Guía para el maestro

Transcripción

3
Secu
ndar
R
TERCE
ia
GRADO
Guía para el maestro
presentación
Al maestro:
La práctica docente exige cada día más de diferentes recursos para enfrentarla y
lograr una educación de calidad. Por eso, Ediciones Castillo ha elaborado para usted esta Guía para el maestro, una herramienta que le facilitará el trabajo diario en
el aula considerando los retos que plantea trabajar con el enfoque didáctico de los
Programas de estudio 2011:
• Abordar los contenidos desde contextos vinculados a la vida personal, cultural y
social de los alumnos.
• Estimular la participación activa de los alumnos en la construcción de sus conocimientos.
• Contribuir al desarrollo de competencias para la vida, al perfil de egreso y a las
competencias específicas de la asignatura.
El trabajo con secuencias didácticas y proyectos, entendido como una estrategia
de enseñanza y de aprendizaje para construir y reconstruir el propio conocimiento,
representa, en cuanto a su metodología, una manera radicalmente distinta a la forma
tradicional de enseñanza. Es por esto que la guía que ponemos a su alcance tiene
como principal objetivo acompañarlo en cada una de las etapas que conforman el
proceso de trabajo con las secuencias, señalando, en primer lugar, los conceptos,
habilidades y actitudes que se desarrollarán, y los antecedentes que sobre los contenidos tienen los estudiantes.
En cada una de las etapas de inicio, desarrollo y cierre, encontrará la explicación de
su intención didáctica, así como sugerencias didácticas complementarias y respuestas a cada una de las actividades que conforman la secuencia.
Asimismo, en esta guía encontrará el solucionario correspondiente a las evaluaciones tipo pisa y enlace que aparecen en el libro del alumno y una evaluación adicional
por bloque recortable con la que usted podrá, si lo considera conveniente, realizar
una evaluación diferente a sus alumnos.
Al inicio de cada bloque le sugerimos un avance programático que le ayudará a planear y organizar bimestralmente su trabajo en el aula y un resumen del bloque en
donde se especifican cuáles son los aprendizajes esperados y las competencias que
se favorecerán.
Se incluyen recomendaciones de otros recursos, como el uso del CD Recursos digitales para el docente elaborado por Ediciones Castillo como otra herramienta de
apoyo a su trabajo en el aula, páginas de Internet, audios, películas, videos, libros,
museos, entre otros.
Los que participamos en la elaboración de esta guía sabemos que con su experiencia
y creatividad logrará potenciar las intenciones didácticas aquí expuestas, y así conseguir que sus alumnos desarrollen, de manera natural, las habilidades y actitudes para
el logro de los aprendizajes esperados y las competencias para la vida.
3
C
4
Contenidos
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Manejo de la información
• Resolución de problemas que impliquen el uso
de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando
procedimientos personales u operaciones inversas.
• Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y
algebraicas) que corresponden a una misma situación.
Identificación de las que corresponden a una relación
de proporcionalidad.
Estructura de la guía
• Representación tabular y algebraica de relaciones
de variación cuadrática, identificadas en diferentes
situaciones y fenómenos de la física, la biología,
la economía y otras disciplinas.
Forma, espacio y medida
• Construcción de figuras congruentes o semejantes
(triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus
propiedades.
• Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza
de triángulos a partir de construcciones con información
determinada.
10
Bloque 1
• Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis
de las características de eventos complementarios y
eventos mutuamente excluyentes e independientes.
• Diseño de una encuesta o un experimento e identificación
de la población en estudio. Discusión sobre las formas de
elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra
y búsqueda de herramientas convenientes para su
presentación.
Bloque 1
1
Contenidos del bloque
El uso de figuras semejantes y congruentes son un importante
recurso estructural y artístico aplicado en obras arquitectónicas.
Competencias que se favorecen
• Resolverproblemasdemaneraautónoma.
• Comunicarinformaciónmatemática.
• Validarprocedimientosyresultados.
• Manejartécnicaseficientemente.
Aprendizajes esperados
Al inicio de cada bloque encontrará un resumen de los
aprendizajes esperados y las competencias que se desarrollarán a lo largo de cada bloque.
•Explicaladiferenciaentreeventoscomplementarios,mutuamente
excluyenteseindependientes.
Sentido numérico y pensamiento algebraico.Estebloqueseiniciacon
unalecciónquepertenecealtema“Patronesyecuaciones”;enellase
resuelvenproblemasmatemáticosoencontextoapartirdelplanteamientodeecuacionescuadráticas.Losalumnostendránqueproponersupropiosprocedimientosoutilizaroperacionesinversascomo
elevaralcuadradoycalcularlaraízcuadrada.
Forma espacio y medida.Laslecciones2y3correspondenaltema
“Figurasycuerpos”yenellassetrabajanlosconceptosdesemejanzaycongruenciadecuadrados,rectángulosytriángulos.Ademásse
establecencriteriosparadeterminarsidostriángulossonsemejantes
ocongruentes.
Manejo de la información.Enesteejesetrabajantrestemas:elprimero“Proporcionalidadyfunciones”,dondeserepresentalarelación
entredoscantidadesusandounagráfica,unatablaounaexpresión
algebraica; en particular se analiza el de las relaciones de variación
cuadrática.Elsegundotemaes“Nocionesdeprobabilidad”,dondelos
alumnosestudiaránlosconceptos“eventoscomplementarios,mutuamenteexcluyenteseindependientes”,ademásdeestablecerla“escala
deprobabilidad”.Elúltimotemaes“Ánalisisyrepresentacióndedatos”,
enelquelosalumnosdiseñaránunaencuesta,discutiráncómoelegir
unmuestradepoblaciónycómorepresentarlosresultados.
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Bloque 1
11
Eje
1
2
3
Es una propuesta para planear y organizar, de manera bimestral, el trabajo en el aula, atendiendo a los aprendizajes
esperados del libro del alumno. En él se indican los contenidos a desarrollar, así como el tiempo sugerido para abordarlos.
Lección
1. Problemas al cuadrado
Resolución de problemas que
impliquen el uso de ecuaciones
cuadráticas sencillas, utilizando
procedimientos personales u
operaciones inversas.
22 a 26
2. ¿Iguales o se parecen?
Construcción de fi guras congruentes
o semejantes (triángulos, cuadrados
y rectángulos) y análisis de sus
propiedades.
27 a 31
3. ¿Cómo sabes si son
iguales? ¿Cómo sabes
si se parecen?
Explicitación de los criterios de
congruencia y semejanza de triángulos
a partir de construcciones con
información determinada.
32 a 37
4. Distintas
representaciones de
una misma situación
Análisis de representaciones
(gráficas, tabulares y algebraicas) que
corresponden a una misma situación.
38 a 42
5. Tablas y expresiones
algebraicas de
relaciones cuadráticas
Representación tabular y algebraica
de relaciones de variación cuadrática,
identificadas en diferentes situaciones
y fenómenos de la física, la biología, la
economía y otras disciplinas.
43 a 48
6. Escala de probabilidad
Conocimiento de la escala
de la probabilidad.Análisis de
las características de eventos
complementarios y eventos
mutuamente excluyentes e
independientes.
49 a 53
7. La opinión de los
demás
Diseño de una encuesta o un
experimento e identifi cación de la
población en estudio. Discusión sobre
las formas de elegir el muestreo.
Obtención de los datos de una
muestra y búsqueda de herramientas
convenientes para su presentación.
54 a 59
Figuras y cuerpos
Proporcionalidad
y funciones
5
6
7
8
12
Tema
Patrones y
ecuaciones
4
Avance programático
Semana
Sentido numérico
y pensamiento
algebraico
Nociones de
probabilidad
Análisis y
representación
de datos
Contenido
Aplica las matemáticas, Herramientas, Autoevaluación, Evaluación enlace, Evaluación pisa .
Páginas
60 a 67
Bloque 1 / lección 1
L1
Problemas al cuadrado
Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones
cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u
Prepararse para
la lección
Aprendizaje esperado
Esta lección contribuye a que el alumno alcance, en la
lección 1 del bloque 3, el aprendizaje esperado: resolver problemas que impliquen el uso de ecuaciones de
segundo grado.
Conceptos principales: ecuación, raíz cuadrada y
ecuacion desegundo grado.
Antecedentes: solución de ecuaciones de primer grado, representación algebraica, operaciones inversas.
Ideas erróneas
1. La literal que se usa para representar una cantidad
desconocida no afecta el resultado de una ecuación;
es decir, se puede usar cualquier letra para representar cantidades desconocidas.
2. Cuando se suman términos en una igualdad es importante sumarlos en ambos lados, por ejemplo,
si se tiene la igualdad b + 32 = 54 no es correcto
b + 32 + 5 = 54, ya que se alteraría la igualdad. Lo
correcto es b + 32 + 5 = 54 + 5 , que es lo mismo que
b + 37 = 59.
3. Cuando se suma un término en uno de los lados de
una igualdad se tiene que sumar el mismo término
del otro lado del igual. Por ejemplo, si se tiene la
igualdad b + 32 = 54, es incorrecto b + 32 + 3 = 54 − 3.
