ETNOMATEA,TIITICAS DE LOS OTOMIES

ETNOMATEA,TIITICASDE LOS OTOMIES
Tnov,c.s E. Grsoonr
UaiuetsitT
of North Dahota
El temaetnomatemdticastrara de estudios de conceptos matenriticos con la
pe$pectivadel contexto cultural.r Este traba.jo est6 enfocado a las etno_
matemdticas
de la cultura otomi. Especificamenre,estudio las maremdticas
delos otomies lespecro a su numeraci6n, tdrminos matemdricos culturales,
lasmatemdticasde su arte, matemdticas conectadascon cu.ltura otomi oue se
encuentre
en los c6dices, y matemdticas que aparecenen el calendario oiomi.
Unapartede mi traba.joha sido un intento de distinguir entre las matemdtrcas
delosotomiesy las matem{ticas de los ndh uarl. parJlograr esradisrinci6n, en
variasocasioneshago una comparaci6n entre la cultura otomi y la mexica. El
primertema es la numeraci6n.
Numelacitinotom/
Enla p:igina 126 de Closs (1986), el lingiiista Madison S. Beelerdicq ..... those
engaged
in the search for cognates in language families would be well advised to
commencetheir searchin rhe semantic areasofthe numerals...,,Efectivamenre,
Beelernos dice que un estudio de numeraci6n de una cultura es una actividad
importantey que nos puede indicar conoriones con otras culturas. En el caso qe
losotomiesvamos a examinar sus expresionesde numeraci6n. A continuaci6n
seindicanlaspalabrasy expresionesde la numeraci6n otom(, de !a regi6n del
valledelMezquira.l.Esta listaviene de Barrigapuente (199g:22g,4)ch.), con
unareferenciaoriginal de Merrifield (1969)r. l- .na,2- yoho,3_ hfiu, +_ gono,
5- hrla, 6- 'ft1t0,7- loto, 8- hiiato, 9- gim, l0- .rel a, 1l- trala ma- ira , t2_
trefa ma-yoho, 20-'nate,
39- ?nate ma-.ral a ma- gim, 63- hiiu)rate ma- hfru.
I Hay variasreferencias
de ernomatemiticas;las mls conocidx son las de Ascher { l99l v
2002).
Clossrlq86) y Selin12000).
ellib_r:de BarligaPuenrela categoria48 esla de losdialectosotomies.Escogiel dialecto
, .: l:
del,valle
dei Mezquicalporque me pareceque rienemenosinfluenciade espaiol q'uelos otros
dela categoria48.
168
.I'HON
AS E. GILSDORf
ne-goho
85- whotrate ma- hil a,100-tna nthebe,l00O-'natm0,2488- Toho'mo
nthibe ne- goho'rate ?na-hftatode esta
Podemos deducir ciertas estructuras matemdticas de las expresiones
?rato=
+
to,
y
7i
tenemos:
loto = :lo +
'rt1
lista. Por e.jemplo,para el n(mero 6,
"to" como
I
y
n(mero
l" p"l"bt" 6 vemos la estructura del
rr. Enton..r,
".t
"l + 5"'
indicaci6n d. ,.,-", con 5. Es decir, la palabra tiene la estructura
Similarmente, 7 = 2 + 5, 3 = 3 + 5, 9 = 4 + 5. La expresi6n de I 1 es' evidente m e n te ,1 0+ 1.A demri s,39 = 2Q + I0 + 9,63 = 3x20+ 3' LasP al abras100y
1000 no tienen estructurasbasadasen ndmeros menores' Finalmente' podemos
puede
deducir la estructu ra de 2488:2x1000 + 4xI00 + 4x2O + 8 El lector
datos
examinar las otras palabrasde la lista para ver sus estructuras Con estos
tiene
Mezquital
del
Valle
del
otomi
podemos concluii que la numeraci6n
numeracidn
su
decir,
"5Es
10- 20"'
de la forma
l..,r,"..rr,t.,,.,r" general
-de
(por
8 = 3 + 5), diez (por ejemplo'
ejemplo,
cinco
de
las
bases
estructuras
tiene
"5- l0- 20" se
12 = 10 + 2) y veinte (por ejemplo, 53 = 3/2O + 3)' Esta forma
d. lenguas de la familia otoPame; se pueden ver los
encu€ntra.n'la
-ayoria
en BarrigaPuente(1998).
