Lección 4 Estudio particular de turbinas de acción
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Lección 4 Estudio particular de turbinas de acción
Lección 4 Estudio particular de turbinas de acción 4.1 Introducción Las turbinas de acción son máquinas hidráulicas motoras en las que el intercambio de energı́a entre el rodete y el fluido se produce principalmente por impulso o acción. Aquı́ un chorro de agua a alta velocidad es deflectado por un conjunto de álabes dispuestos alrededor del rodete, que, como consecuencia de la variación del momento cinético del fluido, genera un par que lo hace girar. La turbina Pelton es el único tipo de turbina hidráulica de impulso de uso habitual en la actualidad. En esta lección se estudian las caracterı́sticas constructivas y de operación de las turbinas de accción más comunes en la práctica (Pelton). Para ello en primer lugar se hace un resumen de los principales elementos y de la función de cada uno de ellos, ası́ como su correspondencia con los elementos equivalentes en turbinas de reacción. A continuación se plantean los triángulos de velocidades en la entrada y salida del rodete de estas máquinas. Seguidamente se plantean algunas relaciones entre variables de operación que garantizan un funcionamiento en régimen óptimo. Finalmente obtienen sus curvas caracterı́sticas para salto neto constante y variable. 1 2 Energı́a Eólica e Hidráulica 4.2 4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica Turbinas de acción Todas las ideas que a continuación se presentan se han precisado con anterioridad en la Lección 1, si bien se vuelve a incidir aquı́ en ellas para una mayor comprensión de la temática. El mecanismo de funcionamiento de este tipo de turbinas consiste en hacer incidir tangencialmente uno o varios chorros de agua a alta velocidad sobre los álabes dispuestos equiespaciadamente en la periferia del rodete, bien horizontal o vertical en función del número de inyectores a instalar. La energı́a del agua a la entrada del rotor es en forma de energı́a cinética del chorro, no existiendo prácticamente variaciones de altura estática en el fluido a través del rodete. En este tipo de turbinas la presión en el rodete se mantiene constante y esto provoca que el fluido no invada toda la cavidad entre los alabes. La variación del momento cinético del agua en el rodete produce sobre éste un par que lo hace girar. El agua sale de los álabes con una energı́a cinética residual relativamente baja y es dirigida hacia el canal de desagüe. Debido a que en cada instante el chorro o los chorros de agua sólo inciden sobre algunos de los álabes, las turbinas Pelton son obviamente de admisión parcial. En la Figura 4.1 se muestra una representación esquemática de una instalación de turbinación con una turbina de acción. Tal y como se puede apreciar los elementos que componen la turbina son dos: el inyector y el rodete. Figura 4.1: Esquema de turbina Pelton ejemplo de turbomáquina de acción. Rodete El rodete de las turbinas de acción está compuesto por la rueda Pelton y un conjunto de álabes acopladas a la misma que reciben el nombre de cucharas o buckets, Figura 4.2. Las cucharas son cazoletas semiesféricas y simétricas que Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción 3 disponen de una arista central o splitter que divide el chorro en dos partes iguales que deslizan por el intradós de las dos semicazoletas y salen desviadas con un ángulo β2 y una velocidad relativa w2 . La deflexión del chorro produce una fuerza sobre el álabe que, multiplicada por la distancia al eje de la rueda, D/2 y a la velocidad de giro Ω1 produce el par que hace girar el eje. De acuerdo a la ecuación de conservación de cantidad de movimiento aplicada al volumen de control que encierra el rodete, se puede deducir que la fuerza que experimenta el álabe en la dirección del chorro es, F = ρ w12 A1 − ρ w22 A2 cos θ (4.1) Figura 4.2: Rodete de la turbina Pelton. donde w1 y w2 son las velocidades relativas en las secciones de entrada y salida del rodete (como se verá más adelante en la Figura 4.7), A1 y A2 las secciones de paso del chorro y θ el ángulo deflectado (θ = 180 − β2 , Figura 4.7). De aquı́ se deduce que el ángulo óptimo que las cucharas deberı́an deflectar el chorro es de 180◦ . Sin embargo, en la práctica este ángulo es poco favorable, ya que si las cucharas tuvieran la sección de medio cı́rculo, el chorro acabarı́a impactando con la cuchara que le sucede, ocasionando un par de frenado y por tanto una disminución de potencia. En la práctica es común que el ángulo que las cucharas desvien el chorro sea ligeramente inferior a 180o (165–175o ). Para determinar las pérdidas hidrúalicas en la cuchara se plantea la ecuación de conservación de la energı́a mecánica en ejes relativos a la misma (ecuación (2.30)) y se considera que por fricción entre el fluido y la cuchara existen unas pérdidas hidráulicas proporcionales al cuadrado de la velocidad caracterı́stica del flujo 1 Se recuerda que la velocidad de giro de una máquina cuyo eje se encuentra conectado a un alternador sı́ncrono es constante bajo cualquier condición de funcionamiento ya que depende exclusivamente de la frecuencia de la red y del número de pares de polos, ecuación (3.1). 