MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Elasticidad lineal

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Elasticidad lineal

Elasticidad lineal
Slide 1
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Elasticidad lineal
Felipe Gabaldón Castillo
E.T.S. INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES y PUERTOS. UPM
Madrid, 4 y 11 de Diciembre de 2003
F. Gabaldón
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Contenido
1. Formulación fuerte
2. Formulación débil
3. Equivalencia de ambas formulaciones
Slide 1
4. Formulaciones variacionales
5. Formulación de Galerkin
6. Formulación de elementos finitos
7. Formulación matricial
8. Ecuaciones de la elasticidad
9. Elasticidad 2D. Deformación plana
10. Elasticidad 2D. Tensión plana
Contenido
11. Elasticidad 2D. Problemas axilsimétricos
12. Elasticidad 3D
13. Ejemplo: CST para problemas de tensión plana
Slide 2
14. Elementos isoparamétricos
15. Derivadas parciales
16. Integración numérica
F. Gabaldón
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Formulación fuerte
Sea Ω = Ω ∪ ∂Ω el dominio ocupado por un
sólido, cuyo contorno es ∂Ω = ∂u Ω ∪ ∂t Ω con
∂u Ω ∩ ∂t Ω = ∅. La formulación fuerte del problema se establece en los siguientes términos:
Slide 3
Ω
∂u Ω
∂t Ω
Dados b : Ω → R , u : ∂u Ω → R , t : ∂t Ω → R , encontrar el campo
de desplazamientos u ∈ Rn que cumple:
n
n
div σ + b = 0
σn = t
n
en Ω
(1)
en ∂t Ω
(2)
en ∂u Ω
(3)
u=u
con σ =
∂W
∂ε
y ε = ∇S u
Formulación débil
Dados b : Ω → Rn y las funciones u : ∂u Ω → Rn , t : ∂t Ω → Rn ,
encontrar el campo de desplazamientos u ∈ δ | ∀δu ∈ V cumple:
Z ³
Z
´
S
t · δu dΓ = 0
(4)
σ · ∇ δu − b · δu dΩ −
Ω
Slide 4
∂t Ω
siendo:
ª
©
δ = u ∈ H 1 (Ω, Rn ) | u(x) = u ∀ x ∈ ∂u Ω
©
ª
V = δu ∈ H 1 (Ω, Rn ) | δu(x) = 0 ∀ x ∈ ∂u Ω
(5)
(6)
y H 1 (Ω, Rn ) el espacio de Sobolev de orden 1 y grado 2:
½
¾
Z
1
n
H = u:Ω→R
|
kuk2,1 dΩ < ∞
Ω
F. Gabaldón
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Equivalencia de ambas formulaciones
Lema 1. Descomposición euclı́dea de un tensor de orden 2
sij = s(ij) +
|{z}
simétrico
Slide 5
s[ij]
|{z}
;
s(ij) =
sij + sji
,
2
s[ij] =
sij − sji
2
hemisimétrico
Lema 2. Sea sij un tensor simétrico y tij un tensor no simétrico.
Entonces,
sij tij = sij t(ij)
El lema queda demostrado si sij t[ij] = 0. En efecto:
sij t[ij] = −sij t[ji]
= −sji t[ji]
= −sij t[ij]
Equivalencia de ambas formulaciones
Slide 6
Si u es solución del problema fuerte, entonces u ∈ Ω. Multiplicando
(1) por δu ∈ V e integrando en Ω:
Z
Z
Z
Z
0 = (σij,j + bi )δui dΩ = (σij δui ),j dΩ −
σij δui,j dΩ +
bi δui dΩ
Ω
Ω
Ω
Ω
Z
Z
Z
=−
σij δu(i,j) dΩ +
bi δui dΩ +
ti δui dΓ
Ω
Ω
∂ti Ω
(7)
y por tanto ui es solución del problema débil
F. Gabaldón
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Equivalencia de ambas formulaciones
Sea ui solución del problema débil. Dado que ui ∈ δi , ui = ui en
∂ui Ω. De (4):
Z
Z
Z
0=−
σij δui,j dΩ +
bi δui dΩ +
ti δui dΓ
Z
Slide 7
Ω
=−
Z
=
Ω
∂ti Ω
Z
