escuela t´ecnica superior de ingeniería inform´atica estudios de

escuela t´ecnica superior de ingeniería inform´atica estudios de

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INFORMÁTICA
ESTUDIOS DE INGENIERÍA INFORMÁTICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA I
ÁLGEBRA LINEAL
BOLETINES DE EXÁMENES
Curso 2008-2009
Problema 1
Sea B = {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } una base de R5 . Se consideran los subespacios:
(
F ≡
x1 +
x2 + x3 − x4
= 0
2x2 + x3 + 2x4 − x5 = 0
G = L < v 1 , v 2 , v 3 , v4 >
donde los vectores v1 , v2 , v3 y v4 son v1 = (1, 0, 0, −1, 0)t , v2 = (0, −1, −1, 4, −1)t , v3 = (1, 1, 0, −4, 0)t
y v4 = (3, −2, 4, −1, 4)t .
1. Determinar la dimensión, una base, ecuaciones implı́citas y paramétricas de F , G, F ∩ G y
F + G, respecto de la base B.
2. Construir subespacios complementarios de F y de G.
Problema 2
Consideramos en R4 las variedades lineales cuyas ecuaciones respecto de la base canónica son:
(
F ≡
x + y
y + z
= 0
= 0
(
G≡
x
y
− αt = 0
+ t = 0
a) Hallar, en función de α, las dimensiones , bases y ecuaciones implı́citas de F ∩ G y F + G.
b) ¿Existe algún valor de α para el cual se tenga que R4 = F ⊕ G? Justificar la respuesta.
c) Hallar, en función de α, variedades complementarias (suplementarias) del subespacio G.
d) Para α = 1, obtener una base B de R4 a partir de una base de G y de una base de su variedad
complementaria obtenida en el apartado anterior.
e) Calcular la ecuación del cambio de la base B, y viceversa.
Problema 3
Sea la base B = {(2, 2, −1)t , (1, 1, 0)t , (1, 0, 2)t } de R3 y sea f el endomorfismo cuya matriz
respecto de la base B es


14
5 −2

5 
 −27 −9

5
2
1
1. Calcular la expresión del endomorfismo adjunto f ∗ respecto de la base B.
2. ¿Es el endomorfismo f normal?
3. ¿Es autoadjunto?
Problema 4
Sea el endomorfismo f (x) = Ax cuya matriz respecto de la base canónica es





1
8
9
1
1. Calcular su forma canónica de Jordan.
2. Calcular una base canónica de Jordan.
1 −2
0
2
1 −7 


4 −1 −8 
0 −1
0

Problema 5
En R4 con el producto escalar usual
seconsidera la aplicación f : R4 → R4 definida como

1
 −1 


. Se pide:
f (x) = x− < x, v > v, en donde v = 
 1 
−1
1. Demostrar que f es lineal.
2. Calcular la matriz A de la aplicación f respecto de la base canónica.
1
1
1
 −1   1   0 

 

 
,
, 
, 
3. Sea el conjunto B = {
 1   0   −1 
0
0
−1
maciones elementales, que dicho conjunto constituye
matricial de la aplicación f respecto a esta base.






1
 0 



}. Demostrar, usando transfor 0 
1
una base de R4 y calcular la expresión


4. Sean las variedades

(
F ≡
x + y + z + t = 0
x − y + z + 3t = 0



y G =< 
2
−2
2
0




,





0
0
0
1




,





−1
1
−1
1



>

Calcular una base, la dimensión y unas ecuaciones implı́citas de las variedades
f (F ) ∩ f −1 (G) y de f −1 (F ) + f (G).
0
 0

5. Sea la matriz C = 
 0
0
como g(x) = (A + C)x.
y del Ker(f ).

0
0 0
0
0 0 

 y consideremos la aplicación lineal g : R4 → R4 definida
0 −2 1 
2 −1 0
Calcular las ecuaciones implı́citas y una base del subespacio Img(g)

Problema 6
Consideremos, en el espacio vectorial R3 con el producto escalar usual, las aplicaciones f, g :
R3 → R3 definidas como f (x) = Ax y g(x) = Bx, donde las matrices A y B son:


−1/3
2/3
2/3

2/3 
A =  2/3 −1/3

2/3
2/3 −1/3


1 1 1


B= 1 1 0 
1 1 1
y sea la variedad lineal L, cuyas ecuaciones implı́citas son:
(
L≡
x − y
= 0
x
− z = 0
Se pide:
a) Calcular una base, la dimensión y las ecuaciones implı́citas de f (L) y de f −1 (L⊥ ).
b) Calcular una base, las ecuaciones implı́citas y paramétricas de núcleo y de la imagen de la
composición g ◦ f .
c) Calcular la base canónica de Jordan de f ası́ como su forma canónica de Jordan.
d) Ortonormalizar la base canónica de Jordan y calcular la expresión matricial de f respecto a
dicha base ortonormal.
Problema 7




En R4 se considera el producto < x, y >= y t Qx, en donde Q = 
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
1
2
3
4



.

1. Demostrar que dicho producto es un producto escalar.
2. A partir de la base canónica, obtener una base ortonormal de R4 .
3. Sea la aplicación lineal f : R4 → R4 definida como f (x) = Ax, donde




A=
2 −1
0
0
−1
2 −1
0
0 −1
2 −1
0
0 −1
1



. Calcular el adjunto f ∗ .

4. ¿Es f autoadjunto? ¿Es normal?
(
5. Siendo L la variedad cuyas ecuaciones implı́citas son L ≡
x + y + z + t = 0
,
x − y + z + 3t = 0
calcular (f (L))⊥ y f (L⊥ ).
6. Calcular la forma canónica de Jordan, ası́
matriz

1
 0


 −1
0
como una base formada por autovectores, de la
1
2
1
0
1
1
0 −1 


3
2 
0
2

Problema 8
En R3 con el producto escalar usual
la aplicación f : R3 → R3 definida como
 se considera

2
2 < x, v >


f (x) = x −
v, en donde v =  2 . Se pide:
< v, v >
−1
1. Demostrar que f es lineal.
2. Calcular la matriz A de la aplicación f respecto de la base canónica.






