Simulaciones con Objetos Deformables

Transcripción

Dr. Luis Gerardo de la Fraga
Departamento de Computación
Cinvestav Zacatenco
E-mail: [email protected]
20 de mayo, 2013
Tec. Ajalpan
1/51
Contenido
1. El contexto del estudio de objetos deformables
2. Realización de objetos deformables con mallas de sistemas
masa-resorte-amortiguador
3. Objetos virtuales deformables
4. Interacción háptica con objetos deformables
5. Problemas con esta representación y posibles soluciones
6. Conclusiones
Tec. Ajalpan
2/51
Mis áreas de investigación
I
Visión por computadora
I
Aplicaciones de algoritmos evolutivos
I
Modelos deformables
I
Seguridad en redes de computadoras
Tec. Ajalpan
3/51
Las tres áreas principales
a
a
Foley, van Dam, Feiner, Hughes, Computer Graphics: principles and
practice, 2000, Addison Wesley.
1. Graficación: Trata la sı́ntesis de escenas con objetos reales o
imaginarios a partir de sus modelos computacionales.
2. Procesamiento de Imagen:
2.1
2.2
2.3
2.4
Realzado de imagen
Detección y reconocimiento de patrones
Análisis de escenas
Visión por computadora: Reconstrucción de un modelo 3D
de una escena a partir de varias imágenes 2D.
Desde los años 90 del siglo pasado, visión es un área es sı́ misma
debido al número de publicaciones y revistas en el área.
Tec. Ajalpan
4/51
Áreas relacionadas
1. Procesamiento de imágenes
2. Graficación
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Realidad virtual
Geometrı́a computacional
Interfaces hápticas
Interfaces hombre-máquina
Modelos deformables
Visualización de fluidos
3. Visión
3.1
3.2
3.3
3.4
Geometrı́a proyectiva
Realidad aumentada (usa las tres áreas)
Análisis numérico
Procesamiento paralelo (GPUs)
Tec. Ajalpan
5/51
Objetos deformables
Son objetos que cambian su apariencia debido a la aplicación de
fuerzas externas. Se pueden realizar con
1. Mallas de resortes
2. Simulación de fluidos
Tec. Ajalpan
6/51
Mallas de resortes
Un resorte se deforma según la ley de Hook:
F = kx
k
Tec. Ajalpan
7/51
Sistema masa-resorteamortiguador
Si agregamos una masa, el
sistema se comporta según la
segunda ley de Newton:
b
k
F = mẍ + kx
Pero este sistema
oscilará perpetuamente. Para
disipar la energı́a agregamos
un amortiguador
m
F = mẍ + b ẋ + kx
F
Tec. Ajalpan
8/51
Mallas con sistemas RMA (1/2)
Esta malla tiene el incoveniente de que no tiene resortes
torcionales.
Tec. Ajalpan
9/51
Mallas con sistemas RMA (2/2)
Sin los resortes torcionales, la malla tendrá varios estados estables:
Tec. Ajalpan
10/51
Para evitar modelar los resortes torcionales, se usan otros resortes
simples entre la posición original y los vértices de la malla.
F = mẍ + b ẋ + kx +
Tec. Ajalpan
X
kr x
11/51
Usando mallas de simplejos se puede usar un mismo motor de
deformación en toda la malla.
Tec. Ajalpan
12/51
Resolviendo la ecuación diferencial
La ecuación diferencial de segundo orden:
ẍ + 2λẋ + ω 2 = F ,
es muy conocida y tiene soluciones exactas. Se tienen tres
soluciones:
1. Sobreamortiguada, cuando λ2 − ω 2 > 0
2. Crı́ticamente amortiguada, cuando λ2 − ω 2 = 0
3. Subamotiguada, cuando λ2 − ω 2 < 0
Tec. Ajalpan
13/51
Deben selecionarse los valores para k, b y m de forma que la
respuesta del sistema sea subamortiguada (debido a que es la
respuesta es más rápida)
subamortiguado
deformación
sobreamortiguado
tiempo
Tec. Ajalpan
14/51
Las soluciones exactas son:
I
Caso sobreamortiguado:
p
i
h
p
F
x(t) = e −λt c1 exp t λ2 − ω 2 + c2 exp −t λ2 − ω 2 + 2
ω
p
F p 2
2
λ − ω − λ − ẋ(0) / 2 λ2 − ω 2
c2 =
x(0) − 2
ω
F
c1 = x(0) − c2 − 2
ω
I
Caso crı́ticamente amortiguado:
x(t) = e −λt (c1 + c2 t) +
c1 = x(0) −
I
F
,
ω2
F
ω2
c2 = ẋ(0) + λc1
Caso subamortiguado:
p
i
h
p
F
x(t) = e −λt c1 sen t ω 2 − λ2 + c2 cos t ω 2 − λ2 + 2
ω
F
ẋ(0) + λc2
c2 = x(0) − 2 ,
c1 = √
ω
ω 2 − λ2
Tec. Ajalpan
15/51
Es evidente la complejidad de calcular una solución exacta (en un