(σij,j + bi )δui dΩ +
(σij δui ),j dΩ +
Ω
ti δui dΓ
∂ti Ω
Ω
Z
(σij,j + bi )δui dΩ −
Ω
Z
(σij nj − ti )δui dΓ
(8)
∂ti Ω
Equivalencia de ambas formulaciones
Sean:
Slide 8
αi = σij,j + bi
(9)
βi = σij nj − ti
(10)
La equivalencia entre ambas formulaciones estará demostrada si se
verifica que αi = 0 en Ω y βi = 0 en ∂ti Ω. Sea δui = αi φ, donde:
φ > 0 en Ω
φ = 0 en ∂Ω
φ suave
Con estas condiciones queda garantizado que δui ∈ V.
F. Gabaldón
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Equivalencia de ambas formulaciones
Sustituyendo este δui en (8):
Z
0=
αi (αi φ )dΩ ⇒
Ω | {z } |{z}
≥0
Slide 9
αi = 0 en Ω
(11)
>0
Análogamente, tomemos ahora δui = δi1 β1 ψ, donde:
ψ > 0 en ∂t1 Ω
ψ = 0 en ∂u1 Ω
ψ suave
Sustituyendo esta nueva expresión de δui ∈ V en (8):
Z
0=
β1 (β1 ψ )dΩ ⇒ β1 = 0 en ∂t1 Ω
∂t1 Ω | {z } |{z}
≥0
(12)
>0
Formulaciones variacionales
Considerando el funcional de la energı́a potencial:
Z
Z
t · u dΓ
Πp (u) =
(W (x, ε) − b · u) dΩ −
Ω
Slide 10
(13)
∂t Ω
la ecuación (4) equivale a establecer la condición de estacionariedad
del funcional (13):
δΠp (u) = 0
(14)
Se dice que (4) es la ecuación variacional del problema (14), y
que las ecuación (1) es la ecuación de Euler-Lagrange asociada al
problema variacional (14).
Para la ley de Hooke:
W (x, ε) =
F. Gabaldón
1
ε · Cε
2
(15)
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Formulaciones variacionales
Existen otros principios variacionales diferentes al expresado en
(14), asociado al funcional de la energı́a potencial total (13).
Slide 11
Dichos principios son la base de la formulación de los
denominados “elementos mixtos”.
En general se deducen a partir de “funcionales multicampo”
como, por ejemplo, el de Hu-Washizu:
Z ³
´
ΠW (u, ε, σ) =
W (x, ε) − σ · ε + σ · ∇S u − b · u dΩ
Ω
Z
−
t · u dΓ
∂t Ω
Formulación de Galerkin
Sean ν h y δ h aproximaciones de dimensión finita de los espacios
funcionales ν y δ, respectivamente
Slide 12
Se adopta la descomposición: uh = v h + uh con v h ∈ ν h y
uh = u en ∂u Ω (“aproximadamente”)
Dados b : Ω → Rn y las funciones u : ∂u Ω → Rn , t : ∂t Ω → Rn ,
encontrar el campo de desplazamientos uh = v h + uh , con
δv h ∈ ν h , tal que ∀δuh ∈ ν h se cumple:
Z
Z
Z
S h
S
h
h
∇ v · C∇ δu dΩ =
b · δu dΩ +
t · δuh dΓ
Ω
Ω
∂t Ω
(16)
Z
S h
S
h
−
∇ u · C∇ δu dΩ
Ω
F. Gabaldón
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Formulación de elementos finitos
El dominio Ω se discretiza en nelm elementos Ωe :
Ω=
n[
elm
Ωe
Ωi ∩ Ωj = ∅, si i 6= j
(17)
e=1
Slide 13
El elemento Ωe se transforma en un “cubo unitario”
¤ = [−1, 1] × · · · × [−1, 1]
|
{z
}
ndim
definido en el espacio isoparamétrico de coordenadas {ξ}:
nenod
e
φ:ξ∈¤→x∈Ω ;
x = φ(ξ) =
X
xA NA (ξ)
(18)
A=1
siendo xA las coordenadas de los nodos del elemento e
Formulación de elementos finitos
Slide 14
Los subespacios de dimensión finita δ h y V h se definen mediante
unas funciones de interpolación NA , A = 1 . . . nnod
(polinómicas), que se denominan “funciones de forma”




