Sincronización Parcial de Redes Complejas Fraccionarias

Sincronización Parcial de Redes Complejas Fraccionarias

Congreso Anual 2010 de la Asociación de México de Control Automático. Puerto Vallarta, Jalisco, México.
Sincronización Parcial de Redes Complejas Fraccionarias.
Rafael Martı́nez-Martı́neza — [email protected]
Jorge A. Leóna — [email protected]
G. Fernández-Anayab — [email protected]
(a) CINVESTAV-IPN Av. Instituto Politécnico Nacional No. 2508,
Col San Pedro Zacatenco, C.P. 07360, México D. F. Tel (+5255) 5747 3795 ext. 4207
(b) Departamento de Fisica y Matemáticas. Universidad Iberoamericana,
Prol. Paseo de la Reforma 880, Lomas de Santa Fe, México D. F. 01219, México
Resumen— En este trabajo se presenta un criterio para la
sincronización parcial de redes complejas fraccionarias, es
decir, dada una red de sistemas dinámicos interconectados,
en donde el modelo de cada sistema es representado por un
operador fraccionario, se conecta un nuevo sistema a la red,
con el objetivo de que la red se comporte como éste último
sistema; los operadores fraccionarios son extenciones de los
operadores derivada e integral, comunmente usados para
modelar sistemas dinámicos.
redes: circuitos eléctricos, redes móviles, redes ópticas, y
muchos más ejemplos. En particular los sistemas caóticos
de orden fraccionario tienen más variables ajustables que
un sistema de caótico de orden entero, es decir se cree
ampliamente que los sistemas fraccionarios caóticos pueden
ser aplicados en encriptación de manera eficiente, pues
pueden alargar el espacio de las claves (Yang Tang, Jian-An
Fang, 2009).
Palabras clave: Cálculo fraccionario, Sincronización parcial,
Redes complejas, Sistemas fraccionarios.
I.
I NTRODUCCI ÓN
El cálculo fraccionario es tan antiguo como el cálculo
convencional, pero no es tan popular en la ciencia y en la
ingenierı́a. En los últimos tres siglos, el cálculo fraccionario
fue tratado sólo matemáticamente, pero en años recientes se
ha utilizado en varios campos de la ingenierı́a y la ciencia
(R. Hilfer, 2000). El cálculo fraccionario es el nombre
que recibe la teorı́a de integración y derivadas de orden
arbitrario.
Respecto a los trabajos realizados en redes complejas fraccionarias (sistemas dinámicos interconectados, en donde el
modelo de cada sistema es representado por un operador
fraccionario); en general la discusión se hace sobre interconexiones lineales entre los sistemas (Tianshou Zhou,
Changpin Li, 2005; Yang Tang, Zidong Wang, Jian-An
Fang, 2009; Yang Tang, Jian-An Fang, 2009), centrando
el desarrollo en condiciones sobre la topologı́a, es decir,
los acoplamientos se proponen para garantizar condiciones
de estabilidad tipo (Denis Matignon, 1996). En principio el
esquema planteado en este trabajo se puede aplicar a una
interconexión arbitraria, en el sentido que la estabilización
recae sobre una acción de control, y de manera indirecta
sobre las condiciones topológicas de la red, gracias a el
enfoque de estabilidad de (Xiang-Jun Wen, Zheng-Mao Wu,
Jun-Guo Lu, 2008), por lo que no es necesario eliminar las
partes no lineales de la red, y mucho menos linealizar, sin
embargo se tiene la restricción de que la sincronización
maestro-esclavo es parcial, i. e., cuando al menos para un
estado del sistema esclavo kxM − xS k =
6 0, esto se tiene
como consecuencia de que sólo se garantiza la estabilidad
del sistema error.
En general se pueden encontrar muchas aplicaciones de
II.
O PERADORES FRACCIONARIOS
