4 de febrero de 2015. - Universidad de Puerto Rico, Recinto de Río

4 de febrero de 2015. - Universidad de Puerto Rico, Recinto de Río

Universidad de Puerto Rico, Rı́o Piedras
Facultad de Ciencias Naturales
Departamento de Matemáticas
San Juan, Puerto Rico
MATE 4081: Álgebra Abstracta
Asignación 1.
Instrucciones: Trabaje todos los ejercicios. Fecha del quiz: 4 de febrero de 2015.
1. Determine si cada uno de los siguientes conjuntos G con la operación indicada
forman un grupo. Si no lo forma, entonces indique cual de los axiomas de grupo
no se satisface:
(a) G = Z con a ∗ b = a − b.
Respuesta: No. Falla la asociatividad. Por ejemplo,
2 ∗ (4 ∗ 6) = 2 − (4 − 6)
= 2 − (−2)
= 4,
mientras
(2 ∗ 4) ∗ 6 = (2 − 4) − 6
= −2 − 6
= −8.
Muerto el Pollo.
(b) G = Z con a ∗ b = a + b + ab.
Respuesta: No. Falla en la existencia de inverso. Primero, el lector puede
verificar que 0 es la identidad para esta operación. Ahora, suponga que b
es el inverso de 1 bajo esta operación. Entonces,
0 = 1∗b
= 1+b+1·b
= 1 + 2b.
Ésto implica que b = 1/2, pero lamentablemente 1/2 no es entero. Muerto
el Pollo.
(c) G = N ∪ {0} con a ∗ b = a + b.
Respuesta: La respuesta es no. Falta inverso.
1
(d) G = Q \ {−1} con a ∗ b = a + b + ab.
Respuesta: Sı́, pero me da flojera escribirlo. Si tiene duda, pase por mi
oficina y con mucho gusto se lo explico.
(e) G = {a/b : a, b ∈ Z, (a, b) = 1 & 5|b} con a ∗ b = a + b.
Respuesta: No. Por ejemplo, 1/5 y 4/5 están en G, pero 1/5 + 4/5 = 1/1
y 1 6∈ G. Por lo tanto, no tenemos clausura. Muerto el Pollo.
(f) G un conjunto con más de un elemento y a ∗ b = a para todo a, b ∈ G.
Respuesta: No. Suponga que lo contrario. Como G es un grupo con
al menos dos elementos, entonces que e, a ∈ G son diferentes y e es la
identidad. Observe que, por hipótesis, a ∗ e = a y e ∗ a = e. Pero, e es
la identidad, por lo tanto, a = e ∗ a = e. O sea, a = e. Contradicción.
Concluimos que G no es un grupo. Muerto el Pollo.
2. Suponga que G es un grupo en el cual a2 = e para todo a ∈ G. Demuestre que
G es abeliano.
Demostración: Suponga que a, b ∈ G. Entonces, ab ∈ G, pues G es un grupo.
También, a2 = b2 = e. O sea, a = a−1 y b = b−1 . Como ab ∈ G, entonces
(ab)2 = e. O sea,
abab
bab
ab
ab
=
=
=
=
Concluimos que G es abeliano.
e
a−1
b−1 a−1
ba.
3. Suponga que G es un grupo finito de order par. Demuestre que existe un elemento a 6= e tal que a2 = e.
Demostración: Este enunciado puede demostrarse por contradicción en pocas
lı́neas. Dicho ésto, proveeré una demostración algorı́tmica, pues son raras las
ocaciones en las cuales uno ve una demostración de este tipo.
Sabemos que G es un grupo de orden par. Suponga que |G| = 2n con n na-tural.