Lo correcto es b + 32 + 3 = 54 + 3 o b + 32 −3 = 54 −3.
Situación inicial (pág. 22)
Los alumnos resolverán un problema que les
permitirá recordar cómo se expresa un problema de manera algebraica. Además de recordar el
término ecuación.
Explora y construye (págs. 22-26)
Se comienza con la resolución de varios problemas que implican hacer cálculos de raíz cuadrada y potencia cuadrada. Después los alumnos
tendrán que expresar los problemas con ecuaciones de segundo grado y las resolverán usando
sus propios métodos.
Además se analizarán ecuaciones que tienen dos
soluciones y se reflexionará acerca de cuándo
sólo una de las soluciones se puede considerar
como respuesta. También tendrán que plantear
problemas que se pueden representar con ecuaciones de segundo grado.
Regresa y revisa (pág. 26)
Se presenta una variante del problema de la situación inicial, en la que hay más condiciones
que en el planteamiento.
Prepararse para la secuencia
Antes de iniciar la secuencia didáctica, indicamos cuáles
son los aprendizajes esperados, los conceptos, habilidades
y actitudes que se desarrollarán; así como los antecedentes que tienen los alumnos sobre los contenidos. También
señalamos los propósitos de cada una de las fases de la
secuencia: inicio, desarrollo y cierre.
5
13
Solucionario y sugerencias didácticas
Bloque
Lección
1
1
• Expliquen el procedimiento que siguieron para resolver el problema.
Situación inicial
b) En la misma tienda Lorena encontró una alfombra cuadrada cuya área es de
20.25 m2 y la quiere colocar en su recámara que mide 4.5 m × 5 m.
Situación inicial
• ¿Cuánto mide cada lado de la alfombra?
El terreno cuadrado
Una casa con jardín ocupa un terreno de forma cuadrada. Si la superficie del jardín
es de 25 m2 y la casa cubre un área de 200 m2, ¿cuánto mide cada lado del terreno?
En cada una de las etapas de la secuencia encontrará los
propósitos de las actividades, algunas sugerencias didácticas adicionales y las respuestas a las actividades del libro
del alumno. Encontrará la leyenda “Respuesta libre” cuando
sea el caso.
• ¿La alfombra cabe en el cuarto de Lorena?
c) El producto de un número y su consecutivo es 156. ¿De qué números se trata?
Analiza
1. En parejas, resuelvan el problema y respondan.
a) ¿Cuál es el área de todo el terreno?
• ¿Cuál es el consecutivo de un número natural?
b) ¿Cuánto mide cada lado del terreno?
• ¿Cómo resolvieron el problema? ¿Cómo podrían comprobar si su solución
es correcta? Respondan en su cuaderno.
c) Expliquen el procedimiento que siguieron para resolver el problema. ¿Qué operaciones realizaron?
d) Comparen sus resultados a los problemas anteriores con los de otros equipos.
¿Por qué?
• ¿Todos llegaron a los mismos resultados?
• ¿Los procedimientos fueron iguales o distintos?
Fig. 1.1.1.
d) Compartan sus respuestas y procedimientos con otra pareja. ¿Cómo pueden sa-
• ¿Cómo pueden determinar si los resultados y procedimientos que usaron
ber si sus respuestas y procedimientos son correctos?
son correctos? Discutan en grupo su respuesta y con ayuda de su profesor
lleguen a una conclusión.
e) Validen sus resultados en grupo con apoyo de su profesor.
Explora y construye
Explora y construye
Una ecuación para cada problema
Un problema y una solución
Fig. 1.1.2.
En cursos anteriores de Matemáticas aprendiste a modelar situaciones problemáticas mediante ecuaciones y expresiones algebraicas, así como a resolver ecuaciones
y sistemas de ecuaciones de distintos tipos.
1 En equipos, resuelvan los siguientes problemas.
Analicen cada situación, propongan procedimientos para resolverlos y llévenlos a la práctica; pueden usar calculadora.
a) El yute es una fibra natural muy resistente y
biodegradable con la que se elaboran diversos
artículos, como alfombras y manteles. Lorena
compró en una tienda un juego de portavasos de yute con un área de 64 cm2 cada uno.
¿Cuánto mide el lado de cada portavasos?
1 En equipos, resuelvan lo siguiente.
a) Para cada uno de los problemas anteriores planteen una ecuación que modele cada situación.
• Si los portavasos que compró Lorena tienen un área de 64 cm2, ¿cuánto
mide el lado de cada uno?
• Si la alfombra de yute tiene un área de 20.25 m2, ¿cuánto mide de lado?
22
g.
pá
22
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presentan cantidades desconocidas; una ecuación
es la igualdad de una expresión algebraica con un
número o con otra expresión algebraica, de modo
que las letras tomarán sólo los valores que hagan
cierta esa igualdad).
Página 22
El terreno cuadrado
Sugerencia didáctica: pida a los alumnos que resuelvan los incisos a-c. Después, hagan una pausa
y trabaje la siguiente sugerencia didáctica.
d) Respuesta libre.
e) Respuesta libre.
15 m
Explora y construye
Analiza
Página 22
1. a) 225 m2
b) 15 m
c) Como el área de un cuadrado se obtiene elevando al cuadrado la medida del lado, se espera que
los alumnos calculen la operación inversa para
obtener la medida del lado, es decir, la raíz cuadrada de 225.
Sugerencia didáctica: pregunte a los alumnos cuál
fue la cantidad desconocida que tuvieron que encontrar para resolver el problema y qué letra usarían para representarla. Discutan la idea errónea 1.
También recuérdeles, que por costumbre, se usan
frecuentemente las letras x, y y z para representar
cantidades desconocidas. Pregunte qué es una expresión algebraica y en qué se diferencia de una
ecuación. Entre todo el grupo escriban una definición de ecuación con la intención de recordar
lo que han aprendido en grados anteriores (una
expresión algebraica es un conjunto de números,
letras y signos de operación, donde las letras re-
Bloque 1 / evaluación
23
g.
pá
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Situación inicial
Sugerencia didáctica: deje que los alumnos resuelvan los problemas de esta sección sin que usted intervenga. Incluso, cuando tenga que hacer
la discusión de resultados de manera grupal, trate
de desempeñar un rol de mediador. Los alumnos
pueden llegar a las respuestas y procedimientos
correctos si comparten sus conocimientos. Además, en la siguiente sección se retomarán estos
problemas y se escribirán en lenguaje algebraico.
1. a) 8 cm
Página 23
• Respuesta modelo. Como el portavasos tiene
forma cuadrada y su área es 64 cm2, para obtener la medida de su lado hay que calcular la raíz
cuadrada de 64, que es 8.
b)• 4.5m
• Sí.Enunladodelarecamara,laalfombraquedará exacta pero en el otro dejará sin cubrir 0.5 m.
41
Autoevaluación
1 Lee cada uno de los siguientes enunciados.
2 Señala si es falso (F) o verdadero (V).
3 Explica cómo verificarías tu respuesta.
Enunciado
F
a) El largo de la base de un prisma rectangular
es tres veces más grande que el ancho, y su
V
x
altura es de 8 cm. Si su volumen es de 384 cm3,
entonces el largo mide 12 cm.
b) Dos triángulos isósceles tienen el mismo
perímetro, por tanto, son congruentes.
x
c) Un triángulo que mide 3.6 cm, 4.7 cm y 5.2 cm
es semejante a otro de 7.2 cm, 9.4 cm y 2.6 cm.
x
d) La expresión algebraica a = xb + b representa
una relación de proporcionalidad directa entre
a y b.
e) La relación entre los valores x1 = 0, y1 = 0;
x2 = 30, y2 = 2 700; x3 = 60, y3 = 3 600; x4 = 90,
y4 = 2 700; x5 = 120, y5 = 0 se puede representar
con la ecuación y = 120x – x2.
Autoevaluación, Evaluación pisa
y Evaluación enlace
Propuesta de verificación
Respuesta libre.
Respuesta libre.
Al final de cada bloque encontrará los solucionarios correspondientes a la autoevaluación y a las evaluaciones tipo pisa y tipo
enlace que aparece en el libro del alumno.
Respuesta libre.
x
Respuesta libre.
x
Respuesta libre.
f) Si la probabilidad de obtener una bola amarilla
de una urna que contiene bolas de colores es
6
, entonces la urna contiene seis bolas
de
10
amarillas.
g) Los alumnos de primer grado constituyen
una muestra representativa de una secundaria
para conocer los hábitos alimenticios de toda
la escuela.
x
Respuesta libre.
x
Respuesta libre.
4 En la página 67 revisa qué enunciados son falsos y cuáles verdaderos. Consulta
en tu libro los temas de las respuestas erróneas; si es necesario, replantea tus
propuestas de verificación y aplícalas.
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Evaluación Bloque 1
Nombre del alumno
Grupo
Fecha
1. La altura de un triángulo mide el triple de su base y su área es de 45 cm2. ¿Con qué
expresión se puede obtener la medida del lado del triángulo?
A) (x)
Evaluación adicional
Como recurso adicional, le ofrecemos, con reactivos tipo
enlace, evaluaciones bimestrales que pueden ser recortadas para su reproducción y aplicación a los estudiantes.
x
= 45
2
B) x(3x) = 45
C)
x(x)
= 45
3
D)
x(3x)
= 45
3
2. ¿Qué valor puede tomar x en la expresión x2 − 13 = −4?
