Clase 6. - Universidad Nacional de Colombia : Sede Medellin

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Clase 6 – Aplicaciones
Álgebra Lineal
Código 1000 003
1
Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia
Asignación de Recursos
Ejemplo. Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo
I requiere 10 kg del compuesto A, 10 kg del B y 20 kg del C; una unidad del fertilizante del tipo II requiere 30 kg
del compuesto A, 40 kg del B y 50 kg del C; una unidad del fertilizante del tipo III requiere 20 kg del compuesto A,
10 kg del B y 50 kg del C. Si hay disponible 250.000 kg del compuesto A, 200.000 kg del compuesto B y 550.000 kg
del compuesto C. Se desea saber cuántas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden producir si se usa todo el
material quı́mico disponible.
(a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales que permita resolver el problema. Defina claramente las variables a
utilizar.
(b) Encuentre un intervalo, para cada variable libre, donde las soluciones tienen sentido.
(c) Si se tiene la cantidad mı́nima del fertilizante del tipo III ¿Cuántas unidades de cada tipo de fertilizante se
puede producir?
Solución.
(a) Definimos las variables como
x = número de unidades de fertilizante tipo I que se produce usando todo el material quı́mico disponible.
y = número de unidades de fertilizante tipo II que se produce usando todo el material quı́mico disponible.
z = número de unidades de fertilizante tipo III que se produce usando todo el material quı́mico disponible.
Entonces, al utilizar todo el material quı́mico disponible, obtenemos las ecuaciones
10x + 30y + 20z = 250.000
10x + 40y + 10z = 200.000
20x + 50y + 50z = 550.000
(b) Primero, hallemos el conjunto solución del sistema
respectiva matriz reducida se muestran a continuación



10 30 20 250.000
1 3 2
 10 40 10 200.000  →  1 4 1
20 50 50 550.000
2 5 5
(1)
lineal (1). La matriz aumentada asociada al sistema y su


25.000
1
20.000  → · · · →  0
55.000
0
0
1
0
5
−1
0

40.000
−5.000 
0
Por tanto,
x = 40.000 − 5z
y
y = −5.000 + z;
z : variable libre.
Por otro lado, cada una de las variables del sistema deben ser enteros positivos, ası́
40.000 − 5z ≥ 0,
− 5.000 + z ≥ 0
y
z ≥ 0.
De donde,
8000 ≥ z,
z ≥ 5.000
y
z ≥ 0.
Luego, z es un entero entre 5.000 y 8.000.
(c) La cantidad mı́nima de fertilizante tipo III es de 5.000. Luego, si se obtiene dicha cantidad se deben tener 15.000
X
unidades de fertilizante tipo I y 0 unidades de fertilizante tipo II.
1
2
Balanceo de ecuaciones quı́micas
Cuando se presenta una reacción quı́mica, ciertas moléculas (los reactantes) se combinan para formar nuevas moléculas
(los productos). Una ecuación quı́mica balanceada es una ecuación algebraica que proporciona los números rela-tivos
de reactantes y productos en la reacción y tiene el mismo número de átomos de cada tipo tanto del lado izquierdo
como del lado derecho de la ecuación.
La ecuación por lo regular se escribe con los reactantes a la izquierda, los productos a la derecha y una flecha
entre ellos para mostrar la dirección de la reacción. Por ejemplo
→
2H2 + O2
2H2 O.
Balancee la ecuación quı́mica de cada reacción.
Ejemplo.
(a) Na2 CO3 + C + N2 → NaCN + CO.
(b) CO2 + H2 O → C6 H12 O6 + O2 .
(c) FeS2 + O2 → Fe2 O3 + SO2 .
(a) Para balancear la ecuación quı́mica dada, introducimos variables x, y, z, w, k :
Solución.
→
xNa2 CO3 + yC + zN2
wNaCN + kCO.
Dado que los números de moles de Na, C, O y N deben ser iguales tanto de un lado como del otro, se sigue que
Sodio
Carbono
Oxı́geno
Nitrógeno
2x = w
x+y = w+k
3x = k
2z = w
Na :
C:
O:
N:
(2)
Reescribiendo el sistema 2, obtenemos el siguiente sistema homogéneo
2x
x + y
3x
− w
= 0
− w − k = 0
− k = 0
2z − w
= 0
(3)
cuya matriz aumentada y su respectiva forma reducida es

