documento - Afinador de pianos

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documento - Afinador de pianos
www.pianos-afinador.com
Trabajo hecho en la licenciatura de Física en 2005
( Asignatura de dinámica de sistemas no lineales)
Revisado en 2012 y 2014
(Afinación y El temperamento estirado)
Dinámica de sistemas no lineales en la armonía
Armonía, Acústica y Temperamentos - Afinación de pianos
Índice:
1· El sonido
2
2· Las notas y sus intervalos
2
3· Armonía
2
4· Acústica
4
5· Temperamento
5
6· Temperamento justo
7
7· Temperamento igual - por octavas justas
8
8· Afinación electrónica (Herzs y cents)
10
9· Temperamento por quintas justas
11
10· Temperamento por terceras mayores justas
13
11· Conclusiones y otros temperamentos
15
12· Temperamento de la curva Railsback
16
13· Temperamento igual estirado
17
14· Temperamento igual estirado por quintas justas
18
15· Temperamento igual estirado por terceras mayores justas
19
16· Conclusiones de los temperamentos estirados
19
17· Afinar un piano
20
18· Dinámica de sistemas no lineales
23
2
1· El sonido
El sonido son ondas de presión. Es junto al silencio la base de la música. Un objeto vibrando puede
ser el origen del sonido, la vibración empuja el aire haciendo que se comprima y descomprima. Las
modulaciones de presión se desplazan por el aire hasta poder llegar a nuestros sentidos mientras el
objeto se atenúa.
Si el objeto que vibra es pequeño las vibraciones son rápidas y hará un sonido más agudo. Si el
objeto es grande las vibraciones son lentas y hará un sonido más grave. Si la onda desplaza muchas
partículas de aire será un sonido intenso. Y si desplaza pocas será suave.
Las vibraciones del aire, como cualquier onda, tienen un espectro de frecuencias (transformada de
Fourier): se puede descomponer el sonido en frecuencias e intensidad para cada frecuencia.
Para un objeto vibrando, la frecuencia más grave del espectro es el primer armónico que se llama
frecuencia fundamental - f1 que tiene un ancho de banda. El resto de frecuencias del espectro se
llaman armónicos - f2 ,f3 , f4,... Los armónicos (sin inharmonicidades) son múltiplos de la frecuencia
fundamental:
y también tienen un ancho de banda. El espectro de frecuencias es el
timbre característico del objeto que vibra. Por ejemplo, se simplifica una cuerda vibrando a un
conjunto de frecuencias sinusoidales de diferentes intensidades.
2· Las notas y sus intervalos
El piano actual se afina normalmente en la nota ‘la’ a A4 = 440 Hz. Las notas de un piano estándar
van desde A0 hasta C8, un registro de más de 7 octavas.
Las notas del pentagrama y del piano.
Los intervalos es la distancia entre notas, y su nombre viene de la escala diatónica (7 notas):
Nota
Intervalo
A
1
A#
2b
B
2
C
3m
C#
3M
D
4
D#
4#/5b
E
5
F
5#/6m
F#
6
G
7
G#
maj7
A
8
Los intervalos de una octava respecto a la nota ‘la’. En naranja el acorde de ‘la mayor’.
3· Armonía
El sonido son ondas con picos y valles de presión. Cuando dos o más ondas se trasladan en el
mismo medio se suman sus amplitudes. Aunque el sonido es 3D se representa en 2D.
Suma de ondas constructiva:
Suma de ondas destructiva:
En rojo y azul dos onda de la misma frecuencia e intensidad. En verde el resultado de la suma.
3
Si las ondas tienen frecuencia diferente su suma hace una onda envolvente, que puede ser regular
de una manera más o menos sencilla, o irregular. Por ejemplo:
a) La suma de f1 y f2 es muy constructiva. El intervalo se llama octava justa.
Patrón 2:1. f1 en azul, f2 (2·f1) en rojo. La suma en verde es un patrón regular.
En una cuerda f2 es un valor un poco mayor que 2·f1, a esto se le llama inharmonicidad.
b) La suma de f2 y f3 también es constructiva. El intervalo se llama quinta justa. f3 es también
la quinta justa de f1, pero una octava por encima.
Patrón 3:2. f2 en azul, f3 (3·f1=3/2·f2) en rojo, la suma en verde es un patrón regular.
Aunque es un patrón regular, es un poco más complicado que el anterior, y se escuchan dos
notas diferentes claramente.
c) A medida que se utilizan proporciones con números mayores su suma muestra un patrón
más complicado y lo escuchamos disonante, más cercano al ruido.
Patrón 37:20. La suma en verde es un patrón regular pero complicado.
d) Si se utiliza una proporción irracional el resultado es un patrón irregular (no periódico) que
puede ser más o menos consonante. En el siguiente caso es disonante y corresponde al
intervalo de quinta bemol:
f1
1,0
·f1
1,0
0,5
0,5
0,0
0,0
-0,5
-0,5
-1,0
-1,0
f1
2
·f1
1
0
-1
0
10
0
10
-2
0
Patrón
10
. La suma es un patrón irregular.
En la escala cromática actual se utilizan relaciones irracionales (2 1/12) por lo que los patrones de los
intervalos son irregulares, aunque suelen ser cercanos a intervalos justos (armónicos).
4
4· Acústica
El sonido en un piano parte del accionamiento de la tecla. Este movimiento de palanca se traslada a
través del mecanismo (palancas) hasta el martillo para que éste golpee las cuerdas
correspondientes.
Las cuerdas entonces vibran, y su timbre depende tanto de las cuerdas
(ancho, largo, densidad, material, tensión), como del martillo, y de cómo y
dónde les golpea el martillo (enfatizará unos armónicos más que otros).
La cuerda vibrará de una manera complicada y en 3D (aunque se puede
simplificar su espectro en la frecuencia fundamental y sus armónicos). La
cuerda en movimiento tiene nodos y valles (antinodos), y está vibrando a
la vez en diferentes armónicos, por lo que tendrá a la vez los nodos y
valles de sus armónicos. A todo esto, además, la cuerda tiene un diámetro
y una elasticidad que hace que los nodos no sean un punto de la cuerda
sino que tienen un tamaño, lo cual causa inharmonicidad, porque el valle
de los armónicos es más pequeño de lo que sería idealmente, y hacen
frecuencias más agudas. Dicho más sencillo, los armónicos de una cuerda
no son múltiples exactos de f1 sino que son frecuencias más elevadas. La
inharmonicidad no ocurre solo en las cuerdas, pasa en cualquier objeto
que vibre y tenga rigidez, que no sea perfectamente elástica.
Nodo de una cuerda vibrando
La vibración de las cuerdas se transmite por medio del puente a la tabla armónica, que son láminas
de madera de abeto que actúan como amplificador añadiendo timbre al sonido producido, que
también se ve afectado por la sala, el ambiente y lo que haya cerca. El aire alrededor de la tabla
armónica vibra y llega a nuestros oídos que lo transforma en señales eléctricas para el sistema
nervioso.
5
5· Temperamento
El temperamento son las frecuencias fundamentales que cogemos para hacer música, con uno o
varios instrumentos. La definición es muy amplia, y así definida cualquier grupo de sonidos pueden
ser un temperamento. Pero como hay intervalos que son más consonantes que otros (relación de
frecuencias simples) se entiende que el temperamento es un conjunto de notas consonantes.