A) Sólo 9.
B) 9 y −9.
C) 3 y −3
D) 13
3. ¿Cuáles son los ángulos de un triángulo que es semejante a otro cuyos ángulos
son: ∠90°, ∠40° y ∠50°?
A) ∠90°, ∠40° y ∠50°
B) ∠45°, ∠20° y ∠25°
C) ∠90°, ∠30° y ∠60°
D) ∠60°, ∠60° y ∠60°
4. La constante de proporcionalidad entre los lados de dos rectángulos es 1.6, ¿cuáles
son las medidas de uno de esos rectángulos si el otro tiene 8 cm de base y 3.5 cm
de altura?
A) 12.8 cm de base y 2.19 cm de altura
B) 5 cm de base y 5.6 cm de altura
C) 5 cm de base y 2.19 cm de altura
C) 12.8cm de base y 5.6 cm de altura
5. Los lados del triángulo A miden 8 cm, 3 cm, y 4 cm; y las medidas de los lados
del triángulo B son 12 cm, 4.5 cm y 6 cm, ¿cómo son los ángulos entre esos dos
triángulos? ¿Bajo qué criterio argumentas tu respuesta?
A) Los ángulos son iguales, pues los triángulos son congruentes por el criterio LLL.
B) Los ángulos son proporcionales, ya que por el criterio LLL los triángulos son semejantes.
C) Los ángulos son diferentes, pues no hay un criterio de semejanza ni de congruencia que se cumpla.
D) Los ángulos son iguales, porque los triángulos son semejantes por el criterio LLL.
6. En una librería, durante el mes de diciembre todos los que sean estudiantes recibirán el 45% de descuento al comprar un libro. ¿Con qué expresión se puede
calcular lo que pagará un estudiante si x representa el costo del libro?
A) y = 0.55x
B) y = 4.5x
C) y = 0.45x
D) y = 5.5x
45
6
El trabajo con secuencias
didácticas
Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, textos, imágenes y otros
recursos, organizados –a partir de un nivel de complejidad progresivo– en tres fases:
inicio, desarrollo y cierre, cuyo propósito es contribuir al logro de un aprendizaje.
Al inicio de la secuencia del libro del alumno presentamos el aprendizaje esperado
y una situación problemática y articuladora, cuyo objetivo es movilizar los conocimientos previos y despertar el interés de los estudiantes en torno a los contenidos
curriculares relacionados con dicho aprendizaje.
En esta fase, es importante que el maestro comparta con los alumnos los propósitos
de la secuencia; que se asegure que sus estudiantes identifican la realidad que será
objeto de estudio, las cuestiones o problemas que plantea esa realidad, y que indague y revise los posibles esquemas de actuación inicial que proponen sus alumnos
para dar respuesta a la situación problemática.
Posteriormente, en la fase de desarrollo, se presenta un conjunto de actividades
que constituyen un reto para los alumnos y que se encuentran bien apoyadas por
textos explicativos, imágenes y organizadores gráficos. La intención de presentar
estos recursos es la de promover una comprensión profunda de las explicaciones
que ofrecen los libros.
En esta fase los alumnos reflexionarán, resolverán y aplicarán estrategias diversas,
lo que posibilita poner en marcha el aprendizaje contextualizado de distintos contenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Por esto, se sugiere que el
docente trabaje con sus alumnos para que reconozcan con claridad el procedimiento que hay que seguir y los conocimientos que deben aplicar para poder actuar eficientemente, pasando progresivamente de conocimientos y procedimientos empíricos hacia procedimientos más expertos. En todo momento, es conveniente que el
maestro ofrezca ayudas específicas en función de las características de los alumnos,
y revise con ellos el esquema de actuación, la aplicación concreta que hacen de sus
conocimientos, y el proceso de construcción de nuevos conocimientos.
En el cierre de las secuencias se revisa la solución que ofrecieron en un inicio los
alumnos a la situación problemática y se presenta, bien una actividad de transferencia en la que aplicarán lo aprendido en otros contextos, bien una actividad de
síntesis en la que los estudiantes tienen que presentar sus conclusiones por escrito o
en algún organizador gráfico elaborado por ellos; estas actividades atienden el logro
del aprendizaje esperado.
De esta forma, y una vez que los alumnos comprenden y dominan el esquema de
actuación que los lleva al desarrollo de la competencia, será necesario que el maestro recapitule lo trabajado en la secuencia, acompañe a sus alumnos en la aplicación
de lo aprendido a situaciones diversas vinculadas con la realidad de sus estudiantes
y evalúe el progreso de sus alumnos, detecte hasta dónde fueron alcanzados los
aprendizajes esperados, y promueva la reflexión crítica sobre los contenidos abordados.
7
La evaluación
La evaluación es un elemento fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje,
ya que es una oportunidad para que usted valore el desarrollo de las habilidades
matemáticas de sus alumnos, lo cual le será útil en el diseño de sus propias estrategias de enseñanza. También son valiosas para los alumnos, ya que les permiten ser
reflexivos en cuanto a sus avances. Con este propósito se han incluido en el libro del
alumno tres tipos de evaluaciones al final de cada bloque: Autoevaluación, evaluación tipo enlace y evaluación tipo pisa.
En las autoevaluaciones, los alumnos leerán una serie de enunciados, uno por cada
lección vista en el bloque, y tendrán que responder si consideran que lograron el
aprendizaje esperado. Después deberán escribir una propuesta para mejorar su desempeño. A través de este ejercicio, los alumnos podrán valorar su nivel de aprendizaje, pues les permitirá detectar las áreas que dominan y aquellas en las que deben
mejorar.
Las pruebas tipo enlace (Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares) están elaboradas a partir de preguntas con cuatro respuestas posibles para
cada una. Esta evaluación ofrece un beneficio adicional para la preparación de los
alumnos ante este instrumento de evaluación oficial.
En las pruebas tipo pisa (siglas en inglés del Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes) los estudiantes tendrán que responder preguntas de análisis
de problemas que, además de abarcar contenidos del bloque, implican la movilización de las habilidades y competencias adquiridas.
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10
• Diseño de una encuesta o un expe
de la población en estudio. Discus
elegir el muestreo. Obtención de
y búsqueda de herramientas con
presentación.
Bloque 1
Bloque 1
El uso de figuras semejantes y congru
recurso estructural y artístico aplicado e
Competencias que se favorecen
•
•
•
•
Resolver problemas de manera autónoma.
Comunicar información matemática.
Validar procedimientos y resultados.
Manejar técnicas eficientemente.
Aprendizajes esperados
• Explica la diferencia entre eventos complementarios, mutuamente
excluyentes e independientes.
Sentido numérico y pensamiento algebraico. Este bloque se inicia con
una lección que pertenece al tema “Patrones y ecuaciones”; en ella se
resuelven problemas matemáticos o en contexto a partir del planteamiento de ecuaciones cuadráticas. Los alumnos tendrán que proponer su propios procedimientos o utilizar operaciones inversas como
elevar al cuadrado y calcular la raíz cuadrada.
Forma espacio y medida. Las lecciones 2 y 3 corresponden al tema
“Figuras y cuerpos” y en ellas se trabajan los conceptos de semejanza y congruencia de cuadrados, rectángulos y triángulos. Además se
establecen criterios para determinar si dos triángulos son semejantes
o congruentes.
Manejo de la información. En este eje se trabajan tres temas: el primero “Proporcionalidad y funciones”, donde se representa la relación
entre dos cantidades usando una gráfica, una tabla o una expresión
algebraica; en particular se analiza el de las relaciones de variación
cuadrática. El segundo tema es “Nociones de probabilidad”, donde los
alumnos estudiarán los conceptos “eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes”, además de establecer la “escala
de probabilidad”. El último tema es “Ánalisis y representación de datos”,
en el que los alumnos diseñarán una encuesta, discutirán cómo elegir
un muestra de población y cómo representar los resultados.
Bloque 1
Eje
1
2
3
Semana
Sentido numérico
y pensamiento
algebraico
Tema
Patrones y
ecuaciones
Lección
22 a 26
Construcción de fi guras congruentes
o semejantes (triángulos, cuadrados
y rectángulos) y análisis de sus
propiedades.
27 a 31
3. ¿Cómo sabes si son
iguales? ¿Cómo sabes
si se parecen?
Explicitación de los criterios de
congruencia y semejanza de triángulos
a partir de construcciones con
información determinada.
32 a 37
4. Distintas
representaciones de
Análisis de representaciones
(gráficas, tabulares y algebraicas) que
corresponden a una misma situación.
38 a 42
5. Tablas y expresiones
algebraicas de
relaciones cuadráticas
Representación tabular y algebraica
de relaciones de variación cuadrática,
identificadas en diferentes situaciones
y fenómenos de la física, la biología, la
economía y otras disciplinas.
43 a 48
Conocimiento de la escala
de la probabilidad.Análisis de
las características de eventos
complementarios y eventos
mutuamente excluyentes e
independientes.
