El atractivo de la espirales

Las espirales son bellas. No en balde se usan para hipnotizar
a la gente con discos rotativos y otras ilusiones ópticas.
illusions.
La ecuación, en coordenadas
polares, de la espiral de
Arquímides es
.
La más sencilla de las espirales es la espiral de
Arquímides, (mostrada a la izquierda), también
conocida como la espiral aritmética.
Encontrar el largo de arco de un punto a otro se
llama rectificar una curva. En la espiral de
Arquímides el largo de arco de un segmento de la
espiral de amplitud angular
comenzando en
está dado por:
La distancia desde el origen
al punto es la misma
distancia desde a , etc. Se
encuentran a una distancia
constante
. La porción de la
espiral generada por una
revolución de los puntos se
llama
una espira.
Otra espiral
común es la espiral logarítmica, (mostrada a la derecha). La
.
ecuación de esta espiral es
. La constante es la razón de incremento
de la espiral. Cuando
entonces aumenta en contra de las manecillas
del reloj y esto genera la espiral izquierda de la figura. El ángulo se mide en
radianes. Un radián es el ángulo sustentado por un arco unitario sobre la
circunferencia de un círculo unitario.
La razón de que un ángulo aparezca en ambas espirales es
porque ambas ecuaciones están expresadas en coordenadas
polares. En este sistema de coordenadas, las dos variables
envueltas son siempre un ángulo un vector radial . Esta
espiral también se conoce como la espiral equiangular.
La espiral logarítmica posee una propiedad curiosa: Si desde un punto en la espiral
logarítmica uno comienza a moverse hacia el interior a lo largo de la curva
entonces necesitaremos un número infinito de vueltas para llegar al origen; sin
embargo, la distancia recorrida será finita. Esta propiedad, descubierta por
Torricelli, parece una paradoja: ¿Cómo puede un número infinito de curvas resultar
en un largo finito?
Una espiral también puede resultar de una transformación uno-a-uno (1-1), como
el mostrado a la derecha. Aquí las líneas rectas
son transformadas en las
espirales logarítmicas
bajo la función exponencial compleja
,
donde y son planos complejos.
A algunas escaleras se les llama
incorrectamente escaleras espirales;
pero deberían ser llamadas escaleras
helicoidales porque la propiedad común
de las espirales es que continuamente se
abren en un extremo y continuamente
tiende a cerrarse en el otro.
Referencia: Pérez, E. (2009). The Golden EBook of Graphs of Mathematical Functions. Datum. Aguadilla.
Jacobo Bernoulli (16541705) le dio a esta espiral el
nombre logarítmica. Estaba
tan fascinado por esta curva
que pidió fuera grabada en
su lápida.
© E. Perez http://4DLab.info