4 4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica Energı́a Eólica e Hidráulica en la entrada (w1 ), ecuación (4.2), donde ζ 2 es un coeficiente adimensional de pérdidas que depende de la geometrı́a y de la rugosidad de la cuchara, se tiene la ecuación (4.3). HLr p1 w12 p2 w22 + − HLr = + ρ 2 ρ 2 w12 =ζ 2g p1 w12 w2 p2 w22 + −ζ 1 = + ρ 2 2 ρ 2 (4.2) (4.3) Como la presión es uniforme e igual a la atmosférica, se puede deducir la relación existente entre las velocidades relativas de entrada y salida al rodete, ecuación (4.4), que fı́sicamente indica que debido a las pérdidas se produce una deceleración del flujo relativo3 . w2 = p 1 − ζw1 (4.4) Por lo que en resumen las pérdidas de carga en el rodete se pueden escribir, HLr = w2 w12 − w22 =ζ 1 2g 2g (4.5) Inyector El elemento inyector en una turbina Pelton es el órgano regulador del caudal del chorro. En otras palabras, hace las veces de distribuidor en tubinas de acción. Esencialmente consta de una válvula de aguja o punzón cuya posición (carrera) determina el grado de apertura de la tobera, Figura 4.3. Para mantener constante la velocidad de giro en cada instante el caudal debe verse modificado, y esto se logra gracias al punzón del inyector y a un servomotor accionado hidráulicamente. Las condiciones geométricas que debe satisfacer el punzón para garantizar el cierre es que el diametro máximo de la aguja debe ser 1,25–1,3 veces el diametro de salida de la tobera. Además para que exista una buena conducción del fluido a traves del punzón, los ángulos β y α (ambos mostrados en la Figura 4.3) deben estar comprendidos entre 75o y 90o , y entre 50o y 60o , respectivamente. Este último también ayuda a preservar las propiedades mécanicas. Respecto al chorro de salida de la tobera cabe decir que está compuesto por un nucleo de agua y una sección anular creciente compuesta por una emulsión de agua y aire. Los factores que condicionan la dispersión del chorro pueden resumirse en el analı́sis de los números adimensionales de Reynolds y Webber. El diámetro del chorro d0 se mide en una sección contraı́da situada aguas abajo de la salida, 2 Ya se empleó en la Lección 3 el coeficiente ζ como coeficiente adimensional de pérdidas para cuantificar las pérdidas que tienen lugar en el rodete√de una turbina de flujo axial. 3 En otros textos se puede encontrar el término 1 − ζ como un factor de fricción adimensional k = w2 /w1 , cuyo valor suele oscilar en el rango √ 0,8–1. La relación entre ese factor adimensional y el aquı́ presentado serı́a por tanto k = 1 − ζ. Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción 5 Figura 4.3: Inyector de la turbina Pelton. donde podemos considerar que la presión exterior es igual a la atmosférica. El diámetro del chorro siempre es, por tanto, inferior al diámetro de la tobera dt . En la práctica, para una buena configuración del chorro, d0 no debe ser superior a unos 27 cm, lo que para un salto de altura dada, limita el valor del caudal admisible por chorro. Si el caudal total a turbinar es superior al lı́mite permitido, deben disponerse varios chorros por rueda que se repartan el caudal total. El caudal trasegado por cada uno de los inyectores de la turbina, q, se puede escribir de acuerdo a la sección del chorro supuesta circular y la velocidad a la entrada de la turbina, π d20 v1 (4.6) 4 Por tanto el caudal total Q se obtendrá multiplicando el anterior por el número total de inyectores, q= π d20 v1 niny (4.7) 4 Cuando es suficiente con un solo chorro el rodete es de eje horizontal y se orienta el eje de salida del inyector según la tangente horizontal inferior a la circunferencia de la rueda Pelton. De esta forma el agua a la salida de las cucharas cae al fondo de la turbina sin molestar a la rotación de la rueda. Cuando se necesitan dos chorros, la turbina puede todavı́a ser de eje horizontal, disponiéndose los dos chorros según dos tangentes inferiores al cı́rculo de la rueda Pelton, inclinadas un mismo angulo (generalmente de 30◦ ). En esta disposición el agua sale de las cucharas sin molestar la rueda, Figura 4.4 a). Cuando el número de chorros es superior a dos, la turbina debe ser de eje vertical, pues