Introducción a DERIVE

Introducción a DERIVE
El Sistema de Computación Algebraica DERIVE (SCA DERIVE) es descrito
usualmente como un “asistente matemático”. Se trata de un paquete computacional muy
potente y fácil de usar que permite resolver una gran variedad de problemas
matemáticos. El objetivo de esta Introducción es presentar algunas de las funciones y
comandos básicos de DERIVE.
1. La ventana de DERIVE.
Cuando iniciamos DERIVE aparece una ventana como ésta:
Como se puede apreciar, la ventana de Derive es muy similar a las ventanas de otros
programas que también “corren” bajo Windows.
Lo que vemos es lo que se denomina ventana algebraica. Se utiliza para escribir y
trabajar usando expresiones, ecuaciones y fórmulas algebraicas. En la parte de abajo de
la ventana hay un campo estrecho y largo en el que se escriben las entradas y lo
denominaremos campo de entrada (input field en inglés). Existen dos grupos de botones
debajo de él; el grupo izquierdo está formado por letras griegas mayúsculas y
minúsculas, y el de la derecha contiene los símbolos matemáticos básicos.
Capítulo 5 – pág. 1
Derive presenta ventanas gráficas tanto en dos como en tres dimensiones.
En lo que sigue explicaremos cómo introducir y trabajar con expresiones y ecuaciones
algebraicas y cómo dibujar gráficas.
2. Introducciendo expresiones en DERIVE.
Después de iniciar DERIVE, el puntero se encuentra en el campo de entrada. Si no está
allí, entonces hemos de picar con el botón izquierdo del ratón en dicho campo. Entonces
estamos preparados para introducir expresiones o ecuaciones en DERIVE.
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− + . Para hacer esto, tenemos que escribir en el
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campo de entradas: 1 / 4 - 6 / 12 + 9 / 17. Presionamos la tecla Enter del teclado y
aparecerá lo siguiente en la pantalla:
I. Introducir la expresión
Nota 1:
Cuando introducimos expresiones en DERIVE podemos usar todas las teclas estándar
del teclado para editar: ≠, Ø, Inicio, Fin, Retroceso (≠) y Borrado.
II. Introducir la expresión 927: En el campo de entrada, se escribe 9^27 y se presiona
Enter. En la pantalla aparecerá lo siguiente:
x−4
: Se escribe ( x − 4 ) / ( x ^ 2 − 9 x + 20 ) y se
x − 9 x + 20
presiona la tecla Enter. En la pantalla aparecerá lo siguiente:
III. Introducir la expresión
2
IV. Ahora introduce la expresión
3
7−x
por ti mismo.
− 2
x − 5 x +1
Nota 2:
1. Hay que prestar atención sobre dónde y cómo situamos los paréntesis y corchetes.
En el caso de escribir expresiones o ecuaciones sólo podemos utilizar paréntesis, ( ),
y en ningún caso corchetes, [ ]. Estos últimos se reservan para la escritura de
vectores y matrices.
2. Después de presionar la tecla Enter hemos de comprobar que la expresión que
aparece en pantalla es la que queríamos introducir.
Capítulo 5 – pág. 2
3. Si la expresión que aparece en la pantalla no es la misma que la expresión que se
quería introducir, entonces necesitamos editarla para cambiarla. Para esto se
necesita hacer lo siguiente:
- Doble clic en el número de fila en el que se encuentra la expresión. Una copia de
dicha expresión aparecerá en el campo de entrada.
- Realizamos las necesarias correcciones y presionamos la tecla Enter.
- Vuelta al paso 2.