2
−1
1

 
 

3. Sea el conjunto B = { 2  ,  1  ,  0 }. Demostrar, usando transformaciones
−1
0
2
elementales, que dicho conjunto constituye una base de R3 y calcular la expresión matricial
de la aplicación f respecto a esta base.
n
4. Respecto de la base B se consideran las variedades F ≡ x + y + z = 0 y G =<

 

2
0

 

 −1  ,  0  >. Calcular una base, la dimensión y unas ecuaciones implı́citas de las
−1
1
variedades F ∩ G y de f −1 (G) + f (F ).
5. Calcular la forma canónica de Jordan de f , ası́ como una base canónica de Jordan.
Problema 9
Sea la base B = {(2, 2, −1)t , (−1, 1, 0)t , (1, 0, 2)t } de R3 con el producto escalar usual y sea f el
endomorfismo cuya matriz respecto de la base B es


2 2 −1

2 
 −4 5

1 1
4
1. Calcular la expresión del endomorfismo adjunto f ∗ respecto de la base B.
2. ¿Es el endomorfismo f normal? ¿Y autoadjunto?
3. Si L es la variedad de ecuación
n
x + y + z = 0 , calcular f (L⊥ ) y (f (L))⊥
Problema 10


1
1
0

3
t
2 −1 
Se considera en R el producto < x, y >= y Qx en donde la matriz Q viene dada por  1
,
0 −1 α
respecto de la base canónica {e1 , e2 , e3 }.
1. ¿Para qué valores de α se trata de un producto escalar?
(
2. Calcular α sabiendo que, además, las variedades L ≡
x1 = 0
y L0 ≡ {x2 − 2x3 = 0 son
x2 = 0
ortogonales.
3. Encontrar, para el valor de α obtenido en el apartado anterior y a partir de L y L0 , una base
ortonormal B de R3 .
4. Consideremos el endomorfismo f de R3 definido por:
f (e1 ) = −e1 + e2
f (−1, 1, 0)t = (−1, 1, 1)t
f (−1, 1, 1)t = (1, 0, 0)t
(a) Hallar la matriz asociada a f respecto de la base canónica.
(b) Dada la variedad lineal L1 de R3 , de ecuación implı́cita {x2 = 0, calcular las coordenadas
de una base de [f −1 (L1 )]⊥ respecto de la base canónica.
Problema 11

Con el producto escalar usual en R3 se considera la base B

1
1
1
0 −1

endomorfismo f cuya matriz respecto de la base B es  1
 
 

0
0
5
 


 
= { 3  ,  −4  ,  0 } y el
4
3
0

0
−1 

1
1. Calcular la expresión matricial de f respecto de la base canónica.
2. Calcular, respecto de la base B, la expresión matricial de un endomorfismo g que verifique
que
< f (x), y >=< x, g(y) >, ∀x, y ∈ R3
3. ¿Cuantos endomorfismos existen que verifiquen la ecuación del apartado anterior?
4. ¿Es f autoadjunto? ¿Es f normal?
Problema 12
Sea la sucesión real (an ) definida como a0 = 0, !a1 = 1, an+1 = an + an−1 , ∀n > 1. Consideremos
an
los vectores de R2 definidos como un =
, ∀n > 0
an−1
1. Demostrar que un+1 = Aun , en donde A =
1 1
1 0
!
.
2. Demostrar por inducción que un+1 = An u1 , ∀n > 0.
3. Calcular la forma canónica de Jordan de A, comprobando que se trata de una matriz diagonalizable.
4. Si D es la forma diagonal de A y P es la matriz del cambio a la base de Jordan, demostrar
por inducción que An = P Dn P −1 , ∀n > 0.
5. Usando los apartados anteriores, obtener una expresión del término n-ésimo de la sucesión
(an ).
Problema 13
Sea B = {u1 , u2 , u3 , u4 } una base de R4 . Se consideran los subespacios:
(
F ≡
x1 + αx2 + x3 − x4 = 0
x1 + x2 + x3 − x4 = 0
G =< (1, 0, 0, −1), (0, −1, −1, 4), (2, −1, −1, 2) >
1. Determinar, según los valores de α, dimensiones, bases y ecuaciones implı́citas de las variedades F , G, F ∩ G y F + G, respecto de la base B.
2. ¿Existe algún valor de α para el cual R4 = F ⊕ G? Razonar la respuesta.
3. Construir subespacios complementarios de F y de G. según los valores de α.
Problema 14
Consideremos, las aplicaciones lineales f, g : R3 → R3 definidas como


1 1 1


g(x) =  1 1 0  x
1 1 1
f (1, 1, 1) = (2, 0, 0), f (0, −1, 1) = (0, 0, 1), f (0, 0, 1) = (1, −1, 0)
respecto de las bases canónicas.
Sean las variedades lineales L1 y L2 cuyas ecuaciones implı́citas son:
(
L1 ≡
x − y
= 0
y − z = 0
L2 ≡ {x − z = 0
a) Hallar las matrices asociadas a f y g ◦ f respecto a bases canónicas.
b) Calcular dimensiones y bases del núcleo y de la imagen de la composición g ◦ f . ¿Es inyectiva
la aplicación g ◦ f ? ¿Es sobreyectiva? Razonar las respuestas.
c) Calcular dimensiones, bases y ecuaciones implı́citas de f (L1 ∩ L2 ) y f −1 (L2 ).
Problema 15