Considere el conjunto G \ {e}, el cual tiene cardinalidad 2n − 1 (impar). Tome
a1 ∈ G \ {e}. Verifique si a1 es su propia inversa, i.e. si a21 = e. Si la respuesta
−1
es SI, entonces acabamos. De lo contrario, existe a−1
1 ∈ G \ {e} tal que a1 6= a1
−1
−1
y a1 a1 = e. Considere ahora el conjunto G \ {e, a1 , a1 }, el cual tiene cardinalidad 2n − 3 (impar). Tome a2 ∈ G \ {e, a1 , a−1
1 }. Verifique si a2 es su propia
2
inversa, i.e. si a2 = e. Si la respuesta es SI, entonces acabamos. De lo contrario,
−1
existe a−1
2 ∈ G \ {e, a1 , a1 } (los inversos son únicos, por lo tanto, ni e, ni a1 , ni
2
a−1
1 pueden ser inversos de a2 , pues ellos ya son inversos de otros elementos) tal
−1
−1
−1
que a−1
2 6= a2 y a2 a2 = e. Considere ahora el conjunto G\{e, a1 , a1 , a2 , a2 }, el
cual tiene cardinalidad 2n − 5 (impar) y siga con este proceso. Observe que este
proceso se detiene una vez encontremos un elemento que es su propio inverso. La
pregunta es, ¿está este proceso garantizado a detenerse? Veamos. Suponga que
aplicamos este proceso n−1 veces sin haberse detenido hasta ese entonces. Ésto
−1
−1
significa que encontramos elementos a1 , a−1
1 , a2 , a2 , · · · , an−1 , an−1 en G con la
propiedad de que todos son distintos entre ellos y distintos a la identidad. O
−1
−1
sea, la lista a1 , a−1
1 , a2 , a2 , · · · , an−1 , an−1 tiene 2n − 2 términos (todos distintos). Por lo tanto, cuando apliquemos el proceso por n-ésima vez, tendremos
−1
−1
que considerar el conjunto G \ {e, a1 , a−1
1 , a2 , a2 , · · · , an−1 , an−1 } el cual tiene
cardinalidad 1 (|G| = 2n y le estamos quitando 2n − 1 elementos). Digamos que
−1
−1
G \ {e, a1 , a−1
1 , a2 , a2 , · · · , an−1 , an−1 } = {an }. Ahora nos toca verificar si an es
su propia inversa. Bueno, an vive en un grupo, por lo tanto, tiene inversa en G.
−1
−1
También, an es diferente a los elementos e, a1 , a−1
1 , a2 , a2 , · · · , an−1 , an−1 . Más
−1
−1
aún, como los inversos son únicos y en la lista e, a1 , a1 , a2 , a2 , · · · , an−1 , an−1
todos los elementos aparecen con sus inversos, entonces ninguno de ellos es el
inverso de an . El pobre an no tiene mas remedio que ser su propio inverso y
el proceso se detiene. Por lo tanto, si |G| = 2n, entonces este proceso termina
en o antes del paso n. Muerto el Pollo (y la demostración gigante que, muy
probablemente, usted no aprecie).
4. Demuestre que si en un grupo G tenemos (ab)2 = a2 b2 , entonces ab = ba.
Demostración: Suponga que a, b ∈ G. Entonces,
(ab)2
abab
bab
ba
=
=
=
=
a2 b 2
aabb
abb
ab.
Por lo tanto, G es abeliano.
5. Suponga que G es un grupo y H, K < G. Demuestre que H ∩ K < G.
Demostración: Observe que como H y K son subgrupos, entonces e ∈ H y
e ∈ K y por lo tanto e ∈ H ∩ K, i.e. H ∩ K 6= ∅. Suponga ahora que
a, b ∈ H ∩ K. Entonces a, b ∈ H y a, b ∈ K. Como H, K < G, entonces, ab ∈ H
y ab ∈ K y por lo tanto, ab ∈ H ∩ K. Concluimos que tenemos clausura en
H ∩K. Suponga ahora que a ∈ H ∩K. Entonces, a ∈ H y a ∈ K. Como H y K
son subgrupos de G, entonces a−1 ∈ H y a−1 ∈ K y por lo tanto, a−1 ∈ H ∩ K.
Concluimos que H ∩ K satisface el axioma de inversos. Como H ∩ K no es
vacı́o, tiene clausura y tiene el axioma de inversos, entonces H ∩ K < G.
6. Considere el grupo G = D6 = {e, r, r2 , r3 , r4 , r5 , t, rt, r2 t, r3 t, r4 t, r5 t} con r6 =
t2 = e y ri t = tr6−i . Haga lo siguiente:
3
Nota: solo brindaré las respuestas. Si tiene duda como hacer las calculaciones,
puede pasar por mi oficina. Recuerde, en el examen es importante el proceso
de como se obtienen las respuestas.
(a) Calcule C(t).
Respuesta: C(t) = {e, r3 , t, r3 t}.
(b) Encuentre todos los conjugados de C(t).
Respuesta: Después de varias calculaciones, se puede observar que C(t)
tiene 3 conjugados. Éstos son
{e, r3 , t, r3 t}, {e, r3 , rt, r4 t}, {e, r3 , r2 t, r5 t}
(c) Encuentre Z(D6 ).
Respuesta: Z(D6 ) = {e, r3 }.
7. Suponga que G es un grupo. Demuestre que a ∈ Z(G) sii C(a) = G.
Demostración: Note que, por definición, a ∈ Z(G) sii a conmuta con todos
los elementos de G. Ésto es lo mismo que decir que todos los elementos de G
conmutan con a. O sea, a ∈ Z(G) si y solo si G ⊆ C(a). Pero G ⊆ C(a) es
equivalente a decir que G = C(a), pues siempre tenemos que C(a) ⊆ G.
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