Dentro del temperamento se puede partir de una frecuencia base y a partir de ahí ir haciendo
relaciones simples para obtener el resto de frecuencias, de esta manera se obtienen instrumentos
como las armónicas tonales (hay una para cada tono) o el sitar (que está en un tono concreto y hay
cuerdas que vibran por resonancia - cuerdas simpáticas). Este temperamento es muy consonante
pero solo hay una frecuencia base.
Otra manera de hacer el temperamento y que veremos más adelante, es buscar alguna manera de
que todas las notas que obtengamos puedan ser la frecuencia base y el instrumento nos permita
cambiar de tono, todas las notas tengan disponibles los mismos intervalos. Este tipo de
temperamento se puede decir que es la manera occidental y actual de hacer música, se llama
temperamento igual.
Si los intervalos disponibles para todas las notas no son iguales pero son parecidos, es un caso
intermedio a las dos maneras de hacer el temperamento comentadas. Estos temperamentos se
llaman temperamento desigual o well-temperament (buen temperamento). En esta categoría hay
muchos temperamentos históricos.
Históricamente (con instrumentos como el monocordio o la cítara, que son los predecesores de los
instrumentos de cuerda, del arpa, y por tanto también del piano) el temperamento ha estado
relacionado con las matemáticas, por ejemplo Pitágoras, Euclides, Ptolomeo o Kepler hicieron
estudios sobre afinación. Pitágoras básicamente cogía una cuerda y miraba como cambiaba el
sonido si la hacía más larga o corta, si le ponía más tensión, si era más gruesa,...
Se parte de una frecuencia base (lo normal es coger la frecuencia fundamental de una cuerda en
tensión, f1). Para la siguiente nota, se coge el intervalo más simple, que es f2 = 2·f1, la octava. El
siguiente es f1 = 3·f1, la quinta de la octava superior, y así ir sacando más notas. De esta manera es
fácil entender el uso de la escala pentatónica (5 notas) en todas las culturas, y también de la escala
diatónica (7 notas), son las escalas con las notas más consonantes. La escala diatónica es la que
utilizamos para designar los intervalos, como octava, quinta, tercera mayor,... pero la escala
diatónica tiene una nota que no tiene quinta dentro de esa escala, sino que tiene una quinta bemol
también llamada tritono.
Pitágoras hizo un temperamento a partir de ir haciendo quintas sobre cada nota, y resultó que al
hacer 12 notas prácticamente se obtenía la nota inicial. Y es la base de la afinación occidental actual
donde cada nota tiene casi una quinta justa. Es la escala cromática.
Un vez se tuvieron las 12 notas se vio que el temperamento no podía ser perfecto para cada nota
de la escala, a partir de ahí se dio más importancia a unos intervalos que a otros, y se hicieron
métodos de afinación diversos a lo largo de la historia. Entre estos temperamentos se encuentra el
temperamento por terceras mayores (en vez de utilizar la octava o la quinta como referencia, lo
hace con la tercera mayor), los temperamentos desiguales (Werkmeister, Vallotti, Kirnberger,...
tienen la octava como referencia y la dividen) o el temperamento igual que es el más utilizado
actualmente.
6
Históricamente el temperamento tenía el intervalo base en las terceras mayores. Luego se
utilizó el temperamento desigual (Well-temperament). Y actualmente se usa el temperamento
igual.
El temperamento igual tiene todos los tonos iguales con los mismos intervalos para cada nota, y
por eso se dice que tiene menos colores.
Curiosamente, aunque los intervalos con relaciones más simples son la octava (2:1) y la quinta (3:2),
el uso de temperamentos en que su intervalo base sea la octava y la quinta es posterior al uso de
temperamentos con la tercera mayor como base (relación 5:4). Con el paso del tiempo se ha ido
paulativamente desafinando la tercera mayor, para ir haciendo temperamentos desiguales (welltemperament) y finalmente en el siglo XX ir al temperamento igual donde la base es la octava justa
y la quinta un poco desafinada.
El temperamento igual es una afinación muy concreta, al afinar por el propio error de afinar se
consigue una aproximación a ese temperamento, muchas veces se privilegia un intervalo respecto a
otros y no es perfectamente igual.
7
6· Temperamento justo - Just intonation
Para poder hacer melodías o acordes se
necesitan diversas notas dentro de la
octava que sean sonidos consonantes con
f1. Cuanto más consonantes sean las notas
de un acorde, más consonante será el
acorde. Lo mismo para las melodías y
escalas, también serán más consonantes.
Así que la manera de obtener notas
consonantes es haciendo los armónicos de
f1. Los intervalos entre las notas obtenidas
y f1 se llaman intervalos justos. Como
hemos visto, f2 es la octava justa y f3 la
quinta justa. f4 es otra octava, f5 es la
tercera mayor justa,...
La mayoría de múltiplos sencillos de f1
tienen la equivalencia dentro de la escala
diatónica, o sea, una nota con frecuencia
parecida. Algún múltiplo no está en la
escala diatónica ni cromática.
En la siguiente tabla yo he cogido las
relaciones más simples que puedan
coincidir con notas de la escala diatónica
(algunos valores pueden ser diferentes
con otros temperamentos justos):
Frecuencia fundamental y armónicos justos de una cuerda.
Los valores son la división de la cuerda, el valor es la inversa de la
relación de fn con f1.
Nota
A4
A#4
B4
C5
C#5
D5
D#5
E5
F5
F#5
G5
G#5
A5
Relación con f1
1:1
17:16
9:8
6:5
5:4
4:3
7:5
3:2
8:5
5:3
9:5
15:8
2:1
Temperamento justo (Hz)
440
467,5
495
528
550
586,67
616
660
704
733,33
792
825
880
Intervalos justos a partir de 440Hz y comparando con las notas de la escala
diatónica. En rojo los intervalos 1, 3M, 5 y 8. El acorde mayor.
Viendo la tabla se puede entender el extenso uso de la escala pentatónica y diatónica, son escalas
que contienen notas con intervalos muy consonantes.
El problema de una escala como ésta (hecha a partir de armónicos), es que al cambiar f1 y utilizar
otra nota de esa escala como fundamental, las demás notas de la escala pierden la consonancia.
Por ejemplo, si cogemos f1=495Hz que corresponde al B4, su quinta justa F#5 (relación 3/2) es:
f3=742,5Hz, lo cual no coincide con el F#5 de la escala que teníamos (733,33Hz).
Por tanto, una escala hecha a partir de armónicos (aunque sea otra escala diferente o con otros
valores) solo puede tocarse en un tono, en f1.
8
7· El Temperamento igual - por octavas justas - Equal temperament
Es el temperamento que llevan por defecto los aparatos electrónicos y es el más extendido en la
afinación actual de pianos. Se divide la octava justa para que cada nota de la escala pueda ser f1,
que los intervalos sean los mismos para cada nota. Se necesita dividir la octava logarítmicamente.
La escala se divide en 12 notas porque de esta manera se obtienen notas que están muy cercanas a
notas consonantes, a los intervalos justos, especialmente los intervalos mayores (ver ANEXO I). Los
demás tipo de divisiones, por ejemplo 17, 19, 21 o 22, tienen algunas notas cercanas a las
consonantes, pero no tantas como al dividir en 12. Dividir la octava en 24 notas no aporta nuevas
consonancias aunque sí nuevas disonancias.
Así que, a cambio de perder consonancia, cualquier nota de la escala puede ser la tónica. Para pasar
de una nota al siguiente semitono se utiliza el factor
Relación justa
Temperamento justo (Hz)
A4
1
1:1
440
A#4
2b
17:16
467,5
Relación logarítmica
Temperamento igual (Hz)
Diferencia (Hz)
2
440
0,0
0/12
2
466,2
-1,3
Nota
1/12
B4
2
9:8
495
2/12
2
493,9
-1,1
C5
3m
6:5
528
3/12
2
523,3
-4,7
C#5
3M
5:4
550
4/12
2
554,4
4,4
1,059463094 .
