m3/min., a qué
velocidad aumenta el nivel del agua en el
abrevadero cuando la profundidad del
agua es de 40 cm? ¿Cuánto tiempo
demorara el abrevadero en elevarse?
B) Un tanque cónico de vértice hacia
arriba tiene un radio de 2 m y una altura
de 4 m. Inicialmente el tanque esta lleno
de agua pero, luego se le practica un
orificio en su base por lo cuál el agua
sale del tanque a razón de él. Si cuando el
radio de la superficie del líquido es de 1,8 m,
el agua sale a 2π m3/min., ¿a que razón
esta variando la altura del liquido cuando
el radio de la superficie del liquido es 1
m?
¡¡¡TIEMPO MÁXIMO DOS HORAS!!!
MATERIAL
LEDEZMA.
201642
10 – 09 – 2.016
CÁLCULO
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
NOMBRE:_________________________ CÓDIGO:_______ ORIENTADOR: DANIEL TRUJILLO LEDEZMA
1-. Defina de la forma más breve pero clara los
siguientes conceptos:
A-. Derivada:
_____________________________________
_____________________________________
B-. Costo marginal:
________________________________________
________________________________________
_______________________________
C-. Costo total: _______________________
________________________________________
________________________________________
_______________________________
D-. Ingreso:
________________________________________
__________________________________
E-. Ingreso Marginal:
________________________________________
________________________________________
______________________________
F-. Utilidad: ___________________________
________________________________________
________________________________________
_______________________________
G-. Utilidad Marginal:
_____________________________________
________________________________________
________________________________________
_______________________________
2-. Un empresario ha encontrado que el
ingreso total por la venta de x unidades de
mangas para chalecos antibalas, está dado
por la expresión:
I(x) = - 0,025X2 + 3400X + 12000
Determine:
A-. El ingreso por la venta de 100 unidades
B-. El ingreso por la venta de 90 unidades
C-. La RCP cuando X cambia de 450 a 500.
D-. La RCI
E-. La RCI para x = 100
F-. Ingreso por la unidad 100
3-. Calcule la derivada, si existe, de cada una
de las siguientes funciones:
A-. f(X) = ( -5X4 + 7X3 + 5X2)(3X3 - 5X2 -7X)
16 X 5  24 X 4  8 X 3
B-. g(X) =
32 X 4  16 X 3
e2 X  ln X
C) C(X) = 2 X
e  ln X
4-. Derive:
A-. Y =
3
X X
B-. C(X) = 2650
C)
X3 5
X3  XY2  5aXY  bXY  e
5-. El número total de empleados de una gran
compañía multinacional, está dado por la
expresión
N (T) = 45000(10 – 0,045t + 5t2)
Donde N es el número de empleados y t está
en meses. ¿Cuáles son la velocidad y la
aceleración del número de empleados en
dicha compañía?
6-. A continuación se presenta un problema,
su interpretación y su solución. Usted deberá
decidir si está bien o mal resuelto,
argumentando matemáticamente, y si está
mal resuelto, corregirlo.
Un agricultor tiene un lote rectangular, el cual
cerca y divide en dos partes iguales por
MATERIAL
medio de una cerca paralela a uno de sus
lados. Si el agricultor gastó en total 120
metros de cerca, y logró el lote de mayor
área, ¿cuáles son las dimensiones del lote?
SOLUCIÓN
Sean X el largo y Y el ancho del lote
Y
X
Se tiene que
mismo
X+Y
=
120 o lo que es lo
Y = 120 - X (1)
La ecuación a maximizar el la función área,
luego:
A = XY (2)
Como se en (2) hay dos variables
independientes, utilizo (1) para dejar solo
una, así:
LEDEZMA.
valor hallado, es decir X = 60 genera un
máximo.
De (1) se tiene que Y = 60 metros.
Respuesta: las dimensiones del lote son
largo, X = 60 metros y ancho, Y = 60 metros,
es decir, el rectángulo de mayor área que se
encierra en estas condiciones es un cuadrado
de lado 60 metros.
NUNCA ESPERES APRENDER MUCHO DE
TU MAESTRO, LA IDEA ES QUE LE
ENSEÑES, LE ENSEÑES EL GRAN
POTENCIAL QUE TIENES EN TI, Y QUE ES
EN ÚLTIMO LO QUE MARCA TU VIDA, TU
FUTURO…
TIEMPO MÁXIMO DOS (2) HORAS
Colocando (1) en (2):
A = X (120 – X)
A = 120X – X2 (3)
Ahora derivamos:
dA /dX = A‟ = 120 – 2X
Igualando a cero y resolviendo para X:
X = 60 metros
Apliquemos el criterio de la segunda derivada
para probar si el valor hallado genera un
máximo o un mínimo:
d2A/dX2 = A‟‟ = - 2
Como la segunda derivada es menor que
cero para todo valor de X, se concluye que el
201643
MATERIAL
LEDEZMA.
201644
CÁLCULO I
EXAMEN FINAL
NOMBRE: ___________________CÓDIGO:________ ORIENTADOR: DANIEL TRUJILLO LEDEZMA
1-. Calcule cada uno de los siguientes límites
en caso de que existan:
A) lim
x 1
B) lim
x 0
dx
A)
x
x 4  2x2  1
2
2x
2
x2  2x  1
(cos2 x  1)2
sen2 X
2-. Una escalera de 10 metros de longitud se
encuentra apoyada contra un muro vertical, y
en un instante dado comienza a deslizar.
Cómo varía la distancia de la base de la
escalera al muro, cuando la altura a la que
toca la escalera en el muro es de 6 metros y
el extremo superior se desliza a 2 m/s?
3-.La razón de consumo anual de agua en
miles de millones de litros para la ciudad de
Santander de Quilichao está dada por C’(t) =
1,52e0,025t, donde t = 0, representa el año
2.002. Halle el nivel total de consumo de
agua para el período 2002 – 2012. Si los
cálculos muestran que la reserva total es de
50 mil millones de litros cuál dentro de cuánto
tiempo se quedarán sin agua?
B)

