FUNCIONES CONCEPTO DE FUNCIÓN Función. Una función es

FUNCIONES CONCEPTO DE FUNCIÓN Función. Una función es

TEMA 8: FUNCIONES
CONCEPTO DE FUNCIÓN
Función. Una función es una relación entre dos variables que habitualmente llamamos X e Y, en la que para cada valor
de X se le asocia un único valor de Y.
X es la variable independiente
Y es la variable dependiente
La función se expresa de la forma y = f(x)
Podemos hacer el símil de que una función es como una máquina en la que introducimos un valor de X y nos devuelve
un único valor de y
Llamamos dominio de una función f y se designa por Dom f, al conjunto de valores de X para los que existe la función,
es decir, existe una Y
Llamamos recorrido de la función al conjunto de valores que toma la función. Es decir, valores de Y para los cuales hay
una X, tal que f(x) = y
Las funciones se nos pueden presentar de varias maneras, mediante su gráfica, mediante un enunciado, mediante una
tabla de valores y mediante su expresión analítica o fórmula.
Ejercicios:
1. La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo de estudiantes, reflejando el tiempo (en horas)
y la distancia al instituto (en kilómetros):
a) ¿Cuáles son las dos variables?
b) ¿Es una función? ¿Por qué?
c) Escribe el dominio y el recorrido.
2. Se ha realizado una carrera de 400 metros lisos en la que han participado cuatro corredores. La versión del
comentarista deportivo respecto de cada uno de ellos es:
Corredor 1: Salió muy rápido pero poco a poco fue perdiendo fuerzas para llegar a la meta casi andando
y llegó en terceras posición.
Corredor 2: Mantuvo siempre la misma velocidad hasta los últimos 50 metros. A partir de ahí fue
mucho más rápido.
Corredor 3: Salió rápido pero a los 100 metros tropezó y cayó al suelo. Al cabo de unos segundos se
levantó y continuó pero ya mucho más lento y llegó el último.
Corredor 4: Salió lento pero conforme transcurría la prueba, aumentó la velocidad llegando el primero.
Haz las gráficas espacio - tiempo y velocidad - tiempo de cada uno de los corredores.
3. Un cultivo de bacterias crece según la función y = 1 + 2 x/10 (y: miles de bacterias, x: horas).
a) ¿Cuántas había en el momento inicial?
b) ¿Y al cabo de 10 horas?
c) Calcula cuánto tiempo tardarán en duplicarse.
CÁLCULO ANALÍTICO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
1. Dominio de la función polinómica. El dominio de una función polinómica es
Por ejemplo el dominio de la función y  3x 2  5x  9 es X 
2. Dominio de la función racional. El dominio es
Por ejemplo el dominio de la función y 
menos los valores que anulan al denominador.
2x  5
x  x6
2
3. Dominio de la función radical de índice par. El dominio está formado por todos los valores que hacen que
el radicando sea mayor o igual que cero.
Por ejemplo el dominio de la función y 
x2  x  6
Si la función radical es de índice impar su dominio solo depende de la función radicando
Ejercicios:
4. Calcula el dominio de las siguientes funciones:
a) y 
2x  5
x 2  100
b) y  4 x  3
c) y  7 3x 2  5 x  2
FUNCIONES CONTINUAS. TIPOS DE DISCONTINUIDADES
Intuitivamente una función f es continua si su gráfica no tiene interrupciones ni saltos, ni oscilaciones
indefinidas, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.
Tipos de discontinuidades
Discontinuidad evitable
Discontinuidad de salto finito
Discontinuidad asintótica
CRECIMIENTO Y DEC RECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN
Una función f(x) es creciente en un intervalo (a , b), cuando al aumentar la x la f(x) también aumenta
Una función f(x) es decreciente en un intervalo (a , b), cuando al aumentar la x la f(x) disminuye
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Un máximo relativo es un punto donde la función pasa de ser creciente a decreciente.
Un mínimo relativo es un punto donde la función pasa de ser decreciente a creciente
PERIODICIDAD
Una función es periódica cuando su valor se repite cada vez que la variable independiente recorre un cierto
intervalo. El valor de este intervalo se llama periodo.
f(x+periodo)=f(x)
Ejercicios.
5. Una cisterna se llena y se vacía automáticamente expulsando 6 litros de agua cada 5 minutos. Cuando el
depósito está vacío comienza el llenado, que tarda un minuto, permanece lleno 3,5 minutos y se vacía en
0,5 minutos. Este proceso se repite periódicamente.
a) Dibuja la gráfica de los primeros 18 minutos.
b) ¿Qué volumen de agua tendrá a los 32 minutos?
FUNCIONES LINEALES
Una función lineal es una función polinómica de primer grado cuya expresión general es:
y = mx + n
donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen.
El dominio de esta función son todos los números reales y su recorrido también son todos los números reales.
La pendiente nos indica la inclinación de la recta . Si es positiva diremos que la función es creciente y si es negativa,
decreciente.
Para calcular la pendiente necesitamos dos puntos de la recta y se calcula de la siguiente manera:
Dados los puntos (x1 , y1) y (x2 , y2)
m
y y1  y 2