tiempo dado) para la ecuación diferencial de segundo orden.
Por ello se utiliza una solución numérica que conlleve menos costo
computacional.
Tec. Ajalpan
16/51
Probamos cuatro métodos para resolver numéricamente el sistema
RMA
1. Diferencias finitas centrales
2. Euler
3. Heun
4. Runge–Kutta de cuarto orden
Tec. Ajalpan
17/51
Diferencias finitas centrales (1/2)
La velocidad, ẋ, y la aceleración, ẍ, se discretizan como:
ẋ =
x(t) − x(t − 1)
, y
∆t
ẍ =
ẋf − ẋi
∆t
donde
x(t + 1) − x(t)
, y ẋi = ẋ.
∆t
De esta forma el estado siguiente del sistema, x(t + 1), se calcula
a partir del estado actual y del anterior.
ẋf =
Tec. Ajalpan
18/51
Diferencias finitas centrales (2/2)
La aceleración queda expresada como:
ẍ =
x(t + 1) − 2x(t) + x(t − 1)
(∆t)2
Sustituyedo las expresiones para ẍ y ẋ en la ec. diferencial, queda:
b
k
b
(∆t)2
x(t+1) = x(t) 2 − ∆t − (∆t)2 +x(t−1)
∆t − 1 +
F,
m
m
m
m
x(t + 1) = k1 x(t) − k2 x(t − 1) + k3 F .
Tec. Ajalpan
19/51
Número de operaciones requeridas por cada
método
Método
Dif. finitas centrales
Euler
Heun
RK4
No. sumas
2M
4M
13M
25M
No. productos
2M
4M
10M
20M
Operaciones requeridas para M subintervalos de tiempo.
Tec. Ajalpan
20/51
Error acumulado durante 3 seg para
Error acumulado durante 3 seg para
b = 1.2, k = 2.0 y m = 1.0
b = 0.01, k = 0.1 y m = 0.001
Tec. Ajalpan
21/51
Objetos virtuales deformables
Aplicar fuerzas
externas
Deformar
Visualizar
Para efectos de visualización, el lazo se ejecuta a 30 Hz.
Tec. Ajalpan
22/51
Ejemplo 1. Un resorte simple
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
mẍ + b ẋ + kx = F .
Tec. Ajalpan
23/51
Para los valores: m = 1.0 Kg, b = 2.66667 Kg/seg, k = 11.11111
Kg/seg2 , F = 11.11111 N y ∆t = 1/30.0 seg., la respuesta es:
1.2
Deformación (metros)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
Tiempo (segundos)
Tec. Ajalpan
24/51
Ejemplo 2. Otro resorte simple
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
F
mẍ + b ẋ + kx + kr x = Fx ,
mÿ + b ẏ + ky + kr y = Fy .
Tec. Ajalpan
25/51
Ejemplo 2. Otro resorte simple
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
F
mẍ + b ẋ + kx = Fx ,
mÿ + b ẏ + ky = Fy .
Cuando no se aplica fuerza externa a un nodo, la fuerza del nodo
vecino se propaga como Fx = kx/2.
Tec. Ajalpan
26/51
Siguiente reto: tocar los objetos
I
Se introduce un detector de colisiones para localizar el objeto
virtual. Se desarrollaron estos detectores primeramente para la
técnica de visualización por trazo de rayo.
I
Se debe introducir un control proporcional-derivativo (PD)
para que la superficie tocada del objeto deformable siga el
movimiento del contacto.
Tec. Ajalpan
27/51
Detector de colisiones (1/4)
y
y
p2
p0
p1
p0
x
p1
x
p2
Si
~u = p1 − p0 , y
~v = p2 − p0 ,
~u × ~v > 0 para el diagrama de la izquierda.
~u × ~v < 0 para el diagrama de la derecha.
Tec. Ajalpan
28/51
~r
~n
~r
~n
~n · ~r = |~n||~r | cos θ
Por lo tanto hay colision entre el rayo expresado por ~r y el plano
con la normal ~n si ~n · ~r < 0 (o θ > 90◦ ).
Tec. Ajalpan
29/51
c
p2
p2
c
p0
p1
p1
p0
c
Tec. Ajalpan
30/51
I
Hemos utilizado la prueba de esfera ó rayo contra triángulo [1]
I
Se tiene que triangular las caras que forman los simplejos [1, 2]
I
Hemos usado la prueba exhaustiva de todos los triángulos
contra una esfera con la biblioteca SOLID [3].
Tec. Ajalpan
31/51
Triangulación
Tec. Ajalpan
32/51
Control proporcional derivativo
I
La entrada del sistema de deformación es fuerza y se produce
un desplazamiento.
I
Al momento del contacto, se debe de invertir la planta para
que la entrada del sistema sea desplazamiento y genere
desplazamiento.
I
Se introduce un control PD para asegurar que el
desplazamiento generado en el contacto sea estable.
Tec. Ajalpan
33/51
La transformada de Laplace del sistema de deformación sin control:
L{mẍ + b ẋ + kx} = L{F },
ms 2 X (s) + bsX (s) + kX (s) = F (s),
X (s)
1
=
= G1 (s).
2
F (s)
ms + bs + k