49 a 53
7. La opinión de los
demás
Diseño de una encuesta o un
experimento e identifi cación de la
población en estudio. Discusión sobre
las formas de elegir el muestreo.
Obtención de los datos de una
muestra y búsqueda de herramientas
convenientes para su presentación.
54 a 59
6
7
8
Proporcionalidad
y funciones
5
Nociones de
probabilidad
Análisis y
representación
de datos
Páginas
Resolución de problemas que
impliquen el uso de ecuaciones
cuadráticas sencillas, utilizando
procedimientos personales u
Figuras y cuerpos
4
Contenido
Aplica las matemáticas, Herramientas, Autoevaluación, Evaluación enlace, Evaluación pisa .
60 a 67
11
12
L1
Problemas al cuadrado
Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones
cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u
Prepararse para
la lección
Esta lección contribuye a que el alumno alcance, en la
lección 1 del bloque 3, el aprendizaje esperado: resolver problemas que impliquen el uso de ecuaciones de
segundo grado.
Conceptos principales: ecuación, raíz cuadrada y
ecuacion desegundo grado.
Antecedentes: solución de ecuaciones de primer grado, representación algebraica, operaciones inversas.
Ideas erróneas
1.La literal que se usa para representar una cantidad
desconocida no afecta el resultado de una ecuación;
es decir, se puede usar cualquier letra para representar cantidades desconocidas.
2.Cuando se suman términos en una igualdad es importante sumarlos en ambos lados, por ejemplo,
si se tiene la igualdad b + 32 = 54 no es correcto
b + 32 + 5 = 54, ya que se alteraría la igualdad. Lo
correcto es b + 32 + 5 = 54 + 5 , que es lo mismo que
b + 37 = 59.
3.Cuando se suma un término en uno de los lados de
una igualdad se tiene que sumar el mismo término
del otro lado del igual. Por ejemplo, si se tiene la
igualdad b + 32 = 54, es incorrecto b + 32 + 3 = 54 − 3.
Lo correcto es b + 32 + 3 = 54 + 3 o b + 32 −3 = 54 −3.
Los alumnos resolverán un problema que les
permitirá recordar cómo se expresa un problema de manera algebraica. Además de recordar el
término ecuación.
Se comienza con la resolución de varios problemas que implican hacer cálculos de raíz cuadrada y potencia cuadrada. Después los alumnos
tendrán que expresar los problemas con ecuaciones de segundo grado y las resolverán usando
sus propios métodos.
Además se analizarán ecuaciones que tienen dos
soluciones y se reflexionará acerca de cuándo
sólo una de las soluciones se puede considerar
como respuesta. También tendrán que plantear
problemas que se pueden representar con ecuaciones de segundo grado.
Se presenta una variante del problema de la situación inicial, en la que hay más condiciones
que en el planteamiento.
Bloque
Lección
1
1
• Expliquen el procedimiento que siguieron para resolver el problema.
Situación inicial
b) En la misma tienda Lorena encontró una alfombra cuadrada cuya área es de
20.25 m2 y la quiere colocar en su recámara que mide 4.5 m × 5 m.
Situación inicial
• ¿Cuánto mide cada lado de la alfombra?
El terreno cuadrado
Una casa con jardín ocupa un terreno de forma cuadrada. Si la superficie del jardín
es de 25 m2 y la casa cubre un área de 200 m2, ¿cuánto mide cada lado del terreno?
• ¿La alfombra cabe en el cuarto de Lorena?
c) El producto de un número y su consecutivo es 156. ¿De qué números se trata?
Analiza
1. En parejas, resuelvan el problema y respondan.
a) ¿Cuál es el área de todo el terreno?
• ¿Cuál es el consecutivo de un número natural?
b) ¿Cuánto mide cada lado del terreno?
• ¿Cómo resolvieron el problema? ¿Cómo podrían comprobar si su solución
es correcta? Respondan en su cuaderno.
c) Expliquen el procedimiento que siguieron para resolver el problema. ¿Qué operaciones realizaron?
d) Comparen sus resultados a los problemas anteriores con los de otros equipos.
¿Por qué?
• ¿Todos llegaron a los mismos resultados?
• ¿Los procedimientos fueron iguales o distintos?
Fig. 1.1.1.
d) Compartan sus respuestas y procedimientos con otra pareja. ¿Cómo pueden sa-
• ¿Cómo pueden determinar si los resultados y procedimientos que usaron
ber si sus respuestas y procedimientos son correctos?
son correctos? Discutan en grupo su respuesta y con ayuda de su profesor
lleguen a una conclusión.
e) Validen sus resultados en grupo con apoyo de su profesor.
Explora y construye
Explora y construye
Fig. 1.1.2.
22
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En cursos anteriores de Matemáticas aprendiste a modelar situaciones problemáticas mediante ecuaciones y expresiones algebraicas, así como a resolver ecuaciones
y sistemas de ecuaciones de distintos tipos.
1 En equipos, resuelvan los siguientes problemas.
Analicen cada situación, propongan procedimientos para resolverlos y llévenlos a la práctica; pueden usar calculadora.
a) El yute es una fibra natural muy resistente y
biodegradable con la que se elaboran diversos
artículos, como alfombras y manteles. Lorena
compró en una tienda un juego de portavasos de yute con un área de 64 cm2 cada uno.
¿Cuánto mide el lado de cada portavasos?
1 En equipos, resuelvan lo siguiente.
a) Para cada uno de los problemas anteriores planteen una ecuación que modele cada situación.
• Si los portavasos que compró Lorena tienen un área de 64 cm2, ¿cuánto
mide el lado de cada uno?
• Si la alfombra de yute tiene un área de 20.25 m2, ¿cuánto mide de lado?
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Situación inicial
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El terreno cuadrado
Sugerencia didáctica: pida a los alumnos que resuelvan los incisos a-c. Después, hagan una pausa
y trabaje la siguiente sugerencia didáctica.
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presentan cantidades desconocidas; una ecuación
es la igualdad de una expresión algebraica con un
número o con otra expresión algebraica, de modo
que las letras tomarán sólo los valores que hagan
cierta esa igualdad).
d)Respuesta libre.
e)Respuesta libre.
15 m
Explora y construye
Analiza
Página 22
1. a)225 m2
b)15 m
c) Como el área de un cuadrado se obtiene elevando al cuadrado la medida del lado, se espera que
los alumnos calculen la operación inversa para
obtener la medida del lado, es decir, la raíz cuadrada de 225.
Sugerencia didáctica: pregunte a los alumnos cuál
fue la cantidad desconocida que tuvieron que encontrar para resolver el problema y qué letra usarían para representarla. Discutan la idea errónea 1.
También recuérdeles, que por costumbre, se usan
frecuentemente las letras x, y y z para representar
cantidades desconocidas. Pregunte qué es una expresión algebraica y en qué se diferencia de una
ecuación. Entre todo el grupo escriban una definición de ecuación con la intención de recordar
lo que han aprendido en grados anteriores (una
expresión algebraica es un conjunto de números,
letras y signos de operación, donde las letras re-
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g.
pá
23
Sugerencia didáctica: deje que los alumnos resuelvan los problemas de esta sección sin que usted intervenga. Incluso, cuando tenga que hacer
la discusión de resultados de manera grupal, trate
de desempeñar un rol de mediador. Los alumnos
pueden llegar a las respuestas y procedimientos
correctos si comparten sus conocimientos. Además, en la siguiente sección se retomarán estos
problemas y se escribirán en lenguaje algebraico.
1. a)8 cm
Página 23
• Respuesta modelo. Como el portavasos tiene
forma cuadrada y su área es 64 cm2, para obtener la medida de su lado hay que calcular la raíz
cuadrada de 64, que es 8.
b)• 4.5 m
• Sí. En un lado de la recamara, la alfombra quedará exacta pero en el otro dejará sin cubrir 0.5 m.
13
14
Bloque 1 /lección 1
Bloque
Lección
1
1
• El producto de un número y su consecutivo es 156. ¿De qué números se
• Comparen su procedimiento con el de otra pareja. ¿Los procedimientos
tienen estructuras similares o diferentes? ¿Qué tipo de operaciones involucraron en los procedimientos? ¿Con cuál se requieren menos operaciones?
¿Hay alguno que les resulte más fácil? Expliquen su respuesta.
trata?
b) Comparen las ecuaciones que propusieron con las de otros dos equipos. ¿En
qué se parecen y en qué son diferentes? Justifiquen su respuesta.
• Resuelvan las ecuaciones y describan cómo las resolvieron.
En los ciclos anteriores aprendiste a resolver problemas modelándolos con ecuaciones
de primer grado. Ahora tenemos un tipo distinto de ecuaciones, llamadas cuadráticas o
de segundo grado. Éstas se distinguen de las de primer grado porque su incógnita está
elevada al exponente dos, es decir, tiene una variable cuadrática.
• ¿Cómo pueden comprobar que los resultados que obtuvieron son correctos?
Decimos que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones; por
ejemplo, las ecuaciones 2x2 = 8 y x2 = 4 son equivalente porque los valores x = 2 y x = −2
son soluciones de ambas ecuaciones.
• Comparen si sus respuestas a las ecuaciones son iguales o diferentes a las
de otros equipos.