x x1  x 2
Por ejemplo para calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos (3 , -2) y (-5 , -6)
m
y

x
SI en lugar de los puntos nos dan la gráfica de la recta lo haremos así:
Por ejemplo si queremos calcular la pendiente de la recta siguiente:
La ordenada en el origen es valor de Y cuando la recta corta al eje Y. En la gráfica anterior la ordenada en el origen
es n=
Luego la recta anterior tiene por ecuación: y =
Cálculo de la ecuación de una recta
Para calcular la ecuación de una recta necesitaremos un punto y su pendiente, y para calcularla utilizaremos la
ecuación de la recta punto-pendiente.
Punto :
x0 , y0 
Pendiente : m
 y  y 0  mx  x0 

Ejercicios.
6. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (3 , -5) y tiene pendiente 4
3 ,  5
Punto :
y
Pendiente : m  4 
7. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (0 , 0) y es paralela a la recta y=9 - 3x
8. Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos (6 , 9) y (-4 , -1)
9. Calcular la ecuación de las siguientes rectas:
FUNCIONES A TROZOS
Una función a trozos es una función cuya fórmula cambia según el valor de la variable independiente,
es decir, según el valor de la x.
Por ejemplo:
3x  5 si x  2

f ( x)  5
si  2  x 3
 2 x
si x  3

f(-10)=
f(-2)=
f(0)=
f(3)=
f(12)=
Dibujo de una función a trozos
Vamos a dibujar la función:
 x  5 si x  2