detalles
de numeraci6notomi con lasde
Ahor" t'.-or-" compararlas expresiones
n:ihuatl.Lassimilitudei y dife.".rciasentrelasmanerasde contaren estasculturasnos puededar algode informaci6nsobreconexionesentle estasculturas'
(1977):
To-"^o.'.o-o fuenieBarrigaPuente(1998:226' 48v'),de Simdon
chicuei'
8chicome'
l- ce,2- orne,3-ye- 4- ,aii,5- macuilli' 6- chiquace,T
"i,
caxtolli'
159- chiconaui,l0- matlactli,Il- tnatlactlionce,12- matkctli omome'
ommatlactli
cempoalli
once,
3Icernpoalli
16- caxtollionce,20- cempoalli,2lonce, 36- cernpoallionca;tulli once, lO0- rnacuilpoalli, 200- rnatlaEoalli'
andlogaa las expresionesotomies, podemosdeducirlas
D. urr"
-"n.r"
6= 5 + 1,7 =5 + 2'8 = 5 + 3,9 =5 +4' 11 = 10+ I'
estructurassiguienres:
En Particular,
Podemos
3\=20+ 10; 1, 100= 5x20,200= 10x20,etcdtera.
con
coinciden
de
6
a
9
los
valores
de
ver que lasestructurasde lasexpresiones
las estructuras otomies de €sos valor€s. Las compararemos con las de
y sus
dialectos yutonahuas. Segrin Barriga Puente (1998: mapa 6, mapa 14)
.efer"rr.ias, l" mayoria de dial.ctos yutonahuas que se encuentran en la regidn
de
del noroeste de Mdxico y suroestede los Estados Unidos, tienen estructuras
acabamos
que
cldsico
los valores de 6 a 9 que no coinciden con las de nrihuatl
de examinar. Un ejemplo de tal dialecto "del norte" es de la cultura oPata'
(1897-98):
Citando a Barriga P uerr.e(1998:224' 4.8p.), de referenciaThomas
6- busani'
marizi'
ruazirs'
nago,5l- se- seni, Z-'god", l- ueitle- uaicle,4que la
7 - seni- bussani,8- go nago, 9- himahoi, l0- maboi' Ahora, deducimos
E'TNOj\,IATI:J!{ATICAS
DE LOSO'TON,IiES
t69
expresidn
de 6 no riene conexi6n con las de I a 5. La expresi6n
de7 es:7 =
1 + 6. La de 8 es: 8 = 2x4. La de 9 es: 9 = l0 _ 1. por
orro lado, la mayoria
dedialectos
yutonahuas que son de grupos mesoamericanosrienen la
misma
esrrucrura
de las expresionesde los nrimeros 6 a 9 que la del ndhuatl
chsico (es
decir,6 = 5 + 1, 7 = 5 + 2, 8 = 5 + 3, y 9 = 5 + 4). Esta estructura
de 6 a 9 es
lamismaque la estructura de 6 a 9 de los otomies. Los deralles
,a .rra,r.rr.r.r,
enBarrigaPuente (1998), examinando los dialectos de la
categoria n(mero
48.Podemosconcluir que quizi los grupos yuronahuas qu.
