Correlaciones, Huecos y Universalidad

Transcripción

Introducción a la teoría clásica
de matrices aleatorias
Parte 4:
Eduardo Duéñez
Departmento de Matemáticas
Universidad de Texas en San Antonio
XXXIII Aniversario Físico-Matemáticas
U. A. Sinaloa, 13–16 Octubre 2015
Eduardo Duéñez (U. T. San Antonio)
33 aniv.físico-matemática UAS
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Correlaciones y Huecos
Correlaciones y 1-Densidad de Niveles
Correlaciones de Eigenvalores
Definición
Si n es un entero positivo fijo, la n-correlación de los N eigenvalores
(N)
Λ = (λ1 , . . . , λN ) con FDP conjuntaa N (λ) es una función Rn de n
variables definida como
(N)
Rn (λ1 , . . . , λn )
Z
Z
N!
:=
· · · N (λ1 , . . . , λn , λn+1 , . . . , λN )dλn+1 . . . dλN .
(N − n)!
RN−n
a
Debe suponerse que la FDP conjunta N es simétrica en sus N variables.
La n-correlación es esencialmente la FDP marginal de n de los
eigenvalores, salvo por un factor
N!/(N − n)! = N(N − 1) . . . (N − n + 1).
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Un Truco Combinatorio
Desde un punto de vista combinatorio, el lema de Tracy y Widom
puede ser interpretado como una especie de “meta función
generadora” de estadísticas de los eigenvalores. Su poder y
flexibilidad residen en la posibilidad de elegir la “función de prueba”
f (λ) de manera más o menos arbitraria.
Lema
(N)
Rn (µ1 , . . . , µn ) es el coeficiente de z1 · · · zn en (la expansión de) el
polinomio
p(z1 , . . . , zn )
Z
:=
Z
···
RN
N (Λ)
N
Y
j=1
"
1+
n
X
#
zr δ(λj − µj ) dλ1 · · · dλN .
r =1
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Fórmula para las Correlaciones de Eigenvalores
Tomando
f (λ) =
n
X
zr δ(λ − µr )
r =1
en el lema de Tracy y Widom, obtenemos que en wUE:
p(z1 , . . . , zn ) = det(I + KN wf ),
(determinante de Fredholm)
KN wf denota al operador con kernel
KN (λ, µ)w(µ)f (µ).
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KN wf es un operador de rango finito a lo más n:
La imagen de KN wf es generada por n funciones:
{KN (·, µs )w(µs )}ns=1 .
El determinante de Fredholm puede calcularse como el
determinante de una matriz finita de n × n, a saber,
p(z1 , . . . , zn ) = det(I + KN wf )
= det(δrs + KN (µr , µs )w(µs )zs )
n×n
= 1 + · · · + z1 z2 . . . zn det KN (µr , µs )w(µs ) + . . . .
n×n
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Tomando el coeficiente de z1 . . . zn obtenemos finalmente
Teorema
(N)
Las correlaciones Rn de wUE están dadas por el siguiente
determinante de n × n:
(N)
Rn (λ1 , . . . , λn ) = det(KN (λj , λk )w(λk )).
n×n
Observe que el determinante es de n × n independientemente del
tamaño N de las matrices aleatorias (el cual sólo figura como un
parámetro).
El caso especial n = 1 da la 1-densidad de niveles que
calculamos ayer como caso especial.
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Huecos entre Eigenvalores
Probabilidades de Huecos
Definición
Sea J ⊂ R un intervalo. Definamos E(0; J) como la probabilidad de
que una matriz aleatoria (en cierta familia) tenga cero eigenvalores en
J:
Z
E(0; J) =
Z
···
(R\J)N
Z
N (Λ)dΛ =
Z
···
N (Λ)
RN
N
Y
(1 − χJ (λj ))dΛ.
j=1
donde χJ es la función característica del intervalo J:
(
1 (λ ∈ J)
χJ (λ) =
0 (λ ∈
/ J).
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Fórmula para la Probabilidad de un Hueco
Aplicando el Lema de Tracy y Widom en wUE con f = −χJ :
Proposición
E(0; J) = det(I − KN wχJ ).
Definición
Un hueco de longitud h es la diferencia entre dos eigenvalores
consecutivos.