1 −1 0

2 1 
En R3 se considera el producto < x, y >= y t Qx, en donde Q =  −1
.
0
1 a
1. Hallar los valores de a para los cuales dicho producto es un producto escalar.
(
2. Calcular a sabiendo además que las variedades lineales L ≡
0
L =< (1, 0, 0), (0, −2, 1) >, cumplen que L⊥ = L0 .
x
y
= 0
= 0
3. Para el valor de a obtenido en el apartado anterior, hallar una base ortonormal de R3 , apli0
cando Gram-Schmidt a partir de las bases de L y L .
4. Si f : R3 → R3 es una aplicación lineal definida por:
f (e1 ) = e1 + e2
f (e2 ) = −2e1 + 2e2 + e3
f (e3 ) = 2e1 − e2 − e3
Consideremos la variedad lineal M ≡ {x3 = 0. Hallar F = [f (M ) + M ]⊥ .
Problema 16
Resolver las siguientes cuestiones independientes:
a) Dada f : R5 −→ R5 lineal, tal que Ker(f ) ∩ Img(f ) = {0}. Demostrar que:
R5 = Ker(f ) ⊕ Img(f )
b) Consideramos el espacio vectorial de las matrices cuadradas reales de orden 2, M(2, 2), dotado
con las operaciones suma de matrices y producto de un escalar por una matriz. Sea f las
aplicación f : M(2, 2) −→ M(2, 2) tal que f (A) = At − A. Demostrar que f es lineal.
Problema 17
Sean f y g las aplicaciones lineales de R4 , respecto de la base canónica, dadas por
f ((x, y, z, t)t ) = (y − z + t, x + z − t, −x + y + t, x − y + z)t




g
x
y
z
t






=


1
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0 −1
0
0
0 −2





x
y
z
t





a) Hallar la matriz de f respecto de las bases canónica y C, siendo
C = {(1, −1, 0, 0)t , (0, 1, −1, 0)t , (0, 0, 1, −1)t , (0, 0, 0, 1)t }
Respecto de la base canónica,
b) Sean L1 y L2 las variedades lineales siguientes:
(
L1 ≡
x + 3y + z − t = 0
x − y + z + 3t = 0
L2 =< (1, −1, 1, 0)t , (0, 0, 0, 2)t , (1, −1, 1, −1)t >
Hallar una base, la dimensión y unas ecuaciones implı́citas de la variedad
f (L1 ) ∩ f −1 (L2 ) y ası́ como de una variedad complementaria de L1 + L2 .
c) Hallar unas ecuaciones implı́citas y una base de Img(g ◦ f ) y de Ker(f ◦ g).
Problema 18
Consideremos en el espacio vectorial R3 el producto definido como


1 0 1

t
< x, y >= y  0 1 1  x
1 1 α
a) ¿Para que valores de α se trata de un producto escalar?.
b) Halla el valor de α sabiendo además que si L =< (1, −1, 1)t > entonces
L⊥ =< (−4, 0, 1)t , (0, 1, 0)t >.
c) A partir de B = {(1, −1, 1)t , (−4, 0, 1)t , (0, 1, 0)t } obtener una base ortonormal
de R3 , usando Gram-Schmidt.
Problema 19
Sea f la aplicación lineal de R4 dada por



f

x
y
z
t






=


0
1
−1
3
x
1
1
1


0 −1 −1   y

0
1
1  z
t
2
0
0






y g : R4 → R3 definida por g((x, y, z, t)t ) = (x + y + z, x + y + t, x − y)t respecto de las bases
canónicas, B = {(1, −1, 1, 1)t , (0, 1, −1, 1)t , (0, 0, 1, −1)t , (0, 0, 0, 1)t } una base de R4 , L1 , L2 dos
variedades lineales de R4 donde
(
L1 ≡
x−y−z =0
2x − y − t = 0
L2 =< (1, 0, 0, 1)t , (1, 0, 1, 2)t >
y L3 una variedad lineal de R3 respecto de las bases canónicas con
L3 =< (1, 1, 2)t , (0, −1, 0)t >
a) Encontrar la matriz de f respecto de la base B.
b) Hallar la dimensión, una base y unas ecuaciones implı́citas de Ker(g ◦ f ) y Img(f ) respecto
de las bases canónicas.
c) Hallar la dimensión, una base y unas ecuaciones implı́citas de f (L1 ∩L2 ), f (L1 +L2 ) y g −1 (L3 )
respecto de las bases canónicas.
Problema 20
En el espacio vectorial euclı́deo R3 y respecto de una base ortonormal se considera la aplicación
lineal f : R3 → R3 que tiene por ecuaciones:





x1
α + 2β −α −β
x1





1
0 
f  x2  =  −1
  x2 
x3
−2
0
1
x3
1. Sabiendo que el Ker (f ) es ortogonal a la Img (f ).
(a) Hallar α y β.
(b) Probar que Ker (f ) ∩ Img (f ) = {0}.
(c) Probar que Ker (f ) ⊕ Img (f ) = R3 .
2. Para α = 1 y β = 2 obtener una base B1 del Ker (f ), y otra B2 de la Img (f ). A partir de
B = B1 ∪ B2 , hallar una base ortonormal de R3 aplicando Gram Schmidt.
Problema 21
Sean las aplicaciones lineales f : R3 → R4 y g : R4 → R3 tales que
f (e1 ) = e1 + e4 , f (e2 ) = αe2 + e3 , f (e3 ) = e1 + e3 + e4 , g(e4 ) = (0, 1, 0)


1 2α 1 + α

2 
y la matriz asociada a (g ◦ f ) respecto a la base canónica es  2 0
, con α 6= 0.
1 1
2
1. Calcular las matrices asociadas a f y a g respecto de las bases canónicas.
2. ¿Existen valores de α para los cuales f , g y g ◦ f sean inyectivas y/o sobreyectivas?
3. Para α = 1, consideremos las variedades L1 =< (1, 0, 1), (0, 1, 1) > y L2 =< (1, −1, 0) >
Hallar:
(a) una base de (g ◦ f )−1 (L1 ∩ L2 )
(b) unas ecuaciones implı́citas del subespacio suplementario de L1 + L2
Problema 22
En R4 con el producto escalar usual, se considera el
base canónica es