_L"ron
d. un
lugaren donde la esrrucrura de los valores de 6 a 9 son
*rno lo', opata, a la
partecencralde Mdrico, adoptaron las esrrucrurasde 6 a
9 de los grupos mds
antiguos,
como los otomies. Aunque no se sabe exactamente
de"d6nd. migraronios azrecas,son originarios de un lugar a1none
de lo que hoy en dia es
iaparrecentralde Mdxico (Smirh 2005: 34-37). por lo tanto,
., poritl" q,,.1""
estructuras
matemdticasde las expresionesdel ndhuarl cl{sico delos
n(meros 6
a9 tenganinfluencia de los grupos oropames.Vale la pena
mencionar <1ueesta
conclusi6n
no es nuevar Bartholomew (2000: 195-it6) lleg6 a algo
parecido
a lo.queconcluyo aqui. La diferencia es que ella lo hizo "por
d. un
andlisis
^".dL
de antropologia y Iingiiistica, mientras que mi conclusi6n
viene de
un andlisisde estructuras matemdticas.
Ty'tminos
matemdticos en contextos cultulale,
Conremplandocienas expresionesdel idioma oromi podemos
deducir otros
concepros
..redondo,,
maremiricos. Especificamente.las descripcionesde
elgo
contieneinformaci6n matemdtica: del diccionario de Alonso iJr6ano,
Arte
brnede la lengua otoml (Acvfia 1990), renemos:i la expresi6n
ir.do.,do
d.
es[&ico"esxon n m. La. expresi6n de ,,redondo .o-o
es:matzh?qui,
^..",
xlnuhequi.La exptesi6nde "redondo como columna (pal
o),, es:xon b:om. Asj,,
conestasexpresionespodemos ver que los otomies distinguian
entre objetos
redondos
de tres dimensiones (esf€ricos)yde dos dime"nsiones(mesa),
y
ademisreconocianla geomerria de un cilindro (columna).a
I Valela pena mencionar
que Urbaro empezria escribir estediccionario en 1560, y fue
I€tmrnado
con correcciones
en 1699,
. . aE nCloss(i98 6),p .2lT,s edes c r ibeunam aner as im ilar pa r a c o n r a r o b j e t o s , e n e l c a s o
delosazrecas.
Por orro lado, consult€el diccionariode otomi espaiol d.
t_.Olf-ui. a. N.u. v
(1761, paracompararcon mis observaciones
Molina
del de Alonso U.U"no, o".o .**.ri.".i
---'
corno'iedondo
esf€rico"y "redondoconro mesa'no aparecenen esedi..io;;;.
170
THOIv[\S E, GILSDORF
Arte I materndticas
Una actividad etnomatemitica es estudiar u observar costumbres y/o eventos
con la idea de ver si existen concePtos matemdticos. Lo interesante se da
cuando hay una costumbre o un evento cultural que al principio parece
no estar conectado con matemdticas y, luego' resulta que en realidad si hay
conceptos matemdticos en el proceso.t
Vamos a estudiar el contexto del arte respectoa la cultura otomi' El enfoque
lo hacemos en los procesos de tejer y bordar. En general, al observar a una
persona tejiendo o bordando, al principio, nos Parececomo una acrividad de
iiempo libr.; pero si vemos el proceso con mds cuidado, aparecemucho mds,
Asi podem
y habilidad m
con tejedoras
taro, 2001 y '
ola a veces€s
tradicionalme
Atrora vam(
copias de la fo
incluyendo aspectosmatemdticos.
Antes de entrar en los detalles, puedo hacer unos comentarios generales
sobre las personasque tejen y/o bordan. En primer lugar, la habilidad de tejer
o bordar no esalgo que se aprende en poco tiempo. Tipicamente, Ia personase
acercaa esrascosasa partir de su nifiez, y continta durante toda la wida- Esto
implica reconocer que los procesosde tejer y bordar no son tan simPles'Luego'
enla m"yoria d. casosla personahace el producto completamente basadoen la
memoria, sin usar dibujos o diagramas.6Otro aspecto de tejer y bordar esque
el artista tiene que medir distancias muy precisas,y debe acordarsede muchas
cuentas de hilos. Este tipo de trabajo requiere mucha paciencia y hahilidad
para contar cantidades grandesde memoria. Un trabajo muy laborioso puede
i.rd", un mes en terminarlo. Por cierto, dice Soustelle (1993) l\937l:
muy
infinirayunahabilidad
tambiinunapaciencia
demanda
delosdiserios
La confecci6n
los
hilos...
