Números y fracción generatriz

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Números y fracción generatriz
NÚMEROS
1.
matemáticas
NÚMEROS NATURALES

POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL
Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo:
34 = 3 · 3 · 3 · 3
El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite es el
exponente. En el ejemplo anterior, la base es 3, y el exponente, 4.
Para hallar el valor de una potencia, se multiplica la base por sí misma tantas
veces como indica el exponente.

ALGUNOS CASOS CONCRETOS:
Una potencia de base 1 vale siempre 1, cualquiera que sea el exponente.
Una potencia de base 10 es igual a un 1 seguido de tantos ceros como indica el
exponente.
Una potencia de base 0 vale siempre 0, para cualquier exponente.
Una potencia de exponente 0 vale SIEMPRE 1 para CUALQUIER base.
Una potencia de base negativa tiene valor positivo menos que 1:

OPERACIONES CON POTENCIAS:
Para multiplicar potencias de la misma base, se deja la
misma base y se suman los exponentes.
Para dividir potencias de la misma base, se deja la
misma base y se restan los exponentes.
Para multiplicar potencias del mismo exponente, se deja
el mismo exponente y se multiplican las bases.
Para dividir potencias del mismo exponente, se deja el
mismo exponente y se dividen las bases.
La potencia de una potencia es otra potencia con la
misma base, y el exponente es el producto de los exponentes.
La RAIZ CUADRADA es la operación inversa de elevar al cuadrado: conocemos el
cuadrado (radicando) y tenemos que hallar el número (raíz), que elevado al
cuadrado nos dé el radicando:
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NÚMEROS
2.
matemáticas
NÚMEROS ENTEROS (MCD & mcm)
El conjunto de los números enteros está formado por los
números naturales precedidos del signo más (+) (que son
Regla de los
los propios números naturales), y los números naturales
precedidos del signo menos (–) que son los números enteros
negativos; y por el número 0.
El valor absoluto de un número entero es el número
signos
(+) · (+) = (+)
(-) · (-) = (-)
natural que resulta al quitar el signo al número. Se indica
(+) · (-) = (-)
poniendo el número (positivo) entre barras.
(-) · (+) = (-)
El opuesto de un número entero es el número que resulta
al cambiar su signo.
Reglas:
La suma de dos números enteros del mismo signo es otro número entero del
mismo signo cuyo valor absoluto es la suma de los valores absolutos.
Para sumar dos números enteros de distinto signo se restan sus valores
absolutos y se pone el signo del de mayor valor absoluto.
Para restar dos números enteros sumamos al minuendo el opuesto del
sustraendo: − =
+ (− ).
Para multiplicar dos números enteros se hace el producto de sus valores
absolutos y se pone el signo que se obtiene de la regla de los signos.
Para dividir dos números enteros se halla el cociente de sus valores absolutos y
se aplica también la regla de los signos.
Operaciones combinadas:
a)
Primero se multiplica y divide; luego, se suma y se resta, de izquierda a
derecha.
b)
Cuando aparezcan paréntesis en una expresión, la primera operación a
realizar son los cálculos dentro del paréntesis, y si hay varios paréntesis y / o
corchetes, del más interior al más exterior. Después se sigue la regla a).

MÚLTIPLOS Y DIVISORES:
Los múltiplos de un número se obtienen al multiplicar dicho número por los
números naturales. Lógicamente, un número tiene INFINITOS múltiplos.
Un número s es divisor de otro b cuando al dividir b entre a la división es exacta,
es decir, el resto es 0.
Un número es primo si sólo tiene dos divisores: el 1 y el propio número.
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NÚMEROS
matemáticas
Un número es compuesto si no es primo, es decir, tiene más de dos divisores (si
es divisible por otro número además de 1 y de él mismo).
El número 1 no es primo ni compuesto.
Todos los números compuestos pueden expresarse como producto de números
primos o potencias de números primos.