1
0 −2
 1
1 −3

A=
 −1
0
4
1
0 −4
(
1. Sea la variedad lineal F ≡
endomorfismo f cuya matriz respecto a la
−2
−3
3
−3





x1 − x2 + x3
= 0
x2 − x3 − x4 = 0
Hallar una base, la dimensión y unas ecuaciones implı́citas de f (F ⊥ )
2. Obtener la forma canónica de Jordan y una matriz de paso de f .
Problema 23

 
 

1
 1
 
 
Sea B = 
 1  ,  −1  , 


1

0




1 

0 
 una base de R3 y sea f un endomorfismo de R3 , tal que

−1 








1
1
1
−1
1
−1












f  1  =  1  , f  −1  =  1  , f  0  =  0 
1
1
0
0
−1
1
1. Hallar la matriz de f respecto de la base B y la matriz de f respecto de la base canónica.
2. Sean L y M las variedades lineales de R3 dadas por L ≡ {−3x1 + 2x2 + x3 = 0 y M =<
(1, 1, 1)t , (1, 0, 1)t > respecto de la base B. Hallar la dimensión, una base y unas ecuaciones
implı́citas de Ker(f ), Img(f ), f (L ∩ M ), f −1 (L) ∩ M y f −1 (L) + M .
3. Deducir, sin hacer operaciones y razonando las respuestas, la forma canónica de Jordan de f ,
ası́ como la base canónica de Jordan.
Problema 24
En R4 se considera la forma bilineal b definida por b(x, y) = y t Qx en donde


Q=


1
0
0
0
0
1 −1
0
0 −1 α −1
0
0 −1
3





1. Calcular α para que b defina un producto escalar.
(
2. Para α = 2 y dada la variedad lineal L ≡
x1 − x2 = 0
, determinar L⊥ .
x2 − x4 = 0
3. Obtener una base ortonormal de R4 a partir de una base de L y L⊥ .
Problema 25
1. Sea f el endomorfismo de R3 cuya matriz A asociada respecto a la base canónica es simétrica
que verifica que: f ((2, 0, 0)t ) = (2, 0, 2)t , un autovalor de f es λ = 0 y el vector v = (1, −1, 0)t
es un autovector.
(a) Hallar la matriz A y los restantes autovalores de f .
(b) ¿Es A diagonalizable? ¿Por qué? En caso afirmativo, encontrar una base respecto de
la cual la matriz asociada a f es diagonal. Determinar la matriz de paso y la forma
diagonal de f .
2. Encontrar la forma canónica de Jordan de la siguiente matriz:





2 −1
1
1
0 −1
0
0
7
3
4
5
−8
0 −4 −5





Problema 26
Se considera el endomorfismo f : R4 → R4 cuya matriz respecto de la base canónica es



A=

−3
−4
−2
−1
3
4
2
1
−2
−3
−2
−1
1
2
2
1





Sea el conjunto de vectores

 
1
1



 1   2

 
B =  ,


0   1



0
0
 
 
 
,
 
0
1
2
1
 
 
 
,
 
0
0
1
2











1. Demostrar que B es base de R4 .
2. Calcular las ecuaciones de los cambios de bases de la B a la canónica y de la canónica a la B,
usando transformaciones elementales para calcular inversas de matrices.
3. Calcular la expresión matricial de f respecto de la base B.
4. Calcular la dimensión, una base y las ecuaciones implı́citas de la variedad f (F ) ∩ f −1 (G), en
donde

 

0 +
(
* 1
 2   1 
x − y + z
= 0
 

F =
y G=L 

,

 1   2 
2x − 2y + 2z − t = 0
0
1
5. Calcular la forma canónica y una base canónica de Jordan del endomorfismo f .
Problema 27
Se consideran las aplicaciones <, >: R4 × R4 → R definidas como < x, y >= y t Qx, donde
Q = (aij ) es una matriz cuadrada de orden 4 dadas por:


1 0 0 1
 0 1 0 1 

a) aij = i + j − 4, i, j = 1, 2, 3, 4 b) aij = i + j − 1, i, j = 1, 2, 3, 4 c) Q = 


 0 0 1 0 
1 1 0 3
Se pide:
1. Estudiar si las aplicaciones anteriores son o no productos escalares.
2. Considerando el producto escalar definido en c), calcular la variedad ortogonal a L en donde
(
L≡
x2 − x3 = 0
x2 + x3 = 0
3. Usando unas bases de L y de L⊥ , encontrar una base ortonormal de R4 . ¿Cuál es expresión
matricial del producto escalar en dicha base? Razonar la respuesta.
4. Sea f el endomorfismo de R5 cuya matriz respecto de la base canónica es








0
0 1 0
−2
0 0 2
0 −3 0 0
0
0 1 0
−2
0 0 2
0
0
3
0
0








Hallar una base y unas ecuaciones implı́citas de Ker(f ) + Im(f ).
Problema 28
Respecto de la base canónica C de R3 se considera el conjunto de vectores

 

 

0
−3 
1


 


 
B =  −2  ,  1  ,  2 


1
−6
1
y el endomorfismo cuya expresión matricial es





x
6 3 −2
x





f  y  =  2 0 −1   y 
z
12 6 −4
z
Se pide:
1. Demostrar que B es una base de R3 .
2. Usando transformaciones elementales para calcular inversas de matrices, calcular las ecuaciones del cambio de la base B a la C y viceversa.
3. Encontrar la expresión matricial de f respecto de B.
4. Calcular la dimensión, una base y las ecuaciones respecto de la base canónica de la variedad
lineal ker(f ) ∩ Img(f ).
5. Respecto de la base canónica, si L es la variedad lineal de ecuación −x − y + z = 0, calcular
las ecuaciones y una base de los subespacios f −1 (L) ∩ L y f −1 (L) + L.
Problema 29
En R4 se considera la matriz cuadrada A = (aij ) cuyos elementos vienen dados por la expresión
aij = (i − 2)(j − 2), ∀i, j = 1, . . . , 4
1. ¿Podrı́a ser A la matriz de un producto escalar en R4 ?
2. Sea el endomorfismo f : R4 → R4 cuya expresión matricial respecto de una base C es
f (x) = Ax.




