Hoja 9

Universidad de Alcalá
Curso 2016-17
Cálculo I
EPS (Grado TICS)
Tema 3: Convolución – Encuesta (se cierra 22:00 7/10)
Calcular convolución de cada uno de los siguientes pares de señales, sin utilizar las propiedades de
la transformada de Laplace ni de Fourier referentes a la convolución.
1. tet ∗ u(t), siendo u(t) el escalón unidad.
Solución:
Z
t
∞
(te ∗ u(t))(σ) =
σ
Z
t
tet dt = eσ (σ − 1).
te u(σ − t) dt =
−∞
−∞
2. tet ∗ u(t − π)
Solución:
t
Z
∞
(te ∗ u(t − π))(σ) =
σ−π
Z
t
tet dt = eσ−π (σ − π − 1).
te u(σ − t − π) dt =
−∞
−∞
3. u(t) ∗ u(t)
Solución:
∞
Z
(u(t) ∗ u(t))(σ) =
u(t)u(σ − t) dt.
−∞
Hay que distinguir dos casos, 1) que σ < 0, y 2) que σ > 0. En el primer caso
(u(t) ∗ u(t))(σ) = 0.
y en el segundo
σ
Z
(u(t) ∗ u(t))(σ) =
1 dt = σ,
0
Por tanto la solución puede escribirse como combinación de escalones a la derecha de la forma:
(u(t) ∗ u(t))(σ) = σu(σ).
4. u(t + d) ∗ u(t + d), siendo d una constante
Solución:
Z
∞
(u(t + d) ∗ u(t + d))(σ) =
u(t + d)u(σ − t + d) dt.
−∞
Hay que distinguir dos casos, 1) que σ < −2d, y 2) que σ > −2d. En el primer caso
(u(t + d) ∗ u(t + d))(σ) = 0.
y en el segundo
Z
d+σ
(u(t + d) ∗ u(t + d))(σ) =
1 dt = 2d + σ,
−d
Por tanto la solución puede escribirse como combinación de escalones a la derecha de la forma:
(u(t + d) ∗ u(t + d))(σ) = (2d + σ)u(σ + 2d).
5. e−(t−2) u(t − 2) ∗ u(t + 1) − u(t − 3)
Solución: Dado que la convolución es commutativa, podemos intercambiar el orden, quedando
(e−(t−2) u(t − 2) ∗ u(t + 1) − u(t − 3) )(σ) = ( u(t + 1) − u(t − 3) ∗ e−(t−2) u(t − 2))(σ).
Usando la definición de convolución se tiene
( u(t + 1) − u(t − 3) ∗ e−(t−2) u(t − 2))(σ) =
Z
∞
u(t + 1) − u(t − 3) e−(σ−t−2) u(σ − t − 2) dt
−∞
Hay que distinguir tres casos, 1) que σ − 2 < −1, 2) que 1− < σ − 2 < 3, y 3) que σ − 2 > 3.
En el primer caso
( u(t + 1) − u(t − 3) ∗ e−(t−2) u(t − 2))(σ) = 0.
En el segundo
( u(t + 1) − u(t − 3) ∗ e−(t−2) u(t − 2))(σ) =
Z
σ−2
e−(σ−t−2) dt = 1 − e1−σ .
−1
Y en el tercero
( u(t + 1) − u(t − 3) ∗ e−(t−2) u(t − 2))(σ) =
Z
3
e−(σ−t−2) dt = e4 − 1 e1−σ .
−1
Por tanto la solución puede escribirse como combinación de escalones a la derecha de la forma:
( u(t + 1) − u(t − 3) ∗ e−(t−2) u(t − 2))(σ) = (1 − e1−σ )u(σ + 1) − (1 − e5−σ )u(σ − 3).
6. sen(t) u(t) ∗ cos(t) u(t)
Solución: Usando que sen(A) cos(B) = 12 (sen(A + B) + sen(A − B)), se tiene
Z σ
1
(sen(t) u(t) ∗ cos(t) u(t))(σ) =
sen(t) cos(σ − t) dt = σ sin(σ).
2
0
7. (1 − t) u(t) ∗ et u(t)
Solución: Como de nuevo son señales causales se tiene
Z σ
t
((1 − t) u(t) ∗ e u(t))(σ) =
(1 − t)eσ−t dt = σ.
0
8. et u(t) ∗ et u(t)
Solución:
(et u(t) ∗ et u(t))(σ) =
Z
0
σ
et eσ−t dt = σeσ .
9. te−2t u(t) ∗ e−4t u(t)
Solución:
(te
−2t
u(t) ∗ e
Z
−4t
u(t))(σ) =
σ
te−2t e−4(σ−t) dt =
0
1 −2σ
e
(2σ − 1) + e−4σ .
4
10. te−2t u(t) ∗ te−4t u(t)
Solución:
(te
−2t
u(t) ∗ te
−4t
Z
u(t))(σ) =
σ
te−2t (σ − t)e−4(σ−t) dt =
0
1 −2σ
e
(σ − 1) + (σ + 1)e−4σ .
4
11. e−t u(t) ∗ et u(−t)
Solución: En este caso hay que distinguir de nuevo dos casos. 1) Si σ > 0, 2) y si σ < 0. En
el primer caso
Z ∞
e−σ
−t
t
.
(e u(t) ∗ e u(−t))(σ) =
e−t eσ−t dt =
2
σ
Y en el segundo
−t
(e
t
Z
u(t) ∗ e u(−t))(σ) =
∞
e−t eσ−t dt =
0
eσ
.
2
Por tanto expresada como funciones salto a la derecha se tiene
(e−t u(t) ∗ et u(−t))(σ) =
eσ
1 −σ
+
e − eσ u(σ).
2
2