DIVISIBILIDAD:
Un número es divisible por 2 cuando acaba en 0 ó en cifra par.
Un número es divisible por 3 cuando la suma de todas sus cifras es 3 ó un
múltiplo de 3.
Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras son ceros o un
múltiplo de 4.
Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 ó en 5.
Un número es divisible por 9 cuando la suma de todas sus cifras es 9 ó un
múltiplo de 9.
Un número es divisible por 10 cuando acaba en 0.
Un número es divisible por 6, por ejemplo, cuando es divisible A LA VEZ por 2 y
por 3 (porque 6=2x3).
Y lo es por 21 cuando es divisible a la vez por 3 y por 7; y así todos…
Un número es primo cuando sólo es divisible por sí mismo y por 1.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR & MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Para hallar el MCD de 2 ó más números, los descomponemos cada uno de ellos
en números primos. El MCD será el producto de los factores comunes al menos
exponente; si no hay ninguno, el MCD es 1.
Para hallar el mcm de dos ó más números, los descomponemos en factores
primos; el mcm será el producto de los factores comunes y no comunes (1 vez
cada uno) al mayor exponente.
El producto del MCD por el mcm de DOS números es igual al producto de los
números: MCD (a,b) · mcm (a,b) = a · b
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NÚMEROS
3.
matemáticas
NÚMEROS RACIONALES – fracciones
Los números racionales engloban a los números enteros y a los fraccionarios
positivos y negativos.
Reglas:
1.
Para sumar o restar fracciones del mismo denominador, se suman o se
restan los numeradores y se deja el mismo numerador.
2.
Para sumar o restar fracciones de distinto numerador:
Se reducen a común denominador (que es el mcm de los denominadores).
Se suman o se restan los numeradores de las fracciones obtenidas.
3.
Para multiplicar un número entero por una fracción, se multiplica el número
por el numerador de la fracción.
4.
Para multiplicar dos o más fracciones, se multiplican los numeradores por
los numeradores, y los denominadores por los denominadores.
5.
Para dividir fracciones, o en operaciones combinadas de multiplicación y
división de fracciones, se convierten las divisiones en multiplicando, cambiando las
fracciones que son divisores por su inverso. Para calcular la inversa de una fracción
se intercambian el numerador y el denominador. El producto de dos fracciones
inversas es 1.
6.
Para elevar una fracción a una potencia, se elevan el numerador y el
denominador a dicha potencia.
Dos (o más) fracciones son equivalentes cuando al dividir cada numerador entre
cada denominador, obtenemos el mismo número; o cuando las multiplicamos en
cruz, da una fracción cuya valor es 1; es decir, el producto de extremos es igual al
producto de medios.
Expresión decimal de una fracción & Expresión fraccionaria de un número
decimal (cálculo de la función generatriz).
7.
NÚMEROS IRRACIONALES
Son aquéllos cuya expresión decimal contiene infinitas cifras decimales no
periódicas; por ejemplo: e, π,
8.
…
NÚMEROS REALES
Los racionales más los irracionales
4
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NÚMEROS
9.
matemáticas
NÚMEROS COMPLEJOS
Son las expresiones radicales de números negativos. Un número complejo está
formado por una parte real y una imaginaria. En el siglo XVIII Euler definió la
unidad de los números imaginarios como un número tal que
. Es decir, i se
define como la raíz cuadrada de -1.
Según ello, la notación general de un número complejo es (a + bi), siendo a su
parte real y b su parte imaginaria. Esta notación se conoce como forma binómica
del número.
Es decir, un número complejo es la suma de un número real y uno imaginario.
Un número imaginario es el producto de un número real y el operador
imaginario i.
Al tratarse de un par de elementos (a,b), todo número complejo es susceptible
de representarse en un eje de coordenadas cartesianas, donde a sería la abcisa y b
la ordenada. Esta manera de representación se denomina forma cartesiana.
Una tercera representación de los números complejos es la polar. Considerando
la representación cartesiana de un número como un vector, éste podría quedar
completamente definido mediante dos cantidades:
Su módulo m, equivalente a: 2+ 2
Su argumento, que es el ángulo φ tal que:
5
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CÁLCULO DE LA FRACCIÓN GENERATRIZ
MAT-2
Un número racional es aquél que se puede expresar con una fracción.
Es decir, los decimales finitos (que NO tienen infinitos decimales) y los decimales periódicos
(puros y mixtos).
Entonces, fracción generatriz es aquélla de la que procede una expresión decimal.
Si, en la fracción generatriz, dividiésemos numerador entre denominador, nos ha de
dar ese número.
1. La fracción generatriz de un número decimal finito se calcula multiplicando la
expresión por
10 100 1000
,
,
10 100 1000
… seguido del número de cifras decimales que tenga; y
después, por supuesto, simplificando si se puede; por ejemplo:

1,35 =

0,4 =
1,35·100
100
0,4·10
10
=
=
4
10
135
100
=
2
5
=
27
20
 entonces: 27: 20 = 1,35
 entonces: 4: 10 = 2: 5 = 0,4
2. La fracción generatriz de un número periódico la podemos calcular de dos formas:

Aplicando una fórmula, que hay que aprenderse de memoria.