Ahora definiremos lo que se entiende por integral fraccionaria y derivada fraccionaria.
Definición 1 (Integral fraccionaria de Riemann-Liouville):
La integral fraccionaria de Riemann-Liouville de
orden α ∈ R+ de una función f se define como:
véase (Keith B. Oldham, Jerome Spanier, 1974; Igor
Podlubny, 1999; Shantanu Das, 2008)
α
a It
f (t) =
1
Γ(α)
Z
t
f (τ )(t − τ )α−1 dτ
(1)
a
Γ(·) es la función Gama.
II-A. Derivada fraccionaria de Caputo
Definición 2 (Derivada fraccionaria de Caputo): La
derivada fraccionaria de Caputo de orden α de la función
f se define como véase (Igor Podlubny, 1999)
c
α
a Dt f (t)
=
1
Γ(n − α)
t
Z
f (n) (τ )(t − τ )n−α−1 dτ,
(2)
a
donde: n − 1 ≤ α < n, f (n) (τ ) es la derivada n-ésima de
f (τ ) en el sentido usual, n ∈ N.
III. R ED C OMPLEJA F RACCIONARIA
El operador fraccionario que se utilizará será el de
Caputo, debido a que el significado de las condiciones
iniciales es el mismo que el de los sistemas de orden
entero, se considera que 0 < α < 1, se define
x(α) (t) = c0 Dtα x(t) =
1
Γ(1 − α)
t
Z
x0 (τ )(t − τ )−α dτ
0
donde 0 < α < 1.
Si x(t) ∈ Rn , se considera que x(α) (t) es el operador
fraccionario de Caputo aplicado a cada entrada.
x(α) (t) = (c0 Dtα xi1 (t), · · · , c0 Dtα xin (t))T
Congreso Anual 2010 de la Asociación de México de Control Automático. Puerto Vallarta, Jalisco, México.
1 x1
1 x2
1 x3
2 x1
2 x2
2 x3
.........
m x2
m x3
1 xr1
2 x(r2 −1)
2 xr2
IV. E STABILIZACI ÓN DE UN SISTEMA F RACCIONARIO
En primer lugar se estudia la establización de un sistema
fraccionario de la forma:
x(α) = Ax + g(x)
.........
.................................
.................................
.................................
m x1
1 x(r1 −1)
n
.........
Figura 1. N sistemas interconectados
Supóngase que se tienen m sistemas diferentes de orden
fraccionario α y cada uno de ellos tiene una determinada
cantidad de copias, de tal suerte que la cantidad total de
sistemas es N , los cuales se encuentran en interacción bajo
una determinada interconexión, véase la Figura 1. Se tiene
que:
r
r
(α)
s xi
= s fi (s xi ) +
1
X
1 hij (1 xj )
+ ... +
j=1
... +
rm
X
s
X
(3)
Entonces x(t) = 0 para 0 ≤ t0 ≤ t, es una solución estable
de (6)
En la Ecuación (3), s xi : R → Rn donde s es el tipo
de sistema, e i es el i − ésimo sistema de este tipo,
n
n
s fi : R → R representa la dinámica del s − i − ésimo
sistema, s hij : Rn → Rn describe cómo el s − i − ésimo
sistema está interconectado con el s−j − ésimo sistema, es
decir, especifica la fuerza y la topologı́a de la interconexión
de los sistemas. En general, no todos los sistemas están
interconectados de igual manera. Lo anterior es para cada
s = 1, 2, . . . , m e i = 1, 2, . . . , rs , r1 +r2 +. . .+rm = N ,
rs denota la cantidad de sistemas con la dinámica s.
s hij (s xj )
(6)
kxk→0
m hij (m xj ).
= (s xi1 (t), · · · ,s xin (t))T
n
Con una matriz lineal regular A y una función no lineal g
de x y 0 < α < 1 si
1. La solución x(t) = 0 de x(α) = Ax es asintóticamente estable1 , y αρ(A) > 12
2. g(0) = 0 y lı́m kg(x)k
kxk = 0
j=1
s xi (t)
n
x(α) = Ax + g(x)
s hij (s xj )+
j=1
(5)
Donde xi : R → R , A : R → R lineal, y g : R → Rn
no lineal, en (Xiang-Jun Wen, Zheng-Mao Wu, Jun-Guo
Lu, 2008) se presenta el siguiente resultado.
Teorema 1: Consideramos el siguiente sistema dinámico
n-dimensional de orden fraccionario
m x(rm −1) m xrm
n
s fi (s xi (t))
IV-A. Sistema de Lorenz de orden fraccionario
Considérese el sistema de Lorenz de orden fraccionario
α, con 0 < α < 1 (Xiang-Jun Wen, Zheng-Mao Wu, JunGuo Lu, 2008):