V. Introduce por ti mismo la siguiente expresión:
Nota 3:
Para introducir
d2 − f 2
.
d− f
se puede utilizar una de las dos siguientes formas:
Opción I: Teclear sqrt y posteriormente introducir entre paréntesis la expresión que se
encuentra bajo la raíz, por ejemplo: Enter sqrt(d ^ 2 – f ^ 2 ) / ( d – f ) ↵.
y el
Opción II: En el campo que posee símbolos matemáticos, presionar el botón
símbolo de la raíz cuadrada aparecerá en el campo de entrada. Después de esto escribir
entre paréntesis la expresión que se encuentra debajo de la raíz, por ejemplo: Enter
(d ^ 2 – f ^ 2 ) / ( d – f ) ↵.
VI. Cuando se trabaje utilizando el esquema dado en el paso 3 de la Nota 2, editar la
expresión de tal forma que se obtenga
d2 − f 2
.
d− f
3. Simplificando expresiones en DERIVE.
Utilizaremos ahora
anteriormente.
DERIVE
para
simplificar
las
expresiones
introducidas
1 7 9
1 7 9
− + . Seleccionar la expresión − + , haciendo clic con el
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4 12 17
botón izquierdo del ratón en el número de fila en el que se encuentra localizada.
Seleccionar del menú Simplify. Después, seleccionar Basic. Obtendremos el
10
siguiente resultado:
.
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I. Simplificar
Nota 4:
1. Por defecto DERIVE dará el resultado en forma de fracción.
2. A partir de ahora, cuando queramos especificar que múltiples operaciones son
1 7 9
realizadas con éxito, como en el caso de la simplificación de − + , se
4 12 17
1 7 9
procederá de la siguiente manera: Seleccionar la expresión
− + >
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>Simplify>Basic. Introducir el resultado en forma de número decimal: Seleccionar
la fila en la que la fracción se encuentra > Presionar el botón
.
Ahora mostraremos un método diferente y más rápido para simplificar expresiones
utilizando el botón
.
II. Seleccionar la expresión 927 > Presionar el botón
Obtendremos el siguiente resultado:
III. Simplifica las siguientes expresiones
seleccionándolas y usando el botón
siguientes resultados:
.
x−4
3
7−x
,
y
− 2
2
x − 9 x + 20 x − 5 x + 1
d2 − f 2
,
d− f
. Deberías obtener, respectivamente, los
Borrar todas las expresiones introducidas anteriormente seleccionándolas una a una
y presionando Delete para cada una de ellas.
4. Factorización.
I. Factorizar la expresión 2 x3 − 17 x 2 + 27 x + 18 : Introducir la expresión > Presionar
Simplify > Factor > Factor. Obtendremos:
5. Expandir paréntesis.
I. Expandir los paréntesis en la expresión
( 3x − 5 )( 2 x − 1)( 4 x − 3) :
Introducir la
expresión > Presionar Simplify > Expand > Expand. Obtendremos el siguiente
resultado:
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II. Expandir la expresión ( x + 5 ) .
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6. Introducción y resolución de ecuaciones con DERIVE.
I. Resolver la ecuación x 2 + 5 x + 6 = 0 : Introducir la expresión x ^ 2 + 5 x + 6 >
presionar Solve > Expression > Solve. Obtendremos el siguiente resultado:
Nota 5:
Para resolver una ecuación de la forma f ( x ) = 0 , no es necesario escribir “= 0” al
final de la misma, es decir, sólo es necesario introducir la expresión f ( x ) y
presionar Solve > Expression > Solve.
II. Resolver la ecuación 2 x3 − 17 x 2 + 27 x + 18 = 0 . Como en el paso 4 ya hemos
introducido la expresión 2 x3 − 17 x 2 + 27 x + 18 , no es necesario volverla a introducir
de nuevo. Realizaremos las siguientes operaciones:
- Seleccionar la fila que contiene la expresión 2 x3 − 17 x 2 + 27 x + 18 .
- Si el campo de entrada no está vacio, entonces debemos vaciarlo mediante el
siguiente procedimiento: hacer clic en el campo de entrada con el botón
derecho del ratón y seleccionar al expresión que allí se encuentra >
Borrarla presionando Delete.