según la otra disposición resulta imposible evitar que el agua a la salida de las cucharas alimentadas por inyector superior caiga sobre la rueda. A veces la rueda Pelton de eje vertical está equipada con dos inyectores pero en tal caso los dos chorros actúan en dos puntos diametralmente opuestos, obteniéndose un par motor puro. Por ello la disposición de eje vertical es la más ventajosa, Figura 4.4 b). Cuando son necesarios más de dos inyectores, la disposición de éstos se realiza en turbinas de eje vertical debido al problema mencionado anteriormente. En la Q = q niny = 6 Energı́a Eólica e Hidráulica 4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica Cuando hay que disponer de más de dos inyectores la disposición de estos se realiza Figuraen turbinas de eje vertical debido al problema mencionado anteriormente. 4.4: Configuraciones de turbina Pelton con dos inyectores. horizontal. b) Eje vertical. a) Eje Figura 4.5 se muestra una turbina Pelton con tres y cuatro inyectores dispuestos en la Cuando hay que disponer de más de dos inyectores la disposición de estos se realiza periferia de su rueda, respectivamente. Las turbinas de eje vertical pueden tener en turbinas de eje vertical debido al problema mencionado anteriormente. hasta seis inyectores. Para establecer el número de chorros, se debe partir de la condición que su diámetro no sea superior al límite dado. El hecho de sustituir un número de chorros de una dimensión determinada por un mayor número de chorros de dimensiones menores permite la construcción de una turbina de menor diámetro y mayor velocidad de giro. No obstante, no deben sobrepasarse ciertos límites como el poder evacuar el agua eyectada y la resistencia a Para establecer el número de chorros, se debe partir de la condición que su diámetro fatiga de las cucharas. Figura 4.5: Configuraciones de turbina Pelton de eje vertical con tres y cuatro no sea superior al límite dado. inyectores. Para mantener constante la velocidad a cada instante el caudal debe verse modificado, un al número de del chorros de una determinada por un El esto hecho sustituir se de logra gracias punzón inyector y a dimensión un servomotor accionado El hecho denúmero sustituir número de chorros menores de una dimensión determinadade por mayor de un chorros de dimensiones permite la construcción una hidráulicamente. un mayor número de chorros de dimensiones menores permite la construcción turbina de menor diámetro y mayor velocidad de giro. No obstante, no deben de una turbina de menor diámetro y mayor velocidad de giro. No obstante, no sobrepasarse ciertos límites como el poder evacuar el agua eyectada y la resistencia a debenfatiga de las cucharas. sobrepasarse ciertos lı́mites como el poder evacuar el agua eyectada y la resistencia a fatiga de las cucharas. El inyector de las turbinas Pelton lleva acoplado un elemento denominado Para mantener constante la velocidad a cada instante el caudal debe verse modificado, deflector cuya finalidad es al evitar el golpe de ariete la conducción esto se logra gracias punzón del inyector y en a un servomotor forzada. accionado Téngase en cuenta que al estar alimentadas por conducciones forzadas que hidráulicamente. Penstock head Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción 7 Penstock ZR provienen de grandes saltos hidráulicos, en caso de averı́a total o parcial de la turbina el cierre de la aguja del inyector provoca un golpe de ariete en la tuberı́a que puede tener consecuencias nefastas. Para ello es necesario cerrar la aguja lentamente (30–40 s), lo cual, a su vez, tiene el riesgo de que la rueda se embale. Para ello se dispone del elemento deflector que provoca una desviación momentánea del chorro por medio de un álabe situado entre el inyector Pelton wheel y las cucharas. No inerviene más que en los perı́odos de baja potencia, volviendo a su 5 posición normal una vez que se alcanza el nuevo régimen. Nozzle La Figura 4.6 muestra la operación del conjunto inyector–deflector. Aquı́ se Z N puede Datum level observar como en condiciones de regulación de la carga la aguja del inyector se desplaza hacia la derecha dejando pasar una menor cantidad de caudal. Por su FIGURE 9.7parte en la zona inferior de la figura se puede apreciar como cuando es necesario, Pelton Turbine actúaHydroelectric el deflectorScheme desviando el chorro momentáneamente de su dirección orignal. Cabe destacar que la disposición de deflector mostrada en la Figura 4.6 es la más habitual. Full load Part load (a) Deflector in normal position Fully deflected posiition (b) FIGURE 9.8 Figura 4.6: the Funcionamiento de inyector y deflector en (or regulación de turbinas Methods of Regulating Speed of a