• Si sus respuestas son distintas, determinen los errores con ayuda de su
profesor.
• Si son iguales, comparen sus ecuaciones y comenten, también con ayuda
de su profesor, si son correctas, equivalentes o si son las mismas.
Más de una solución
1 En equipos de tres integrantes, resuelvan el siguiente problema.
a) Don Jacinto necesita cubrir el piso del vestíbulo de su casa, cuya área es de
2.25 m2 por lado. Las losetas que utilizará también son cuadradas y tienen
900 cm2 de área. ¿Cuántas losetas necesitará?
• Resuelvan el problema planteando inicialmente las ecuaciones necesarias.
• ¿La manera en que resolvieron las ecuaciones es similar o diferente a como
antes resolvieron los problemas? Expliquen su respuesta.
2 En parejas, resuelvan los siguientes problemas.
a) El cuadrado de un número menos 25 es igual a 75. ¿Cuál es ese número?
• Para determinar la medida del área de cada loseta, el equipo de Arely, Karol
y Rocío plantearon la siguiente ecuación:
• Representen el problema mediante una ecuación.
a2 = 900
• Resuelvan la ecuación y describan su procedimiento.
• Su maestro de Matemáticas les comentó que una solución a esa ecuación
es −30. ¿Consideran que tiene razón? Comprueben el resultado; pueden
usar su calculadora.
• Intenten resolver la ecuación con operaciones inversas. Recuerden que la
operación inversa de la suma es la resta; la de la multiplicación, la división,
y la de la potencia, la raíz. ¿Cómo utilizarían estas operaciones para resolver
la ecuación?
• ¿a = −30 es una solución para a2 = 900?
• ¿a = −30 cm es una solución para la medida de cada lado de las losetas?
Justifiquen sus respuestas.
• ¿Al utilizar las operaciones inversas obtuvieron el mismo resultado?
• ¿Por qué creen que sucede eso? ¿Cuáles son las diferencias y similitudes
entre ambos procedimientos?
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4.5 m
alfombra
4.5 m
0.5 m
c) 12 y 13.
• Es el que se obtiene sumando 1 al primer número. En este caso 13 es el consecutivo de 12.
Al hacer el producto 12 × 13 = 156.
• Respuesta libre. La intención de los problemas
es que los alumnos propongan sus propios métodos para resolverlos. No importa si lo hacen a
prueba y error. Más adelante estudiarán cómo
se usan las expresiones algebraicas para resolver este tipo de situaciones.
d)Respuesta libre.
• Respuesta libre.
1. a) • Si se toma a x como el lado de un portavasos:
x2 = 64. Se busca el valor de x.
• Si se toma a y como el lado de la alfombra:
y 2 = 20.25. Se busca el valor de y.
Página 24
• Si se toma a z como el número, entonces su
consecutivo es z + 1. Así el problema es encontrar el valor de z que cumpla que z(z + 1) = 156.
b)Respuesta libre. Las ecuaciones de los alumnos
seguramente diferirán en las letras usadas o tal vez
usen alguna expresión equivalente, por ejemplo
las ecuaciones z2 + z = 156, z2 + z – 156 = 0 y
z(z + 1) = 156.
2 En grupo, organizados por su profesor, analicen si la ecuación que plantearon
en el problema 2 de la página anterior tiene más de una solución. Si es así, indíquenla a continuación y comprueben que realmente es una solución.
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Sugerencia didáctica: para plantear la ecuación
del problema del número consecutivo puede ser
que los alumnos usen dos variables, por ejemplo,
x y y, obteniendo la ecuación xy = 156. En ese
caso, invite a los alumnos a escribir a y en términos de x. También es importante que al resolver la
ecuación correspondiente a ese problema, sean
los alumnos quienes propongan la forma de resolverla. No es momento para enseñarles la fórmula
que se estudiará en la primera lección del bloque
3; sin embargo, puede mencionarles su existencia.
2.a)• x2 – 25 = 75
• La solución del problema usando operaciones
inversas es:
x 2 – 25 = 75
x 2 – 25 + 25 = 75 + 25
x2 + 0 = 100
x 2 = 100
x = 10
Comenten que también x = –10 es solución.
• Respuesta libre. Se espera que los alumnos
obtengan el mismo resultado usando ambos
procedimientos.
Sugerencia didáctica: si nota que los alumnos
tienen problemas para hacer el despeje anterior,
plantee algunos ejercicios como el siguiente: a – 4
= 7. En este ejemplo pregunte cuál es el valor de a
que cumple la igualdad. Comenten que la expresión “– 4 pasa sumando del otro lado” en realidad
se refiere a que de ambos lados se puede sumar 4,
obteniendo a – 4 + 4 = 7 + 4 que es lo mismo que
a = 11. Comente las ideas erróneas 2 y 3.
Bloque
1
Problemas y ecuaciones
1 En parejas, resuelvan los siguientes problemas en su cuaderno.
a) Un número cuyo cuadrado sumado a 40 es igual a 13 veces el mismo número.
¿De qué número se trata?
• Escriban una ecuación para representar el problema. ¿La ecuación es de
primer o de segundo grado? ¿Por qué?
• Resuelvan la ecuación y describan cómo encontraron la solución.
• Encuentren otro número que cumpla con las condiciones del problema.
• Analicen el contexto del problema. ¿Cuántas respuestas válidas tiene este
problema? Expliquen su respuesta.
b) Un envase con forma cuadrangular tiene 10 cm de altura y 3 240 cm 3 de
volumen. ¿Cuáles son las medidas de la base cuadrada del envase? Planteen
una ecuación para resolver el problema.
Situación inicial
b)(10)(y2) = 3 240
2 Redacten un problema para cada una de las siguientes ecuaciones.
Ecuación
que resuelva el problema con “prueba y error”,
no introduzca la fórmula para resolver este tipo
de ecuaciones.
• EL alumno encontrará la otra solución, ya sea
8 o 5.
• Ambas son respuestas válidas.
Problema
240
y2 = 324
y 2 = 3 10
y = 18 o y = –18.
x(3x) = 3
(x + 3)(x) = 70
x2 − 81 = 0
3 Discutan en plenaria la relación que hay entre el grado de una ecuación y el
hecho de que pueda tener dos soluciones. Comenten en qué casos una de las
dos soluciones no puede ser una respuesta al problema.
En este caso, por las condiciones del problema, la única solución es y = 18 cm.
Reflexiona
1. Resuelve las ecuaciones x + 18 = 9 y x + 9 = –6x. ¿Cuántas soluciones tienen?
¿Cómo lo explicas?
2
2
Explora y construye
Regresa y revisa
1 En un terreno de forma cuadrada, se ubica una casa, un jardín y un pequeño
almacén. Si al terreno se le restan los 36 m2 del jardín y los 18 m2 del almacén,
quedan 270 m2 de la casa. ¿Cuánto mide cada lado del terreno?
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Más de una solución
1. a) • 25 losetas
• A = 2.25 m2 = 22 500 cm2
cm2
Losetas = 22 500
= 25
900 cm2
• Los alumnos notarán que –30 sí es solución.
• Sí es la solución.
• Respuesta modelo. No, porque no se puede
hablar de medidas negativas.
2.x = –10 también es solución.
Sugerencia didáctica: pregunte por qué al resolver la ecuación x2 – 25 = 75 no obtuvieron
x = –10 como solución. Explique que al calcular
la raíz cuadrada de un número hay que considerar siempre dos opciones, la negativa y la
positiva. Es importante comentar que en el
caso del problema de la ecuación x2 – 25 = 75,
sólo se está preguntando por un número y no
se dan más condiciones sobre él, así x = –10 y
x = 10 son soluciones. Lo anterior no resuelve el
problema de las losetas pues en ese caso no tiene sentido hablar de losetas cuyos lados midan
x = –30 cm.
Página 26
Problemas y ecuaciones
1. a) • x2 + 40 = 13x
• De segundo grado porque hay una variable con
exponente 2.
• Las soluciones son 8 y 5. El alumno puede encontrar cualquiera de las dos. La intención es
Sugerencia didáctica: comenten que la expresión “10 pasa dividiendo del otro lado”
en realidad se refiere a que de ambos la1
1
dos se puede multiplicar 10
, obteniendo 10
1
2
(10)(y ) = 3 240 10 que es lo mismo que
y2 = 324. Las ideas erróneas 2 y 3 también se pueden discutir si en lugar de suma se considera la
multiplicación.
2.Respuesta libre.
3.Cuando se tiene una variable con exponente 2 puede haber dos soluciones. La posibilidad de que dichas soluciones resuelvan la situación depende de
las condiciones de esa situación.
Reflexiona
1. La ecuación x2 + 18 = 9 no tiene soluciones ya que:
x2 + 18 = 9
x2 + 18 – 18 = 9 – 18
x2 = –9
No hay ningún número real que al multiplicarlo por
sí mismo dé como resultado un número negativo.
La solución de la ecuación x2 + 9 = –6x sólo tiene
como solución x = 3. Se espera que los alumnos lleguen a esta conclusión con “prueba y error”.