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Fórmula para la Probabilidad de un Hueco
Sea J = (λ, µ). Entonces, para λ0 fija,
P(λsig
∂
E(0; (λ, µ))
≥ µ | λ0 ) = (N)
R1 (λ0 ) ∂λ
λ=λ0
1
es la probabilidad condicional de que, dado que λ0 es un eigenvalor, el
siguiente eigenvalor a la derecha sea al menos µ.
Teorema
La FDP de la longitud de un hueco cuyo extremo izquierdo es un
eigenvalor observado en λ0 es
1
∂2
p(0; λ0 ; h) = − (N)
E(0; (λ, µ))
.
λ=λ0
R1 (λ0 ) ∂λ∂µ
µ=λ +h
0
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Límites Semiclásicos, Localización y Universalidad
Definiciones
El Límite Semiclásico N → ∞
Debido a la motivación histórica y para la mayoría de las aplicaciones,
el comportamiento de estadísticas de eigenvalores en el “límite
semiclásico” N → ∞ (o al menos para N arbitrariamente grande pero
finita) es de la mayor importancia.
En casi todos los casos entender las estadísticas límite involucra
reescalar los eigenvalores. La razón es que generalmente los
eigenvalores de una matriz aleatoria muy grande están sumamente
apeñuzcados. Por ejemplo, el histograma de los N eigenvalores √
de
una matriz GUE(N) típica se ve como un semicírculo
√ de radio 2 N,
por lo cual en un intervalo fijo de longitud L hay ∝ L N eigenvalores:
Aunque el intervalo esté fijo, el número de eigenvalores se dispara
conforme N crece.
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Definiciones
Localización Espectral
Definición
(N)
Sea λ0 un punto fijo de R tal que la 1-densidad R1 (λ0 ) > 0 (se dice
que λ0 está en el grueso del espectro). La localización espectral
centrada en λ0 es el cambio de variables de λ a x dado por
(N)
x = (λ − λ0 )R1 (λ0 ).
Las estadísticas espectrales localizadas en λ0 son las estadísticas de
X = (x1 , . . . , xN ) donde xj es la localización en λ0 del eigenvalor λj de
una matriz aleatoria.
Las nuevas variables xj se llaman “niveles”. En general,
cualesquiera nuevas variables µj = f (λj ) se llaman niveles.
Normalmente uno está interesado en estudiar las estadísticas
localizadas en el límite semiclásico.
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Definiciones
Núcleos Límite Localizados
Es tal vez de esperarse que las estadísticas localizadas, en el límite
N → ∞, sean expresables en términos de un límite apropiado del
núcleo reproductivo KN conforme N → ∞.
De acuerdo con la regla de la cadena, el núcleo localizado bajo el
cambio de variables λ 7→ x es
dλ K̂N (x, y ) := KN (λ, µ).
dx
En el caso especial de la localización en λ0 fijo,* el jacobiano de λ 7→ x
(N)
es simplemente dλ/dx = 1/R1 (λ0 ):
K̂N (x, y ) =
*
1
(N)
R1 (λ0 )
KN (λ, µ).
Aunque en realidad nada impide que λ0 dependa de N
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Definiciones
Núcleos Límite
Es hora de enfrentar una pregunta importantísima que hemos evitado
hasta ahora:
Pregunta
¿Qué tan difícil es entender al núcleo reproductivo KN ?
En particular, ¿qué tan bien lo entendemos para N grande?
Una respuesta un tanto tautológica es que entendemos a KN tan bien
como entendemos a los polinomios ortogonales p̂j para j grande. Un
pequeño pero importante ingrediente de la respuesta es que existe
una fórmula cerrada para la suma de N términos que define a KN y
que involucra solamente a polinomios ortogonales.
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Definiciones
Fórmula de Christoffel-Darboux
Teorema (Fórmula de Christoffel-Darboux)
Si {p̂j } es la sucesión de polinomios
p̂j (λ) = γj λj + . . .
(γj > 0)
que son ortonormales con respecto al peso w, entonces el núcleo
reproductivo de grado N está dado por la fórmula

 γN p̂N+1 (µ)p̂N (λ) − p̂N (µ)p̂N+1 (λ) (λ 6= µ),
µ−λ
KN (λ, µ) = γN+1
 γN
0
(
p̂
(λ)
p̂
(λ)
− p̂N0 (λ)p̂N+1 (λ)) (λ = µ).