de
grande.La baseesla cuenta
que
La memoriade los tejedoresoromiesestal perfecta'suscuentasde hilos tan exacras,
a pesardel intervalo que separasu fabricaci6nde las dos mitadesdel motivo, iste' cuando
sim€trico [94].
secosenlos bordes,quedaperfectamenre
Primero, examinamos el aspecto de tejer. Soustelle (1993) U9371 indicz
oue los teiedores tradicionales otomies (como varios otros grupos indigenas
mesoamericanos)utilizan mdtodos que combinan ticnicas prehispdnicascon
europeas. Es decir, los otomies todavia usan mdtodos que tien€n raicesprecolombinas.
comolosde
t Existentrabajos
deltiempoprehist6rico'
sobrelasnratem:iticas
mis generales
Frolov(1978)-Haycuatroaniculosenesaseriedeinvestigaciones'
6El profesorfuchardRarnsay,
medijo quefrecuentemente
personal,
en unacomunicacidn
hace
.l artistau". un productoya hechocomoejemploy unavezqueconocelos patrones,
a parrirdeLrlnemoria.
similares
oroducros
Si hacemos
r
cende losdosla
7 Hay m:isasu
la relacidnentrel:
futuro.
..-
ETNOMATEMATICAS
Dti LOSOTOMIES
171
,4sipodemos
verquecontarmuchoshilos, algoquerequieregran memona
y habilidad
matemdtica,
esuna parredel procesode tejer.En unasentrevistas
contejedoras
tradicionales
otomiesque hice en SanMiguel Tolimdn Querdtaro,2001y 2002,me confirmaronlo anteriorTMe indicaron que hoy en
dlaa veces
escribenlas cuentasen una ho.japara hacerlas sumas,pero que
tradicionalmente
los tejedoreshaciantodo de memoria.
Ahoravarnos
a investigarel procesode bordar.En la figura I aparecen
vanas
copias
dela formade un pdjaro.
Figara1. Disefiode :unatelaotoml,de lxmiqr_rilpan,
Hidalgo.
Fotografiadel autor
Sihacemos
una l{neavertical en medio de la tela, las formas de pdjaro aparectndelosdosladosde esalinea, de orientaci6n opuesta.Desde el punto de vista
THay
m:isasunros
parainvescigar
respecto
a la actividad
detejery la culturaotoml,como
entrelascuentas
h relacirin
o disefios
y susinterprecaciones
culturales.
Bpero hacerloen el
futuro,
t72
]'FIOMAS E. CILSDORF
matemdtico,resula que la personaque realiz6la telasupohacerunamitadde
la forma de pdjaroprimero,y despuisla otra mitad en su orientaci6nopuesm,
para que las formas de pdjaro se reflejaran respectoa la llnea vertical. Pof lo
tanto, concluimosque esapersonaentiendeel conceptode simetriavertical,
De una manerasimilar, podemos concluir que la personaque bord6 estatela
tambiin entiendeel conceptode simetriahorizontal. En su comenhrio anrelior
obsewamosqueSoustelle(1993) [1937] dicequecuandoun tejedorconstruye
un patr6n de un proyecto, hace primero una mitad de la figura y despuisla
otra, lo queverificaque esaspersonasentiendenconceprosde simetrla.sEste
tipo de an:ilisis es una parte del tema de las etnomatemdticas.En el capitulo
6 de Ascher(1991), la autorahaceun andlisisde las propiedadesde simetria
que aparecenen el ane de los incas de Sudamirica.