- Presionar F3 y la expresión 2 x3 − 17 x 2 + 27 x + 18 aparecerá en el campo de
entrada.
- Presionar Enter. Ahora nos encontramos en disposición de resolver la
ecuación.
- Resolverla usando las instrucciones dadas en el punto I.
7. Transposición de fórmulas.
16u
. Aquí la variable p es expresada en función de las
u −1
variables u y a. Si queremos expresar la variable a en función de u y p, es necesario
16u
hacer lo siguiente: Introducir la expresión
p=
> Presionar
u −1
Solve>Expression> En Solution Variables seleccionar la variable a > Solve.
Obtendremos el siguiente resultado:
I. Introducir la fórmula p =
II. Ahora transpón la fórmula anterior de tal forma que u venga definida en función de
a y p.
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8. Sustitución.
Introducir la fórmula a = ρ (1 + θ ) . Sustituir las variables del miembro de la derecha
n
por los siguientes valores: ρ = 10, θ = 1 3, n = 5 . Para hacer esto: Introducir la fórmula >
.
presionar el botón
En la ventana que aparecerá, hacer lo siguiente:
- Seleccionar la variable n > hacer clic en el campo New Value: e introducir 5;
- Seleccionar la variable ρ > hacer clic en el campo New Value: e introducir 10;
- Seleccionar la variable θ > hacer clic en el campo New Value: e introducir 1/3;
Obtendremos el siguiente resultado:
Ahora escribir el resultado que se obtiene en forma de número decimal.
Borrar todo lo introducido anteriormente.
9. Dibujando gráficas.
I. Dibujar la gráfica de la función y = 3x − 2 : Introducir y = 3x − 2 > Presionar el
botón
.
Como resultado de estas operaciones una nueva ventana aparecerá – la ventana de
gráficos, que se superpondrá a la ventana algebraica en la que hemos venido
trabajando hasta el momento. En la ventana de gráficos podremos ver un sistema de
coordenadas.
y la gráfica de y = 3x − 2 aparecerá en el
Presionar nuevamente el botón
sistema de coordenadas dado como se puede ver a continuación:
Capítulo 5 – pág. 6
II. Dibujar la gráfica de la función y = 5 + x en el mismo sistema de coordenadas.
Hemos de obtener el siguiente resultado:
Nota 6:
1. Para volver a la ventana algebraica, hemos de usar el botón
.
2. Si queremos ver la ventana algebraica y la gráfica al mismo tiempo, hemos de hacer
lo siguiente: Seleccionar Window en el menú > Tile vertically.
3. Para ir alternando las ventanas lo único que hay que hacer es hacer click en la
ventana en la que se quiera trabajar cada vez.
III. Encontrar las coordenadas de los puntos de intersección de dos gráficas.
Primero lo haremos de manera gráfica:
1. En la ventana de gráficos usaremos los botones
para ver el punto de intersección de dos líneas.
. En una de las gráficas un círculo pequeño
2. Hacer clic en el botón
aparecerá. Usando las teclas del teclado ↓ y ↑ podemos transferir dicho círculo
de una gráfica a otra. Usando las teclas ← y → podemos mover el círculo dentro
de la gráfica en la que se encuentra.
3. Mover el círculo hasta el punto de intersección de las dos líneas. En la esquina
izquierda debajo de la gráfica podremos ver las coordenadas de dicho punto:
Cross: 3.541667, 8.541667.
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Ahora calcularemos las coordenadas de intersección de manera analítica,
resolviendo para ello el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de ambas
líneas:
1. Seleccionar la ventana algebraica.
2. Seleccionar en el menú Solve > System.
3. En la pequeña ventana que aparece hemos de indicar el número de ecuaciones en
el sistema que vamos a resolver: En Number: escribir 2 > Ok.
4. Una nueva ventana aparecerá, en la que tenemos que indicar las dos ecuaciones.
Como dichas ecuaciones ya han sido introducidas no tenemos que escribirlas
nuevamente. Todo lo que necesitamos hacer es introducir los números de las
filas en las que se encuentran, en este caso #1 y #2 como se muestra abajo.