D5
D#5
4
5b
4:3
7/5
586,67 616,00
5/12
2
587,3
0,7
6/12
2
622,3
6,3
E5
5
3:2
660
7/12
2
659,3
-0,7
F5
F#5
6m
6
8/5
5:3
704,00 733,33
8/12
2
698,5
-5,5
9/12
2
740
6,7
G5
7
9:5
792
10/12
2
784
-8
G#5
maj7
15:8
825
A5
8
2:1
880
11/12
2
880
0,0
2
830,6
5,6
Tabla comparativa entre el Temperamento justo y el Temperamento igual.
En la última línea aparece la diferencia entre las frecuencias de los temperamentos en Herz.
Se puede ver en la tabla como con el Temperamento igual se obtienen notas más y menos afinadas
comparadas con los intervalos justos. Por ejemplo, quedan desafinados los intervalos 3m, 3M, 6m,
6 y 7. El intervalo 5 queda un poco corto y el 4 un poco largo, pero mucho más afinados.
En general el oído humano capta sonidos de entre 20 y 20000 Hz, y distingue tonos de diferente
frecuencia a partir de 3,6Hz de diferencia (entre 1000 y 2000 Hz). Pero también se pueden
distinguir sonidos de tono más parecido: Cuando los sonidos son simultáneos y de frecuencias muy
parecidas, se diferencian porque se capta la onda envolvente (se oyen batidas). A medida que las
frecuencias se acercan las batidas se hacen más lentas, y si se acercan mucho las batidas son tan
lentas que dejan de ser apreciables. Cuando las frecuencias se alejan las batidas son más rápidas, y
al ir aumentando se deja de oír batidas para oír frecuencias diferentes.
Las batidas entre dos notas pueden ser causados por la frecuencia fundamental de cada nota si son
notas muy cercanas en frecuencia, pero también puede haber batidas por los armónicos
respectivos de cada nota. En los intervalos justos sencillos no hay batidas porque las notas
fundamentales son lejanas y porque los armónicos coincidentes de cada nota tienen la misma
frecuencia (esto sin inharmonicidades). En cambio en los intervalos temperados, aunque la
frecuencia fundamental es muy diferente y no habría batidas, como los armónicos no son
exactamente coincidentes y hay pequeñas diferencias entonces hay batidas que son audibles, esas
batidas se pueden medir en Hz (ver ANEXO II).
De hecho en los intervalos justos también hay batidas por culpa de las inharmonicidades de cada
nota, que hace que los armónicos no sean exactamente coincidentes.
Las batidas de los intervalos se pueden utilizar para afinar pianos, desafinando la quinta justa
(acortándola) o la tercera mayor justa (alargándola) para conseguir un temperamento igual (que
12/12
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solo tiene la octava justa). Cada intervalo según desde que nota se haga hace más o menos batidas,
las notas agudas como tienen más frecuencia hacen batidas más rápidas que el mismo intervalo
con notas graves.
El problema de contar batidas para afinar es que la cantidad de batidas depende de las notas. En el
temperamento igual no son las mismas batidas entre las notas A4-E5 (batidas de 1,49Hz), que entre
las notas E5-B5 (batidas de 2,23Hz), a pesar de ser el mismo intervalo (quintas del Temperamento
igual). La quinta E5-B5 bate más rápido que la quinta A4-E5, porque son notas más agudas, con más
Hz. Por tanto, para afinar contando batidas hay que tener un método de contar batidas y seguirlo,
porque cada nota y el intervalo que cojamos batirá con diferente frecuencia.
Otra opción para afinar es utilizar las batidas para que estén equilibradas en vez de contar batidas:
1) haciendo las quintas un poco cortas de manera intuitiva, o 2) por terceras mayores, se hacen las
terceras mayores largas para que cuadren con la octava justa (se explica más adelante).
El cálculo de batidas para las quintas y las terceras mayores en el temperamento igual está dentro
del apartado de temperamento por quintas justas y temperamento por terceras mayores justas
respectivamente (páginas 12 y 14).
Como en el Temperamento igual hay más batidas por segundo en la tercera mayor que en la
quinta, si se afina un piano contando batidas suele ser más cómodo utilizar las terceras mayores.
10
8· Afinación electrónica (Herzs y cents)
Además de afinar de oído un piano, también se puede afinar con un aparato electrónico. En los
aparatos electrónicos las unidades de frecuencia son Hz y cents, son escalas diferentes y difíciles de
comparar entre sí:
· Los Herz (Hz) son la inversa del segundo, las variaciones por segundo, que es una medida lineal.
· Los cents son una división uniforme de la octava justa. En una octava justa hay 1200 cents, por lo
que en un semitono del Temperamento igual hay 100 cents. El cent es una medida muy pequeña
pero cómoda por ser independiente de la frecuencia de la nota o sonido, por tanto muy útil para
comparar frecuencias o para medir la desviación respecto a una frecuencia. El cent es una escala
logarítmica. Para expresarlo matemáticamente, en una octava (entre f1 y f2) hay 1200 cents:
‘x’ es el factor de conversión, resolviendo se obtiene que
Así, para convertir el valor de las frecuencias a cents o Hz:
Temperamento igual entre A4 y A6 expresado en cents.
.
Temperamento igual entre A4 y A6 expresado en Hz.
Expresando el Temperamento igual en Hz o cents se puede notar que la representación es
diferente. Hay 100 cents entre cada semitono del Temperamento igual. En cambio en Hz no se
puede hacer una consideración parecida, cada intervalo tiene distintos Hz (es exponencial). Para
utilizar un aparato electrónico es más útil mirar los cents.
A partir de aquí (Temperamento igual), se pueden formar diferentes temperamentos para tratar de
conseguir más consonancias, otras sonoridades, o porque son otras maneras de afinar un piano.
11
9· Temperamento por quintas justas - Pythagorean tuning
Este temperamento se obtiene a partir de la quinta justa de cada nota. Se multiplica por 3/2 para
hacer la quinta justa, y se multiplica por 3/4 para obtener la quinta de la octava inferior. En este
caso se ha empezado por el A4, para ir obteniendo las quintas: E5, B4, F#5, ..., C5, G5, D5 y A5.
Nota
A4
A#4
B4
C5
C#5
D5
D#5
E5
F5
F#5
G5
G#5
A5
T. igual (Hz)
440
466,16
493,88
523,25
554,37
587,33
622,25
659,26
698,46
739,99
783,99
830,61
880
T. quintas (Hz)
440
469,86
495,00
528,60
556,88
594,67
626,48
660,00
704,79
742,50
792,89
835,31
892,01
Frecuencias del Temperamento igual y del Temperamento por quintas justas, ordenado por notas.
El problema de este temperamento es que no cierra la octava o produce una quinta del lobo. Por
tanto no es un temperamento igual.
Como A5 tiene 892,01Hz en vez de 880 (una diferencia de 23,5 cents que se redondea a 24 cents),
el círculo de quintas no queda cerrado.
La quinta del lobo sería el intervalo que se produce entre el D5 de este temperamento (594,67Hz) y
la octava justa (880Hz). Esa quinta en vez de tener 700 cents tiene 678,5 y suena disonante, muy
lejos del intervalo justo 3:2.
Cuando se afina de oído por quintas, se acortan las quintas justas para obtener el Temperamento
igual. Dicho de otro modo, se reparten los -24 cents entre todas las quintas (12 quintas), y a cada
quinta le corresponden -2 cents (llamado schisma).