Tec. Ajalpan
34/51
El sistema con un control PD:
mẍ + b ẋ + kx = kd ẏ + kp y ,
Calculando su transformada de Laplace:
L{mẍ + b ẋ + kx} = L{kd ẏ + kp y },
ms 2 X (s) + bsX (s) + kX (s) = kd sY (s) + kp Y (s),
kd s + kp
X (s)
=
.
Y (s)
ms 2 + bs + k
Tec. Ajalpan
35/51
Se retroalimenta el sistema
Y(s)
+−
G
X(s)
X (s)
G (s)
=
Y (s)
1 + G (s)
Resultando
kd s + kp
X (s)
=
.
2
Y (s)
ms + (b + kd )s + (k + kp )
o
kd s + kp
X (s)
=
.
Y (s)
G1 + kd s + kp
Que es estable cuando kd > 0 y kp > 0 [1]
Tec. Ajalpan
36/51
Un ejemplo del sistema bajo control PD
1
0.8
Deformación
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Tiempo (seg)
Tec. Ajalpan
37/51
Siguiente reto: Sentir los objetos que se tocan
I
Se tiene que utilizar algún dispositivo háptico
I
La piel tiene requiere una frecuencia más alta que la vista, de
al menos 1 KHz.
I
Se pueden utilizar dos lazos, una a 30 Hz para la visualización
y otro a 1 KHz para el lazo háptico
Tec. Ajalpan
38/51
Interfaces hápticas
El Phantom Omni
Tec. Ajalpan
39/51
Dos lazos
Aplicar fuerzas
externas
Lazo a
1000 Hz
Deformar
Lazo a
30 Hz
Detector
colisiones
Sensación
Visualizar
Tec. Ajalpan
40/51
El lazo interno se aplica a una parte de la malla
Tec. Ajalpan
41/51
¿Que se siente?
Las graficas [4] son de deformación de intestino delgado de cerdo
Tec. Ajalpan
42/51
Modelo de deformación
El modelo generado en [4] es:
F (λ) = αe βλ
donde λ es la razón de compresión l/l0 , y los valores para α y β
son:
in vivo: α = 4.3 × 10−7 , β = 13,
ex vivo: α = 3.7 × 10−9 , β = 9.4,
Tec. Ajalpan
43/51
Visión activa
Tec. Ajalpan
44/51
Preguntas sin resolver
1. ¿Cómo caracterizar la deformación de una superficie real?
2. ¿Qué valores de m, b y k deben de tener una cierta malla
para representar cierto material?
3. ¿Cómo ajustar esos valores si se cambia la resolución de la
malla?
4. ¿Cómo calcular y sentir las fuerzas internas en la malla?
Tec. Ajalpan
45/51
Corte de superficies 2D con mallas de simplejos
Tec. Ajalpan
46/51
Retos futuros
I
Incorporar ruptura y corte con modelos que se comporten
como fluidos
I
¿Cómo simular los cambios de fase?
I
Estas simulaciones son altamente paralelizables y pueden
ejecutarse en GPGPUs
Tec. Ajalpan
47/51
Conclusiones
1. Los objetos deformables pueden representarse con mallas de
sistemas masa-resorte-amortigüador.
2. Estas mallas sirven para efectos de visualización
3. No puede incorporarse fácilmente a estas mallas efectos más
complicados como simulaciones de tejidos (en general de
objetos reales), ruptura y corte. ¿Cómo simular los cambios de
volumen debido a cambios de temperatura?
4. Efectos realistas necesitan modelos más complicados: objetos
deformables simulados como fluidos.
Tec. Ajalpan
48/51
¡Gracias!
Tec. Ajalpan
49/51
Julio Guadalupe Moctezuma Ramı́rez.
Manipulación tridimensional de objetos deformables virtuales.
Master’s thesis, Cinvestav, Departamento de Ingenierı́a Eléctrica,
2006.
Jorge Eduardo Ramı́rez Flores.
Objetos deformables para caracterizar macromoléculas biológicas.
Master’s thesis, Cinvestav, Departamento de Ingenierı́a Eléctrica,
2004.
Gino van den Bergen.
Collision Detection in Interactive 3D Environments.
Morgan Kaufmann, 2004.
I. Brouwer, J. Ustin, L. Bentley, A. Sherman, N. Dhruv, and
F. Tendick.
Medicine Meets Virtual Reality, chapter Measuring In Vivo Animal
Soft Tissue Properties for Haptic Modeling in Surgical Simulation.
IOS Press, 2001.
Tec. Ajalpan
50/51
Departamento de Computación del Cinvestav
Ofrecemos la maestrı́a y doctorado en
Ciencias de la Computación.
I
Página del Departamento: http://www.cs.cinvestav.mx
I
Página personal: http://cs.cinvestav.mx/˜fraga
I
Correo-e: [email protected]
Tec. Ajalpan
51/51

Simulaciones con Objetos Deformables

Transcripción

Documentos relacionados

Datos generales - Directorio de bibliotecas españolas

1. ¿Qué debemos entender por planificación?