x * 22xdx
3 2
C)  X  X  6dx
2
5-. Resuelva El siguiente problema:
A) El costo marginal de cierta empresa está
dado por la expresión 27 + ( X  1) pesos
por unidad, y el ingreso marginal
correspondiente esta dado por 2X + 4(X –
1)1/2 – 15 pesos por unidad, siendo X el
número de unidades. Si la utilidad cuando se
producen y se venden 170 unidades es de
100.000, halle la utilidad que produce la
comercialización de 730 unidades.
4-. Calcule cada una de las siguientes
integrales:
CUANDO LOS CONCEPTOS ESTÁN CLAROS, TODOS LOS EJERCICIOS SON IGUALES...
PERO SI ESTÁN CLAROS...
SI TÚ MISMO NO CREES EN TI, LO QUE SI PUEDES CREER
CON CERTEZA ABSOLUTA, ES QUE NADIE CREERÁ EN TI
MATERIAL
LEDEZMA.
201645
CÁLCULO I
EXAMEN DE HABILITACIÓN
NOMBRE: _____________________CÓDIGO:________ ORIENTADOR: DANIEL TRUJILLO L
1-. Calcule cada uno de los siguientes límites
en caso de que existan:
A)
B)
 X1/ 3  2X1/ 6  1 
l i m

x 1 
(X  1)2


lim
x 9
1 8  3 ( X  1)  4
x 9
2-. Por definición halle la derivada de:
A) Y = 1/(1 – 2X)
kilómetros de la orilla y a 14 kilómetros por
debajo de la planta. Cuesta 1,25 veces más
extenderlo debajo del agua que en tierra.
¿Cuáles son las condiciones para extender el
cable de tal modo que los costos sean
mínimos?
7-. Calcule cada una de las siguientes
integrales:
A)
B) Y = lnX
3-. Calcular las coordenadas del punto P, si
se sabe que por él pasan las rectas L1 y L2
que son a su vez tangentes a la parábola
Y = - X2 + 2X + 2, en los puntos (0,2) y (3, -1).
B)
4-. Halle las siguientes derivadas:
A) X5 - 4X4Y3 2Y5 = eπ
B) 4XlnX = senXY
5-. Determine si la siguiente función es
continua, si no lo es diga la clase de
discontinuidad que presenta, y en caso de ser
factible, redefina la función para hacerla
continua.
X2 – 3X + 8 si X < - 3
=
30 - X2  5 si X ≥ - 3
X
2 3x
2
C)
F(x)