Matemdicas de los cddices
Hay varios c6dices del valle de Mexico en donde se encuentran crilculosy
slmbolosmatemdticos.Tradicionalmente,en esosc6dicesse describencomo
una fuente de cultura merrica,pero veremosque en varios casossu informaci6n
vienede lugaresque seconocen@mo territorio otoml. Analizindola, podremos
deducir que hay conceptosmatemdticosque aparecenen talesc6dicesque los
otomiesenrendlan,
El CddiceOsuna(tambiCnconocido como La pintura delgob€madoLahaA€t
1 regidaresde Mixico) contiene una descripci6n de denuncias en contra de las
autoridades
virreinales.Fue escritoenve 1563y 1566,y una parteimportante
de su contenido est{ constituido por las descripcionesde tributos pagados
por los indigenasde varias regiones.En estec6dice y en varios otros aparecen
simbolosmatem6ticosprehispinicos(piginas 226-229 de Closs i!86). Los
detallesde esosslmbolos seven en la figura 2:
En lz
bander
de grup
que trib
Mixqui:
Otro
l nourot
en el ca
bandera
Pode
dibujos
En l2
3El profesorfuchard Ramsay(comunicaci<lnpersona.l)me dice que los disefioshan cambiado
durarrtelos afios.Disefiosde cha.lesque aparecenen Soustelle(1993> ll937l, figuras I l-13,
p. 97-98, mucstran cicrtas propiedades de simetria similares a las de la figura l, aunque son
distintas de ista.
-
pecesqr
y ocho r
Otro
son el (
Aidice ,
c6dice
vanast(
, Dib
ETNO T,{,{TCMATICAS DE LOSO TOMTES
173
o
(a/
.,'Y,
(c.)
(h)
(d)
Figara2. Simbolosmatemriricos.
(a): punto: Valoresde I a l9; (b):
Bandera:Unidadesde 20; (c): pluma: Unidadesde 400;
Bolsa:Unidadesde 8000.,
En la figura 3, Aidice dt Osuna,podemosver simbolos de puntos, de
banderas
y de plumas.No se sabesu ong€n, aunqueapar€cen€n contextos
degruposdel valle de Mixico. por otro lado, en Valle (2001, p. 6l) seindica
qu€tributoscomo los de la figura 3 venian de lugarescomo Ixmiquilpan y
Mixquiahuala,
del valle del Mezquiraly del territoiio otomi.
Otro ejemplode tributos vienede unosfragmentosde darosque sellaman
IiibutosdeMixquiahuala,quese puedever en Hermann (200t: gg_99).Como
enel casodel Cddicede Osuna,aparecenslmbolos en estecasode punto y de
oancetas.
ver un ejemploparricularde la fgura 3. En la figura 4 aparecen
...P9de1os
dibujosde unascanridadesdel primer rengldnde la figura 2.
En la parte (a) aparecenlos simbolosde 400 y de 20, .rr,orr"., el total de
peces
queseenrregaronfue de 420. En la partede (b) hay un simbolo de 400
y ochosimbolosde 20, para un total de 400 + (Sx20)= i60.
Otrosdosejemplosen dondeseencuentranmuchossimbolosmatemiticos
sonel C4diceMendocino y La Maticula de TVibatos(que tambidn se llama
AldiceMoctezurna).En Mohar (2001) hay una buena descripci<jnde estos
cddices
y los simbolosmatemdticosque aparecenen ellos.En particular,hay
varias
referencias
a tributos de t€xtilesen lugarescomo Atotoniico el Grande,
'Dibujos del autor, usandocomo ejemploslos de laspdginas228 y 229 de Closs(1986).
E
THOMAS E. GILSDORF
174
Atotonilco deTi.rla,,
otomies(viaseLast
Ross1978)seven r
Por encimade cada
indicaquelos tribu
lasmujeresquelost
de complicadosdi
cultural de lostejid
Ixmiquilpany Mix
descritosfueronen
r{
,": 1
c!: E
j '"
4i
**
Figura 3. Cddicedz Osuna.Y Ie (20O1).
*1
it
a|.|l
6d
tl
4r_)
(d)
4
swsslj
(b)
Figara4. Simbolosptniaiares del CidiceOsana.(a):
(b):Objetosredondos.*
Peces;
*Dibujos del autor, usandocomo ejemploslos de la pigina 58 de Valle (2001).