X
X
h
h
h
uiA NA (ξ) +
uiA NA (ξ)
δ = u ∈ δ | ui =


A∈η−ηui
A∈ηui




X
h
h
h
h
δuiA NA (ξ)
V = δu ∈ V | δui = 0 ∀x ∈ ∂ui Ω; δui =


A∈η−ηui
siendo η = {1, 2, . . . , nnumnp } el conjunto de números de los
nnumnp nodos de la malla, ηui ⊂ η el conjunto de nodos en los
que uhi = ui , y η − ηui el conjunto complementario de ηui
F. Gabaldón
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Formulación matricial
Interpolación del campo de desplazamientos
Slide 15
Si se emplea una formulación isoparamétrica que interpola los
desplazamientos con la misma interpolación que las coordenadas
(18):
nenod
X
uh =
dA NA (ξ) = NT de
(19)
A=1
e
siendo d el vector de desplazamientos nodales del elemento e y
N la matriz de funciones de forma del elemento. Por ejemplo, en
2D:
8
9 0
< u1 (x, y) =
N1
=@
: u2 (x, y) ;
0
1
0
N2
0
...
Nnnod
0
N1
0
N2
...
0
Nnnod
A de
(20)
Formulación matricial
Slide 16
Interpolación del campo de deformaciones
Con la notación en que las tensiones y deformaciones se expresan
en forma de vector (por ejemplo en 2D: ε = (εxx , εyy , 2εxy )T ) y
derivando (19), la interpolación del campo de deformaciones se
expresa:
ne
nod
∇
S
uhij
=
X 1ą e
ć
e
NA,i dAj + NA,j
dAi ⇒ ∇S uh = Bde
2
A=1
(21)
En 2D:
0
B
ε=B
@
∂N1
∂x1
0
∂N2
∂x1
0
...
∂Nnnod
∂x1
0
∂N1
∂x2
∂N1
∂x1
0
∂N2
∂x2
∂N2
∂x1
...
0
...
∂Nnnod
∂x2
∂N1
∂x2
F. Gabaldón
∂N2
∂x2
0
∂Nnnod
∂x2
∂Nnnod
∂x1
1
C e
Cd
A
(22)
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Formulación matricial
Slide 17
Sustituyendo (19) y (21) en (16) e imponiendo que los
desplazamientos virtuales δu son arbitrarios, después de operar se
obtiene:
nelm ·
¸
Z
def
e,ext
T h
R =
f
−
B σ (ε) dΩ = 0
(23)
A
e=1
Ωe
donde A[·] es el operador de ensamblaje y f e,ext es el vector de fuerzas
externas convencional que se obtiene a partir de la expresión (16):
Z
Z
e,ext
T
NT tdΓ
N bdΩ +
f
=
(24)
Ωe
F. Gabaldón
∂t Ωe
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Formulación matricial
OBSERVACIONES:
La ecuación (23) está planteada en forma residual (anulando la
diferencia entre las fuerzas externas y las fuerzas internas), que es
la adecuada para problemas no lineales.
Slide 18
En lo sucesivo se considerará el caso de la elasticidad lineal, en el
que si denominamos C a la matriz de módulos elásticos (o matriz
constitutiva), resulta:
σ h (ε) = CBde
(25)
entonces la ecuación (23) se expresa:
nelm ·µZ
nelm
¶¸
T
B CB dΩ d =
f e,ext
A
e=1
A
e=1
Ωe
(26)
Formulación matricial
La matriz de rigidez elemental se define como:
Z
e
K =
BT CB dΩ
(27)
Ωe
Slide 19
Ensamblando los vectores de fuerzas elementales y las matrices
de rigidez elementales:
nelm
f=
K=
A
f e,ext
(28)
A
Ke
(29)
e=1
nelm
e=1
el sistema (26) se expresa:
Kd = f ⇒
F. Gabaldón
d = K−1 f
(30)
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Ecuaciones de la elasticidad
εx =
εy =
Slide 20
εz =
εxy =
εxz =
εyz =
σx
σy
σz
−ν
−ν
E
E
E
σy
σx
σz
−ν
−ν
E
E
E
σz
σx
σy
−ν
−ν
E
E
E
τxy
2G
τxz
2G
τyz
2G
Módulo de corte:
G=
E
2(1 + ν)
Deformación volumétrica
e = εx + εy + εz
Módulo de deformación volumétrica
1 − 2ν
(σx + σy + σz ) ⇒ p = −ke
E
E
k=
3(1 − 2ν)
e=
Elasticidad 2D. Deformación plana
Slide 21
La condición de deformación plana es (εzz = 0)