16  x 2 dx

e
dx
3  5 x dx
1
8-. La razón anual de consumo de agua en
Santander de Quilichao, está dada por la
expresión C(„t) = 2,8e0,04t (millones de metros
cúbicos al año). A este ritmo:
A) Cuál es el consumo entre el año 2.000 y el
año 2.010?
B) Si la reserva de agua es de 94,5 millones
de metros cúbicos, en cuánto tiempo se
quedarán sin agua?
LO IMPORTANTE NO ES LLEGAR A LA CUMBRE
SINO MANEJAR EL PODER QUE DA ESTAR Y
MIRAR DESDE LA CUMBRE
6-. Una empresa desea extender un cable
desde una planta de energía que se halla en
la orilla recta, a una boya situada a 6
MATERIAL
LEDEZMA.
201646
CÁLCULO I
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
NOMBRE: ____________________CÓDIGO:________ ORIENTADOR: DANIEL TRUJILLO LEDEZMA
1-. (Valor 1,0) Cada año, el propietario del restaurante
“Vieja Comía”, espera vender unas 12.000 botellas del
vino más popular, el Vino Blanco Virinbí. El costo del
vino es de $4600 la botella, los derechos de pedido
son de $280.000 por despacho, y el costo de
almacenamiento de una botella durante un año, es de
$420. El vino se consume uniformemente durante el
año, y cada despacho llega justo cuando se ha
agotado el despacho anterior.
A) ¿Cuántas botellas debe pedir el dueño del
restaurante para reducir al mínimo sus costos?
B) ¿Con qué frecuencia debe pedir el vino?
C) Como cambiarían las respuestas de los literales A y
B si el precio del vino es de $6400 la botella?
2-. (Valor 1,0) Es media noche, y Superzombi,
nuestro gran héroe latino, está conduciendo un “Jeep”
a través del desierto de arena de la pequeña localidad
de “Santacho”. Está a 40 kilómetros del punto más
cercano a una carretera pavimentada recta. En la
carretera, 30 kilómetros más abajo, hay una sede de la
Universidad del Valle, donde unos terroristas han
colocado una bomba, ajustada para detonar a la 1:05
AM. El “Jeep” puede viajar por la arena a 60 km/h, y
por la carretera a 120 km/h. ¿Tiene nuestro héroe
posibilidad de llagar antes de que la bomba estalle?
¿De ser así, con cuanto tiempo cuenta para
desactivarla?
3-. (Valor 1,0). Un fabricante de radiograbadoras
que compra 6.000 transistores al año a un
distribuidor quiere saber la frecuencia con que
debe hacer los pedidos. Si los pide con mucha
frecuencia, se elevan los costos por despacho,
pues debe pagar unos derechos de pedido sobre
cada despacho por concepto de manipulación y
transporte. Por otra parte, si hace pedidos con
poca frecuencia, cada despacho será grande y se
elevara el costo de almacenamiento de los
transistores hasta el momento en que sean
utilizados. Atendiendo a que los derechos de
pedido son de $20 por despacho, y que el costo
de almacenamiento de cada transistor durante un
año es de 96 centavos, así como el costo de
cada transistor es de 25 centavos y aceptando
que los transistores se utilicen a una rata
constante durante el año, y que cada despacho
llega exactamente en el
momento
en
el
que el anterior
se
ha
agotado,¿Cuántos transistores debe pedir el
fabricante cada vez, para hacer mínimo el
costo?¿Con que frecuencia debe pedir los
transistores para minimizar costos?
4-. (Valor 1,0) La razón de consumo anual de agua en
miles de millones de litros para la ciudad de Santander
de Quilichao está dada por C‟ (t) = 1,425e0,075t, donde t
= 0, representa el año 2.003. Halle el nivel total de
consumo de agua para el período 2003 – 2010. Si los
cálculos muestran que a ese ritmo de consumo, la
reserva se agotará en 15 años, cuál es la magnitud de
dicha reserva?
5-. (Valor 1,0). Existen dos rectas tangentes a la
curva y = –X2 + 4X –2 , que pasan por el punto
(2,6). Halle las ecuaciones de tales rectas y
represéntelas gráficamente para comprobar el
resultado.
CUANDO LOS CONCEPTOS ESTÁN CLAROS,
TODOS LOS EJERCICIOS SON IGUALES.
¡TIEMPO MÁXIMO DOS Y MEDIA HORAS!
BENDITO EL MOMENTO EN QUE ENTENDEMOS, QUE ES LA
CAPACIDAD DE ACCEDER AL CONOCIMIENTO Y LA
CULTURA, LA QUE NOS HA PERMITIDO ESTAR EN EL MÁS
ENCUMBRADO NIVEL, POR ENCIMA DE LAS DEMÁS
ESPECIES, AUTODENOMINARNOS SAPIENS SAPIENS, Y