N
N+1
γN+1
donde p̂j0 =
d
dλ p̂j .
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El Conjunto Circular Unitario CUE
Definición
El conjunto circular unitario CUE(N) es simplemente el conjunto U(N)
de todas las matrices unitarias H de N × N considerado como un
espacio de probabilidad con respecto a su medida de Haar
normalizada dµ(H) (medida natural invariante bajo traslaciones).
No entraremos en los detalles de la definición explícita de la medida
de Haar, aunque es simplemente la medida de volumen de U(N)
2
cuando se le encaja en R2N de la manera natural. Note que dµ(H) es
invariante bajo similitudes unitarias porque es de hecho invariante bajo
traslaciones tanto por la izquierda como por la derecha.
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La FDP Conjunta de los Eigenvalores de CUE
Toda matriz H ∈ CUE(N) tiene N eigenvalores de longitud 1, digamos
eiθ1 , . . . , eiθN ,
con −π < θj ≤ π. Denotaremos Θ = (θ1 , . . . , θN ).
Teorema (FDP Conjunta de Eigenvalores en GUE)
La FDP conjunta de los “eigen-ángulos” de una matriz en GUE(N) es
(Θ) =
1
|Van(exp(iΘ))|2
κN
donde exp(iΘ) = (eiθ1 , . . . , eiθN ) es el vector de eigenvalores y
Z
Z
κN := · · ·
|Van(exp(iΘ))|2 dΘ = (2π)N N!.
[−π,π]N
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El Producto Hermitiano de CUE
El Vandermonde cuadrado en la FDP de eigenvalores en CUE
significa que CUE es una familia de tipo β = 2 y las técnicas que
funcionan en wUE son aplicables con pequeños cambios (debido al
hecho de que los eigenvalores de CUE son números complejos). La
ausencia de una función de peso w es peculiar y caracteriza al CUE.
(En realidad, w ≡ 1.)
Tomaremos el producto hermitiano
Z π
p(eiθ )q(eiθ )dθ
hp, qi :=
−π
para cualesquiera funciones p, q definidas en el círculo unitario en C.
(Si hubiese una función de peso w en la PDF de eigenvalores, habría
faltado incluirla en la definición de h·, ·i.)
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Polinomios Ortogonales en el Círculo Unitario
Ahora hace falta encontrar los polinomios p1 (λ), p2 (λ), . . . que son
ortogonales en el círculo unitario con respecto a h·, ·i. Sin embargo, tal
tarea es sencillísima porque
Z π
Z π
iθ k
j
k
iθ
j
(e ) (e ) dθ =
ei(j−k )θ dθ = 2πδjk .
hλ , λ i =
−π
−π
Por tanto, los polinomios ortonormales son pj (λ) =
√1 λj ,**
2π
y se sigue
que***
N−1
1 X i(φ−θ)j
KN (θ, φ) =
e
=
2π
j=0
(
1 eiN(φ−θ) −1
2π ei(φ−θ) −1
N
2π
(θ 6= φ)
(θ = φ).
**
Esto sugiere que sería mejor idea trabajar con la medida dθ/(2π).
¡La fórmula de Christoffel-Darboux es una maravillosa generalización de la
fórmula geométrica!
***
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La 1-Densidad de CUE
Como ya sabemos (al menos por analogía con wUE), los valores
“diagonales” KN (θ, θ) del núcleo reproductivo revelan la 1-densidad de
niveles:
N
(N)
R1 (θ) =
2π
lo cual no es de sorprendernos. La densidad es constante
(independiente de θ) debido a la invarianza de la medida de Haar de
GUE bajo multiplicación por un múltiplo arbitrario eiφ I de la matriz
identidad (esto rota todos los N eigenvalores un ángulo φ en el
círculo). Además, como hay N eigenvalores en un arco de longitud 2π,
la densidad tiene que ser N/2π.
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Conjugación del Núcleo Reproductivo
Ahora haremos algo que no es estrictamente necesario pero sí útil.
Conjugaremos el núcleo reproductivo mediante una transformación
unitaria:
N −1
N −1
K̃N (θ, φ) = exp
iθ K (θ, φ) exp −
iφ
2
2
=
1 sin( N2 (φ − θ))
.
2π sin( 12 (φ − θ))
eN f ), de manera que para
Es muy fácil ver que det(I + KN f ) = det(I + K
nuestros propósitos (e.g., en aplicaciones del Lema de Tracy y Widom)
esta modificación es intrascendente.