A cualquier quinta justa, desde cualquier f1, le sobran 2 cents para hacer el Temperamento igual.
Pero el número de batidas de las quintas cortas es diferente para cada nota, depende de f 1.
En el temperamento por quintas justas (Pitágoras) sobran 24 cents para poder cerrar la
octava. Para obtener un temperamento igual hay que repartir los -24 cents entre todas
las quintas. Por eso al afinar un piano por quintas, éstas se hacen -2 cents cortas.
12
El número de batidas de una nota con su quinta por temperamento igual se calcula comparando el
tercer armónico de la primera nota (3·f1) con el segundo armónico de la quinta (2·f3), porque esos
armónicos tienen frecuencias cercanas (como se puede ver en los valores de la tabla) y las batidas
se notan. Los armónicos que tienen frecuencias distantes no hacen batidas.
Las batidas son la diferencia (la resta) entre el 3º armónico de la nota y el 2º armónico de su quinta:
nota
A3
A#3
B3
C4
C#4
3º armónico nota (Hz)
660
699,2
740,8
784,8
831,5
quinta
E4
F4
F#4
G4
G#4
2º armónico quinta (Hz)
659,2
698,4
739,9
783,9
830,6
Batidas por segundo
0,74
0,79
0,84
0,89
0,94
Duración de la batida en segundos
1,34
1,27
1,20
1,13
1,06
D4
D#4
E4
F4
F#4
G4
G#4
A4
880,9
933,3
988,8
1047,6
1109,9
1175,9
1245,9
1320
A4
A#4
B4
C5
C#5
D5
D#5
E5
880
932,3
987,7
1046,5
1108,7
1174,6
1244,5
1318,5
0,99
1,05
1,12
1,18
1,25
1,33
1,41
1,49
1,01
0,95
0,90
0,84
0,80
0,75
0,71
0,67
Cálculo de batidas de una nota con su quinta en temperamento igual entre A3 y A4
13
10· Temperamento por terceras mayores justas - Meantone
Se aplica un factor 5/4 para obtener la tercera mayor justa (3M justa) de cada nota.
Nota
A4
C#5
F5
A5
T. igual (Hz)
440,0
554,4
696,7
880
T. terceras mayores (Hz)
440,0
550,0
687,5
859,375
Frecuencias de tres 3M en temperamentos de igual y Temperamento por terceras mayores justas.
Con tres 3M ya se llega a la octava. Se puede ver que esta octava es muy corta (859,4Hz) y será
disonante. Para afinar pianos se pueden alargar las 3M justas para llegar al temperamento igual.
Aunque cada 3M tiene un número de batidas diferente.
Se afina por grupos: A-C#-F; A#-D-F#; B-D#-G; C-E-G#. Las 3M más agudas baten más rápido que las
terceras más graves, y la octava es justa. Por tanto hay que conseguir que batan diferente pero de
manera equilibrada, o calcular las diferentes batidas de cada intervalo.
De hecho hay diferentes temperamentos por terceras mayores. El más común se llama Meantone.
Este temperamento hace uso del cuarto de coma sintónica (también llamada syntonic comma,
chromatic diesis, the comma of Didymus, the Ptolemaic comma, or the diatoniccomma).
La coma sintónica es la diferencia entre la 3M justa (386,41 cents) y la 3M del Temperamento por
quintas justas (407,82 cents). La coma sintónica es de unos -21,5 cents. Por tanto el cuarto de coma
sintónica es de unos -5,37 cents.
Lo que se hace es quitar a la quinta igual (700 cents) esos -5,37 cents. Y queda una quinta de 694,62
cents. Con esa quinta reducida se hace el ciclo de quintas hasta llegar al A5.
Nota
A4
A#4
B4
C5
C#5
D5
D#5
E5
F5
F#5
G5
G#5
A5
T. igual (Hz)
440
466,16
493,88
523,25
554,37
587,33
622,25
659,26
698,46
739,99
783,99
830,61
880
T. terceras mayores (Hz)
440,00
459,76
491,93
514,03
550,00
574,70
614,92
657,95
687,50
735,61
768,65
822,44
859,37
Frecuencias del Temperamento por terceras mayores justas
La octava es muy corta como habíamos visto (859,37Hz). Y vemos como también la quinta es corta
(657,95Hz). Por lo que si se afina el Temperamento igual por terceras mayores, hay que alargar las
terceras mayores, como ya habíamos dicho.
En el temperamento Meantone la coma sintónica se redondea a -5,5 cents. Si se hacen todas las quintas
con esa diferencia respecto a la quinta justa, quedaría una quinta del lobo con 36,5 cents de más.
14
Para calcular las batidas de una nota con su tercera mayor en temperamento igual se hace parecido
a como se ha hecho con la quinta del apartado anterior, se cogen los armónicos que tengan una
frecuencia similar. En este caso es el quinto armónico de la primera nota (5·f1) y el cuarto armónico
de la tercera mayor (4·f5), que como se puede ver en la tabla, tienen una frecuencia parecida.
Las batidas son la diferencia (la resta) entre el 5º armónico de la nota con el 4ª armónico de su 3M,
y son mucho más rápidas que en Temperamento anterior por quintas justas:
nota
A3
A#3
B3
C4
5º armónico nota (Hz)
3M
C#4
D4
D#4
E4
4º armónico 3M (Hz)
Batidas por segundo
Duración de la batida en segundos
1108,7
1174,6
1244,5
1318,5
8,73
9,25
9,80
10,38
0,114
0,108
0,102
0,096
C#4
D4
D#4
E4
F4
F#4
G4
G#4
1385,9
1468,3
1555,6
1396,9
1479,9
1567,9
11,00
11,65
12,35
0,091
0,085
0,081
1648,1
1746,1
1849,9
1959,9
2076,5
F4
F#4
G4
G#4
A4
A#4
B4
C5
1661,2
1760
1864,6
1975,5
2093,0
13,08
13,86
14,68
15,56
16,48
0,076
0,072
0,068
0,064
0,061
A4
2200
C#5
2217,4
17,46
0,057
1100
1165,4
1234,7
1308,1
Cálculo de batidas de una nota con su tercera mayor en temperamento igual entre A3 y A4
15
11· Conclusiones y otros temperamentos
En el Temperamento igual, la octava es justa (0 cents), la quinta queda corta (-2 cents) y la tercera
mayor es muy larga (+13,7 cents) respecto a los intervalos justos.
En el Temperamento de quintas justas, la octava es justa (0 cents), la quinta es justa (0 cents) y la
tercera mayor es muy larga (+21,5) respecto a los intervalos justos. Pero además no es un
temperamento igual y queda una octava con (+24 cents) además de otros intervalos que tampoco
serán iguales.
En el Temperamento de terceras mayores justas, la octava es muy corta (-36,5 cents), la quinta es
corta (-5,38 cents) y la tercera mayor es justa (0 cents) respecto a los intervalos justos.
Hay muchos otros temperamentos irregulares de la octava (Kimberger, Vallotti, Werkmeister,...),
que reparten los -24 cents de diferentes maneras entre sus quintas. Esto hace que las tonalidades
tengan distintas sonoridades (cada tono tiene un “color”), con distintos intervalos para cada tono.
Estos temperamentos suelen tener importancia histórica y sirven para tocar piezas clásicas con el
temperamento con las que fueron compuestas, aunque esas mismas piezas se pueden tocar con el
temperamento igual sin ningún problema. Además, los valores para cada intervalo varían según la
fuente de información. Un libro con mucha información de temperamentos es el de J. Javier
Goldáraz Gainza - Afinación y temperamento en la música occidental.