(a) Calcular la forma canónica de Jordan de f sabiendo que el vector v = 
−1
0
1
2



 es un

autovector.
(b) Respecto al producto escalar usual, ortonormalizar la base canónica de Jordan de f .
(c) Calcular la expresión matricial de f respecto a dicha base ortonormal.
Problema 30
En R4 sea el endomorfismo f (x) = Ax donde la matriz A, respecto de la base canónica, viene
dada por


−1
1 −2 −1
 0
2
0
0 



A=
 3 −1
4
1 
3 −1
2
3

1



 1

y consideremos el conjunto de vectores B = 
 −1



 
 
 
,
 
0
0
1
1
−1
 
 
 
,
 
−1
0
1
1
 
 
 
,
 
0
0
0
1






 y las variedades




lineales dadas por

(
L1 ≡
x+y−z =0
t=0



L2 = L < 
1
1
2
0
 
 
 
,
 
0
0
0
1



>

Se pide:
1.1 Demostrar que B es una base de R4 .
1.2 Hallar las ecuaciones del cambio de la base canónica a la base B y viceversa, utilizando
transformaciones elementales para el cálculo de matrices inversas.
1.3 Encontrar la matriz de f respecto de la base B.
1.4 Hallar ker(f ) e Img(f ).
1.5 Encontrar la dimensión, una base y unas ecuaciones implı́citas de las variedades lineales
f (L1 ) ∩ L2 , f −1 (L2 ) + L1 y de una variedad complementaria de L1 .
1.6 Calcular la forma canónica de Jordan de la matriz A, ası́ como una base de Jordan.
Problema 31
Fijada una base en R4 se considera la aplicación
<, >: R4 × R4 −→ R
(x, y)
−→ < x, y >= y t Qx


donde Q = 


1
0
0 1
0
1 −1 0
0 −1
2 0
1
0
0 2



 y L es la variedad definida por L ≡

(
x+y =0
z=0
2.1 Demostrar que la aplicación anterior es un producto escalar.
2.2 Hallar L⊥ .
2.3 Hallar una base ortonormal de L.
Problema 32
Fijada una base canónica se considera la aplicación lineal f : R3 → R3 definida como




x
−y




f  y  =  −2x + y − 2z 
z
−x + y − z
y sea el conjunto

 

 

−1
−1 

 1
 


 
B =  1  ,  1  ,  0 


1
0
1
1. Calcular la expresión matricial de f respecto de la base canónica.
2. Demostrar que B es una base de R3 .
3. Usando transformaciones elementales para el cálculo de matrices inversas, calcular las ecuaciones del cambio de bases de B a la canónica y viceversa.
4. Usando dichas ecuaciones, calcular la expresión matricial de f respecto de B.
5. Sea L una variedad complementaria a Img(f ). Calcular una base, la dimensión y las ecuaciones de la variedad ker(f ) + L.
6. Sean las variedades lineales

 

1
1

 

G = L <  1 , 0  >
0
−1
F ≡ {x − y + 2z = 0
Calcular una base y las ecuaciones de la variedad f (F ) ∩ f −1 (G).
Problema 33
A) Fijada una base en R3 , sea f un endomorfismo de R3 y sea
V (λ) = {x ∈ R3 / f (x) = λx}
con λ ∈ R. Se sabe que:
• Los únicos autovalores de f son λ = 1 y λ = 2.
(
• V (1) ≡ {x + y + z = 0 y V (2) ≡
x−y =0
z=0
Se pide:
a) Probar que R3 = V (1) ⊕ V (2).
b) Hallar, si es posible, una base de R3 formada por autovectores ¿Es f diagonalizable?
c) Hallar la forma canónica de Jordan de f ası́ como una base canónica de Jordan.
B) Se considera la aplicación
<, >: R3 × R3 −→ R
definida por < x, y >= y t Qx donde


2 1 0


Q= 1 2 1 
0 1 2
d) Demostrar que se trata de un producto escalar.
e) Hallar unas ecuaciones implı́citas y una base de V (1)⊥ .
f ) Expresar el vector (2, 1, −1)t como suma de un vector de V (1) y otro de V (1)⊥ .
g) A partir de una base de V (1) y de otra de V (1)⊥ encontrar una base ortonormal de R3
¿Cuál es la matriz del producto escalar anterior respecto de la base calculada?
Problema 34
Respecto a la base canónica, se considera en R4 el conjunto B = {a1 , a2 , a3 , a4 } donde



a1 = 

1
−1
0
0






 a2 = 


1
1
0
0






 a3 = 


0
0
1
1






 a4 = 


0
0
1
−1





De un endomorfismo f de R4 se sabe que
ker(f ) = L < −a1 + a3 + a4 , a1 + a2 >,
f (a1 ) = 2a1 ,
f (a3 ) = 2a3
1. Calcular la expresión matricial de f respecto de B, comprobando que B es base.
2. Hallar Img(f ) y comprobar que ker(f ) e Img(f ) son subespacios complementarios.
3. Usando transformaciones elementales para el cálculo de matrices inversas, calcular las ecuaciones del cambio de bases de B a la canónica y viceversa.
4. Usando dichas ecuaciones, calcular la expresión matricial de f respecto de la base canónica.
(
x1 − x2 + x3 − x4 = 0
una variedad de R4 . Calcular una base, la dimensión y las
x1 − x2 = 0
ecuaciones de las variedades L + f (L) y L ∩ f −1 (L), ası́ como una variedad complementaria
de L.
5. Sea L ≡
Problema 35
En R3 con el producto escalar usual y fijada una base, se considera la aplicación lineal f definida
como


1
8 4
−

9
9 9 





8
1 4 

x
f (x) =  −



9
9
9



4
4 7 
9
9 9
1. Si x, y ∈ R3 , demostrar que:
1.1 < f (x), f (y) >=< x, y >
1.2 ||f (x)|| = ||x||
1.3 El ángulo que forman f (x) y f (y) es el mismo que el formado por x e y