2
 1

 3
0
0
1
0
0
0
0
0
2
−1
−1
0
−1
0
−1
−1
0


0
1


0 
0
→ ··· → 
 0
0 
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
−1/3
−4/3
−1/3
−2/3
0
0
0
1

0
0 
.
0 
0
Con lo que
x=
k
,
3
y=
4k
,
3
z=
k
,
3
Por tanto,


x
 y 


 z  es una solución del sistema homogéneo (3)


 w 
k
w=
2k
3

si y sólo si
k : variable libre.
y





x
y
z
w
k


 
 
=
 
 
k/3
4k/3
k/3
2k/3
k






 = k




1/3
4/3
1/3
2/3
1



,


k ∈ R.
Tomando k = 3, obtenemos x = 1, y = 4, z = 1, w = 2. Luego la ecuación balanceada es
→
Na2 CO3 + 4C + N2
(b) y (c)
2NaCN + 3CO.
X
Ejercicios.
2
3
Análisis de redes
Para nosotros, una red se compondrá de un número finito de nodos (también llamados uniones o vértices) conectados
por una serie de lı́neas dirigidas conocidas como ramas (o arcos). Cada rama estará etiquetada con un flujo que
representa la dirección indicada. La regla fundamental que gobierna el flujo a través de una red es la regla de
conservación del flujo:
En cada nodo, el flujo que entra es igual al flujo que sale.
Consideremos la siguiente red de transporte.
Ejemplo.
(a) Establezca y resuelva un sistema de ecuaciones lineales para encontrar los flujos posibles en la red de la figura
anterior.
(b) Con respecto a las soluciones halladas en (a) indique, para cada variable libre, un intervalo en el cual puede
tomar valores para que dichas soluciones tengan sentido en el problema.
(c) Halle los valores de x1 , x2 , x3 y x4 de tal forma que se obtenga el máximo flujo vehicular en la rama BD.
Solución.
Nodo
A:
B:
C:
D:
(a) Aplicando la regla de conservación de flujo en cada nodo se obtienen el siguiente sistema lineal:
Flujo que entra
x1 + x4
600 + 500
700 + 300
x2 + x3
=
=
=
=
=
Flujo que sale
600 + 800
x1 + x2
x3 + x4
400 + 300

1
 1

 0
0
⇒
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0


1
1.400
 0
1.100 
→
 0
1.000 
700
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
−1
1
0

1.400
−300 

1.000 
0
Por tanto,
x1 = 1400 − x4 ,
x2 = −300 + x4
x3 = 1000 − x4
x4 :variable libre.
(b) La única variable libre del sistema es x4 . Por otro lado, x1 , x2 , x3 y x4 designan flujo vehicular y, por ende, son
enteros positivos. Luego,
1400 − x4 ≥ 0
−300 + x4 ≥ 0
⇔
⇔
1400 ≥ x4
x4 ≥ 300
1000 − x4 ≥ 0 ⇔ 1000 ≥ x4
x4 ≥ 0.
Ası́, x4 es un número entero entre 300 y 1000.
(c) Puesto que x2 = −300 + x4 , entonces cuando x4 = 300 se tiene x2 = 0 y cuando x4 = 1000 se tiene x2 = 700. Ası́
que el máximo valor para x2 es 700 y se obtiene al tomar x4 = 1000. En este caso la distribución de flujos en las vı́as
debe ser
x1 = 400,
x2 = 700,
x3 = 0
y
x4 = 1.000.
X
3