f ( x )   4
si  2  x 3
3  2 x
si x  3

f(5)=
EJERCICIOS
1. Un ciclista decide salir de ruta y durante un tiempo pedalea por un camino hasta que llega a una zona de descanso
en donde se detiene para comer. A continuación, sigue avanzando durante otro rato más, momento en que decide
volver a casa por el mismo camino que había elegido para la ida.
a) ¿Cuáles son las dos variables?
b) Explica por qué es una función.
c) ¿Cuáles son el dominio y el recorrido?
2. Indica si la siguiente gráfica representa una función. Razona tu respuesta.
3. María y Jorge son dos personas normales. En la gráfica puedes observar cómo ha crecido su peso en los primeros 20
años.
a) ¿Cuánto pesaba Jorge a los 8 años?, ¿y María a los 12?. ¿Cuándo
superó Jorge los 45 kg?.
b) ¿A qué edad pesaban los dos igual? ¿Cuándo pesaba Jorge
más que María?, ¿y María más que Jorge?
c) ¿Cuál fue el promedio en kg/año de aumento de peso de
ambos entre los 11 y los 15 años?. ¿En qué periodo creció
cada uno más rápidamente?
Sol: a) J. 25 kg, M. 35 kg ; a los 14 años
b) A los 11 (30 kg) y a los 15 (55 kg) J más que M: hasta los
11 y desde los 15; M más que J: de los 11 a 15
c) 25kg; 6,25 kg/año; M entre los 11 y 12 (10 kg/año); J entre
los 12-14 (10 kg/año)
4. El gráfico da el recorrido de dos coches que van por el mismo trayecto.
a) ¿Cuál es la distancia recorrida?. ¿Si el primer coche salió a las
10:00, a qué hora salió el 2º?. ¿Cuánto le costó a cada uno hacer el
recorrido?
b) ¿Cuánto tiempo y dónde estuvo parado cada coche?. ¿En qué km
adelantó el 2º al 1º?, ¿y el 1º al 2º?.
c) ¿Qué velocidad media llevaron en el trayecto total?, ¿en qué tramo la
velocidad de cada coche fue mayor?.
Sol: a) 80 km; a las 10:15; 75 y 70 min
b) 10 min en km 20, 20 min en km 30; en el km 20 y en 30
respectivamente.
c) 64 km/h y 68,6 km/h; 1º: min 60-75 2º: min 15-30 y
min 70-85
5. El gráfico muestra cómo varía la gasolina que hay en mi coche durante un viaje de 520 km por una autovía.
a) ¿Cuánta gasolina había al cabo de240 km?. En el depósito caben
40 litros, ¿cuándo estaba lleno más de medio depósito?.
b) ¿En cuántas gasolineras paré?, ¿en qué gasolinera eché más
gasolina?. Si no hubiera parado, ¿dónde me habría quedado sin
gasolina?
c) ¿Cuánta gasolina usé en los primeros200 km?. ¿Cuánta en todo el
viaje? ¿Cuánta gasolina gasta el coche cada 100 km en esta autovía?.
Sol: a) 27,5 litros; entre los km 200 y 360 y del 440 hasta el 520.
b) En dos, una en el km 200 y otra en el 440;eché más en la 1ª;
a los 280 km
c) 12,5 l; 32,5 l; 6,25 l/100 km
6. Esta gráfica muestra la evolución de la audiencia de radio en España en un día promedio del año 1993. El porcentaje
se refiere a toda la población española de 14 años o más.
a) ¿Entre qué horas se realiza la medida?
b) ¿En qué horas del día aumenta el porcentaje de personas que escuchan la radio?¿Cuándo disminuye?
c) ¿En qué momento de la mañana es máximo el porcentaje de oyentes?
d) ¿Cuál es el máximo de la tarde?¿Y de la noche?
e)¿Cuál es el porcentaje de oyentes a las 8 de la mañana?¿Y a las 9 de la noche?
7. La siguiente tabla muestra los datos recogidos respecto a la longitud del feto durante el embarazo según las
semanas de gestación:
x
y
5
1
10
7
15
15
20
25
25
35
30
42
35
48
40
52
a) Usando la tabla de valores, representa gráficamente la función.
b) Señala cuál es la variable independiente y cuál la dependiente y en qué se
mide cada una.
c) Durante las primeras dos o tres semanas de gestación el feto es casi