2


2. Sea L = L <  2  >.
−1
2.1 Calcular f (L⊥ ) y f (L)⊥ . ¿Coinciden estos subespacios?.
2.2 Ortonormalizar la base de R3 obtenida por la unión de una base de L y otra de L⊥ .
3. Calcular una base de Jordan ası́ como la forma canónica de f .
Problema 36
Sean los siguientes datos
• en R5 el endomorfismo f , respecto de la base canónica, dado por




f (x) = 



1
0
0
0 0
0
1
0
0 0
−2
2 −1
0 0
0
0
0 −1 0
1 −1
1 −1 0









5
• en R el conjunto de vectores B = 










5
1
1
0
0
0
 
 
 
 
,
 
 
 
0
1
1
0
0
 
 
 
 
,
 
 
 



x



 
 
 
 
,
 
 
 
0
0
0
1
1
 
 
 
 
,
 
 
 
1 0 0 0 0
0 1 1 0 0
2
• la aplicación lineal g : R −→ R dada por g(x) =
• la variedad lineal de R5 dada por L1 ≡
0
0
1
1
0

0
0
0
0
1
















!
x

x1 + x2 = 0




x3 = 0
 x4 = 0



x5 = 0
• la variedad lineal de R2 dada por L2 = L <
1
1
!
>
Se pide:
1.1 Hallar las ecuaciones del cambio de la base canónica a la base B y viceversa.
1.2 Encontrar la matriz de f respecto de la base B.
1.3 Hallar la matriz de la aplicación g ◦ f respecto de la base canónica.
1.4 Encontrar la dimensión, una base y unas ecuaciones implı́citas de las variedades lineales
f (L1 ) ∩ g −1 (L2 ), Img(f ) y de la variedad complementaria de L1 .
Problema 37
Se considera la aplicación lineal f : R3 → R3 cuya expresión respecto de la base canónica es
f (x) = Ax en donde






A=






2
1
1
−
− 
3
3
3 


1
2
1 

−
− 
3
3
3 


1
1
−
−
3
3


2 
3
1. Calcular los subespacios propios o invariantes de f .
2. Si V1 y V2 son dichos subespacios, demostrar que R3 = V1
L
V2 .
3. ¿Es f diagonalizable? Calcular la forma y una base canónica de Jordan.

 

1


 
4. Sea la base B =  −1  , 

 
1

0 
,
−1
0
matricial del producto escalar respecto de

1 

t
1 
Q xB la expresión
 y sea < xB , yB >= yB


1
la base B, en donde


2 1 0

Q= 1 2 0 

0 2 3
Calcular la expresión matricial del producto escalar respecto de la base canónica.
5. Calcular los subespacios V1⊥ y V2⊥ .
6. A partir de una base de V1 y de V2 , calcular una base ortonormal de R3 .
Problema 38
Fijada la base canónica en R4 , se consideran las variedades lineales siguientes:


 

 
0
a
0


(


 1   −1   1 
x2 + x3 = 0

 

 
 > L2 ≡
L3 ≡
,
L1 ≡ L <   , 

 2   1   1 
2x2 − x3 = 0



0
0
a
Se pide:
x1
x2
x3
x4
= 0
=
− β
= 0
= α + β
1. Calcular, según los valores del parámetro a, la dimensión y una base de L1 .
2. Para a = 1 calcular una base y las ecuaciones de L1 ∩ L2 . ¿Son L1 y L2 variedades complementarias? Razona la respuesta.
3. Calcular una base, la dimensión y unas ecuaciones implı́citas de L∗3 , donde L∗3 es una variedad
complementaria de L3 .
4. Para a 6= 0, hallar (L2 + L3 ) ∩ L1 .
Problema 39
Respecto de la base canónica se considera en R4 el conjunto

 
 
1
−3
0



 1   1   5
 
 
B= 

,
,




  1
0
0



0
0
0
 
 
 
,
 
0
−2
a
b











1. Determinar los valores de a y b que hacen que B sea una base de R4 .
2. Para a = 0 y b = 1, calcular las ecuaciones del cambio de bases de la B a la canónica y
viceversa, usando transformaciones elementales para el cálculo, si fuese necesario, de matrices
inversas.
3. Respecto de la base canónica se considera la aplicación lineal f : R4 → R4 siguiente:




f
x
y
z
t






=


x−y
z
t
−x + y + t





(a) Calcular las expresión matricial de f respecto de la base canónica.
(b) Calcular las expresión matricial de f respecto de la base B.
4. Respecto de la base canónica se consideran las variedades lineales
(
F ≡
(
x = 0
z = 0
G≡
y
x + y = 0
2x + z = 0
Calcular:
(a) f (F ) ∩ Img(f )
(b) ker(f ) + f −1 (G)
Problema 40
Fijada la base canónica en R3 , se considera la aplicación lineal f (x) = Ax definida como:





x
2 −1 1
x




1 1  y 
f y = 0

z
0 −1 3
z
1. ¿Es f diagonalizable? Justificar la respuesta.
2. Calcular la forma canónica de Jordan de f .
3. Calcular una base canónica de Jordan asociada al endomorfismo f .
Ejercicio 41
Siendo A la matriz de la aplicación lineal f del ejercicio anterior, se considera la matriz Q = A + At .
Sea en R3 el producto definido como < x, y >= y t Qx.
1. Demostrar que el producto anterior es un producto escalar.


 x
= α
2. Siendo la variedad lineal L ≡ y = α + β en donde α, β ∈ R, calcular la dimensión,


z =
− β
una base y las ecuaciones de L⊥ .
3. Ortonormalizar la base de R3 obtenida por la unión de una base de L y otra de L⊥ .
Ejercicio 42
Fijada una base canónica en R3 , se sabe que dos aplicaciones f, g : R3 → R3 lineales verifican:








 