DOMINAR A LAS CRIATURAS INFERIORES …
DANIEL
Evaluación aplicada en
noviembre de 2016-2
MATERIAL DE USO EXCLUSIVO. UNIVERSIDAD DEL VALLE SEDE NORTE DEL CAUCA.2016
Aplicada en diciembre de 2016
CÁLCULO I
EXAMEN DE HABILITACIÓN
NOMBRE: ________________CÓDIGO:_______ ORIENTADOR: DANIEL TRUJILLO LEDEZMA
RESPONDA LAS PREGUNTAS 1 A 9 SEGÚN LA
SIGUIENTE INFORMACIÓN:
2
Existen dos rectas tangentes a la curva y = - X + 4X –
2 , que pasan por el punto (2, 6).
y
7
A)
6
5
4
1-. Respecto al punto (2, 6), podemos asegurar que:
A) Pertenece a la curva dada y a las dos rectas
B) Pertenece a la curva dada pero no a las dos rectas
C) No pertenece ni a la curva dada ni a las dos rectas
D) Pertenece a las rectas pero no a la curva dada.
3
2
1
-3
-2
C)
2 3
3 3
2 5
D)
2 2
B)
D)
3
4
1
2
3
4
-3
-4
B)
C)
2
-2
y
7
3-. La ecuación de la recta tangente de pendiente positiva
es:
A) y  4 x  2
B)
1
-1
2-. Los ceros de la función están en:
A)
x
-1
6
5
y  4x  2
y  4 x  14
y  4 x  14
4
3
2
1
4-. La ecuación de la recta tangente de pendiente negativa
es:
A) y  4 x  2
B)
C)
D)
-3
-2
-1
-2
y  4 x  2
y  4 x  14
y  4 x  14
5-. El eje de simetría de la curva es:
A) x  5
B) x  2
C)
x
-1
-3
-4
y5
D)
y
y2
7
6
C)
6-. El valor máximo de la curva dada esta en el punto:
A) (2,6)
B) (2,2)
C) (6,2)
D) (2,4)
5
4
3
7-. La distancia desde el máximo de la curva, hasta el punto
en que se cruzan las tangentes es igual a:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
8-. El área encerrada por la curva y el eje X es igual a:
A) 3,76
B) 3,98
C) 4,46
D) 4,86
9-. La gráfica con la curva y sus tangentes es:
RESPUESTARIO DEL CÁLCULO ELEMENTAL.
2
1
-3
-2
-1
x
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
47 DANIEL TRUJILLO LEDEZMA. ORIENTADOR.
13-. El
y
D)
7
A)
6
5
B)
4
3
C)
2
1
-3
-2
-1
x
1
2
3
4
D)
lim g( X )
x 1
es igual a:
2
1
108
1
108
2
-1
-2
-3
-4
Responda las preguntas 10 a 13 según las siguientes
funciones:
F(X) =
g(X) =
7 3 X 3
X 8
3
x  x 2x  1
2  x 1
10-. El dominio de la función F(X) es:
A)
B)
C)
D)
 343,    8
1 
 2 ,2   1
343,    8
 1 
  2 ,2   1
11-. El dominio de la función g(X) es:
A)
B)
C)
D)
 343,    8
1 
 2 ,2   1
343,    8
 1 
  2 ,2   1
12-. El
A)
B)
C)
D)
lim F( X )
x 8
es igual a:
2
1
108
1
108
2
Las preguntas 14 a 16 se responden de acuerdo a la
siguiente información:
Una oficina de bienes raíces tiene un edificio de 100
apartamentos. Cuándo la renta es de $48.000
mensuales por cada apartamento, todos están ocupados.
La experiencia ha mostrado que por cada incremento
mensual de $4000 en la renta, se desocupan 5
apartamentos. El costo de mantenimiento de cada
apartamento ocupado es de $8000 mensuales.
14-. La renta debe
ingreso es, es de:
A) $ 60.000
B) $ 64.000
C) $ 68.000
D) $ 70.000
ser
colocada
para
maximizar
el
15-. La renta debe
utilidad es de:
A) $ 60.000
B) $ 64.000
C) $ 68.000
D) $ 70.000
ser
colocada
para
maximizar
la
16-. La utilidad máxima es de:
A) $ 4.000.000
B) $ 4.500-.000
C) $ 4.800.000
D) $ 5.200.000
17-. Se debe fabricar una caja rectangular con un
3
volumen de 640 cm . El fondo es un rectángulo cuyo
largo es el doble del ancho. El material para el fondo
y la tapa, que deben ser metálicos, tiene un costo de $ 15
2
2
el cm , y para los otro cuatro lados cuesta $ 4 el cm .
Las dimensiones minimizan el costo de la caja, son:
A) ancho = 4cm; largo = 8 cm; alto = 20 cm
B) ancho = 4cm; largo = 8 cm; alto = 10 cm
C) ancho = 4cm; largo = 8 cm; alto = 6 cm
D) ancho = 6 cm; largo = 12 cm; alto = 10 cm
18-. La razón anual con que crece el número de personas
infectadas con el virus del VIH, miles de individuos, en la
ciudad de Santander de Quilichao está dada por la expresión
0,02t
1,368e , donde t = 0, representa el año 2.004. El total de
personas contagiadas para el período 2005 – 2010, es:
A) 4825
B) 4898
C) 5812
D) 6315
19-. Si los cálculos muestran que a ese ritmo de contagio,
dentro de los siguientes n años, la población infectada será
de 60.000 personas, el valor de n es:
A) 31,5 años
B) 35,1 años
C) 41,5 años
D) 43,1 años
20-. Al integrar
A)
B)
C)
D)
B)
C)
D)