 




σ
λ
+
2µ
λ
0
xx


 εxx

 

=
σyy
λ
λ + 2µ 0 

  εyy








σxy
0
0
µ
εxy
σzz = ν(σxx + σyy )







(31)
(32)
siendo λ y µ los coeficientes de Lamé:
λ=
F. Gabaldón
νE
(1 + ν)(1 − 2ν)
µ=
E
2(1 + ν)
(33)
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Elasticidad 2D. Tensión plana
Slide 22
La condición de tensión plana es (σzz = 0)

 
4µ(λ+µ)
2λµ


σ
0

λ+2µ
 xx 
  λ+2µ
4µ(λ+µ)
2λµ
=
σyy
0
 λ+2µ
λ+2µ






σxy
0
0
µ
ν
εzz = − (σxx + σyy )
E


 εxx


  εyy


εxy







(34)
(35)
Elasticidad 2D. Problemas axilsimétricos
Se expresa en términos de las coordenadas cilı́ndricas r (radial), z
(axial) y θ (circunferencial).
z
Slide 23
y
θ
x
r
Condición de simetrı́a axial: todas las variables son
independientes de θ y además: uθ =0, εrθ = εzθ = 0
En todos los integrandos hay que considerar un factor de 2πr
F. Gabaldón
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Elasticidad 2D. Problemas axilsimétricos
Slide 24
Relación


σrr




 σ
zz

 σrz



 σ
θθ
tensión - deformación
 

λ + 2µ
λ
0
λ


 

 
λ
λ + 2µ 0
λ

=

0
0
µ
0
 





λ
λ
0 λ + 2µ
















εrr 




ε 
zz
εrz 




ε 
(36)
θθ
La matriz B ( de interpolación del campo de deformaciones) es:


Na,r
0


 0
Na,z 


a = 1 . . . nnen
(37)
B=

 Na,z Na,r 


Na
0
r
Elasticidad 3D
Slide 25
Relación tensión - deformación

 