Diferentes temperamentos. En todos la octava es justa, se reparten -24 cents entre sus
quintas. Cada temperamento tiene una sonoridad y beneficia intervalos de ciertos tonos.
También hay temperamentos en que la octava no es justa, en estos temperamentos se estira la
octava para que sea más larga. Cuando la octava es más larga de lo que debería se dice que se ha
estirado, es una octava con 'stretch'.
16
12· Temperamento de la curva Railsback
Hasta ahora hemos hablado de armónicos justos de una cuerda sin inharmonicidades, en una
cuerda unidimensional sus armónicos son múltiples de la frecuencia fundamental: fn=n·f1.
Sin embargo, los objetos están en el espacio tridimensional 3D, y no en 1D o en 2D. Por ejemplo las
cuerdas del piano, además de longitud, tienen un grosor, una composición, una tensión y pueden
empezar a vibrar de maneras diversas. De hecho, todo eso define el timbre de cada tecla del piano.
Esto provoca que el nodo de vibración de los armónicos no sea puntual, sino que tiene un tamaño y
un comportamiento que depende del material del objeto y de sus dimensiones. Como el nodo tiene
un tamaño, la longitud de vibración de los armónicos (el valle) es más pequeña y por tanto
producen inharmonicidad: armónicos con frecuencias más elevadas que los múltiples de f 1 del
objeto. Por ejemplo, el primer armónico de 440Hz en vez de ser 880Hz puede ser 880,5Hz (1 cent
más alto). Y cuanto mayor es el armónico, más nodos tiene, y mayor es la inharmonicidad. Además,
en los extremos del piano las cuerdas son más inharmónicas, porque son proporcionalmente más
gruesas a su longitud que en el registro central, y además deben coincidir con los armónicos
elevados del registro central. En la curva Raisback (la gráfica a continuación) las octavas del
extremo del piano tienen 30 cents de diferencia respecto a si no hubiera inharmonicidad.
Railsback fue el primero en medir las inharmonicidades de las cuerdas del piano en 1937:
Curva Railsback.
Ecuación aproximada de la curva Railsback a
partir de las notas C1, C2, C7 y C8.
Viendo la curva de Railsback se pueden sacar los puntos: C8 +30 cents, C7 +10 cents, C2 -10 cents,
C1 -30 cents. Sacando el polinomio podemos obtener la ecuación aproximada, y de ahí los cents
extra de cada nota y sus frecuencias.
La parte central de la gráfica es muy plana y en los extremos la curvatura es muy pronunciada. En la
parte central hay octavas justas (con Temperamento igual) y en los extremos las octavas están muy
estiradas, incluso las quintas quedan largas en las 2 últimas octavas.
Notas
A4
A#4
B4
C5
C#5
D5
D#5
E5
F5
F#5
G5
G#5
A5
T. Igual (Hz)
440
466,16
493,88
523,25
554,37
587,33
622,25
659,26
698,46
739,99
783,99
830,61
880
T. Railsback (Hz)
439,95
466,10
493,81
523,16
554,27
587,23
622,16
659,18
698,41
739,99
784,06
830,76
880,27
Las frecuencias con temperamento Railsback de la octava central son muy cercanas al Temperamento igual.
En cambio las octavas del extremo del piano están muy estiradas.
17
13· Temperamento igual estirado
Este temperamento estirado se puede hacer con muchos valores. El siguiente ejemplo es un stretch
de octava de 1,8 cents, repartidos de manera lineal respecto al Temperamento igual:
notas
a
a#
b
c
c#
d
d#
e
f
f#
g
g#
a
a#
b
c
c#
d
cents extra
0
0,15
0,3
0,45
0,6
0,75
0,9
1,05
1,2
1,35
1,5
1,65
1,8
1,95
2,1
2,25
2,4
2,55
Estiramiento lineal, cada octava de cada nota tiene +1,8 cents respecto a la octava justa.
Respecto a los intervalos justos, la octava queda larga (+1,8 cents), la quinta queda corta (-0,91
cents), y la tercera mayor queda larga (+14,29 cents).
Notas
A4
C#5
E5
A5
Temperamento justo (Hz)
440
550,00
660,00
880,00
Temperamento igual (Hz)
440
554,37
659,26
880,00
Diferencia entre T.justo y T.igual (cents)
0
13,69
-1,96
0,00
Temperamento estirado (Hz)
440
554,56
659,66
880,92
Diferencia entre T.justo y T.estirado (cents)
0
14,29
-0,91
1,80
Diferencia entre T.igual y T.estirado (Hz)
0
0,6
1,05
1,8
El Temperamento estirado igual y el Temperamento igual
comparados con los intervalos justos
Teniendo en cuenta las inharmonicidades de una cuerda de piano, la octava puede que quede
mejor con el estiramiento de 1,8 cents, la quinta también queda mejor afinada, y la tercera mayor
si que pierde un poco de consonancia pero ya estaba muy desafinada.
Se puede hacer una gráfica con las frecuencias obtenidas del Temperamento estirado (ANEXO III):
12000,00
11700,00
11400,00
11100,00
10800,00
10500,00
10200,00
9900,00
9600,00
A3
A#3
B3
C4
C#4
D4
D#4
E4
F4
F#4
G4
G#4
A4
A#4
B4
C5
C#5
D5
D#5
E5
F5
F#5
G5
G#5
A5
9300,00
Temperamento igual estirado en cents
Como se puede ver en la gráfica, la diferencia de cents es lineal (recta azul). A diferencia de la curva
Railsback que la diferencia en cents seguía una función polinómica o no-lineal.
18
14· Temperamento igual estirado con quintas justas
Otro ejemplo de Temperamento igual estirado es hacer que la quinta sea justa. La quinta justa
tiene +1,96 cents extra respecto al Temperamento igual como habíamos visto. De esta manera la
octava tiene +3,35 cents. Repartidos estos cents de manera lineal queda así:
notas
a
a#
b
c
c#
d
d#
e
f
f#
g
g#
a
cents extra
0
0,28
0,56
0,84
1,12
1,40
1,68
1,96
2,23
2,51
2,79
3,07
3,35
Temperamento igual con estiramiento. El estiramiento son los cents extra.
A partir de los cents extra respecto al Temperamento igual, se pueden calcular las frecuencias del
Temperamento igual estirado (ver ANEXO IV).
Notas
A4
C#5
E5
A5
Temperamento justo (Hz)
Temperamento estirado con
quintas justas (Hz)
Diferencia (cents)
440,00
550,00
660,00
880,00
440,00
554,72
660,00
881,70
0,00
14,80
0,00
3,35
Temperamento igual estirado con quintas justas
En este caso de estiramiento tenemos quintas justas para cualquier nota, y la octava estirada hasta
3,35 cents. La quinta cumple la relación 3/2, pero bajada una octava no es la relación 3/4.
A diferencia del Temperamento por quintas justas, este temperamento también consigue quintas
justas pero sin hacer una quinta del lobo o una octava totalmente disonante. La octava está
desplazada +3,35 cents (en el Temperamento por quintas justas sobraban 24 cents).
Las terceras mayores quedan más desafinadas de lo que ya estaban, pero sin ser un gran cambio
(14,80 cents contra 13,69 cents del Temperamento igual).
Reparto de cents en el ciclo de quintas. El Temperamento igual estirado (stretched octave +1,8) y
Temperamento igual estirado con quintas justas (stretched octave +3,35) no tienen octavas justas.