(α)
x1 (t)
−a1
= A1 x1 +g(x1 ) =  b1
0
a1
−c1
0



0
0
0  x1 + −x11 x13 
−d1
x11 x12
(7)
= (s fi1 (s xi ), · · · ,s fin (s xi ))T
= (s hij1 (s xj ), · · · ,s hijn (s xj ))T
con s xik : R → R, s fik : Rn → R, s hijk : Rn → R,
∀ k ∈ {1, . . . , n}, ∀s ∈ {1, . . . , m} y ∀i, j ∈ {1, . . . , rs }.
También defı́nase:
s X(t)
=
T
s x1 , · · · , s
k Hs (k X)
xT
rs
T
s F (s X)
=
T
T
T
s f1 (s x1 ), · · · ,s frs (s xrs )
T
T
= (k hT
11 (k x1 ), · · · ,k h1rk (k xrk ),k h21 (k x1 ), · · · ,
T
k h2rk (k xrk ) · · ·

Is,k
1r
I k
 11
 0̄2rk
 21
=
..


.

r r
0̄rss 1k
T
T
, · · · ,k hT
rs 1 (k x1 ), · · · ,k hrs rk (k xrk ))

1(2∗rk )
1(r ∗r )
0̄1(r +1)
. . . 0̄1(rk ∗rk r +1)
k
k k
k

2(2∗rk )
2(r ∗r )
I2(r +1)
. . . 0̄2(rk ∗rk r +1) 

k
k
k k

..
..

..

.
.
.

r (2∗rk )
s k +1)
0̄rs (r
...
r (r ∗r )
Ir s(r k∗r k r
s
k
k
k +1)
donde la notación Aik
ij , nos indica que se trata de una
matriz cuyos elementos son matrices, donde: i es el número
de renglón, j es la columna inicial, y k es el número de
columna final. Por ejemplo:
1r
A11k = [A11 . . . A1rk ]
Ası́ el Sistema (3) se puede escribir como:
sX
(α)
= s F (s X) +
m
X
= s F (s X) + Is,s s Hs (s X) +
m
X
con x1 = [x11 , x12 , x13 ]T , α = 0.8 y una condición inicial
dada. Cuando a1 = 10, b1 = 28, c1 = −8, d1 = 8/3 y
α = 0.8 el comportamiento del sistema se muestra en la
Figura 2. Se aplica el control u1 = B1 K1 x con:
B1 = (1, 1, 1)T
Is,k k Hs (k X)
k=1
Figura 2. Plano fase de los estados del Sistema (7), se utiliza la aproximación de (Tom. T. Hartley, Carl F. Lorenzo, Helen Killory Qammer, 1995)
para la integral de orden fraccionario.
(4)
Is,k k Hs (k X)
K1 = (0, −50, 0)
Para esta estructura del sistema se tiene, que la pareja
(A1 , B1 ) es completamente controlable, en este caso se
toma como hipótesis que se puede observar la variable x12 ,
k6=s
para s fijo se tiene: s X : R → R(rs )n , s F : R(rs )n →
R(rs )n , k Hs : R(rk )n → R(rk ∗rs )n ∀ k ∈ {1, . . . , m}.
1 los valores propios de la matriz A deben de satisfacer que el valor
absoluto de su argumento sea mayor que 0.5πα (Denis Matignon, 1996)
2 ρ(A) ≡ radio espectral de la matriz A
Congreso Anual 2010 de la Asociación de México de Control Automático. Puerto Vallarta, Jalisco, México.
de no ser ası́ se puede diseñar un observador.
1 )k
Ahora se tiene que lı́m kg(x
kx1 k = 0, αρ(A1 + B1 K1 ) =
kx1 k→0
31.3943 > 1 y si se desea que la solución x(t) = 0 del
(α)
sistema x1 = (A1 + B1 K1 )x1 sea asintóticamente estable
se debe de cumplir que karg(spec(A1 + B1 K1 ))k > 0.5πα
(se demuestra en (Denis Matignon, 1996)) lo cual sucede,
pues λ1 = −2.6667, λ2 = −26 + 29.3939i, λ3 = −26 −
29.3939i para la elección de B1 y K1 especificadas; por
lo tanto, se satisfacen las condiciones del Teorema 1, lo
cual implica que el Sistema (7), con el control propuesto,
es estable, ası́ la respuesta del Sistema (7) se observa en la
Figura 3.
IV-C. Sistema de Chen de orden fraccionario
Tómese el sistema de Chen de orden fraccionario α, con
0 < α < 1 (Chunguang Li, Guanrong Chen, 2004) que se
puede escribir como:

(α)
x3
−a3
= A3 x3 +g(x3 ) =  c3 − a3
0
a3
c3
0



0
0
0  x3 + −x31 x33  ,
x31 x32
−b3
(9)
Figura 5. Plano fase de los estados del Sistema (9), utilizando la aproximación de (Tom. T. Hartley, Carl F. Lorenzo, Helen Killory Qammer, 1995)
para la integral de orden fraccionario.
con x3 = [x31 , x32 , x33 ]T y una condición inicial dada.
Cuando a3 = 35, b3 = 3, c3 = 28, y α = 0.8, el
comportamiento del sistema se muestra en la Figura 5. Se
aplica el control u3 = B3 K3 x3 con:
Figura 3. Estabilización del Sistema (7), se aplica el control en t = 10
segundos.
IV-B. Sistema de Lü de orden fraccionario
Considérese el sistema de Lü de orden fraccionario α,
con 0 < α < 1 (Jun Guo Lu, 2006) que se puede escribir
como:

(α)
x2
−a2
= A2 x2 +g(x2 ) =  0
0
a2
c2
0



0
0
0  x2 + −x21 x23  ,
−b2
x21 x22
(8)
B3 = (1, 1, 1)T K3 = (0, −50, 0)
Ahora se tiene que
lı́m
kx3 k→0
kg(x3 )k
kx3 k
= 0, αρ(A3 +B3 K3 ) =
32.5077 > 1 y si se quiere que la solución x(t) = 0 del
(α)
sistema x3 = (A3 + B3 K3 )x3 sea asintóticamente estable
se debe cumplir que karg(spec(A3 +B3 K3 ))k > 0.5πα (se
demuestra en (Denis Matignon, 1996)) lo cual sucede, pues
λ1 = −3, λ2 = −16.3653, λ3 = −40.6347 para la elección
de B3 y K3 especificadas; por lo tanto, se satisfacen las
condiciones del Teorema 1, lo cual implica que el Sistema
(9), con el control propuesto, es estable, ası́ la respuesta del
Sistema (9) se observa en la Figura 6.
Figura 4. Plano fase de los estados del Sistema (8), utilizando la aproximación de (Tom. T. Hartley, Carl F. Lorenzo, Helen Killory Qammer, 1995)
para la integral de orden fraccionario.
con x2 = [x21 , x22 , x23 ]T y una condición inicial dada.
Cuando a2 = 35, b2 = 3, c2 = 28, y α = 0.8, el
comportamiento del sistema se muestra en la Figura 4.
Figura 6. Estabilización del Sistema (9), se aplica el control en t = 10
segundos.
Congreso Anual 2010 de la Asociación de México de Control Automático. Puerto Vallarta, Jalisco, México.
V.
S INCRONIZACI ÓN PARCIAL DE REDES COMPLEJAS
FRACCIONARIAS