1
1
1
1
1
2












a) g  1  =  1 , g  0  =  0  y g  1  =  1 
1
1
−1
−1
2
1
b) f (x) = g(x) − x

0
1

 

Sean las variedades F ≡ L <  1  ,  0  > y G ≡ { x + 2y + z = 0. Se pide:
0
−1
1. Calcular la expresión matricial de g respecto
 de la
 base
 canónica y comprobar

que la expresión
x
1 −2
1
x





0
0 
matricial de f respecto de dicha base es f  y  =  0
  y .
z
−1
2 −1
z
2. Calcular la forma canónica de Jordan de f .
3. Calcular una base canónica de Jordan asociada al endomorfismo f .
4. Calcular la dimensión, una base y ecuaciones de ker(f ) ∩ F y de Img(f ) + G.
5. ¿Es f −1 (F ∩ G) = f −1 (F ) ∩ f −1 (G)?
Ejercicio 43


3
0
4
2 −1 
Respecto a la base canónica, se considera en el producto < x, y >= y t Qx en donde Q = 
 0
.
4 −1
6

 
 


3
−1 
 −1


 
 

Consideremos en R3 la base B =  1  ,  −1  ,  0 



1
−2
1 
1. Demostrar que el producto anterior es un producto escalar.
2. Calcular la expresión matricial de dicho producto respecto a la base B.




−2
−6

 

3. Respecto de B sea la variedad lineal L ≡ L <  1  ,  2  >. Calcular la dimensión,
2 B
4 B
⊥
una base y las ecuaciones de L respecto de dicha base.
4. A partir de la base de B, obtener una base ortonormal de R3 .
Ejercicio 44
Fijada la base canónica, se considera la aplicación f : R3 → R3 definida como
f (x) = x − 2vv t x
en donde v =
1
1 1
√ , √ , −√
3 3
3
!t
y las variedades lineales
F ≡ { x+y−z =0
G ≡ { 2x − y + z = 0
Se pide:
1. Demostrar que f es lineal.
2. Calcular la matriz de f respecto de la base canónica.

 
 

0
 1
 
 
3. Sea B = 
 0 , 1 ,



1 

1 
 . Demostrar que B es base de R3 . Calcular las ecuaciones

1
1
−1 
de los cambios de bases de B a la canónica y viceversa.
4. Usando dichas ecuaciones, calcular la expresión matricial de f respecto de la base B.
5. Calcular la dimensión, una base y las ecuaciones implı́citas de f −1 (F ) + f (G). ¿Es R3 =
f −1 (F ) ⊕ f (G)?
Ejercicio 45
En R3 con el producto < x, y >= x1 y1 − x3 y1 + 2x2 y2 − x1 y3 + 2x3 y3 se considera el endomorfismo
f (x) = Ax, en donde


1
2 2
−



3
3 3 




2

A= −

3




2
3
Se pide:








1 
1
3
2
3
2
3
3
1. Demostrar que el producto < x, y > es un producto escalar. Calcular la matriz de dicho
producto escalar respecto de la base canónica.
2. Calcular la forma y una base canónica de Jordan del endomorfismo f .
3. Ortonormalizar la base canónica de Jordan de f .
(
4. Siendo las variedades L1 ≡ {x + y − z = 0 y L2 ≡
x+z = 0
, calcular L1 ∩ L⊥
2.
x+y = 0
Ejercicio 46
Sean f y g los endomorfismos de
4
que respecto a la base canónica están definidos por:
f (x, y, z, t) = (y, x, y + 2z, −z + 2t)
g(e1 ) = e1 , g(e2 ) = 2e2 , g(e3 ) = −e3 , g(e4 ) = −2e4
.
Consideremos la base B = {(1, −1, 0, 0), (0, 1, −1, 0), (0, 0, 1, −1), (0, 0, 0, 1)}, respecto de la base
canónica.
a) Hallar la matriz asociada a f respecto de las bases canónica y B.
b) Sean M y N las variedades lineales de
4
que respecto a la base canónica están definidas por:
(
M =< (−1, 0, 1, 0), (−2, 2, −2, 1) >, N ≡
x + y = 0
x − z = 0
b.1) Hallar una base, la dimensión y unas ecuaciones implı́citas de f −1 (M )
b.2) Hallar una base, la dimensión y unas ecuaciones implı́citas de un subespacio suplementario de M ∩ N .
c) Hallar ecuaciones implı́citas y base de cada una de las variedades siguientes :
Im(g ◦ f − 2f ) y Ker(f ◦ g − f ), respecto de la base canónica.
Ejercicio 47
Consideremos el espacio vectorial euclı́deo 4 con con el producto escalar usual, y el endomorfismo
f de 4 cuya matriz respecto de la base canónica es:




A=
a) Si L es una variedad lineal de
4
1
0
0
0
0 0
1 0
2 −1
0 2





con ecuaciones implı́citas respecto de la base canónica
(
L≡
0
1
0
0
x + y + z + t = 0
y
− t = 0
Hallar una base y unas ecuaciones implı́citas de cada una de las variedades lineales
f (L)⊥ + f (L⊥ ) y f (L)⊥ ∩ f (L⊥ )
b) Calcular la forma canónica de f , ası́ como la matriz de paso.
Ejercicio 48
Fijada una base canónica en R3 , se sabe que dos aplicaciones f, g : R3 → R3 lineales verifican:







 






1
1
1
1
1
2











a) g  1  =  1 , g  0  =  0  y g  1  =  1 

1
1
−1
−1
2
1
b) f (x) = g(x) − x

1
0


 
Sean las variedades F ≡ L <  1  ,  0  > y G ≡ { x + 2y + z = 0. Se pide:
−1
0
1. Calcular la expresión matricial de g respecto
 de la
 base
 canónica y comprobar

que la expresión
x
1 −2
1
x




0
0 
matricial de f respecto de dicha base es f 
 y = 0
  y .
z
−1
2 −1
z
2. Calcular la forma canónica de Jordan de f .
3. Calcular una base canónica de Jordan asociada al endomorfismo f .
4. Calcular la dimensión, una base y ecuaciones de ker(f ) ∩ F y de Img(f ) + G.
5. ¿Es f −1 (F ∩ G) = f −1 (F ) ∩ f −1 (G)?
Ejercicio 49


3
0
4

t
2 −1 
Respecto a la base canónica, se considera en el producto < x, y >= y Qx en donde Q =  0
.
4 −1
6


 
 


−1 
3
 −1

 

 
Consideremos en R3 la base B =  1  ,  −1  ,  0 

1 
−2
1
1. Demostrar que el producto anterior es un producto escalar.
2. Calcular la expresión matricial de dicho producto respecto a la base B.