Pelton Turbine: (a) with a Spear Needle) Valve; (b) withde a Deflector acción. Plate Las pérdidas hidráulicas en el inyector vienen ocasionadas por la fricción entre el fluido y este elemento. Por tanto se pueden cuantificar como la diferentes de energı́as cinéticas entre la entre y la salida del inyector. Se puede probar fácilmente que a la entrada del inyector la velocidad v0 depende únicamente de la altura bruta menos las pérdidas √ hidrúalicas en la conducción forzada, es decir, de la altura neta según v0 = 2 g Hn . Por su parte la velocidad a la salida del inyector, que al coincidir con la de entrada a la turbina se la denota por v1 , será ligeramente inferior. Dicha velocidad se puede calcular de acuerdo al 8 Energı́a Eólica e Hidráulica 4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica producto del coeficiente Cv , denominado coeficiente de velocidad de las√toberas de los inyectores, y de la velocidad a la entrada de acuerdo a v1 = Cv 2 g Hn . De acuerdo a lo anterior las pérdidas hidráulicas en el rodete se pueden escribir como, HLiny = v2 C 2 2 g Hn 2 g Hn v02 − 1 = v − = (1 − Cv2 )Hn 2g 2g 2g 2g (4.8) Obviamente el coeficiente de velocidad es inferior a la unidad y su valor suele oscilar entre 0,97 y 0,99 en función del diseño del inyector. Con todo lo anterior se puede plantear el balance de energı́a entre la lámina libre del embalse y la entrada a la turbina (entrada inyector), o lo que es lo mismo, el balance energético en la instalación. Tomando como altura bruta Hb la diferencia de cotas entre las láminas libres de fluido del embalse y del eje de la turbina (se intuye en la Figura 4.1) se tiene, 8 Q2 L X K (4.9) Hn = Hb − hT = Hb − λ + D π2 g D4 donde hT representa la pérdida de carga en la conducción forzada que alimenta a la turbina. Nótese que en este caso el contenido cinético de la corriente a la salida de la turbina se incluye como pérdida de la propia turbina y no se la instalación, como se hacı́a en el balance de las instalaciones de turbinas de reacción. En ese sentido el rendimiento hidráulico o manométrico englobará las pérdidas de energı́a en los diferentes elementos de la turbina (rodete e inyector) ası́ como la pérdida de energı́a a la salida del rodete HLs . HL = HLiny + HLr + HLs HLs = v22 2g (4.10) Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción 4.3 9 Teoria simplificada En esta sección se va a desarrollar la teorı́a simplificada para el análisis de la operación de las turbinas Pelton. Consideremos los triángulos de velocidades de entrada y salida correspondientes a la acción del chorro sobre una cuchara mostrados en la Figura 4.7. Aquı́ se ha supuesto que la cuchara es atacada constantemente de forma perpendicular por el chorro total. Este supuesto no se corresponde estrictamente con la realidad ya que la cuchara solo recibe una fracción del chorro total, tal y como se muestra en la Figura 4.8. Sin embargo en la práctica se desprecia la componente del choque que se produce como consecuencia de que β1 no es nulo. Del triángulo de velocidades de la Figura 4.7 se deduce que, vu2 v1 = u + w1 = u − w2 cos β2 (4.11) donde u es la velocidad de arrastre, que es común en las secciones de entrada y salida del rodete u = u1 = u2 = ΩD/2 (siendo D el diámetro de la rueda). Aquı́ se puede apreciar que debido a que la dirección de la velocidad absoluta coincide con la de arrastre en la sección de entrada, el ángulo α1 es nulo y por tanto vu1 coincide con v1 . Esto implica que la igualdad vectorial ~v = w ~ + ~u se transforma en una igualdad escalar en la sección de entrada, ya que todas las velocidades están proyectadas sobre el mismo eje. Figura 4.7: Distribución de velocidades teórica en el rodete de una turbina Pelton. Una representación habitual conjunta de los triángulos de velocidades en las secciones de entrada y salida del rodete de una turbina Pelton se muestra en la Figura 4.9. De acuerdo a lo anterior, el teorema de Euler planteado en la Lección 2 (sigue siendo válido para el estudio de turbinas de acción) queda, g Hu = u1 vu1 − u2 vu2 = u (v1 − vu2 ) = u (w1 + w2 cos β2 ) (4.12) 10 Energı́a Eólica e Hidráulica 4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica Figura 4.8: Distribución de velocidades real en el rodete de una turbina Pelton. Figura 4.9: Representación gráfica de los triángulos de velocidades en las secciones de entrada y salida del rodete de una turbina de acción. Introduciendo la relación (4.4) en la ecuación de Euler, (4.12), se obtiene, p en la entrada y salida de turbinas tipo Pelton. Figura 8. Triángulos de velocidades reales g Hu = u w1 (1 + 1 − ζ cos β2 ) (4.13) Para terminar debe recordar quedeelcalcular triángulo de intercambiada velocidadesentre