19
15· Temperamento igual estirado con terceras mayores justas
En el caso de hacer un Temperamento estirado con terceras mayores justas realmente dará un
temperamento encogido, con la octava corta. Los resultados son muy parecidos a los obtenidos en
el apartado del Temperamento por terceras mayores justas (Meantone). Solo cambian algunas
notas porque antes se han obtenido con un ciclo de quintas.
La tercera mayor justa tiene -13,69 cents respecto al temperamento igual. Si se reparte de manera
lineal se obtiene:
notas
a
a#
b
c
c#
d
d#
e
f
f#
g
g#
a
cents extra
0
-3,42
-6,84
-10,26
-13,69
-17,11
-20,53
-23,95
-27,37
-30,79
-34,22
-37,64
-41,06
A partir de los cents extra respecto al Temperamento igual, se pueden calcular las frecuencias del
Temperamento igual estirado por terceras mayores (ver ANEXO V).
16· Conclusiones de los temperamentos estirados
Los temperamentos estirados mejoran algunos intervalos y empeoran otros.
Los temperamentos estirados que tienen un estiramiento positivo de la octava mejoran los
intervalos 2, 3m, 5, 6m y 7.
Los temperamentos estirados que tienen un estiramiento negativo de la octava mejoran los
intervalos 3, 4, 6 y maj7.
Pero estos cambios son relativos a la cantidad de estiramiento que se haga.
El intervalo de octava puede mejorar en estiramientos ligeramente positivos (por ejemplo el que se
alarga la octava 1,8 cents), debido a la inharmonicidad de las cuerdas.
Nota
A4
C5
C#5
D5
E5
F5
F#5
A5
Frecuencia de las notas
TJ
TI
TE 1,8
440
440
440
528
523,25
523,39
550
554,37
554,56
586,67
587,33
587,58
660
659,26
659,66
704
698,46
698,94
733,33
739,99
740,57
880
880
880,92
Diferencia (cents) respecto la nota justa
TI vs TJ
TE 1,8 vs TJ
0
0
-15,64
-15,19
13,69
14,29
1,96
2,71
-1,96
-0,91
-13,69
-12,49
15,64
16,99
0
1,8
· TJ: Temperamento justo
· TI: Temperamento igual
· TE 1,8: Temperamento estirado igual de 1,8 cents la octava
En verde los intervalos que mejoran
Intervalo Relación
1:1
1
6:5
3m
5:4
3M
4:3
4
3:2
5
8:5
6m
5:3
6
2:1
8
20
17· Afinar un piano
Todos los datos que hemos ido viendo sirven de orientación para afinar un piano y para conocer
cómo funciona un afinador electrónico.
Pero cada piano es diferente y tiene sus inharmonicidades:
· Las cuerdas que tiene (para cada tecla) tienen una longitud, un grosor, una tensión y una
elasticidad que no son los mismos en otro piano. Hay pianos con diversos tamaños y
construcciones, y pianos más antiguos y más nuevos que afecta al material y el estado de la cuerda.
· El golpeo del martillo en cada piano es diferente. Golpea con más o menos superficie, más o
menos fuerza, y en una posición u otra de la cuerda (más arriba o más abajo), y con un martillo con
una forma y una dureza diferente en cada piano y cada tecla. Destacando unos armónicos por
encima de otros.
· Las cuerdas graves del piano tienen un entorchado de cobre para dar peso a la cuerda, este
entorchado también es diferente para cada piano, el grosor y la longitud es diferente.
De entrada los aparatos electrónicos vienen con Temperamento igual y sin curva de estiramiento.
Por eso afinar un piano con un aparato electrónico directamente no es una afinación óptima. Aún
así, coger el programa y poner un temperamento y una stretch puede mejorar la afinación pero no
nos garantiza una buena afinación porque puede no tener nada que ver con el piano que estemos
afinando. Además, para utilizar un aparato electrónico conviene comprobar que esté calibrado en
todas las notas. En cambio la afinación de oído permite tener en cuenta las inharmonicidades de
cada piano, además de la propia percepción de las frecuencias del oído humano.
Orientativamente la curva Railsback implica estirar mucho la octava en los extremos del piano. Sin
embargo es útil estirar también las octavas centrales del piano porque la octava queda afinada y las
quintas mejoran mucho. Además, las afinaciones utilizando un Temperamento estirado en las
octavas centrales, éstas aguantan mejor la desafinación del piano, ya que a medida que un piano se
desafina las octavas tienden a contraerse un poco, las cuerdas agudas pierden más tono que las
cuerdas graves. Para los extremos del piano se pueden estirar más las octavas haciendo que las
quintas sean justas, o incluso más como en el temperamento Railsback. Por ejemplo:
20
15
10
TR
TE
TEQ
5
-5
A0
C1
D#1
F#1
A1
C2
D#2
F#2
A2
C3
D#3
F#3
A3
C4
D#4
F#4
A4
C5
D#5
F#5
A5
C6
D#6
F#6
A6
C7
D#7
F#7
A7
C8
0
-10
-15
-20
Aproximación con Temperamentos estirados al Temperamento Railsback (TR). Aparece el Temperamento
estirado (TE) entre A2 y A5, y el Temperamento estirado por quintas justas (TEQ) entre A0 y A2, y entre A5 y C8.
21
El primer paso en la afinación de un piano es el temperamento, entre 1,5 y 2 octavas del piano, por
ejemplo entre A3 y A5.
Después o mientras se afina el temperamento se hacen los unísonos. Las teclas entre A3 y A5
tienen 3 cuerdas por tecla, esas 3 cuerdas deben tener la misma frecuencia y no hacer batidas
dentro de lo posible.
Por último, el temperamento se extiende al resto del teclado, hasta las notas de los extremos,
normalmente por octavas y comprobando las quintas y los acordes.
Cuerdas de un piano de cola
La desafinación de un piano se nota especialmente por la desafinación de los unísonos.
- Los coros de 3 cuerdas de acero se pueden afinar para que no haya batidas, porque las cuerdas
tienen la misma longitud y están hechas del mismo material. Si el material es diferente pueden
hacer armónicos diferentes y causar batidas.
- Si los coros de 3 cuerdas son percutidos de manera diferente por el martillo, porque no golpea a la
misma altura a la cuerda o porque el martillo tenga diferente dureza o superficie en cada cuerda,
también pueden hacer batidas porque las cuerdas hacen diferentes armónicos.
- Los coros de bordones (normalmente 2 cuerdas), como tienen un entorchado de cobre que suele
ser ligeramente diferente de una cuerda a otra, puede hacer que cada bordón tenga armónicos
ligeramente distintos y que sean difíciles de afinar o que provoquen batidas.
Después de la desafinación de los unísonos, lo siguiente que más se nota en un piano desafinado
es que las octavas están acortadas y los intervalos varían perdiendo el temperamento. Dicho de
otra manera: primero se nota la desafinación de los unísonos, luego la desafinación del stretch y
por último la desafinación del temperamento y la sonoridad de los acordes.
La estabilidad de la afinación dependerá de que no se haya hecho una subida de tono, del estado
de las clavijas y del clavijero.
El tono de un piano se pierde con el tiempo, las cuerdas van perdiendo tensión. Si durante años un
piano no se afina, cuando se afine la afinación no será estable: los unísonos harán batidas en poco
tiempo (incluso mientras se van afinando otras cuerdas las primeras ya se desafinan), las octavas se
acortarán, el temperamento se pierde, y además el piano baja de tono mientras se va afinando por
la elasticidad del arpa, la tabla armónica, las clavijas y las cuerdas del piano. Por tanto, es mucho
mejor afinar regularmente un piano que no dejarlo años sin afinar.