:l
a
r
Figura 5. llminz
de Mixquiahua
ETNOMATEMATICAS DE LOS OTOMiES
\75
Atotonilco
deTirla,Acoluhuacany Xillotepec (Jilotepec), zonasen donde habia
(vdase
otomies
Lastra2006, mapas2y3). En la figura5 (tomadadel trabajode
Ros1978)sevenunosglifos cuadradosque representan
tributos de textiles.
Porencima
de cadaglifo apareceun slmbolo de 400. Mohar (2001: 52) nos
indica
quelosributos de textileseranalgoimportanrerespecroal trabajode
lasmujeres
quelostejian,"El hdbil manejodel telarsemanifiestaen la entrega
decornplicados
disefios...".
Asi, vemosotro ejemplo de la importancia
cultural-de
lostejidos.En la parteizquierdade la figura 5 seven los glifos de
Ixrniquilpan
y Mixquiahuala.Esto implica que una porci6n de los tributos
descritos
fueronentregadopor oromies.
Figuta5. Limina, d,el Cidice Mendocino. En la parte izquierda se muestran los glifos
deMixquiahualay lxmiquilpan. Imagende CodzxMendaza(1978), comentarios
de Kurt Ross,6gura (F), p. 46.
_..-lF
176
E. CILSDORF
THON,IA.S
IJn cuarto ejemplo trata de medidas de terrenos. En el cap(tulo 9 de Closs
(1986 237-259),H. HarveyyB. $Tilliams describen un sistemaprehispdnico
para medir terrenos, utilizado por los texcocanos.Ese sistema incluye conceptos de geometria para describir la forma y simbolos posicionales para sefialar
tamaios de terrenos, es decit dreas.Harvey y'Williams describen esasmedidas
de tres c6dicesque seescribieron mds o menos Por los afros 1540. Uno sellama
Crjdicede Santa Mar/a Asunci6n, que es un documento de un barrio cerca de
Texcoco. EI segundo es el Cddicede Wrgara, de otro barrio cerca de TExcoco'
es el C dice Maiano Jimtlnez- Esce
.l qrr. nos interesa
EI tercero, qn.
^qr.,i,
",
trata de medidas de terrenos en la regi6n Otlazpan, que hoy en dia esTepeji
del Rio, Hidalgo. Seg(n varios comentarios en Lastra (2006)' Tepeii del Rio
ha sido ocupado por otomies por mucho tiempo.
Entonces, concluimos que en varias ocasiones han aparecido simbolos y
cllculos matemdticos en contextos que incluyen Iugaresotomies Es decir,
la gente que participaba en suministrar la informaci6n que apareceen los
c6dices descritos anteriormente seguramente incluia a Personasde Ia cultura
otomi. Por lo tanto, podemos deducir que los otomies entendian esossimbolos
y cilculos.
Comentarios sobre el afto bisiesto del calendario otom/
El tema del afio bisiestoen calendariosde culturas no-europeasesimportante en
el estudio de la astronomia de tales culturas. Tomando en cuenta el ciclo solar
de 365.2422 dias, bdsicamenteel cuestionamiento es si una cultura Particular
calculaba el aiio bisiesto en sus calendarios. Nos haremos esta pregunta en el
contexto de los otomies.ro El Cddice de Huichapan (Lastra y Bartholomew,
editoras de Ecker 2001) contiene una de las descripciones m{s completas del
calendario otomi. En el Folio 13 (Lastra y Bartholomew:43) del Crjdicede
EdettatemahiAn tumaquiittan a?a.
Huichapan dice " N'uccidaadaqhurya.
ccclx'uyquiittzi edato oras. indbeaxegui. Nih'u oras. Emdh'equi e orai'; que se
traduce como: "Cada afto [consta rleJdieciocho ue;ntanas mds cinco dias [= 365]
cccku.. . sea/iaden seishoras [del] reloj . . ., se llaman horas igtales horas".