4
 5X
4
3
5
 1
obtenemos:
3
*** RECUADRO DE RESPUESTAS ***
1
4
3
3
(5 x 4  1) 
(5 x 4  1)  C
125
25
5
1
3
3
4
4
4
4
(5 x  1) 
(5 x  1)  C
125
25
5
1
3
1
(5 x 4  1) 4 
(5 x 4  1) 4  C
125
25
4
1
3
3
(5 x 4  1) 5 
(5 x 4  1) 4  C
15
25
21-. Al integrar
A)
3X 7dX

X 3 e X dX , obtenemos
x e  3 x 2e x  6 xe x  6e x  C
x 3e x  3 x 2e x  6 xe x  6e x  C
x 3e x  3 x 2e x  6 xe x  6e x  C
x 3e x  3 x 2e x  6 xe x  6e x  C
3
x
1
22-. Al integrar
2

1
1  X 
1
A
B
C
D
2
A
B
C
D
3
A
B
C
D
4
A
B
C
D
5
A
B
C
D
6
A
B
C
D
7
A
B
C
D
8
A
B
C
D
9
A
B
C
D
10
A
B
C
D
11
A
B
C
D
12
A
B
C
D
13
A
B
C
D
14
A
B
C
D
15
A
B
C
D
16
A
B
C
D
17
A
B
C
D
18
A
B
C
D
19
A
B
C
D
20
A
B
C
D
21
A
B
C
D
22
A
B
C
D
23
A
B
C
D
24
A
B
C
D
TIEMPO MÁXIMO TRES HORAS
DESPUÉS DE QUE SE TIENE CIERTA EXPERIENCIA EN ESTO
DE LA EDUCACIÓN Y DEL APRENDIZAJE, SE INFIERE Y
CONCLUYE, QUE PARA AVANZAR EN EL CONOCIMIENTO,
NO ES CONDICIÓN NECESARIA SER INTELIGENTE, EL
SECRETO ES SIMPLE Y RADICA ES DOS COSAS: QUERER Y
PASIÓN, LO DEMÁS, ES ESTÉTICA.
DANIEL
dX , obtenemos:
A) 0,5 U
2
B) 1,0 U
2
C) 1,5 U
2
D) 2,5 U
NOTA: No se admite ninguna clase de borrón o tachón,
por ello marque con TINTA, cuando esté completamente
seguro de su respuesta. No olvide que las respuestas
correctas equivalen al 30% de la nota, y los
procedimientos perfectos valen el 70%.

DANIEL TRUJILLO LEDEZMA

Transcripción

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