microscópico. ¿Cuánto medirá cuando la gestación sea de 12 semanas y
media.
d) ¿Cuál es la longitud que suele tener un niño al nacer?
8. Un remonte de una pista de montaña funciona de 9 de la mañana a 4 de la tarde y su recorrido es el siguiente:
Desde la salida hasta la pista, que está a 1200 m, tarda 15 minutos. Se para en la pista 15 min. Baja hasta la base
en 10 minutos. Está parado 20 min, y empieza de nuevo el recorrido.
a) Dibuja la gráfica que representa el recorrido del remonte.
b) ¿Cuál es la posición del remonte a las 12 h 30 min?¿Y a las 12 h 20 min?
c) ¿Observas alguna característica especial en la gráfica?. Coméntala.
9. Observa en esta gráfica que el número de viajeros en una línea de autobuses ha ido en aumento entre las 6y las 8 de
la mañana.
a) ¿El crecimiento de la función es igual entre las 6 y las 7 que
entre las 7 y las 8?
b) Indica los tramos en los que la función es decreciente y los
tramos en los que es creciente.
c) ¿En qué tramo no hay variación en el número de
viajeros?¿Cómo
dirías que es la función en ese tramo?
d) ¿En qué momento hubo un número máximo de viajeros?
10. La siguiente gráfica nos muestra el nivel de ruido que se produce en un cruce de grandes avenidas de una ciudad:
a) ¿Cuándo crece el nivel de ruido?¿Cuándo decrece?
b) Indica los instantes de tiempo en los cuales la intensidad del ruido es máxima o mínima
11. Haz una gráfica en la que se vea representado el recorrido de Alberto desde su casa hasta el colegio, en función del
tiempo: de csas salió a las 8:30 h y fue derecho hasta casa de su amigo Íker. Lo esperó un rato sentado en un banco y
luego se fueron juntos, muy despacio hacia el colegio. Cuando estaban llegando al colegio, Alberto se dio cuente de
que se había dejado la mochila en el banco. Volvió corriendo, la cogió y llegó al colegio a las 9 en punto.
12. Una de las siguientes gráficas es una función. Indica razonadamente cuál es e indica su dominio y su recorrido.
13. Observando la gráfica del ejercicio nº 1 contesta:
a) ¿Cuánto tarda en hacer el recorrido?
b) ¿A qué distancia de la salida está la zona de descanso?
c) ¿Qué velocidad lleva hasta llegar a la zona de descanso?
d) ¿Cuánto tarda en volver a casa? ¿A qué velocidad media lo hace?
14. Esta es la gráfica de la evolución de la temperatura de un enfermo:
a) ¿Cuánto tiempo estuvo en observación?
b) ¿ En qué día la temperatura alcanza un máximo?
c) ¿En qué intervalos de tiempo crece la temperatura y en
cuáles decreciente?
d) ¿Qué tendencia tiene la temperatura?
15. Hemos sacado un vaso de agua de la nevera y lo hemos dejado sobre la mesa de la cocina. Esta gráfica muestra la
temperatura del agua en grados centígrados al pasar el tiempo.
a) ¿A qué temperatura está el interior de la nevera?
b) ¿A qué temperatura está la habitación?
c) Imagina que en ese mismo momento sacamos del microondas un vaso con
agua a 98ºC y lo dejamos sobre la mesa. Dibuja una gráfica aproximada que
muestre la temperatura del agua en este segundo vaso al pasar el tiempo.
16. Un nadador se deja caer desde un trampolín. Su entrenador ha medido el espacio que recorre cada 4 décimas de
segundo mediante un método fotográfico. Obtiene la siguiente tabla:
TIEMPO (S) 0 0,4
0,8
1,2
1,6
2
2,4
ESPACIO (M) 0 0,78 3,13 7,05 12,5 12,58 16,6
El nadador se ha detenido a los 17 metros.
a) Representa la gráfica espacio-tiempo.
b) ¿Sabrías decir en qué momento entró en el agua?