Entonces, el cdlculo seria:6x4 = 24 horas en 4 aiios, que nos daria un dia
mds. Por otro lado, hay varias razonespara dudar de este cllculo. Primero, la
medida de 24 horas no existia antes de la llegada de Ios espafioles.Segundo'
to Hay dos fuentesque us€que creo son basrantecompletasrespectoa los calendariosmeUtilici el libro clisico de Alfonso Caso(1967) La primera parte del capitulo 6
soamericanos.
al calenderiode los otomies Tambidn consuhi el trabajode
del libro sededicaespecificamente
lohannaBrodade Casas(1969).
-....-r
CASDE LOSOTOMlES
ETNON,T{TEJ\{ATI
r
s
a
e
;
ii
io
v
177
podemos comparar estecdlculo con el formato de los aios del calendario otomi.
Para hacer esta comparaci6n examinaremos la estructura de la descripci6n de
afios:
Cada aio se describe en el calendario otomi de la forma: (n mero, dia),
d.onde ruimero = I, 2.. . 13 (un ntimero) , y d/a .s uno de los 20 nombres de
los dias. Este formato es un tipo de construcci6n comtin en Mesoamdrica.
En los folios 15 a2O del Cddice de Huichapaz (Lastra y Bartholomew: 4647) hay una comparaci6n de afios europeos con Ios del calendario otomi. Una
lista parcial de esta comparaci6n es 1405 = 4 casa' 14O6 = 5 conejo, 1407 =
6 c a fi a ,1 4 0 8 = / p e d e rn a l ,1 4 09= 8casa, 1410= 9conei o, 1411 = 10 cafi a,
141.2= Il pedernal, 1413 = 12 casa.El patr6n que aParecees que nada mds
se usan cuatro de los veinte nombres de los dias. La explicaci6n matemdtica
de esto es:
ts
365=1 8 x 2 0 + 5 = 3 6 0 + 5 ,
os
entonces, cada afio el nombre del dia del a6o avanza Po! cinco nombres.
Hay 20 nombres, por lo que nada mds se usan 4 para describir los afios
(5x4 =20). Si se incluyera un cdlculo del afio bisiesto de la forma de aumentar
un dia cada cuatro afios, entonces despuds de 4 aios se cambiaria el patr6n
de nombres; pero eso no ocurle en el calendario. Es decir, en el ejemplo de
la comparaci6nde aios, si empezamoscon 1405 = 4 casa,entonces,el ano
1408 tendria formato de 1408 = / lluvia, porque el nombre del dia que sigue
a "pedernal" es "lluvia", y aumentar un dia m{s en el cuarro a6o implicaria
en
Iar
lar
rel
del
'd e
P/1.
ese
651
dia
-t ^
rdo,
ulo 6
Ljode
brincar un nombre de Ia lista.
Soustelle( l99J fl9J7l: J20) propone variaspreguntasque serianequivalentes a Io que comentamos aqui, dudando respectoa que se hacia un cdlculo
de aumentar seishoras al calendario por afio. Vale la pena mencionar que el
calendario mexica tambiin muestra el mismo patr6n de usar solamente cuatlo
nombres de la lista de los dias (sepuede ver esto en Broda d,eCasas1969: 27 ,y
en Rodriguez y Torres 2001: 39). Por tanto, podemos concluir que los otomies
(y mexicas,entre otros grupos) no calculaban el afro bisiesto por medio de una
f6rmula de ripo europeo. Por otro lado, el asunto no termina con esto. En
otras palabras,no podemos concluir, al extremo, que los otomies simplemente
no reconocian el cambio del tiempo que ocurre durante los a6os. Por cierto,
en general un calendario no es nada mds una estructura matemdtica, slno un
instrumento social y cultural. Ascher (2002: 39) y Albores (2006) indican
esto claramente. En el caso de la cultura otomi, sabemos que su calendario
178
TFIO]\1AS E. GILSDORF
estabaconectado muy fi.rertementecon los ciclos de la agricultura, entre otros
factores, y que ellos (y otros grupos de la regi6n) habian usado sus calendarios
por cientos de airos.Esto nos dice que los orom(esseguramentesi ajustaban
su calendariopara coincidir con los ciclos agricolas.El punto importante es
que no utilizaban furmulas como se hacia (y se hace todavia) en el calendario
euroPeo.