σ
λ + 2µ
λ
λ
0 0

xx 










 
λ
λ + 2µ
λ
0 0

 σyy 
 





 σ  
λ
λ
λ + 2µ 0 0
zz

=


σxy 
0
0
0
µ 0














σxz 
0
0
0
0 µ








 σ 

0
0
0
0 0
yz
F. Gabaldón
0
0
0
0
0
µ




























εxx 





εyy 




εzz 
εxy 





εxz 




εyz 
(38)
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Ejemplo: CST para problemas de tensión plana
A continuación se desarrollarán las ecuaciones a nivel elemental del
triángulo de deformación constante (CST) para el problema de
tensión plana. Este elemento presenta las siguientes caracterı́sticas:
Slide 26
Es un elemento isoparamétrico
No es necesario emplear cuadraturas para la integración
numérica, ya que las integrales se pueden resolver de forma
exacta.
Se utiliza en aplicaciones no estructurales por la facilidad para
generar mallas, ya que en análisis estructural sus prestaciones son
bastante pobres.
Geometrı́a y sistema de coordenadas
3(x3 , y3 )
0
1
1
B
2A = det B
@ x1
x2
y1
y2
2(x2 , y2 )
1
1
C
x3 C
A
y3
= (x2 y3 − x3 y2 ) + (x3 y1 − x1 y3 ) + (x1 y2 − x2 y1 )
Slide 27
1(x1 , y1 )
Coordenadas triangulares: ξ1 , ξ2 , ξ3
ξi = cte es una recta paralela al lado opuesto al nodo i
No son independientes: ξ1 + ξ2 + ξ3 = 1
F. Gabaldón
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Interpolación lineal
Una función lineal f definida en el triángulo se expresa en
coordenadas cartesianas:
f (x, y) = a0 + a1 x + a2 y
Slide 28
(39)
determinándose los coeficientes ai a partir de tres condiciones que
proporciones los valores f1 , f2 y f3 (que en el contexto del MEF se
denominan ”valores nodales”).
La expresión de f en coordenadas triangulares hace uso directamente
de los valores nodales:




ξ

 1 

f (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = f1 ξ1 + f2 ξ2 + f3 ξ3 = [f1 f2 f3 ]
(40)
ξ2






ξ3
Transformación de coordenadas

 


1



  1
=
x
 x1






y
y1





ξ

 1 

1 

=
ξ2



2A




ξ3
Slide 29
1
x2
y2
2A23
2A31
2A12




ξ
1





x3 
ξ2






y3
ξ3




y23 x32
1





y31 x13 
x






y12 x21
y
1
(41)
(42)
siendo xjk = xj − xk , xjk = xj − xk y Ajk = 0,5(xj yk − xk yj ) es el
área encerrada por los nodos j, k y el origen de coordenadas.
F. Gabaldón
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Derivadas parciales
Slide 30
A partir de las relaciones (41) y (42) es inmediato obtener las
relaciones:
∂x
∂y
∂ξi
∂ξi
= xi ,
= yi ,
2A
= yjk ,
2A
= xkj
∂ξi
∂ξi
∂x
∂y
(43)
siendo j y k las permutaciones cı́clicas de i.
Las derivadas de f (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) respecto de las coordenadas
cartesianas se obtienen mediante la regla de la cadena:
µ
¶
∂f
1
∂f
∂f
∂f
=
y23 +
y31 +
y12
∂x
2A ∂ξ1
∂ξ2
∂ξ3
µ
¶
∂f
1
∂f
∂f
∂f
=
x32 +
x13 +
x21
∂y
2A ∂ξ1
∂ξ2
∂ξ3
(44)
(45)
Formulación del elemento CST
Funciones de forma: Nj = ξj ,
j = 1...3
Interpolación del campo de desplazamientos:
Slide 31
ux = ux1 ξ1 + ux2 ξ2 + ux3 ξ3
(46)
uy = uy1 ξ1 + uy2 ξ2 + uy3 ξ3
(47)
que en forma matricial se expresa:
8
9 0
< u =
ξ1
x
=@
: uy ;
0
0
ξ2
0
ξ3
ξ1
0
ξ2
0
8
>
>
>
>
>
>
>
1>
>
>
<
0
A
>
ξ3
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
9
ux1 >
>
>
>
>
uy1 >
>
>
>
>
=
u
x2
uy2 >
>
>
>
>
>
ux3 >
>
>
>
;
uy3
(48)
que es la particularización de (20) para el triángulo CST
F. Gabaldón
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Formulación del elemento CST
Relaciones deformación–desplazamiento
0
ε = Bde =
Slide 32
siendo:
1 B
B
2A @
0
B
B=B
@
8
>
>
>
>
>
1>
>
>
>
>
C<
C
A>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
y23
0
y31
0
y12
0
0
x32
0
x13
0
x21
x32
y23
x13
y31
x21
y12
∂N1
∂x
0
∂N2
∂x
0
∂N3
∂x
0
0
∂N1
∂y
∂N1
∂x
0
∂N2
∂y
∂N2
∂x
0
∂N3
∂y
∂N3
∂x
∂N1
∂y
∂N2
∂y
∂N3
∂y
9
>
ux1 >
>
>
>
uy1 >
>
>
>
>
ux2 =
uy2 >
>
>
>
>
>
ux3 >
>
>
>
;
uy3
(49)
1
C
C
A
(50)
Obsérvese que las deformaciones son constantes en el elemento
Formulación del elemento CST
Slide 33
Relación tensión-deformación