Regresa y revisa
Página 26
1. La ecuación que representa el problema es:
x2 – 36 – 18 = 270
x2 – 54 = 270
x2 – 54 + 54 = 270 + 54
x2 = 324
x = 18 o x = –18
Como el lado del terreno no puede tener una longitud negativa, entonces la única solución es:
x = 18 m.
15
16
L2
¿Iguales o se parecen?
Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos,
cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.
Prepararse para
la lección
Esta lección contribuye a que el alumno alcance en la
lección 4 del bloque 3 de este grado el aprendizaje
esperado: resuelver problemas de congruencia y semejanza que impliquen utilizar estas propiedades en
triángulos o en cualquier figura.
Conceptos principales: semejanza, congruencia, razón de semejanza.
Antecedentes: construcción de triángulos dados ciertos datos, figuras a escala, trazar triángulos con el juego
de geometría.
Idea errónea
1. Para verificar si dos triángulos son semejantes, algunos alumnos toman de manera equivocada los lados
que no son homólogos. Por ejemplo, en los siguientes triángulos, el lado A debe relacionarse con el lado
Y pues son los lados más largos de los triángulos, no
sería correcto identificar el lado A con el lado X.
X
A
C
Y
B
Z
Los alumnos utilizarán el tangram para construir
triángulos, cuadrados y rectángulos con una o varias piezas. El objetivo es que identifiquen figuras
iguales, a escala y de la misma forma.
Los alumnos trazarán triángulos con diferentes datos, observarán que con un mínimo de ellos pueden obtener todas las medidas de lados o ángulos
iguales. Identificarán con qué datos (longitud de
los lados o medida de los ángulos) se obtienen
triángulos idénticos.
Se retomarán las figuras dibujadas en la Situación
inicial e identificarán cuáles son congruentes,
cuáles son semejantes y cuál es la razón de semejanza.
Lección
2
Paso 3: tracen una recta paralela a la diagonal BD
que pase por el punto E. Nombren G al punto de
intersección de esta recta con la diagonal CA.
D
Situación inicial
C
Tangram
El tangram es un rompecabezas chino que
consta de siete piezas que se obtienen de dividir
un cuadrado en cinco triángulos, un cuadrado
y un romboide, como se muestra en la figura
1.2.1, y con las cuales se construyen diversas
figuras.
1 En parejas, reproduzcan en una hoja de papel, un par de cada una de las piezas de la
figura 1.2.1 para formar los polígonos que se
indican. Dibújenlos en su cuaderno y anoten
sus dimensiones.
• Triángulos con 1, 2, 3, 4 y 5 piezas.
• Cuadrados con 1, 2, 3, 4 y 7 piezas.
• Rectángulos con 2, 3, 4, 5 y 7 piezas.
O
F
G
Fig. 1.2.1.
E
A
Analiza
B
Paso 4: tracen una recta paralela a la diagonal AC
que pase por el punto F. Nombren H al punto de
intersección de esta recta con la diagonal BD.
1. Respondan a partir de las figuras que construyeron.
a) ¿Cuántos triángulos son del mismo tamaño?
b) ¿Qué cuadrados están a escala 1 a 1?
c) ¿Algún par de rectángulos tienen la misma forma, pero distinto tamaño?
d) Comparen sus polígonos con los de otras parejas y respondan nuevamente en su
cuaderno las preguntas anteriores.
D
Explora y construye
C
Triángulos congruentes y semejantes
1 Formen equipos de cuatro integrantes y en parejas tracen en su cuaderno, con
un juego de geometría, las siguientes figuras.
• Un triángulo cuyos ángulos midan 35°, 56° y 89°. Nombren A al vértice cuyo
ángulo mide 35°, B al vértice cuyo ángulo mide 89° y C al tercer vértice.
• Un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 5 cm. Llamen O al vértice
opuesto al lado mayor, P al vértice opuesto al lado de 4 cm y Q al tercer
vértice.
O
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g.
pá
G
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F
H
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E
A
Situación inicial
B
Paso 5: tracen una recta paralela al lado BC que
pase por el punto H. Nombren I al punto de intersección de esta recta con la diagonal AC.
Página 27
D
Tangram
C
I
Sugerencia didáctica: para obtener figuras más
exactas y desarrollar la capacidad de elaborar trazos geométricos, los alumnos trazarán el tangram
dos veces con este procedimiento:
O
G
D
C
H
E
A
Paso 1: tracen con un lápiz un cuadrado de 7 cm
de lado, llamen A, B, C y D a sus vértices. Luego
tracen las diagonales del cuadrado y nombren O
a la intersección.
F
B
Paso 6: Con un bolígrafo de un color diferente
para cada polígono tracen lo siguiente:
El triángulo con vértices AOD.
El triángulo con vértices DOC.
El triángulo con vértices AEG.
El triángulo con vértices EBF.
O
El triángulo con vértices OHI.
El cuadrado con vértices GEHO.
A
B
Paso 2: tracen el punto medio del segmento AB y
nómbrenlo E, también tracen el punto medio del
segmento BC y nómbrenlo F.
D
C
El cuadrilátero con vértices HFCI.
Posteriormente con un borrador eliminen los trazos de lápiz.
D
C
I
O
O
F
G
A
E
B
A
F
H
E
B
17
18
• Respuesta libre. Hay más de una manera de obtener las figuras solicitadas.
Bloque
1
2 Comparen su trabajo con el de la otra pareja y respondan.
a) ¿Cuáles son las medidas de los lados del triángulo ABC que trazaron y del que
trazó la otra pareja?
b) Obtengan las razones entre los lados correspondientes y anótenlas. ¿Qué
observan?
c) ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo OPQ de la pareja con quien compararon su trabajo?
d) ¿En qué coinciden y en qué difieren los triángulos que trazaron y los de la
otra pareja?
Analiza
Busca en...
1.a)Respuesta libre. Dependerá de los triángulos
construidos por los alumnos.
b)Respuesta libre. Dependerá de los cuadrados
construidos.
c)Respuesta libre. Dependerá de los rectángulos
construidos.
d) Respuesta libre.
http://www.edutics.
mx/4u4
donde podrás
construir dos
triángulos semejantes y analizar
sus características.
(Consulta: 11 de
julio de 2013).
3 En grupo, analicen los triángulos ABC y OPQ que construyeron los distintos
equipos y en su cuaderno respondan las siguientes preguntas.
a) Obtengan las razones entre los lados correspondientes de los triángulos ABC
que trazaron las parejas de dos equipos distintos. ¿Qué observan? Anoten sus
conclusiones.
b) ¿Qué relación hay entre los ángulos correspondientes de los triángulos OPQ?
c) ¿En qué caso los triángulos son idénticos y en cuál hay una proporción entre
sus lados?
4 En parejas, tracen en su cuaderno los triángulos que se piden; usen su juego de
geometría.
• Un triángulo cuyos tres lados midan 9 cm. Designen los vértices con D, E y F.
• Un triángulo con dos ángulos de 60°. Llamen G y H a los vértices cuyos ángulos son de 60° e I al tercer vértice.
5 Midan los ángulos y lados de ambos triángulos. Completen las igualdades y
respondan en su cuaderno lo que se pide.
• DE = 9 cm
D=
GH =
G = 60°
• EF = 9 cm
E=
HI =
H = 60°
• FD = 9 cm
F=
IG =
I=
a) ¿Qué datos necesitan para afirmar o refutar si los triángulos DEF y GHI son
idénticos?
b) Sustituyan en las siguientes razones los valores que anotaron y determinen
con calculadora los cocientes que se obtienen.
DE
=
GH
•
=
•
EF
=
HI
=
•
FG
=
IG
=
c) ¿Qué representan las razones anteriores? ¿Qué observan respecto a los cocientes que se obtienen? Expliquen qué significa ese resultado.
Explora y construye
6 En grupo, comparen sus resultados con los de otras parejas. ¿Qué pueden concluir si comparan los cocientes de los triángulos que trazaron? ¿Qué significa
ese resultado?
Página 27
28
g.
pá
28
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Triángulos congruentes y semejantes
Sugerencia didáctica: es importante que los alumnos tengan claro cómo relacionar los ángulos y
los lados de un triángulo con los lados y los ángulos del otro triángulo, si lo considera necesario
explique la idea errónea 1.
1. • La figura es:
A
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b)Los ángulos son iguales.
c)Son triángulos idénticos cuando las medidas de
entre lados correspondientes son iguales.
Los triángulos guardan una proporción cuando
las medidas entre ángulos correspondientes son
iguales.
4. • La figura es a escala:
F
C
56°
35°
9 cm
9 cm
89°
B
D
Q
• La figura es:
9 cm
E
• La figura es:
I
P
O
Página 28
2.a)Respuesta libre. Las medidas de los lados de los
triángulos la mayoría de las veces serán diferentes.
b)Respuesta modelo. Las razones son iguales.
c)Los ángulos miden lo mismo.
d)En el triángulo que se trazó a partir de las medidas
de los ángulos, la medida de los lados son diferentes, pero conservan una misma proporción. Los
triángulos que se trazaron a partir de las medidas
de los lados son idénticos.
3.a) Las razones son iguales.
La conclusión que se espera es: cuando se trazan
triángulos con ángulos iguales se obtienen triángulos a escala, es decir, con la misma forma.