c) ¿Qué velocidad estimas que llevaba en el momento de entrar en el agua?
d) ¿Qué altura tiene el trampolín?
Sol: b) A los 1,6 segundos de haber saltado c) 7,81 m/s d) 12 m
17. Representa la función y  x 3  3x  2 definida en  2 , 3. Para ello completa esta tabla:
X
y
-2
-1
0
1
2
3
18. En las instrucciones de un medicamento, que hay que administrar a un diabético, se establece que la dosis del
mismo, expresada en mg, está en función del peso del paciente según la gráfica:
Observa que a una persona de 50 Kg le corresponde una dosis de 20 mg. Diremos que 20 es la imagen de 50 o
que 50 es un original de 20 y escribiremos 50 Kg → 20 mg.
a) ¿Cuál es la imagen de 75?, es decir, ¿qué dosis hay que suministrar a una persona de 75Kg?
b) ¿Se puede administrar a bebés?¿Y a personas obesas?.
c) ¿Qué peso tenía una persona a la que suministraron 40 mg?
d) ¿Para qué peso la dosis es máxima?
19. Cuando una persona sana toma 50 g de glucosa en ayunas, su glucemia (% de glucosa en la sangre) se eleva, en
una hora aproximadamente, desde 90 mg/dl, que es el nivel normal, hasta 120 mg/dl. Luego, en las tres horas
siguientes, disminuye hasta valores algo por debajo del nivel normal, y vuelve a la normalidad al cabo de 5 horas.
a) Representa la curva de glucemia de una persona sana.
b) Di cuál es su máximo, su mínimo y explica su tendencia.
20. Observa la gráfica del ejercicio nº 10 y contesta:
a) ¿Es una función continua? ¿Por qué?
b) ¿En qué intervalos es creciente y en cuáles decreciente?
b) Indica cuáles son sus máximos y mínimos relativos.
21. La intensidad del sonido de un foco sonoro es menor a medida que nos alejamos de él.
a) Representa la intensidad del sonido en función de la distancia al foco sonoro.
b) ¿Cuál es la tendencia?
22. ¿Es periódica esta función?¿Cuál es su periodo?
Averigua los valores de la función en los puntos de abcisas x= 1, x= 3, x=20, x=23 y x=42.
Sol: f(1)=2 f(3)=2,5 f(20)=1 f(23)=2,5 f(42)=2,5.
23. Indica el periodo de la siguiente función periódica y calcula f(2), f(6), f(35) y f(250).
24. Averigua si los puntos a(0 , 3), B(1 , 5) y C(-1, 1) pertenecen a la gráfica de la función y  3x 2  x  3
Sol: Los puntos A y B si, el punto C no.
25. En cada una de las siguientes funciones di:
a) En qué intervalos es creciente y en cuáles decreciente. b) Cuáles son sus máximos y mínimos relativos.
26. Observa la gráfica de esta función y responde:
a) ¿Cuáles son su dominio de definición y su recorrido?
b) Escribe los máximos y mínimos si es que los tiene.
c) ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes?
d) ¿En qué intervalos la función es creciente y en cuáles decreciente?
27. Halla las pendientes de cada una de las rectas dibujadas:
Sol: f(x): 1 , g(x): ½,
h(x): 3
28. Halla gráficamente la pendiente de las rectas que pasan por los siguientes puntos:
a) (2 , 4) y (-1 , -2) b) (-3 , 5) y (3 , -1) c) (-3 , 5) y (2 , 1) d) (3 , 2) y (5 , 2)
Sol: a) 2 b) -1 c) -4/5 d) 0
Halla numéricamente las pendientes de las rectas del ejercicio anterior. Sol: a) 2 b) -1 c) -4/5 d) 0
29. Di cuál es la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas:
4
4x  5
3  2x
a ) y  x  4 b) y   x c ) y 
d) y 
5
2
4
g ) 3 x  y  4  0 h) 5 x  7 y  2
e) y 
7
3
f ) 3x  y  4
Sol: a) m=1 n=-4 b) m=-4/5 n=0 c) m=2 n= -5/2 d) m=-1/2 n=3/4 e) m=0 n=7/3 f) m=-3 n=4
g) m=3 n=4 h) m=5/7 n=-2/7.
30. Un móvil, en el instante inicial, se encuentra situado a 3 m del origen y se aleja progresivamente de este con una
