Teorema de König

Teorema de König
Héctor Olvera Vital
30 de abril de 2013
Teorema (König (sin AE))
que para toda
i ∈ I ki < λi ,
Si
P
i∈I
{ki : Q
i ∈ I}, {λi : i ∈ I} son dos
κi y i∈I λi existen, entonces
X
κi <
Y
i∈I
familias de cardinales tales
λi
i∈I
Demostración
Basta ver que
[
κi × {i} ≺
i∈I
×
λi × {i},
i∈I
para esto veamos primero la relación . Denamos f :
×i∈I λi × {i} mediante que para cada l ∈ I
(
f (a, i)(l) =
S
κi × {i} →
×λi × {i}, con f (a, i) ∈
(kl , l) si l 6= i,
(a, i) si l = i.
Veamos que f es inyectiva. Sea (a, i) 6= (b, j) ∈
S
κi × {i}, entonces a 6= b o i 6= j .
Si i 6= j tenemos que f (a, i)(i) = (a, i) y f (b, j)(i) = (κi , i). Pero κi ∈
/ κi y a ∈ κi por lo
que f (a, i) 6= f (b, j).
Si i = j y a 6= b, entonces f (a, i)(i) = a 6= b = f (b, j)(i). Por lo tanto f (a, i) 6= f (b, j).
Ahora
S veamos que ninguna función inyectiva de κi × {i} a ×λi × {i} es sobre.
Sea g : κi × {i} → ×λi × {i}. Para cada i ∈ I denimos ci = {g(a, i)(i) : (a, i) ∈ κi × {i}} ⊆
λi × {i}. Como g es inyectiva, κi × {i} ∼ ci . Entonces |ci | = κi < λi . Como |ci | < |λi × {i}|,
λi × {i} \ ci 6= ∅. Para cada i ∈ I denimos di = (mı́n{a : (a, i) ∈ λi × {i} \ ci }, i). Sea
f ∈ ×λi × {i}, denida por f (i) = di . De la denición es claro que f (i) S
∈
/ ci y, por tanto, para
toda i ∈ I , (a, i) ∈ κi × {i}, f (i) 6= g(a, i)(i). Entonces para toda (a, i) ∈ κi × {i}, f 6= g(a, i).
Por lo que g no es sobre.
S
a
1