1
σ

 xx 

E 

σ=
=
σyy
2  ν


1
−
ν




σxy
0
ν
1
0
0
1−ν
2


 εxx


  εyy


εxy







= Cε (51)
La matriz constitutiva C se supondrá constante en el elemento.
Por tanto, dado que las deformaciones son constantes en el
elemento las tensiones también los son.
F. Gabaldón
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Formulación del elemento CST
Matriz de rigidez elemental
La expresión (27) de la matriz de rigidez elemental en este caso
se puede escribir:
Z
e
T
K = B CB
hdΩ
(52)
Slide 34
Ωe
e
siendo h el espesor y Ω el dominio del triángulo. Si el espesor es
constante la matriz de rigidez se expresa en forma cerrada:
0
y23
B
B 0
B
B
B y31
h
e
B
K =
4A B
B 0
B
B y
@ 12
0
0
x32
0
x13
0
x21
x32
1
C
0
y23 C
C
y23
C
x13 C B
CCB 0
C @
y31 C
C
x32
x21 C
A
y12
0
y31
0
y12
x32
0
x13
0
y23
x13
y31
x21
0
1
C
x21 C
A
y12
(53)
F. Gabaldón
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Formulación del elemento CST
Vector de fuerzas nodales (volumétricas)
0
Z
fe =
Slide 35
Ωe
Z
hNbdΩ =
Ωe
B
B
B
B
B
hB
B
B
B
B
@
ξ1
0
ξ2
0
ξ3
0
0
1
C
ξ1 C
C
C
0 C
C bdΩ
C
ξ2 C
C
0 C
A
ξ3
(54)
En el caso más sencillo en que h y b sean constantes en el
elemento, y teniendo en cuenta:
Z
Ωe
resulta:
(f e )T =
Z
ξ1 dΩ =
Z
Ωe
Ah ş
bx1
3
ξ2 dΩ =
Ωe
ξ3 dΩ = A/3
(55)
ť
by1
bx2
by2
bx3
(56)
by3
Elementos isoparamétricos
Slide 36
Las relaciones geométricas y la interpolación del campo de
desplazamientos verifican:

 




1
1
1
.
.
.
1










N1











e
x
x
x
.
.
.
x
1
2
nnod  



 

  N2

e
=
y
y2 . . . ynnod 
..
 y1







.




 ux1 ux2 . . . uxne  
ux 





nod  



 Nne

 u 

nod
uy1 uy2 . . . uynenod
y















(57)
El triángulo CST descrito anteriormente se expresa de acuerdo con
(57) tomando nenod = 3, N1 = ξ1 , N2 = ξ2 y N3 = ξ3
F. Gabaldón
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Elementos isoparamétricos
ξ2
3
2
5
6
Slide 37
4
5
y
ξ1
4
2
6
3
1
1
x
Triángulo cuadrático de seis nodos
Elementos isoparamétricos
Triángulo cuadrático
Slide 38

 


1














x



 

=
y








 ux 
 




 

 u 

y
1
1
1
1
1
x1
x2
x3
x4
x5
y1
y2
y3
y4
y5
ux1
ux2
ux3
ux4
ux5
uy1
uy2
uy3
uy4
uy5