G
60°
60°
H
5. • DE = 9 cm  D = 60°
GH = *6 cm  G = 60°
• EF = 9 cm  E = 60°
HI = *6 cm  H = 60°
• FD = 9 cm  F = 60°
IG = *6 cm  I = 60°
* Las medidas pueden variar en distintas parejas;
pero en cada una las medias de los segmentos
GH , HI e IG deben medir lo mismo.
a) La medida de los lados.
9
= 1.5*
b)• DE = 6*
GH
EF
9
= 6*
= 1.5*
HI
•
congruente.
5.a)No,porquenotienenlamismaforma.
b) Que sus lados sean proporcionales.
Página 31
FD
9
= 6*
= 1.5*
IG
Rectángulos en el plano cartesiano
* Los números pueden variar en cada pareja,
Sugerencia didáctica: Si dos triángulos son semepero las razones son iguales.
jantes, por ejemplo dos triángulos A y B, entonces
c) Las razones representan la proporción de las mehay una razón de semejanza entre A y B.
didas de los lados de los triángulos. Las razones
1.
son iguales: los triángulos están a escala o son
3
iguales (si las razones son iguales a 1).
2.5
6. Al comparar los cocientes de los triángulos, si éstos
2
son iguales, los triángulos están a escala. El cociente
1.5
representa el factor de proporcionalidad.
1
Página 29
7. La razón del triángulo menor respecto al mayor es
0.5. Si se considera el contrario es 2.
8. a) Los triángulos RST y UVW son semejantes, pues la
razón entre los lados correspondientes es la misma.
b) Es 1.
c) Primero se hacen las razones respecto a los lados
correspondientes:
PQ = 3 cm = 1
3 cm
RS
QO
= 44 cm
=1
cm
ST
QP
= 55 cm
=1
cm
TR
Como los cocientes son iguales, los triángulos OPQ y
RST son semejantes.
d) La razón de semejanza es 1.
Página 30
Semejanza y congruencia de cuadrados y rectángulos
1. • Respuestalibre.
2. a) Tienen la misma forma, pero son diferentes por la
medida de sus lados, excepto los últimos dos.
b) Todos los cuadrados son semejantes. Los que son
congruentes son al menos los últimos dos, si el
alumno traza el primer cuadrado con 6 cm de
lado también será congruente.
c) Respuesta modelo. Dos cuadrados son congruentes cuando la medida de los lados es la misma para ambos.
d) Respuesta modelo. Todos los cuadrados son semejantes pues sus ángulos internos, simepre miden 90°.
3. Respuesta libre.
4. a) El cuadrado será semejante. Si la medida de
sus lados es igual a 6 cm entonces también será
0.5
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5
a) El rectángulo cuyo largo es de 5 u es semejante al
rectángulo cuyo largo es de 7.5 u; y el rectángulo
cuyo largo es de 2 u es semejante al rectángulo de
largo de 3 u.
b) En los rectángulos que son semejantes, la diagonal de uno coincide con la diagonal del otro.
2. Sería una línea recta que parte del origen, lo que significaunarelaciónproporcional.
Reflexiona
1. a)Verdadera. Como los tres lados de un triángulo
equilátero miden lo mismo, al hacer la razón de
semejanza con las medidas de otro triángulo equilátero, los cocientes serán iguales.
b) Falsa. Todos los lados de un cuadrado miden lo
mismo y al calcular las razones con las medidas
de otro cuadrado, los cocientes serán los mismos,
por lo que todos los cuadrados son semejantes.
c) Falsa. Las medidas de los lados de un rectángulo
pueden ser diferentes, así que para que dos rectángulos sean semejantes las medidas de los lados
correspondientes tiene que ser proporcionales.
d)Verdadera. Al ser congruentes los cocientes son
iguales.
e) Falsa. Aunque los cocientes de las razones de
cada lado sean iguales entre sí, las medidas de los
lados pueden ser distintas.
f) Verdadera. La suma de la longitud de sus lados
sigue guardando la misma proporción.
Regresa y revisa
Página 31
1. Los polígonos que tienen el mismo tamaño son los
congruentes. Los semejantes son los que entre ellos
guardan una escala o tienen la misma forma.
19
20
L3
¿Cómo sabes si son iguales?
¿Cómo sabes si se parecen?
Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de
triángulos a partir de construcciones con información determinada.
Prepararse para
la lección
Con el estudio de esta lección el alumno avanzará para
que en la lección 4 del bloque 3 alcance el aprendizaje
esperado: resolver problemas de congruencia y semejanza que impliquen utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura.
Conceptos principales: criterios de semejanza y criterios de congruencia.
Antecedentes: construcción de triángulos a partir de
ciertos datos. Definición de triángulos semejantes. Definición de triángulos congruentes.
Se presenta un problema que puede resolverse
mediante la construcción de triángulos. Se cuestiona si con los datos dados es posible construir
un único triángulo.
Esta sección se divide en dos partes. En la primera
los alumnos tendrán que construir triángulos con
ciertos datos, pero sólo podrán construir un único
triángulo. Ellos analizarán los datos y sabrán cuándo se obtienen triángulos congruentes. Finalmente se les presentan los criterios de congruencia.
En la segunda parte también los alumnos construirán triángulos, pero con esos datos ellos obtendrán más de un triángulo y serán semejantes.
Propondrán sus propias condiciones para construir triángulos semejantes y luego las compararán con los criterios de semejanza que se les presenta al final.
Resolverán problemas en los que tendrán que
aplicar los criterios de semejanza y congruencia.
Analizarán la relación entre un triángulo rectángulo y los triángulos que se forman al trazar su altura.
2.Respuesta libre.
Bloque
1
3. ¿Cómo sabes si son iguales?
¿Cómo sabes si se parecen?
Explora y construye
Situación inicial
Página 32
Una ventana errónea
Beatriz encargó en una vidriería un cristal triangular con una base de 80 cm y un lado
de 60 cm. Cuando Beatriz fue a recogerlo le entregaron un vidrio distinto del que ella
esperaba. ¿Al menos qué otra información debió proporcionar para que le dieran el
vidrio que requería?
Lo mínimo para ser iguales
Analiza
1. En parejas, realicen y respondan lo siguiente.
1.a)Respuesta modelo Cuando la medida de los lados y los ángulos de un triángulo son iguales a las
de otro triángulo se dice que esos triángulos son
congruentes.
a) Escriban a continuación su procedimiento para encontrar la respuesta.
b) ¿Con las medidas que proporcionó Beatriz se podrían construir sólo uno o más
triángulos distintos? ¿Por qué?
c) Indiquen con qué datos el vidriero podría entregar a Beatriz el vidrio como ella lo
Página 33
necesitaba.
2. En grupo, comparen sus respuestas y determinen cuántos triángulos distintos se
pueden trazar con las indicaciones de Beatriz.
Explora y construye
Lo mínimo para ser iguales
1 En parejas, realicen lo siguiente.
a) Escriban una definición de congruencia de triángulos.
32
g.
pá
32
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13/11/13 20:00
Situación inicial
Página 32
Una ventana errónea
b)Respuesta modelo. Cuando la proporción entre los lados correspondientes de dos triángulos
es la misma, se dicen que esos triángulos son
semejantes.
b)Respuesta modelo. Cuando dos triángulos son
congruentes las medidas de sus lados y las de
sus ángulos es la misma, mientras que en dos
triángulos semejantes sólo las medidas de los ángulos es la misma y las medidas de los lados son
proporcionales.
2.a) La figura está a escala.
C
La medida del tercer lado
B
Analiza
3 cm
1. a)Respuesta modelo. En la lección anterior se observó que si los lados de dos triángulos tienen las mismas medidas, entonces son congruentes.
b)Más de un triángulo distinto.
c) Con las medida de los tres lados.
Sugerencia didáctica: al trazar un triángulo a
partir de un segmento y dos circunferencias cuyos centros son los extremos del segmento, y
cuyos radios corresponden con las longitudes
de los otros lados del triángulo, dos de los vértices del triángulo están determinados por los
extremos del segmento y el otro por el punto de intersección entre las circunferencias.
6 cm
55°
A
• Respuesta libre. Todos los triángulos deben ser
iguales (congruentes), pues los lados miden lo
mismo, así como las medidas de sus ángulos.
• Respuesta modelo. Porque al trazar los lados
y el ángulo todos los alumnos obtuvieron lo
siguiente:
C
B
3 cm
C
55°
A
B
6 cm
A
Y para completar el triángulo sólo tenían que
trazar un segmento de recta que uniera los
puntos B y C; este segmento tiene una medida
única.
21
22
Bloque
Lección
1
3
c) Un triángulo cuyos lados midan 3 cm, 5 cm y 6 cm.
Bloque
1
b) Carlos y Antonio también trazaron dos triángulos, uno cada uno, como se
muestra en la figura 1.3.2. En ambos triángulos, dos ángulos miden 40° y un
lado es de 6 cm de longitud.
b) Un ángulo mide 50° y el otro, 60°.
• Comparen su triángulo con el de su compañero, y luego con los triángulos
que construyeron en el inciso b) de la página 33. ¿Qué información com-
40°
Busca en...
http://www.edutics.
mx/4uZ
donde podrás
observar y analizar
dos triángulos
semejantes en
una construcción
cuyas características podrás variar.