queelserodete produce en una tur que se es una manera adicional la altura y el fluido atendiendo al triángulo de entrada, las pérdidas cuchara yen el la dirección d Pelton es muy complejo, pues el chorro no incide sobre en la lacazoleta ángulo de salida de los álabes del rodete. marcha, más que en un solo instante, y por tanto, el triángulo de entrada no se reduce a recta sino que es un triángulo que se modifica continuamente. Para simplificar se pu 4.3.1 conderendimiento suponer que en la Funcionamiento entrada la dirección la velocidad óptimo absoluta y la de arrastre es la mism aunque este triángul por tanto, también la de relativa, decir, w 1 determinada = v 1 − u1 , por La operación de la unavelocidad turbina Pelton viene es habitualmente la los valores u y v1 . El primero de ellos viene determinado por el velocidadesrelación a la deentrada del rodete es de un caso particular resulta ser sumam tamaño de la rueda y la velocidad de giro, mientras que el segundo representa de √ representativo. alguna manera la energı́a disponible dada por la altura neta v1 = Cv 2 g Hn . De esta manera el rendimiento hidráulico de una turbina Pelton se puede escribir en función de la relación entre estas dos variables (u/v1 ) usando el desarrollo para la ecuación de Euler mostrado en la ecuación (4.13), el triángulo de velocidades en la sección de entrada al rodete (w1 = v1 − u) y la relación entre v1 y Hn mostrada en este mismo párrafo: Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción 11 √ √ Hu u w1 (1 + 1 − ζ cos β2 ) u (v1 − u) (1 + 1 − ζ cos β2 ) ηh = = = = v2 Hn gHn g 2gC1 2 v p u u 2 = 2 Cv 1− 1 + 1 − ζ cos β2 (4.14) v1 v1 Para hallar las condiciones de operación óptimas en relación a estos dos parámetros, se puede derivar la expresión anterior en función de u/v1 . Suponiendo que β2 y ζ se mantienen constantes, se puede comprobar que el rendimiento máximo se alcanza para, ∂ηh =0 ∂ vu1 u 1 = v1 2 (4.15) El valor de dicho rendimiento se obtiene verificando para la ecuación (4.14) el valor obtenido de u/v1 = 1/2. p Cv2 1 + 1 − ζ cos β2 (4.16) ηhmáx = 2 En la Figura 4.10 se presenta la variación del√rendimiento hidráulico en función de la relación u/v1 para varios valores de k = 1 − ζ (ver nota 3 a pie de página). Figura 4.10: Variación del rendimiento hidráulico de la cuchara (Efficiency of the runner) en función de la relación u/v1√(blade speed–jet speed ratio) para diferentes valores del factor de fricción k = 1 − ζ. La definición de rendimiento hidráulico mostrada anteriormente se puede escribir en términos de los rendimientos hidráulicos asociados a los distintos componentes (inyector y cuchara). En ese sentido es habitual definir el rendimiento hidráulico del inyector, ηhiny , como la relación entre la energı́a del fluido antes y después de este elemento, ηhiny Hn − HLiny v12 /2g = 2 = = Cv2 v0 /2g Hn (4.17) 12 4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica Energı́a Eólica e Hidráulica Por su parte, el rendimiento hidráulico de la cuchara, ηhc , se define como el cociente entre la energı́a aprovechada (la asociada a la altura útil g Hu ) y la de entrada a la cuchara v12 /2g p u u Hu =2 1− 1 + 1 − ζ cos β2 (4.18) ηhc = 2 v1 /2g v1 v1 De esta manera se puede comprobar que el producto de los rendimientos de los componentes por separado es igual al de la turbina, ecuación (4.14). p u u 2 1− 1 + 1 − ζ cos β2 = ηhiny ηhc (4.19) ηh = Cv 2 |{z} v1 v1 {z } ηhiny | ηhc Volviendo a la Figura 4.10, la curva mostrada es estrictamente la de rendimiento de la cuchara, que se puede asociar (cualitativamente al menos) al rendimiento hidráulico de la turbina ya que el coeficiente Cv se considera constante. Esta representación se ha realizado tomando un ángulo de salida de los álabes del rodete β2 = 15o . El redimiento serı́a igual a la unidad en el caso que β2 = 0o (el chorro saliese con la misma dirección y en sentido opuesto que como entra al rodete) y no hubiese pérdidas (ζ = 0, k = 1). Debido a que como se ha justificado anteriormente, se desea que β2 sea distinto de 0 para que el chorro no impacte en el dorso de la siguiente cuchara, frenando ası́ el movimiento, y que obviamente por efecto de la viscosidad del fluido las pérdidas serán no nulas, el rendimiento de la cuchara nunca puede alcanzar el máximo teórico Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción 4.4 13 Pérdidas en el inyector y tuberı́a forzada. Diámetro óptimo del inyector De la ecuación de potencia obtenida en el eje de la turbina, ecuación (4.20), se deduce que ésta aumenta con el caudal y con la altura neta. Ahora bien, un aumento del caudal induce una mayor pérdida de carga en la conducción forzada, lo que conlleva una reducción en la