1





x6 




y6 




ux6 






uy6



N1 





N2 




N3 
N4 





N5 




N6 
(58)
siendo:
N1 = ξ1 (2ξ1 − 1) N2 = ξ2 (2ξ2 − 1) N3 = ξ3 (2ξ3 − 1)
(59)
N4 = 4ξ1 ξ2
(60)
F. Gabaldón
N5 = 4ξ2 ξ3
N6 = 4ξ3 ξ1
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Elementos isoparamétricos
Elementos cuadriláteros
3
4
η
3
4
Slide 39
ξ
y
2
1
1
2
x
Cuadrilátero bilineal
Elementos isoparamétricos
Cuadrilátero


1







 x
bilineal
 



 





 

=
y











u


x






 u 

y
Slide 40

1
1
1
1
x1
x2
x3
x4
y1
y2
y3
y4
ux1
ux2
ux3
ux4
uy1
uy2
uy3
uy4
















N1 



N 
2
N3 




N 
(61)
4
siendo:
1
(1 − ξ)(1 − η),
4
1
N3 = (1 + ξ)(1 + η),
4
N1 =
F. Gabaldón
1
(1 + ξ)(1 − η)
4
1
N4 = (1 − ξ)(1 + η)
4
N2 =
(62)
(63)
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Elementos isoparamétricos
3
7
9
y
3
6
4
Slide 41
7 η
4
ξ
6
8
8
5
2
5
1
1
2
x
Cuadrilátero bicuadrático
Elementos isoparamétricos
Cuadrilátero bicuadrático
Slide 42
8
9 0
>
>
1
>
>
>
>
>
>
B
>
>
>
B
>
>
>
x
>
>
<
= B
B
=B
y
B
>
>
>
>
B
>
>
>
>
> ux >
> B
>
@
>
>
>
>
;
:
uy
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
y9
ux1
ux2
ux3
ux4
ux5
ux6
ux7
ux8
ux9
uy1
uy2
uy3
uy4
uy5
uy6
uy7
uy8
uy9
1
8
> N1
C>
>
C>
C>
>
C < N2
C
C > ..
C>
> .
C>
>
A>
: N
9
9
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
;
En este caso las funciones de forma son:
1
(1 − ξ)(1 − η)ξη,
4
1
N4 = (1 + ξ)(1 − η)ξη,
4
1
N7 = (1 − ξ 2 )(1 + η)η,
2
N1 =
F. Gabaldón
1
N2 = − (1 + ξ)(1 − η)ξη,
4
1
N5 = − (1 − ξ 2 )(1 − η)η,
2
1
N8 = − (1 − ξ)(1 − η 2 )ξ,
2
1
(1 + ξ)(1 + η)ξη
4
1
N6 = (1 + ξ)(1 − η 2 )ξ
2
N3 =
N9 = (1 − ξ 2 )(1 − η 2 )
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Derivadas parciales
Jacobiano de la transformación isoparamétrica



Slide 43
∂Ni
∂x
∂Ni
∂y




∂ξ
∂x
∂ξ
∂y
=





∂η
∂x
∂η
∂y
∂(x, y) 
=
J=
∂(ξ, η)
∂x
∂ξ
∂x
∂η
∂Ni
∂ξ
∂Ni
∂η
∂y
∂ξ
∂y
∂η




= J −1



∂Ni
∂ξ
∂Ni
∂η




(64)
(65)
La matriz J se denomina matriz Jacobiana de la transformación
isoparamétrica
Derivadas parciales
Cálculo de las derivadas parciales.
e
nnod
X ∂Ni
∂x
=
xi
,
∂ξ
∂ξ
i=1
e
nnod
X ∂Ni
∂x
=
,
xi
∂η
∂η
i=1
Slide 44