22
Aunque la afinación aural pueda ser más óptima que la afinación electrónica, es mucho mejor un
piano afinado electrónicamente que un piano que está desafinado. También se puede combinar la
afinación electrónica con comprobaciones de oído.
Para afinar un piano hay múltiples métodos, según la sucesión de notas que se utilice, si se cuentan
batidas en algunos momentos, o si se hacen comprobaciones con intervalos.
El método más sencillo para afinar el Temperamento igual es utilizar quintas un poco cortas, y bajar
la octava para que las notas afinadas estén dentro de las octavas centrales.
El método más habitual con el que se puede afinar contando batidas es utilizar las terceras
mayores. Hay diversos métodos utilizando terceras mayores, por ejemplo hay dos métodos en los
ANEXOS VI y VII. La afinación profesional suele ser con terceras mayores, más que contar batidas es
por comparación de las batidas entre unos intervalos y otros.
23
18· Dinámica de sistemas no lineales (del trabajo de la licenciatura de física)
El número de variables define la dimensión del sistema y sus grados de libertad. Donde el tiempo se
define como una variable independiente, una comparación de la duración.
Dentro del sistema, si es continuo, habrá trayectorias y bifurcaciones. Una bifurcación es un
desdoblamiento de la trayectoria a otra por ejemplo apareciendo el doble de la frecuencia de la
trayectoria estable. Dentro de las trayectorias si son cerradas nos encontramos con puntos fijos o
con órbitas estables o inestables. Si las órbitas no son cerradas son señales aperiódicas o caóticas.
Las órbitas pueden ser periódicas (por ejemplo una frecuencia formaría un circulo en el espacio de
fases; o dos frecuencias con cociente racional, formarían la superficie de un toroide cerrado) o
pueden ser cuasiperiódicas (por ejemplo dos frecuencias con cociente irracional, formarían la
superficie de un toroide sin llegar nunca a una posición repetida).
Los sistemas se pueden catalogar como más estables o menos estables por su trayectoria. Cuanto
más sencillo más estable.
No es difícil imaginar la música como un sistema de 12 grados de libertad (notas) por octava, donde
una sola nota es un círculo (1 frecuencia con 1 amplitud), donde dos notas forman una órbita en
forma de toroide (cerrada o abierta dependiendo de si su cociente es racional o irracional), donde
N notas forman un toroide de dimensión N, donde una melodía es una trayectoria por esas doce
notas con diferentes intensidades.
Tampoco es difícil imaginar que es más estable un intervalo con proporciones racionales como 3:2,
que otro de irracionales como 21/2:1. O que un conjunto de notas forman formas o toroides más
estables si tienen proporciones racionales. O que en una melodía o pasaje haya atractores según la
tonalidad en que se esté, que haya frecuencias más inestables, y cambios a otras tonalidas /
atractores.
Otro parámetro musical es el ritmo, que es una discretización del tiempo. La aparición y
desaparición de las notas se hace de forma ordenada. Nuevamente con proporciones estables:
corcheras, tresillos, negras,... o mirando los compases: 2/4, 3/4, 4/4, 6/8, 9/8, 12/8, los
irregulares,... Puede que con aceleraciones y desaceleraciones o con rubato o con swing o... El
ritmo también sigue proporciones armónicas como las frecuencias.
También las intensidades de las notas pueden tomar cualquier valor o estar sujetas a una
discretización como pasa con los instrumentos electrónicos.
También podemos observar las bifurcaciones, cada vez que se toca una nueva nota, o que se añade
a las que ya había, o que hay un cambio de ritmo. De hecho se podría decir que la música es una
sucesión de bifurcaciones.
24
ANEXO I
Porqué hay 12 notas en la escala cromática.
a) Notas obtenidas a partir intervalos justos (relaciones sencillas con f1). En color los intervalos
más consonantes:
Nota
A4
1
A#4
2b
B4
2
C5
3m
C#5
3M
D5
4
D#5
5b
E5
5
F5
5#
F#5
6
X
X
G5
7
G#5
maj7
A5
8
Relación con f1
1:1
17:16
9:8
6:5
5:4
4:3
7/5
3:2
8/5
5:3
7:4
9:5
15:8
2:1
Frecuencias (Hz)
440
467,5
495
528
550
586,67
616
660
704
733,33
770
792
825
880
b) Temperamentos iguales: Octavas divididas de manera igual en 2 intervalos, en 3, en 4, en
12, en 17,... Frecuencias calculadas a partir de dividir la octava logarítmicamente, utilizando
los factores 21/n para pasar a la siguiente nota de la escala: 21/2, 21/3, 21/4, 21/5,...,21/12,...
En color las notas parecidas a los intervalos más consonantes (menos de 6 Hz de diferencia)
12
440
466,2
493,9
523,3
554,4
587,3
622,3
659,3
698,5
740,0
784,0
830,6
880
2
440
622,3
880
3
440
554,4
698,5
880
4
440
523,3
622,3
740,0
880
5
440
505,4
580,6
666,9
766,1
880
6
440
493,9
554,4
622,3
698,5
784,0
880
7
440
485,8
536,4
592,2
653,8
721,9
797,0
880
8
440
479,8
523,3
570,6
622,3
678,6
740,0
807,0
880
9
440
475,2
513,3
554,4
598,7
646,7
698,5
754,4
814,8
880
10
440
471,6
505,4
541,7
580,6
622,3
666,9
714,8
766,1
821,1
880
11
440
468,6
499,1
531,6
566,1
603,0
642,2
683,9
728,4
775,8
826,3
880
13
440
464,1
489,5
516,3
544,6
574,4
605,9
639,1
674,1
711,0
749,9
791,0
834,3
880
14
440
462,3
485,8
510,5
536,4
563,6
592,2
622,3
653,8
687,0
721,9
758,5
797,0
837,5
880
15
440
460,8
482,6
505,4
529,3
554,4
580,6
608,0
636,8
666,9
698,5
731,5
766,1
802,3
840,3
880
16
440
459,5
479,8
501,1
523,3
546,4
570,6
595,9
622,3
649,8
678,6
708,6
740,0
772,8
807,0
842,7
880
17
440
458,3
477,4
497,3
517,9
539,5
562,0
585,3
609,7
635,1
661,5
689,0
717,7
747,6
778,7
811,1
844,8
880
18
440
457,3
475,2
493,9
513,3
533,4
554,4
576,1
598,7
622,3
646,7
672,1
698,5
725,9
754,4
784,0
814,8
846,8
880
19
440
456,3
473,3
490,9
509,1
528,0
547,7
568,0
589,1
611,0
633,7
657,3
681,7
707,0
733,3
760,5
788,8
818,1
848,5
880
20
440
455,5
471,6
488,2
505,4
523,3
541,7
560,8
580,6
601,1
622,3
644,2
666,9
690,4
714,8
740,0
766,1
793,1
821,1
850,0
880
21
440
454,8
470,0
485,8
502,1
519,0
536,4
554,4
573,0
592,2
612,1
632,6
653,8
675,8
698,5
721,9
746,1
771,2
797,0
823,8
851,4
880
22
440
454,1
468,6
483,6
499,1
515,1
531,6
548,6
566,1
584,3
603,0
622,3
642,2
662,7
683,9
705,8
728,4
751,7
775,8
800,6
826,3
852,7
880
23
440
453,5
467,3
481,6
496,4
511,6
527,2
543,3
560,0
577,1
594,8
612,9
631,7
651,0
670,9
691,5
712,6
734,4
756,9
780,1
803,9
828,5
853,9
880
24
440
452,9
466,2
479,8
493,9
508,4
523,3
538,6
554,4
570,6
587,3
604,5
622,3
640,5
659,3
678,6
698,5
718,9
740,0
761,7
784,0
807,0
830,6
854,9
880
25
ANEXO II
· Ejemplo 1: Comparación de armónicos entre A4 (440Hz), E5 con temperamento justo (660Hz) y E5
con temperamento igual (659,26Hz). Sin inharmonicidades. Los armónicos coincidentes están en
color.