altura neta (energı́a disponible). El caudal se regula por medio del inyector de la turbina, a través del diámetro de salida d0 , tal y como se ha visto en la sección anterior. Es decir, si d0 ↑, Q ↑ y Hn ↓, por lo que no sabemos que le ocurre a la potencia. En estas dos tendencias contrapuestas debe existir un óptimo que garantice que la potencia obtenida en el eje sea máxima. Para la determinación de dicho diámetro debe encontrarse la función Ẇeje = Ẇeje (d0 ) para su optimización. η= Ẇeje ρ g Q Hn Ẇeje = η ρ g Q Hn (4.20) En ese sentido la relación del caudal con d0 ya se ha planteado anteriormente (concretamente se muestra en la ecuación (4.7)). La relación entre la altura neta y el diámetro del chorro, se puede hallar combinando las ecuaciones (4.7) y (4.9). Para un análisis más simple se despreciarán las pérdidas secundarias y se asumirá que la turbina trabaja con un inyector. En ese sentido resulta la ecuación (4.21). 2 2 π d0 8 L v1 2 4 8LQ = H − λ (4.21) Hn = Hb − λ 2 b π g Dt5 π 2 g Dt5 donde el diámetro, longitud y factor de fricción de la conducción forzada son Dt 4 , L y λ, respectivamente. Incluyendo (4.21) en la forma de la derecha de (4.20) se obtiene la función Ẇeje = Ẇeje (d0 ) a derivar. Operando, ∂ Ẇeje =0 ∂d0 d0 = Dt5 2 λ L Cv2 41 (4.22) Sustituyendo esta expresión en la ecuación (4.21) se obtiene que para que se produzca la situación óptima la relación entre la altura neta y la bruta es, 2 Hn = Hb (4.23) 3 Lo que indica que cuando las pérdidas en la conducción forzada son iguales a un tercio de la altura bruta la potencia que desarrollará la turbina será máxima. A partir de este valor un aumento del diámetro del chorro (caudal) conllevará una disminución de la potencia. 4 En esta ecuación se ha denotado al diámetro de la conducción como Dt para diferenciarlo del diámetro de la rueda Pelton que será D. 14 Energı́a Eólica e Hidráulica 4.5 4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica Curvas caracterı́sticas de las turbinas de Ecuación de Euler: acción Las curvas caracterı́sticas de las turbinas Pelton se pueden presentar para salto constante y para salto variable, y son las únicas que se pueden determinar a partir de ecuaciones. Funcionamiento con rendimiento óptimo: 4.5.1 Curvas caracterı́sticas con salto constante Las turbinas Pelton funcionan siempre con una altura de salto constante, o al menos casi constante. A continuación se presentan las curvas caracterı́sticas de caudal, potencia útil, rendimiento hidráulico y par frente a la velocidad de giro. Q = Q(Ω) √ Si el salto es constante tanto Hn como v1 = Cv 2 g Hn son constantes. De acuerdo a la ecuación (4.6) el caudal depende del diámetro del chorro y de la : rendimiento hidráulico. velocidadhhen la entrada del rodete, por lo que para una determinada apertura del inyector la curva será una recta de pendiente horizontal cuyo valor irá Curvas carcterísticas: disminuyendo a medida que se cierre el inyector. En la Figura 4.11 se muestra la variación a)delCaraterísticas con salto constante: caudal frente a velocidad de giro para diferentes aperturas del inyector, Las turbinas Pelton se pueden considerar que funcionan a una altura poco variable. donde x = 1 representa la carrera relativa máxima (totalmente abierto). Figura 4.11: Caudal frente a velocidad de giro para diferentes aperturas del ‐ Q(Ku): caudal inyector. ηh = ηh (Ω) y Ẇu = Ẇu (Ω) En la ecuación (4.14) se ha determinado que el rendimiento hidráulico es función del ratio entre la velocidad de arrastre y la absoluta del chorro u/v1 . El valor de dicho ratio que maximiza el rendimiento hidráulico es el de 0,5. Al ser v1 constante se puede justificar que el rendimiento hidráulico es proporcional a ηh ∝ u − u2 siendo el resto de variables constantes. Es por ello que la relación Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción 15 de dependencia con Ω es la misma que se ha presentado en la Figura 4.10, ya que u y Ω son directamente proporcionales. Además, al ser la potencia útil Ẇu = ρ g Q Hu = ρ g Q ηh Hn y ser Hn constante, ésta describirá la misma relación de dependencia que el rendimiento, es decir, una parábola invertida. De nuevo en la Figura 4.12 se ha representado la variación del rendimiento y de la potencia útil en función de la velocidad de giro para varias aperturas del inyector. Tanto rendimiento como potencia se anulan para un valor de u correspondiente a la relación u/v1 = 1, ya que al ser la velocidad relativa nula, no existe empuje del agua hacia la cuchara. Figura 4.12: Rendimiento hidráulico y potencia útil frente a velocidad de giro para diferentes aperturas del inyector. Mx = Mx (Ω) Finalmente en la Figura 4.13 se ha representado la variación del par en función de la velocidad de giro para varias aperturas del inyector. Es fácil intuir que si la dependecia de la potencia útil era Ẇu ∝ u − u2 , ahora al ser Mx = Ẇu /Ω, la dependencia se reducirá en un grado quedando Mx ∝ 1 − u, que resulta en una recta de ordenada en el origen positiva y pendiente negativa. 