Presionar Solve.
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5. Obtendremos el siguiente resultado:
Escribir el resultado en números decimales.
IV. Dibujar la parábola y = x 2 y la línea y = 2 x + 24 . Encontrar las coordenadas de los
puntos de intersección, primero de manera gráfica y posteriormente de manera
analítica.
Cerrar la ventana de gráficos. Vaciar la ventana algebraica seleccionado todas las
expresiones y presionando Delete. Maximizarla haciendo doble clic en el campo
azul de arriba.
10. Diferenciación.
I. Encontrar la derivada de la función f ( x ) = x 3 + 3 x 2 + 2 : Introducir x3 + 3x 2 + 2 >
Presionar
> Variable: x > Order: 1 > Simplify.
Obtendremos lo siguiente:
II. Encontrar las derivadas de la función f ( x ) = x 3 sen ( x ) .
11. Integración.
I. Calcular la integral indefinida de la función f ( x ) = 3 x 2 + 6 x : Hacer clic en el
número de fila en el que la expresión se encuentra localizada 3x 2 + 6 x > Presionar
> Variable: x > Seleccionar la integral indefinida Indefinite > Simplify.
Obtendremos lo siguiente:
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Repetir el procedimiento pero esta vez introduciendo c en el campo Constant: en la
ventana que aparecerá después hemos de presionar
. Obtendremos lo siguiente:
II. Calcular la integral indefinida de la función f ( x ) = x 3 sen ( x ) .
12. Introducir texto en la ventana de DERIVE.
Para introducir texto en DERIVE hemos de hacer lo siguiente:
1. Si la ventana algebraica está vacía, entonces seleccionar en el menú Insert > Text
object > hacer clic en el rectángulo que aparece e introducir el texto.
2. Si la ventana algebraica no está vacía, entonces seleccionar la fila después de la cual
se quiere introducir el texto y repetir el paso 1.
3. Si queremos escribir en español entonces antes de hacer clic en Insert, hemos de
seleccionar en el menú Options > Display > Font of New Text Objects >
Seleccionar la fuente que queremos usar (Font) > Seleccionar Spanish > Realizar el
paso 1 o el paso 2.
13. Algunas teclas de uso común.
Tecla
F3
F4
F1
Ctrl. E
Ctrl. P
Ctrl. Q
Ctrl. I
Uso
Copia una expresión seleccionada desde la ventana algebraica al
campo de entrada.
Lo mismo que F3, pero la expresión copiada en el campo de
entrada aparecerá entre paréntesis.
Acceso rápido al menú de ayuda.
Acceso rápido para introducir la exponencial e.
Acceso rápido para introducir π.
Acceso rápido para introducir la raíz cuadrada.
Acceso rápido para introducir la unidad imaginaria i.
14. Algunas funciones de uso común en DERIVE.
Función exponencial:
EXP(z) - Exponencial de la expresión z, es decir, e z (cuando introduzcamos e z en
vez de EXP(z), podemos introducir la expresión e^z).
Funciones logarítmicas:
LN(z)- Logaritmo natural de la expresión z (z > 0)
LOG(z)- Logaritmo natural de la expresión z (z > 0)
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LOG(z,10)- Logaritmo decimal de la expresión z (z > 0)
LOG(z,a)- Logaritmo de la expresión z (z > 0) en base a.
Funciones trigonométricas:
SIN(z)- sen ( z )
COS(z)- cos ( z )
TAN(z)- tan ( z )
COT(z)- cot ( z )
Funciones trigonométricas inversas:
ASIN(z)- arcsen ( z )
ACOS(z)- arccos ( z )
ATAN(z)- arctan ( z )
ACOT(z)- arccot ( z )
Nota 8: No es necesario escribir los nombres de las funciones en mayúsculas.
Autora: Eva Dimitrova.
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