J = PX = 
F. Gabaldón
∂N1
∂ξ
∂N1
∂η
∂N2
∂ξ
∂N2
∂η
e
nnod
X ∂Ni
∂y
=
yi
∂ξ
∂ξ
i=1
(66)
e
nnod
X ∂Ni
∂y
=
yi
∂η
∂η
i=1


x1 y1




∂Nn
x
y

2
2 
. . . ∂ξ


.. 
 ..
∂Nn
. . . ∂η
 .
. 


xn yn
(67)
(68)
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Integración numérica
La integración numérica es un ingrediente imprescindible en el
cálculo de las integrales elementales
Existen diversas cuadraturas: Gauss, Simpson, Lobatto, etc.
Las cuadraturas de Gauss proporcionan mayor exactitud que
otras reglas para un determinado número de puntos de
integración
Slide 45
En cada punto de Gauss se realiza un número importante de
operaciones
Integración numérica
Cuadraturas de Gauss en una dimensión:
Z 1
p
X
wi F (ξi )
F (ξ)dξ =
−1
(69)
1
siendo p el número de puntos de integración, ξi las coordenadas
de cada punto i y wi los pesos correspondientes.
Slide 46
1
2
3
4
Algunas cuadraturas:
R1
punto:
F (ξ)dξ
−1
R1
puntos:
F (ξ)dξ
−1
R1
puntos:
F (ξ)dξ
−1
R1
puntos:
F (ξ)dξ
−1
F. Gabaldón
≈
2F (0)
≈
√
√
F (−1/ 3) + F (1/ 3)
p
p
5
8
5
9 F (− 3/5) + 9 F (0) + 9 F ( 3/5)
≈
w1 F (ξ1 ) + w2 F (ξ2 ) + w3 F (ξ3 ) + w4 F (ξ4 )
≈
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Integración numérica
Para la regla de 4 puntos:
1 1p
1 1p
−
5/6,
w2 = w3 = +
5/6
2 6
2 6
q
q
p
p
ξ1 = −ξ4 = − (3 + 2 6/5)/7, ξ2 = −ξ3 = − (3 − 2 6/5)/7
w1 = w4 =
Slide 47
Las cuatro reglas descritas integran de manera exacta polinomios
de hasta grado 1, 3, 5 y 7, respectivamente.
En general, una cuadratura 1D de Gauss con p puntos integra
exactamente polinomios de orden 2p − 1
Integración numérica
Para calcular la integral de F (x) en el intervalo [a, b] se hace un
cambio de variable definiendo ξ en el intervalo biunitario:
Z b
Z 1
F (x) dx =
F (ξ) Jdξ
a
Slide 48
siendo:
2
ξ=
b−a
µ
−1
¶
1
x − (a + b) ,
2
J=
dx
b−a
=
dξ
2
Las cuadraturas de Gauss de orden más alto están tabuladas en
los libros de cálculo numérico (en Handbook of
Mathematical Functions. Abramowitz & Stegun hasta
96 puntos). No obstante, las cuadraturas de orden superior a 4 no
se pueden expresar de manera cerrada.
F. Gabaldón
Método de los elementos finitos
Elasticidad lineal
Integración numérica
Cuadraturas de Gauss en dos dimensiones
Slide 49
• Las cuadraturas de Gauss más simples se obtienen aplicando
las cuadraturas 1D a cada variable. Para ello las integrales
han de transformarse al cuadrilátero biunitario.
Z 1
Z 1
Z 1Z 1
p1 X
p2
X
F (ξ, η) dξdη =
dη
F (ξ, η) dξ ≈
wi wj F (ξi , ηj )
−1
−1
−1
−1
i=1 i=1
siendo p1 y p2 el número de puntos en cada dirección (que son
iguales si las funciones de forma también lo son).
Integración numérica
Cuadraturas de Gauss en dos dimensiones
η
η
ξ
η
ξ
ξ
Slide 50
√
2/ 3
1 punto:
w1 = 4
2 puntos:
w2×2 = 1
2
p
3/5
3 puntos:
w1 = w3 = w7 = w9 = 25/81
w2 = w4 = w6 = w8 = 40/81
w5 = 64/81
F. Gabaldón
Método de los elementos finitos