Razonándolo, que evita el problema de olvidar la fórmula en un momento dado.
La fórmula es:
 Decimal periódico puro
 en el numerador se escribe la parte entera
seguida de del período, menos la parte entera; en el denominador, se colocan
tantos 9 como cifras tiene el período.
 Decimal periódico mixto  en el numerador se escribe la parte entera
seguida del ante-periodo (las cifras detrás de la coma y antes del período) y
del período, menos la parte entera, seguida del ante-período; en el
denominador se escriben tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de
tantos 0 como cifras tiene el ante-período.
Si no se quiere aprender esta fórmula tan enrevesada, lo mejor es razonar cómo se hace el
cálculo, que es muy sencillo. Lo vamos a hacer con unos ejemplos:
 PERIÓDICO PURO
Tomemos, por ejemplo,
̂ = 1,313131 …. A este número le llamamos x;
1, 31
¿Cuántas cifras tiene el período en este caso? 2 cifras. Entonces calculamos 100x, es decir,
10 elevado a 2, el número de cifras del período; y restamos 100x – x
̂ = 100 · 1,313131 … = 131, 31
̂
100 = 100 · 1, 31
Y le restamos x
̂
100 = 131, 31
̂
1, 31
̂ − 1, 31
̂ ; 99 = 130;  = 130
100 −  = 131, 31
99
Y esta es la fracción generatriz.
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=
MAT-2
CÁLCULO DE LA FRACCIÓN GENERATRIZ
Hagamos otro ejemplo, como
0, 4̂ = 0,44444444 … .. al que llamamos x;
Como el período sólo tiene un decimal, multiplicamos a este número, x, por 10 
10 = 4, 4̂
̂
 = 0, 4
9 = 4; 
los restamos:
4
=
Si dividimos 4 entre 9 nos tiene que dar 0,444444444 … ….
9
 PERIÓDICO MIXTO
El proceso es muy similar al caso del periódico puro. Hagamos algún ejemplo:
̂ = 3,121111111111 …
Hallemos la fracción generatriz de 3,121
A este número le llamamos x, y le vamos a multiplicar por mil, porque hay tres cifras desde
la coma hasta al final de todo el número. Y además, vamos a multiplicarle por cien, porque
hay dos cifras en el ante-período, es decir, entre la coma y el inicio del período. Así tenemos:
1000 = 3121, 1̂
100 = 312, 1̂ Y los restamos, como también hacíamos en el caso del periódico puro:
900 = 2809;
=
2809
900
; si dividimos 2809 entre 900 nos da 3,12111111111111….
Hagamos un ejemplo más de un decimal periódico mixto:
̂ = 12,7214214214214 ….
Hallemos las fracción generatriz de 12,7214
Llamamos x a este número; le multiplicamos por 10 mil (porque hay cuatro cifras desde la
coma hasta el final), y también por diez, porque sólo hay una cifra entre la como y el inicio
del período (es decir, en el ante-período):
̂
10000 = 127214, 214
̂
10 = 127, 214
9990 = 127087;
y los restamos:
=
127087
9990
Como siempre, si restamos 127087 entre 9900 nos da 12,72142142142142…
Si nos fijamos, el proceso es siempre el mismo: Al restar, que se nos vayan las períodos. Y
simplificar SIEMPRE que se pueda al final. Y eso es todo.
He aquí algún ejemplo más para practicar, con la solución para practicar si está bien, aunque
para comprobar si una fracción generatriz está bien calculada, basta con dividir numerador entre
denominador a ver si nos sale el número original.
De cualquier manera, he aquí los ejercicios para practicar:
SOLUCIÓN
2,564̂ = 2,56444444 …


 
=


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̂ = 2,343434 …
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