0
0
0  x3 +  −x31 x33 
x31 x32
−b3

0

−(c3 − a3 )x21 + 2x31 x33 − x21 x33 − x31 x23 
+
−2x31 x32 + x21 x32 + x31 x22
|
{z
}
Acoplamiento
Lü−Ch


x21 − x31
−B3 K3  x22 − x32  ,
x23 − x33
|
{z
}
Acoplamiento Lü−Ch
(12)

−a3
=  c3 − a3
0

(α)
x3
Supóngase que se tiene un sistema de Lorenz (Lo) de
orden fraccionario 0 < α < 1, y un sistema de Chen (Ch)
del mismo orden fraccionario α descritos por las Ecuaciones
(7) y (9) respectivamente, los cuales no están en interacción,
véase la Figura 7.
Lo
Ch
Figura 7. Sistemas de Lorenz y Chen sin interacción.
el comportamiento de estos sistemas se muestra en las
Figuras 2 y 5.
Ahora, sean un sistema de Lorenz (Loc) de orden fraccionario 0 < α < 1 y un sistema de Chen (Chc) del
mismo orden fraccionario α, descritos por las Ecuaciones
(7) y (9) más un control de la forma u1 = B1 K1 x1 y
u3 = B3 K3 x3 respectivamente, en donde los sistemas no
están en interacción, véase Figura la 8.
Loc
a3
−c3
0
donde a1 = 10, b1 = 28, c1 = −8, d1 = 8/3, a2 =
a3 = 35, b2 = b3 = 3 y c2 = c3 = 28 son los valores
de los parámetros para los sistemas de Lorenz, Lü y Chen
respectivamente.
¯1 = a1 , c2 −c̄1 =
De tal manera que −a2 −ā1 = −a1 , a2 − ā
¯1 = 25,
−c1 , −b2 − b̄2 = −d1 , entonces ā1 = −25, ā
c̄1 = 20, b̄2 = −1/3.
En este caso el sistema de Lorenz y Chen fraccionarios son
los sistemas esclavos y el sistema de Lü fraccionario es el
sistema maestro. Se definen los siguientes errores:
e1 = (e11 , e12 , e13 )T = (x21 − x11 , x22 − x12 , x23 − x13 )T
(13)
e3 = (e31 , e32 , e33 )T = (x21 − x31 , x22 − x32 , x23 − x33 )T
(14)
Chc
Figura 8. Sistemas de Lorenz y Chen controlados sin interacción.
El comportamiento de estos sistemas se muestra en las
Figuras 3 y 6. A los sistemas (Lo)-(Ch) se agrega un
sistema de Lü (Lü) del mismo orden fraccionario α, y se
interconectan de la siguiente manera, véase Figura 9.
Entonces la dinámica de los errores e1 (E1 ) y e3 (E3 ) es
la siguiente:
Lo

Lü − Lo
Lü
(α)
e1
Lü − Ch Ch
−a1
=  b1
0
a1
−c1
0
Figura 9. Sistemas de Lorenz, Lü y Chen en interacción.
Entonces el problema es el siguiente: ¿cómo debe de ser la
interconexión de esta red de sistemas dinámicos fraccionarios de orden α para que, tanto el sistema de Lorenz como el
sistema de Chen, se sincronicen con el sistema de Lü? Para
responder esta pregunta tómese la siguiente interconexión:

(α)
x1



0
0
0  x1 +  −x11 x13 
−d1
x11 x12

¯1 x22
ā1 x21 + ā
+  −b1 x21 + c̄1 x22 + 2x11 x13 − x21 x13 − x11 x23 
b̄2 x23 − 2x11 x12 + x21 x12 + x11 x22
|
{z
}
Acoplamiento
Lü−Lo


x21 − x11
−B1 K1  x22 − x12  ,
x23 − x13
|
{z
}
Acoplamiento Lü−Lo
(10)
−a1
=  b1
 0

(α)
x2
=
−a2
0
0
a1
−c1
0
a2
c2
0



0
0


0
−x21 x23  ,
x2 +
−b2
x21 x22
(11)