Comentulrios)t coflclusionesfna/es
Los temas de matem:iticas del arte y de los comentarios sobre el calendario
oromi nos abrcn otro aspectode las etnomatemdticas:la expresi6ncultural
de conceptos matemiticos. Cuando personas de otras culturas no describen
conceptosmatemdticosen tdrminos de ecuacionesy/o simbolos en formatos
de matemiticas "modernas", debemos tener cuidado de zo concluir tan r{pidamente que esaspersonasson igaorantes de tales conceptos. En el caso del
arte, por ejcmplo, cuando leshe pregunradoa las bordadoresccimologran que
Ias figuras esrdn alineadas, me hablan en tdrminos vagos, como de la forma
de, "para que se vean iguales",o '!ro sd, nada mds hago que se midan bien"'
Por otro lado, con mi experiencias en matemiricas, no hay duda que esas
personas si entienden conceptos colro las cuentas de hilos, medidas precisrs
y
y de simerria.EI hecho de que no describanesosconcePtoscon ecuacrones
simbolos maten{ticos es una indicaci6n de que ellas entienden los mrsmos
concepios,pero en el contexto de su cultura -una cultura no europea.En el
caso del calendario ocurre una situaci6n parecida. Es decir, podemos pensar
que los otomies si ajustaban su calendario para incluir los cambios creados
por el ciclo solar de 365.2422 dias, pero no lo hacian con la forma de una
ecuacidn. En Albores (2006) hav un anilisis del calendario marlanzinca en
donde podemos ver que es posible ajustar el calendario usando los ciclos de
Venus o por medio de observarlos equinoccios y solsticios.Tambidn en Broda
de Casas (1969) hay descripcionesde posibilidadesde incluir el efecrodel ciclo
solar en un calendalio, como los de Mesoamdrica, que no serian por medio de
cdlculosde tipo europeo.
EI fen6meno de obsetwaruna cultura que entiendeconceptosmatemdticos,
pero de formas muy distintas comparadas con Io que son las matemdticas occidentales es algo que ocurre frecuentemente en las etnomatemiticas' Como
un ejemplo podenos considerar un sistema de parentescodescrito en el
capirulo 3 de Ascher (1991). Ella describeque en la culrura de los warlpiri de
Australia utilizan un sistema de relaciones de parentesco equivalente a lo que
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ETNOMAIEMATIC.{sDE Los oTolvlTEs
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179
los matemdticos occidenales llaman "grupo". El concepto de un gr,rpo en
matemdticas es avanzado, y Ascher explica que los warlpiri entienden varios
aspectosde eseconcepto. Por orro lado, ellos ven la estructura como un srsrema
social, no como un objeto maremdtico, e igual que en el caso del arte otomi y
el calendario otomi, Ios warlpiii no describirian su sisremacon ecuacrones
y simbolos matem{ticos, aunque sin duda conocen mles conceptos.
Agradzcirnientos
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Una parte de esta invesrigaci6n ha sido apoyada por una beca Fulbright
Garcia Robles que ruve en el Instituto Tecnol6gico Aut6nomo de Mdxico
(Irarr) durante el a6o escolar 2006-2007. Ademls, estoy agradecido con la
Universidad de Dakota del Norte, EUA,por apoyarme durante mi sabdtico en
M6xico. Tambidn quiero agradecerlesa las personasdel Seminario permanente
sobre grupos otopames (del Instituto de InvestigacionesAntropol6gicas de Ia
uNAM), por varios comenmrios que me han hecho respecto al rrabajo. Estoy
muy agradecido con el profesor Rub€n Costiglia Garino, por sus comenrallos
sobre esrearticulo.
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creados
Lde una
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