Entre A4 y E5 justo no hay batidas. En cambio entre A4 y E5 temperado hay batidas por sus
armónicos respectivos, concretamente los amónicos 3 y el 2 respectivamente, porque es la relación
que tienen las frecuencias de esas notas, 3:2. También son coincidentes los armónicos 6 y 4
lógicamente.
Las batidas en este caso entre A4 y E5 (T.I.) son de 1,49Hz, que es la diferencia entre 1320Hz y
1318,5Hz. Son batidas bastante lentas.
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
A4
440
880
1320
1760
2200
2640
3080
3520
E5 T.J.
660
1320
1980
2640
3300
3960
4620
5280
E5 T.I.
659,255114
1318,51023
1977,76534
2637,02046
3296,27557
3955,53068
4614,7858
5274,04091
· Ejemplo 2: Comparación de armónicos entre A4 (440Hz), F4 con temperamento justo (352Hz) y F4
con temperamento igual (349,23Hz). Sin inharmonicidades. Los armónicos coincidentes están en
color.
Entre A4 y F4 justo no hay batidas. En cambio entre A4 y F4 temperado hay batidas por sus
armónicos respectivos, concretamente los amónicos 4 y el 5 respectivamente, porque es la relación
que tienen las frecuencias de esas notas, relación 4:5. También habría batidas entre los armónicos 8
y 10 pero no aparece en la tabla.
Las batidas en este caso entre A4 y F4 (T.I.) son de 13,86Hz, que es la diferencia entre 1760Hz y
1746,14Hz. Son batidas bastante rápidas. Entre A3 y F3 serían la mitad, 6,93Hz.
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
A4
440
880
1320
1760
2200
2640
3080
3520
F4 T.J.
352
704
1056
1408
1760
2112
2464
2816
F4 T.I.
349,228231
698,456463
1047,68469
1396,91293
1746,14116
2095,36939
2444,59762
2793,82585
26
ANEXO III
Frecuencias del Temperamento igual estirado (TE) calculadas a partir del Temperamento igual (TI).
Quedan las octavas largas, las quintas menos cortas y las terceras más largas, que en el
Temperamento igual respecto a los intervalos justos.
Tabla de datos entre las notas A3 y A5.
Notas
A3
A#3
B3
C4
C#4
D4
D#4
E4
F4
F#4
G4
G#4
A4
A#4
B4
C5
C#5
D5
D#5
E5
F5
F#5
G5
G#5
A5
TI (Hz)
220,00
233,08
246,94
261,63
277,18
293,66
311,13
329,63
349,23
369,99
392,00
415,30
440,00
466,16
493,88
523,25
554,37
587,33
622,25
659,26
698,46
739,99
783,99
830,61
880,00
TI (cents)
9337,63
9437,63
9537,63
9637,63
9737,63
9837,63
9937,63
10037,63
10137,63
10237,63
10337,63
10437,63
10537,63
10637,63
10737,63
10837,63
10937,63
11037,63
11137,63
11237,63
11337,63
11437,63
11537,63
11637,63
11737,63
cents extra
-1,80
-1,65
-1,50
-1,35
-1,20
-1,05
-0,90
-0,75
-0,60
-0,45
-0,30
-0,15
0,00
0,15
0,30
0,45
0,60
0,75
0,90
1,05
1,20
1,35
1,50
1,65
1,80
TE (cents)
9335,83
9435,98
9536,13
9636,28
9736,43
9836,58
9936,73
10036,88
10137,03
10237,18
10337,33
10437,48
10537,63
10637,78
10737,93
10838,08
10938,23
11038,38
11138,53
11238,68
11338,83
11438,98
11539,13
11639,28
11739,43
TE (Hz)
219,77
232,86
246,73
261,42
276,99
293,49
310,97
329,48
349,11
369,90
391,93
415,27
440,00
466,20
493,97
523,39
554,56
587,58
622,58
659,66
698,94
740,57
784,67
831,40
880,92
27
ANEXO IV
Frecuencias del Temperamento igual estirado con quintas justas (TEQ) calculadas a partir de los
cents extra respecto al Temperamento igual.
Tiene más estiramiento que el Temperamento igual estirado.
Tabla de datos entre A3 y A5.
Notas
A3
A#3
B3
C4
C#4
D4
D#4
E4
F4
F#4
G4
G#4
A4
A#4
B4
C5
C#5
D5
D#5
E5
F5
F#5
G5
G#5
A5
cents extra
-3,351
-3,072
-2,793
-2,514
-2,234
-1,955
-1,676
-1,396
-1,117
-0,838
-0,559
-0,279
0,000
0,279
0,559
0,838
1,117
1,396
1,676
1,955
2,234
2,514
2,793
3,072
3,351
TEQ (cents)
9334,28
9434,56
9534,84
9635,12
9735,40
9835,68
9935,96
10036,24
10136,51
10236,79
10337,07
10437,35
10537,63
10637,91
10738,19
10838,47
10938,75
11039,03
11139,31
11239,59
11339,87
11440,15
11540,42
11640,70
11740,98
TEQ (Hz)
219,57
232,67
246,54
261,25
276,83
293,33
310,83
329,36
349,00
369,82
391,87
415,24
440,00
466,24
494,04
523,50
554,72
587,80
622,86
660,00
699,36
741,06
785,26
832,08
881,71
28
ANEXO V
Frecuencias del Temperamento igual estirado con terceras mayores justa (TE3M) calculadas a partir
de los cents extra respecto al Temperamento igual.
El estiramiento es negativo, realmente es un temperamento encogido.
Tabla de datos entre A3 y A5.
Notas
A3
A#3
B3
C4
C#4
D4
D#4
E4
F4
F#4
G4
G#4
A4
A#4
B4
C5
C#5
D5
D#5
E5
F5
F#5
G5
G#5
A5
cents extra
41,06
37,64
34,22
30,79
27,37
23,95
20,53
17,11
13,69
10,26
6,84
3,42
0,00
-3,42
-6,84
-10,26
-13,69
-17,11
-20,53
-23,95
-27,37
-30,79
-34,22
-37,64
-41,06
TE3M (cents)
TE3M (Hz)
9378,69
9475,27
9571,85
9668,43
9765,00
9861,58
9958,16
10054,74
10151,32
10247,90
10344,47
10441,05
10537,63
10634,21
10730,79
10827,37
10923,95
11020,52
11117,10
11213,68
11310,26
11406,84
11503,42
11599,99
11696,57
225,28
238,204598
251,870697
266,320837
281,6
297,755748
314,838371
332,901046
352
372,194685
393,547964
416,126308
440
465,243356
491,934955
520,157885
550
581,554195
614,918694
650,197356
687,5
726,942744
768,648367
812,746695
859,375
29
ANEXO VI
Afinación estándar del temperamento con terceras mayores.
30
ANEXO VII
Afinación con terceras mayores y formando acordes.
31
ANEXO VIII
Batidas a partir del A3 a 220Hz.

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