−2
−6

 
3. Respecto de B sea la variedad lineal L ≡ L <  1  ,  2 
 >. Calcular la dimensión,
2 B
4 B
una base y las ecuaciones de L⊥ respecto de dicha base.
4. A partir de la base de B, obtener una base ortonormal de R3 .
Ejercicio 50
Fijada la base canónica en R3 , se considera la aplicación lineal f (x) = Ax definida como:





x
0
2 −1
x




5 −1   y 
f  y  =  −3

z
3 −2
4
z
y las variedades lineales siguientes:

L1 ≡ {3x − 2y + z = 0
y
 

1
2

 

L2 ≡ L <  1  ,  2  >
−1
0
1. Calcular la expresión matricial de f respecto de la base

 
 


−1
1 
 1


 
 

B =  2  ,  −1  ,  1 


1
1
0
2. Calcular una base y las ecuaciones implı́citas de las variedades f (L1 ) y f −1 (L2 ).


0 0
1

3. Sea la aplicación lineal g(x) = (A + C)x en donde C =  0 0 −2 
. Calcular la
0 0 −1
dimensión, una base y las ecuaciones implı́citas de los subespacios Img(g) y ker(g).
4. Calcular la forma y la base canónica de Jordan de la aplicación f .
Ejercicio 51
Sean en R3 el producto definido como < x, y >= y t Qx y la variedad lineal definida como
L ≡ {4x + y − 2z = 0, en donde


1
0 −2

4 −4 
Q= 0

−2 −4
9
1. Demostrar que el producto anterior es un producto escalar.
2. Calcular la dimensión, una base y las ecuaciones de L⊥ .
3. Ortonormalizar la base de R3 obtenida por la unión de una base de L y otra de
L⊥ .
4. Calcular la expresión matricial del producto escalar respecto de dicha base ortonormal.
Ejercicio 52
Fijada la base canónica B = {e1 , e2 , e3 , e4 } en R4 , se considera la aplicación lineal f : R4 →
R4 que cumple
f (e1 ) = e3 + e4
f (e2 ) = e1
f (e3 ) = −e1 + e2 + e3
f (e4 ) = e1 − e2 − e3
Consideremos la base B = {(0, 0, 1, 1)t , (1, 0, 1, 1)t , (1, 1, 0, 0)t , (0, 1, 1, 0)t }. Se pide:
1. Calcular la expresión matricial de f respecto de la base B.
2. Calcular una base de ker(f )
T
Img(f ) y las ecuaciones implı́citas de ker(f ) + Img(f ).
3. Sea la variedad lineal L = L < (0, 1, 0, 0)t , (1, 0, −1, 1)t ) >. Calcular una base y las
ecuaciones de una variedad complementaria a f −1 (L).
4. Comprobar que el polinomio caracterı́stico de f es P (λ) = λ4 − λ3 .
5. Calcular la forma y la base canónica de Jordan de f .
Ejercicio 53
En R4 consideremos el producto cuya expresión respecto de la base canónica es <
x, y >= y t Qx, en donde


1 −1 0 0
 −1
4 1 2 



Q=
 0
1 1 1 
0
2 1 2
1. Demostrar que el producto anterior es un producto escalar.
(
x1 + x4 = 0
. Expresar el vector u = (2, −1, −1, 0)t
x2 + x3 = 0
como suma de un vector de M y otro de M ⊥ .
2. Sea la variedad lineal M ≡
3. A partir de una base de M y otra de M ⊥ , obtener una base ortonormal de R4 .
Ejercicio 54
Sean en R3 el producto definido como < x, y >= y t Qx y el endomorfismo f (x) = Ax en
donde



2
1
1



Q= 1 a+1 0  y A=
1
b
2
Sean las variedades lineales

 

(
2
3
3x

 

F = L <  1 , 1  > y G ≡
4x
1
2

−6 8 4
−2 3 1 

−6 7 5
+ y + 3z = 0
+ y + 5z = 0
1. Calcular los valores de a y de b para que la matriz Q sea la matriz de un producto
escalar.
2. Para a = 0, ortonormalizar una base de la variedad F + G.
3. Para a = 0 y siendo F ∗ una variedad complementaria de F , calcular la dimensión,
T
una base y las ecuaciones de las variedades f (F ) G⊥ y de f −1 (F ∗ ) + ker(f ).
4. Calcular la expresión matricial de f respecto de la base

 
 


1
−1 

 −2

 
 

B =  −1  ,  0  ,  0 


−1
−2
1
Ejercicio 55
Se consideran las aplicaciones lineales f, g : R4 → R4 definidas como:
x
−2
 y 
 −1



f =
 z 
 −1
t
−1
y la variedad lineal:



1
0 0
0
0 0
1 −2 1
1 −1 0





x
y
z
t






y g




L≡L<



1
1
1
1
 
 
 
,
 
x
y
z
t

1
0
1
0






=




>

2
1
1
1
−2
−1
−1
−1
0
0
0
0
2 −2
1 −1





x
y
z
t





1. Calcular una base y las ecuaciones de la variedad f (L)
T
Img(f + g).
2. Comprobar que la ecuación caracterı́stica de f es λ4 + 4λ3 + 6λ2 + 4λ + 1 = 0.
3. Calcular la forma canónica de Jordan de la aplicación f .
4. Calcular la base canónica de Jordan de la aplicación f .