4.5.2 Curvas caracterı́sticas con salto variable y velocidad constante A pesar de tener escaso sentido fı́sico (una turbina Pelton no opera a salto variable) su interés radica en poder compararlas con turbinas de reacción. A continuación se presentan las curvas caracterı́sticas de salto neto y útil ası́ como 16 Energı́a Eólica e Hidráulica 4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica Figura 4.13: Par frente a velocidad de giro para diferentes aperturas del inyector. potencia útil frente a la velocidad de entrada a la turbina v1 (recuérdese que ahora Hn es variable y por tanto v1 también). Hu = Hu (v1 ) De nuevo apoyándonos en la ecuación (4.14), se deduce que para u constante, la altura útil depende linealmente de v1 . Hn = Hn (v1 ) √ v2 Al ser v1 = Cv 2 g Hn , Hn = 2 g 1C 2 , que es una parábola de segundo grado v tangente en el origen de coordenadas al eje de abcisas. ηh = ηh (v1 ) Esta curva se deduce inmediatamente de Hu y Hn , presentando un máximo teórico para u/v1 = 1/2. Ẇu = Ẇu (v1 ) Responde al producto de relaciones de dependencia de la altura útil y el caudal, que depende linealmente de la velocidad absoluta. Por tanto se trata de una parábola que pasa por el origen y por el valor de v1 que anula a Hu . En la Figura 4.14 se ha representado la variación de todas las magnitudes anteriores con la velocidad absoluta de entrada al rodete. Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción 17 Figura 4.14: Salto neto y útil, rendimiento hidráulico y potencia útil frente a la velocidad de entrada a la turbina v1 . 18 Energı́a Eólica e Hidráulica 4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica Cuestiones Lección 4 4.1 Criterios utilizados en el diseño de turbinas Pelton en la elección del número de inyectores y su disposición alrededor del rodete, y en la elección entre las configuraciones de eje vertical y eje horizontal. 4.2 Curvas caracterı́sticas de caudal, potencia, par y rendimiento en función de la velocidad de giro en turbinas Pelton. 4.3 Triángulos de velocidades en turbinas Pelton. 4.4 Variación de la potencia útil al variar el diámetro del chorro en turbinas Pelton. Determinar el diámetro del inyector que maximiza la potencia útil en función de las caracterı́sticas de la tuberı́a forzada y del coeficiente de pérdidas del inyector. 4.5 Componentes caracterı́sticos en turbinas de acción y principales diferencias con respecto a las turbinas de reacción. Señalar la correspondencia entre elementos. 4.6 Funciones del inyector en turbinas de acción. 4.7 Definición de rendimiento hidráulico en turbinas de acción. Indicar cómo se reparten las pérdidas hidráulicas en esta tipologı́a de máquinas. 4.8 Deducir la relación entre la velocidad absoluta del agua en el chorro y la velocidad de arrastre de los álabes que maximiza el rendimiento hidráulico en una turbina Pelton. ¡considérese que las pérdidas por fricción en la superficie de los álabes es despreciable. Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción 19 Problemas Lección 4 4.1 Una turbina Pelton de eje horizontal con dos inyectores funciona con un salto neto Hn = 500 m, una velocidad de giro Ω = 78,5 rad s−1 y un caudal Q = 1 m3 s−1 . El diámetro del rodete es D = 1,2 m. Las cucharas desvı́an el chorro 165◦ con respecto a la entrada y la pérdida de carga debida al rozamiento del fluido con la superficie de la cuchara se ha estimado en 0,1w12 /(2g), siendo w1 la velocidad del chorro relativa a la cuchara. El coeficiente de velocidad en las toberas de los inyectores es Cv = 0,98 y los rendimientos orgánico y volumétrico de la turbina son ηo = 0,88 y ηv = 1, respectivamente. Determinar: a) Diámetro de los chorros (d0 ). b) Altura teórica. c) Potencia en el eje de la turbina. Solución a) d0 = 0,081 m, b) Hu = 459,7 m y c) Ẇeje = 3,968 MW. 4.2 Una central hidroeléctrica toma agua de un embalse a través de una tuberı́a forzada que tiene una longitud L = 2 km, y un diámetro Dt = 50 cm, en la que el factor de fricción es λ = 0,006. La central consta de una turbina Pelton de eje horizontal con dos inyectores. El salto bruto es Hb = 300 m. El coeficiente de velocidad en las toberas de los inyectores es Cv = 0,97, el diámetro de los chorros es d0 = 90 mm, el ángulo de salida de los álabes es β2 = 15◦ y la fricción en los álabes produce una reducción de la velocidad relativa del 15%. Determinar: a) La relación entre la velocidad