(α)
e3
−a3
=  c3 − a3
0
a3
c3
0



0
0
0  e1 +  −e11 e13  + B1 K1 e1 ,
−d1
e11 e12
(15)



0
0


0
−e31 e33  + B3 K3 e3 ,
e3 +
−b3
e31 e32
(16)
Se observa que la dinámica de la red (10)-(11)-(12) se
cumple si, y sólo si, ocurre la dinámica de los sistemas
desacoplados (15)-(16) y en este caso lo que se obtiene se
puede observar en la Figura 10.
Lo
Lü − Lo
Lü
Lü − Ch Ch
⇐⇒
E1 = Loc
E3 = Chc
Figura 10. Sistemas de Lorenz, Lü y Chen, con la interacción
propuesta, tienen como consecuencia Sistemas E1 y E3 que no
están en interacción y viceversa.
Debido a lo anterior la Red Compleja (10)-(11)-(12)
se sincroniza si, y sólo si, los Sistemas desacoplados
(15)-(16) se estabilizan. Aún más obsérvese que el
Sistema E1 tiene la dinámica de un sistema de Lorenz
controlado, mientras que E3 la de un sistema de Chen
controlado y se ha visto que es posible estabilizar
estos sistemas, por lo cual la Red Compleja (10)-
Congreso Anual 2010 de la Asociación de México de Control Automático. Puerto Vallarta, Jalisco, México.
(11)-(12) se puede sincronizar, véase la Figura 11.
sistema maestro:
(α)
xM = fM (xM ).
(17)
xM : R → Rn y fM : Rn → Rn , ahora el problema
es el siguiente: ¿cómo se debe de interconectar el sistema
maestro a cada sistema y qué nuevas conexiones se deben
definir, de tal manera que todos los sistemas se sincronicen
con él? Se tiene el siguiente resultado:
Proposición 1: Dada una red compleja de la forma:
(α)
s xi
P 1
Prs
= s fi (s xi ) + rj=1
1 hij (1 xj ) + . . . +
j=1 s hij (s xj )+
Prm
. . . + j=1 m hij (m xj ),
(18)
P
r
s
donde s fi (xi ) + j=1
s hij (s xj ) se puede descomponer en
una parte lineal más una parte no lineal3 . Esta red puede
ser descrita de la siguiente manera:
P
= s F (s X) + m
k X)
k=1 Is,k k Hs (P
= s F (s X) + Is,s s Hs (s X) + m
k6=s Is,k k Hs (k X).
(19)
(α)
sX
Se agrega un sistema maestro a esta red:
(α)
xM = fM (xM ),
(20)
con todos los elementos como se han descrito anteriormente, si el Sistema (21):
sX
(α)
= s F (s X) + Is,s s Hs (s X),
(21)
satisface las hipótesis del Teorema 1 ∀ s ∈ {1, . . . , m},
entonces se tiene que la interconexión definida por la
Ecuación (22):
fa (s xi )
= fM (xM ) − Lin(s fi +
rs
P
s hij )xM
j=1
−s Bi s Ki (xM − s xi )
rs
P
−N ol(s fi +
s hij )(xM − s xi )
j=1
rp
P P
−
p hij (p xj ) − N ol(s fi +
p6=s j=1
rs
P
s hij )(s xi )
j=1
(22)
establecida en cada sistema, ocasiona que la Red Compleja
(18) se sincronice parcialmente con el Sistema Maestro
(20).
Prueba:Al agregar el sistema maestro, cada sistema de la
Red Compleja (18) tiene la siguiente dinámica:
(α)
s xi
Figura 11. Sincronización de los estados de la red, y estabilización de los
errores, se aplica el control en t = 4s.
Se utilizan los valores de B1 K1 y B3 K3 que se utilizan en
el sistema de Lorenz y Chen controlados, respectivamente.
1 x1
2 x1
1 x2
2 x2
1 x3
.........
m x1
m x2
m x3
.........
entonces el error:
s ei
(α)
s ei
1 xr1
(α)
+N ol(s fi +
Ahora se generaliza este problema, a la red (3) se agrega
un sistema del mismo orden fraccionario α, el cual será el
rs
P
s hij )s ei +
j=1
r
s
P
s hij )(s ei ) + s Bi s Ki s ei .
j=1
(25)
Se define:
sE
Figura 12. N sistemas interconectados y un sistema M que se conectará a
ellos.
(24)
(α)
= xM − s xi
2 xr2
m x(rm −1) m xrm
= xM − s xi ,
tiene la dinámica:
= Lin(s fi +
2 x(r2 −1)
2 x3
.........
.................................
.................................
.................................
xM
1 x(r1 −1)
P 1
Pr2
= s fi (s xi ) + rj=1
h ( x ) + ...
1 hij (1 xj ) +
Prs
Prm j=1 2 ij 2 j
+ j=1 s hij (s xj ) + . . . + j=1 m hij (m xj ) + fa (s xi ),
(23)
=
T
T
s e1 , · · · ,s ers
sB sK
T
s F (s E)
=
T
T
T
s f1 (s e1 ), · · ·s frs (s ers )
T
= (s B1 s K1 )T , · · · , (s Brs s Krs )T
3 Lin(·) y N ol(·) se refieren a la parte lineal y no-lineal de sus
argumentos
Congreso Anual 2010 de la Asociación de México de Control Automático. Puerto Vallarta, Jalisco, México.
k Hs (k E)
T
T
= (k hT
11 (k e1 ), · · · ,k h1rk (k erk ),k h21 (k e1 ), · · · ,
T
, · · · ,k hT
rs 1 (k e1 ), · · · ,k hrs rk (k erk ))