velocidad de 2 m/s. Halla la ecuación de su posición en función del tiempo y represéntala.
Sol: y=3+2x, con x el tiempo en segundos e y la distancia al origen en metros.
31. Representa las siguientes rectas:
a) y 
4
 3x  10
x b) y  2 x  3 c ) y 
7
5
d ) y  4
32. Un móvil, que en el instante inicial llevaba una velocidad de 8 m/s, frena de repente con una aceleración de -1 m/s2.
Escribe la ecuación de la velocidad en función del tiempo y represéntala.
Sol: Y08-x, con x el tiempo en segundos e y la velocidad en m/s.
33. Un fontanero cobra 18 € por el desplazamiento y 15 € por cada hora de trabajo.
a) Haz una tabla de valores de la función tiempo-coste y represéntala gráficamente.
b) Si ha cobrado por una reparación 70,50 €, ¿cuánto tiempo ha invertido en la reparación?
Sol: b) 3 h 30 min.
34. Mientras ascendíamos por una montaña, medimos la temperatura y obtuvimos los datos de esta tabla :
ALTURA (m)
0 360 720 990
TEMPERATURA (ºC) 10
8
6
4,5
a) Representa los puntos en una gráfica.
b) Suponiendo que sigue la misma pauta, halla la expresión analítica de la función altura-temperatura.
c) ¿A partir de qué altura la temperatura es menor que 0 ºC?
Sol: b) y = 10-x/180 c) A partir de 1 800 m.
35. Un móvil, en el instante inicial, está a 2 m del origen y se aleja de este a una velocidad constante de 3 m/s.
a) ¿Cuál es la ecuación que nos da su posición en función del tiempo?
b) ¿A qué distancia del origen está el móvil al minuto de empezar a contar? ¿Cuánto recorre en ese tiempo?
c) Representa la función. Sol: Y = 3x + 2 b) Tras 1 minuto está a 182 m del origen y ha recorrido 180 m.
36. En una tienda rebajan el 40% en todas las compras que se hagan. Esta es la gráfica de la función que muestra la
relación entre el precio marcado, x, y el que pagamos, y:
a) ¿Cuál es la ecuación de esta recta?
b) Si la rebaja fuese de un 50%, ¿cómo sería la gráfica? ¿Cuál sería su
ecuación?
Sol: a) y = 3/5 x ó y = 0,6x b) y= 0,5x
37. Halla la ecuación de cada una de las siguientes rectas:
a) Pasa por (-3,-5) y tiene una pendiente de 4/9. b) Pasa por el punto (0 ,-3) y tiene una pendiente de 4.
c) Pasa por el punto (4 , 6) y tiene como pendiente 0. d) Pasa por los puntos (3 ,-5) y (-4, 7).
Sol: a) y = 4/9 x-11/3 b) y = 4x – 3 c) y = 6 d) y = -12/7 x + 1/7.
38. Halla la ecuación de las rectas que cumplen las siguientes condiciones y dibújalas:
a) Pasa por (5 , 3) y tiene una pendiente de 3/5. b) Pasa por el punto (5 , 3) y tiene una pendiente de -1/2
c) Pasa por (-4 , 6) y tiene una pendiente de -2/3 d) Pasa por el punto (5 , 6) y tiene la misma pendiente que la
recta 2x + y = 0
Sol: a) y = 3/5 x b) y = -1/2 x + 11/2 c) y = -2/3 x + 10/3 d) y = -2x + 16
39. Halla la ecuación de las rectas que pasan por los puntos que se indican y represéntalas:
a) (2 , 3) y (7 , 0) b) (-2 , 5) y por el origen de coordenadas c) (-3 , 2) y (3 , 2) d) (0 , 4) y (4 , 0)
Sol: a) y = -3/5 x+ 21/5 b) y = 5/2 x c) y = 2 d) y = -x+4
40. Asocia a cada recta su ecuación. Di, en cada caso, cuál es su pendiente.
a) y + 2 = 0 b) 3x – y = 3 c) y = 2 – x d) 2x – 3y = 12
Sol: a) t , m = 0 b) r , m = 3n c) u , m =-1 d) s , m = 2/3
41. Halla la ecuación de las rectas r1, r2, r3, y r4 utilizando la fórmula punto-pendiente.
Sol: r1 : y = 2/3 x + 4/3 r2 : y = -1/3 x + 16/3 r3 : y = 2 r4 : y =-1/3
x
42. Escribe la ecuación que corresponde a las siguientes gráficas:
Sol:
43. Representa las siguientes funciones:
si x  3
2 x  5
a) y  
 x  1 si x 3
 3 si x  0