periférica del rodete y la velocidad del chorro incidente sobre los álabes u = f (v1 ) para la que se obtiene un rendimiento hidráulico máximo y el valor de éste. b) Caudal y potencia total de la turbina suponiendo que se satisface la relación u = 0, 48v1 y que los rendimientos orgánico y volumétrico son ηo = 0,96 y ηv = 0,98, respectivamente. c) La regulación de la potencia de la turbina se realiza actuando sobre el diámetro de los chorros, manteniéndose constante la velocidad de giro. Determinar el nuevo valor del diámetro de los chorros necesario para adaptar el funcionamiento de la turbina a la demanda de potencia, si ésta disminuye un 10% con respecto al apartado anterior (téngase en cuenta que al variar el caudal varı́an las pérdidas de carga en la tuberı́a forzada). Calcular además el nuevo valor de la relación u/v1 . 20 Energı́a Eólica e Hidráulica 4◦ curso Grado en Ingenierı́a Eléctrica Solución a) u/v1 = 0,5, b) Q = 0,905 m3 s−1 , Ẇeje = 1,957 MW y c) d0 = 0,08496 m, u/v1 = 0,475. 4.3 Una central hidroeléctrica que consta de dos turbinas Pelton de idénticas caracterı́sticas, suministra una potencia eléctrica nominal de 152 MW. Cada turbina tiene 6 inyectores distribuidos simétricamente alrededor de un rodete de eje vertical. Cada rodete tiene 20 álabes, dispuestos sobre una circunferencia de diámetro D = 2,779 m, y gira a una velocidad n = 276,9 rpm. La central turbina agua procedente de un embalse en el que la superficie del agua está situada a una altura de 428 m por encima del plano de la turbina. La altura de pérdida de carga en la tuberı́a forzada es de un 11% del salto bruto. El rendimiento total de las turbinas en condiciones nominales es de η = 0,917, y el rendimiento del generador eléctrico es de ηe = 0,98. Los rendimiento orgánico y volumétrico se supondrán √ iguales a la unidad. El coeficiente de velocidad del inyector es Cv = v1 / 2gHn = 0,98, siendo v1 la velocidad absoluta del agua a la salida del inyector. La altura correspondiente a la pérdida de energı́a cinética del agua a la salida de los álabes es el doble de la correspondiente a la pérdida de energı́a por rozamiento en los álabes. Determinar: a) Caudal que se deriva desde la presa hasta la central. b) Diámetro de los chorros (d0 ). c) Altura de pérdidas en el inyector, en los álabes del rodete y la correspondiente a la energı́a cinética del agua a la salida del rodete. d) Ángulo β2 de salida de los álabes en el rodete. e) Número de pares de polos del alternador si la frecuencia de la red es de f = 60 Hz (Ω = 2πf /npp ). Solución a) Q = 45,26 m3 s−1 , b) d0 = 0,23809 m, c) HLiny = 15,084 m, HLr = 5,51 m, HLs = 11,021 m, d) β2 = 19,86◦ , e) npp = 13. Lección 4. Estudio particular de turbinas de acción 21 4.4 Una turbina Pelton trabaja con un salto neto Hn = 360 m y una velocidad de giro de 750 rpm. El rodete tiene un diámetro D = 1100 mm y el ángulo de salida de los álabes es β2 = 15◦ . Se ha estimado un coeficiente de velocidad en las toberas de los inyectores Cv = 0,98 y unas pérdidas debidas a la energı́a cinética de salida equivalentes a una altura de 8 m, con vu2 > 0. Se pide: a) Hacer una estimación de las pérdidas hidráulicas en la cuchara y en el inyector, y del rendimiento hidráulico. b) Suponiendo que la velocidad del chorro aumenta un 10%, determinar la altura teórica en las nuevas condiciones de funcionamiento. Suponer que las pérdidas en la cuchara son proporcionales a la energı́a cinética asociada a la velocidad relativa a la entrada del rodete, y que Cv se mantiene constante. Solución a) HLiny = 14,25 m, HLr = 11,863 m, HLs = 8 m, ηh = 0,9052 y b) Hu = 394,41 m. 4.5 Se quiere diseñar un aprovechamiento hidráulico en un determinado emplazamiento en el que se dispone de un salto neto Hn = 360 m. Para ello se utilizará una turbina Pelton cuyo rodete tiene un diámetro D = 1100 mm y un ángulo de salida de los álabes β2 = 15◦ , y que gira a una velocidad de 750 rpm. La central deberá generar una potencia total de 3 MW. Para obtener una estimación del rendimiento hidráulico se han realizado ensayos en una turbina modelo, realizada a escala de la anterior, cuyo rodete tiene un D = 300 mm y gira a una velocidad de 1110 rpm. En los ensayos se ha medido un coeficiente de velocidad en la tobera del inyector Cv = 0,98 y unas pérdidas por fricción en las cucharas HLr = 2 m. Determinar: a) El salto neto y la potencia total de la turbina modelo. b) La altura teórica de la turbina modelo. c) Caudal necesario para que la central genere la potencia esperada (considérense unos rendimientos orgánico y volumétrico iguales a la unidad). Solución 2 a) Prototipo1 , Modelo2 : Ẇeje = 14,67 kW, Hn2 = 58,65 m, b) Hu2 = 53,015 m y c) Q1 = 0,9398 m3 s−1 .