1(2∗rk )
1(r ∗r )
0̄1(r +1)
. . . 0̄1(rk ∗rk r +1)
k
k
k k

2(2∗rk )
2(r ∗r )
I2(r +1)
. . . 0̄2(rk ∗rk r +1) 

k
k
k k

..
..

..

.
.
.

r (2∗rk )
r (r ∗r )
. . . Ir s(r k∗r k r +1)
0̄rs (r +1)
T
k h2rk (k erk ), · · ·

Is,k
1r
I k
 11
 0̄2rk
 21
=
..


.

r r
0̄rss 1k
s
k
s
k
k
k
En este caso, se obtiene:
sE
(α)
= s F (s E) + Is,s s Hs (s E) + s B s K s E,
(26)
en particular de la Ecuación (25):
sE
(α)
= Lin(s F + Is,s s Hs )s E+
+N ol(s F + Is,s s Hs )(s E) + s B s K s E,
(27)
para s ∈ 1, . . . , m, el Sistema 27 tiene la misma forma que
la Ecuación 21 la cual satisface las hipótesis del Teorema 1
para cada s, con base en esto, cada sistema s ei se estabiliza.
Ası́ todos los sistemas de la red se sincronizan con el
sistema maestro, con la elección de s B s K para satisfacer
el Teorema 1, por lo cual se obtiene el resultado deseado.
El acoplamiento de la red (10)-(11)-(12) se construyó con
base en el resultado anterior, obteniendo la sincronización
parcial de los sistemas, como se ha comentado anteriormente.
VI.
C ONCLUSIONES
El resultado de sincronización obtenido puede ser aplicado a sistemas fraccionarios lineales, y aún más a sistemas
fraccionarios no lineales que satisfagan las hipotesis de la
Proposición 1, con la restricción de que la sincronización
obtenida es parcial. El esquema de control también se
puede aplicar cuando todos los nodos son del mismo tipo,
partiendo de condiciones iniciales distintas; también cabe
señalar que las hipótesis de la Proposición 1 son aplicables
a otro tipo de sistemas caóticos fraccionarios, y no sólo a los
utilizados en el ejemplo (Zhang Xiao-Dan, Zhao Pin-Dong,
Li Ai-Hua, 2010). Se planea extender este tipo de resultados
utilizando teorı́a de Lyapunov para sistemas fraccionarios.
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