c) y   x  3 si 0  x5
2
si x  5

2 x  5
b) y  
x  2
 x si

d ) y   1 si
3x  1

si x 3
si x  3
x 1
 1  x 3
si 3  x  5
44. Dada la siguiente gráfica, calcula:
a) f(0) =
b) f(-2) =
c) f(-3) =
d) f(5) =
e) f(9) =
f) Dominio y recorrido.
45. ¿A cuál de las siguientes funciones corresponde la gráfica dibujada en el ejercicio anterior?
2 x  5

a) y   x  5
2 x

si  3  x  1
si 0  x 3
si 3  x  8
2 x  5 si  3 x  x  0

b) y  5  x si 0  x 3
2
si 3  x  8

si  3  x  0
si 0  x 3
si 3  x 8
46. Halla el valor que ha de tener a para que el punto A(a , 7) esté sobre la recta que pasa por los puntos
2

c ) y   1
0

( 0 , 1) y (-1,-1). Sol: a = 3.
47. Halla la expresión analítica de la siguiente función:
Sol:
48. En las llamadas telefónicas interurbanas, el tiempo que dura un paso del contador depende de la hora de la llamada:
De 8 h a 14 h ……………………………………12 segundos
De 14 h a 20 h………………………………….18 segundos
De 20 h a 8 h del día siguiente….24 segundos
a) Representa gráficamente la función que da la duración del paso del contador según la hora de la llamada para
un día completo.
b) Busca la expresión analítica de esa función.
24
12

Sol: y  
18
24
0  x8
8  x14
14  x 20
20  x 24
49. El médico ha puesto a Ricardo un régimen de adelgazamiento y ha hecho esta gráfica para explicarle lo que espera
conseguir en las doce semanas que dure la dieta.
a) ¿Cuál era su peso al comenzar el régimen?
b) ¿Cuánto tiene que adelgazar por semana en la primera etapa del
régimen? ¿Y
entre la sexta y la octava semanas?
c) Halla la expresión analítica de la función.
Sol: a) 80 kg b) 10/6 kg c)
AUTOEVALUACIÓN
1. Un ciclista hace una excursión a un lugar que dista 30 km de su casa. Al cabo de una hora, cuando ha recorrido 15
km, hace una parada de media hora. Reanuda la marcha con la misma velocidad hasta llegar a su destino, donde
descansa otra media hora, y regresa al punto de partida sin hacer ninguna parada. Representa la gráfica tiempo-
distancia al punto de partida.
2. Observa la gráfica y halla:
a) Dominio y recorrido. b) Máximos y mínimos.
c) Dónde crece y dónde decrece d) Dónde es continua y los puntos de discontinuidad.
Sol: a) Dom =
; Recorrido =
b) Máximos en (-2 , 2) y (5 , 2); mínimos en (-4 , 0) y (1 ,-4)
c) Crece en
d) Es continua en
y decrece en
. Es discontinua en x = 3
3. Representa la función y   x 3  9 x 2  15x  26 , definida en 0 , 6
4. En la puerta de un colegio hay un puesto de golosinas. En esta gráfica se ve la cantidad de dinero que hay en la caja
a lo largo de un día.
a) ¿A qué hora empiezan las clases de la mañana?
b) ¿A qué hora es el recreo?¿cuánto dura?
c) El puesto se cierra al mediodía, y el dueño se lleva el dinero a casa.
¿Cuáles fueron
los ingresos esta mañana?
d) ¿Cuál es el horario de tarde en este colegio?
e) ¿Esta es una función continua o discontinua?
Sol: a) A las 8:30 b) A las 11:00 y dura 30 min. c) 18 € d) De 15:00 a 18:00 e) Es discontinua.
5. Escribe la ecuación de cada una de estas rectas:
a) Pasa por el punto (1 ,-2) y tiene por pendiente 3/2.
b) Pasa por los puntos (-2,-5) y (1 , 1).
Sol: a) y = 3/2 x-7/2 b) y= 2x – 1.
2 x  6 si x2
x

6. Representa la función: f ( x)    3
si  2  x 2
2
 x  6 si x  2
7. Halla la expresión analítica de la siguiente función:
Sol:
8. Estas son las tarifas de dos compañías telefónicas:
COMPAÑÍA A: 0,30 € por establecimiento de
llamada
0,20 €/min
COMPAÑÍA B: 0,22€/min
a) ¿Cuánto cuesta una llamada de 5 minutos en cada compañía? ¿Y de 15 minutos? ¿Y de 20 minutos?
b) Haz, para cada una de las dos compañías, la gráfica de la función que nos da el precio da la llamada
dependiendo del tiempo que dure.
Sol: a) Compañía A: ( y = 0,20x + 0,30)
1,30 € 3,30 € 4,30 €
Compañía B: ( y = 0,22x)
1,10 € 3,30 € 4,40 €