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Localización del Núcleo de CUE
Ahora vamos a localizar cerca de un θ0 arbitrario pero fijo. De hecho,
tomaremos θ0 = 0 en vista de la invarianza rotacional de la
distribución de los eigenvalores de CUE. El cambio de variables es
x=
N
θ.
2π
N
N
(Y análogamente y = 2π
φ, xj = 2π
θj , etc.)
Pasaremos directamente al límite N → ∞:
2π
sin π(y − x)
sin π(y − x)
K̃N (θ, φ) = l«ım
=
.
π(y
−x)
π(y − x)
N→∞ N
N→∞ N sin
S(x, y ) = l«ım
N
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El Núcleo-Seno
Definición
El Núcleo-Seno es
( sin π(y −x)
S(x, y ) =
π(y −x)
1
(x 6= y )
(x = y ).
La diagonal S(x, x) = 1 simplemente significa que normalizamos los
eigenángulos usando la 1-densidad, así que los niveles rescalados
tienen densidad uniforme a lo largo de toda la recta.
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Universalidad
Universalidad de Estadísticas
Aunque encontramos el núcleo-seno S haciendo un cálculo específico
al CUE, el siguiente resultado ha sido demostrado en gran
generalidad.
Teorema (Universalidad para Familias β = 2)
Para cualquier familia de matrices aleatorias con parámetro de
simetría β = 2 (sea hermitiana como wUE, o de tipo circular como el
CUE, etc.), las estadísticas localizadas en un punto λ0 en el grueso
del espectro coinciden con las de CUE y están dictadas por el
núcleo-seno.
Este resultado fue formulado elocuentemente por Dyson en los
sesentas y demostrado para clases bastante generales de familias a
finales de los noventas (Pastur-Scherbina, Bleher-Its,
Deift-Kriecherbauer-McLaughlin-Venakides-Zhou).
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Universalidad
Ejemplo: Huecos de Eigenvalores
Teorema
La distribución de la longitud S de los huecos rescalados entre los
eigenvalores de CUE tiene la FDP siguiente, en el límite N → ∞:
p̂(0; s) =
d2
det(I − Sχ[−s/2,s/2] ).
ds2
Esta misma distribución describe los huecos rescalados (en el límite
N → ∞) al localizar en un punto arbitrario del grueso del espectro de
una familia con parámetro de simetría β = 2.
La demostración es una consecuencia sencilla de la fórmula
determinantal para p(N) (0; λ0 ; h), sabiendo desde luego que el límite
del núcleo localizado de la familia sea el núcleo-seno (universalidad).
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Universalidad
La Distribución β = 2 de los Huecos
Figura : La FDP p2 (0; s) de los huecos consecutivos entre los niveles
rescalados de una matriz aleatoria en una familia “unitaria” (parámetro β=2).
También se muestra la predicción equívoca de Wigner (en verde).
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Universalidad
Un Poco de Historia
En 1961, M. Gaudin introdujo el uso de polinomios ortogonales al
estudio de estadísticas de eigenvalores.
Desde los sesentas, M. L. Mehta ha explotado el método de
polinomios ortogonales, demostrando muchos resultados sobre
estadísticas ahora considerados clásicos.
El Lema de C. Tracy y H. Widom, publicado en 1998, proporciona
una herramienta que unifica y simplifica cálculos originalmente
efectuados por métodos ad hoc.
El notable físico F. Dyson fue uno de los pioneros del área y
clasificó las familias clásicas de familias aleatorias de acuerdo al
parámetro de simetría β = 1, 2, 4. También formuló la Hipótesis de
Universalidad.
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Apéndice
Referencias
Referencias
Freeman J. Dyson.
The threefold way. Algebraic structure of symmetry groups and
ensembles in quantum mechanics.
J. Mathematical Phys., 3:1199–1215, 1962.
Gábor Szegő.
Orthogonal polynomials.
American Mathematical Society, Providence, R.I., fourth edition,
1975.
American Mathematical Society, Colloquium Publications, Vol.
XXIII.
Craig A. Tracy and Harold Widom.
Correlation functions, cluster functions, and spacing distributions
for random matrices.
J. Statist. Phys., 92(5-6):809–835, 1998.
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Correlaciones, Huecos y Universalidad

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