(Consulta: 11 de
julio de 2013).
parten? ¿Cómo son entre sí esos triángulos?
• Expliquen por qué se puede afirmar que los triángulos anteriores son se-
Regresa y revisa
mejantes.
40°
40°
c) Uno de sus lados mide 6 cm, otro 12 cm y el ángulo entre ellos es de 55°.
40°
6 cm
6 cm
• Comparen estos triángulos con los que hicieron en el inciso a) de la página
Fig. 1.3.2.
• ¿Con qué otra condición los triángulos de Carlos y Antonio serían con• Comparen su triángulo con el de su compañero y con los de otra pareja.
33. ¿Cómo se relacionan los lados y los ángulos de éstos?
gruentes?
Escriban cómo son entre sí los triángulos que trazaron.
• Justifiquen por qué se puede asegurar que los triángulos son semejantes.
5 En grupo, comenten y discutan sus conclusiones y analicen con qué condiciones
se obtienen triángulos congruentes.
3 Hagan en su cuaderno lo siguiente.
a) Repitan los incisos de la actividad anterior con datos similares a los que se
indicaron en cada uno. Por ejemplo, para el inciso a) propongan medidas
de dos lados y el ángulo entre ellos para trazar un triángulo; para el inciso
b) den la medida fija de un lado y los ángulos adyacentes, y para el inciso c)
proporcionen las medidas de 3 lados.
• Comparen los triángulos que trazaron y digan cómo son entre sí.
b) En grupo, comenten las condiciones necesarias para que al trazar dos o más
triángulos, éstos sean congruentes.
d) Sus lados miden 6 cm, 10 cm y 12 cm.
Las condiciones que analizaron permiten verificar si dos triángulos son congruentes sin necesidad de comparar uno a uno sus lados y sus ángulos. Esas
condiciones se conocen como criterios de congruencia de triángulos y son los
siguientes:
• Lado – lado – lado (LLL). Si los tres lados de un triángulo son iguales, respectivamente, a los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
• Lado – ángulo – lado (LAL). Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos son iguales, respectivamente, a dos lados y el ángulo comprendido
entre ellos de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.
• Ángulo – lado – ángulo (ALA). Si dos ángulos de un triángulo y el lado comprendido entre ellos son iguales, respectivamente, a dos ángulos y el lado
comprendido entre ellos de otro triángulo, entonces los dos triángulos son
congruentes.
4 Lean y resuelvan en equipos de tres integrantes las siguientes situaciones.
a) Sandra y Diana trazaron, cada una, un triángulo con un lado de 4 cm, otro
lado de 7 cm y un ángulo de 30° como muestra la figura 1.3.1.
4 cm
4 cm
• Comparen los triángulos anteriores con los del inciso c) de la página 34.
¿Qué relación hay entre sus lados?
• Expliquen por qué es posible afirmar que los triángulos son semejantes.
2 En grupo, comenten y discutan sus conclusiones. Determinen con qué condiciones dos triángulos son semejantes.
Con las condiciones anteriores se puede determinar si dos triángulos son semejantes sin
necesidad de comparar todos los ángulos ni revisar que sus lados correspondientes sean
proporcionales. Esas condiciones mínimas que garantizan la semejanza de dos triángulos se
conocen como criterios de semejanza de triángulos y son los siguientes:
• Ángulo – ángulo. Si dos triángulos tienen al menos dos ángulos iguales, entonces ambos
triángulos son semejantes.
• Lado proporcional – ángulo – lado proporcional. Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes proporcionales y el ángulo entre ellos es igual, entonces los dos triángulos
son semejantes.
• Lado proporcional – lado proporcional – lado proporcional. Si todos los lados de un
triángulo son proporcionales a los lados correspondientes de otro triángulo, entonces
ambos triángulos son semejantes.
Lo mínimo para parecerse
30°
30°
7 cm
Fig. 1.3.1.
1 Utiliza un juego de geometría para trazar en tu cuaderno triángulos con las siguientes características, y en parejas contesten lo siguiente.
a) Sus ángulos miden 25°, 85° y 70°.
7 cm
• ¿Estos triángulos son congruentes dado que comparten las medidas de dos
de sus lados y un ángulo?
• Comparen el triángulo que trazaron con el de su compañero y analicen
• ¿Qué otra condición se deberá añadir a las construcciones de Sandra y
cómo se relacionan las longitudes de los lados. ¿Cómo son entre sí los dos
Diana para que sean congruentes?
triángulos? Escriban sus conclusiones.
34
g.
á
p
34
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35
13/11/13 20:00
SFUMA3SB_B1.indd 35
b)La figura está a escala.
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36
g.
á
p
36
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13/11/13 20:00
- Si tienen dos ángulos iguales y el lado entre ellos
mide lo mismo.
- Si tienen sus tres lados iguales.
C
4 cm
A
35
g.
á
p
60°
Lo mínimo para parecerse
1. a) Son semejantes, pues el cociente de la relación de
las longitudes de los lados correspondientes es el
mismo.
50°
Página 36
B
• Los triángulos son congruentes.
Página 34
c)
C
6 cm
5 cm
A
3 cm
B
• Los triángulos son congruentes.
3. a)Respuesta libre.
• Respuesta modelo. Los triángulos son congruentes.
4.a) • No.
• Respuesta modelo. El ángulo debe estar entre
los lados de 7 cm y 4 cm.
Página 35
b)• La medida del lado debe estar entre los ángulos de 40°.
5.Se obtienen triángulos congruentes si:
- Si tienen dos lados iguales y el ángulo entre ellos
mide lo mismo.
b)• Los ángulos correspondientes de cada triángulo son iguales. Los triángulos son semejantes.
• Porque el cociente de la relación de los lados
correspondientes es igual para los tres lados de
cada triángulo.
c)• Los ángulos son iguales. Los lados son proporcionales.
• Porque el cociente de la relación de los lados
correspondientes de cada triángulo es igual
para sus tres lados.
d)• Los lados son proporcionales.
• Porque el cociente de la relación de los lados correspondientes es el mismo para todos los lados.
2.Respuesta libre.
Página 37
Reflexiona
1. Son semejantes, esto se puede comprobar mediante
las razones de los lados correspondientes.
Primero obtengamos las razones del triángulo ABC y
el triángulo DEF, como esos triángulos son semejantes, las razones son igual a una razón de semejanza,
se propone que la razón es igual a k:
AB
= k
DE
BC
= k
EF
CA
=k
FD
Después obtengamos las razones del triángulo DEF
y el triángulo GHI, como también estos triángulos
son semejantes, las razones son iguales a una razón
de semejanza, se propone que la razón de semejanza es igual a k’:
DE
= k'
GH
EF
= k’
HI
Lección
3
Reflexiona
1. Si un triángulo ABC es semejante al triángulo DEF y éste es, a su vez, semejante a un
tercer triángulo GHI, ¿qué relación existe entre los triángulos ABC y GHI? Justifica
tu respuesta en tu cuaderno.
Regresa y revisa
1 En parejas, resuelvan en su cuaderno el siguiente problema.
FD
= k’
IG
En la misma vidriería donde Beatriz hizo su encargo, se hicieron otros pedidos de
vidrios triangulares. Si se cortan varios cristales con los datos que se proporcionan en cada inciso, ¿con cuáles se pueden obtener triángulos congruentes, con
cuáles semejantes y con cuáles triángulos distintos? Justifiquen su respuesta.
Ahora obtengamos las razones del triángulo ABC y
el triángulo GHI; como no se sabe qué relación hay
entre estos triángulos la primera razón es AB .
a)
b)
c)
d)
2 En grupo, verifiquen sus respuestas y justificaciones anteriores.
Resuelve y practica
GH
1. Realiza y contesta lo que se indica.
a) Traza un triángulo rectángulo, nombra C al vértice del ángulo recto y A y B, a los
otros dos vértices.
b) Traza la altura que pasa por C y nombra P al punto donde interseca al lado opuesto a C, como en la figura 1.3.3.
El valor de AB lo podemos obtener de la razón pasada
AB
= k:
DE
Un ángulo de 40°, otro de 30° y un lado de 60 cm.
Un lado mide 80 cm, otro 40 cm y el ángulo entre ellos es de 65°.
Un ángulo mide 35° y otro, 60°.
Dos lados miden 60 cm y un ángulo, 60°.
C
AB = DE × k
Y el valor de GH se puede obtener de la razón DE
GH
= k’ :
A
P
B Fig. 1.3.3.
c) Mide los ángulos de los triángulos ABC, APC y BPC y anota en tu cuaderno los
valores obtenidos.
k'
GH = DE
d) ¿Qué relación hay entre los tres triángulos anteriores? Justifica tu respuesta.
2. En grupo, comparen sus construcciones y respuestas de la actividad anterior. Concluyan cuál es la relación entre un triángulo rectángulo y los triángulos que se forman al trazar su altura.
Sustituyendo valores, la primera razón es igual a:
DE × k
AB
=
= (DE × k) × k' = k × k’
DE
DE
GH
k’
SFUMA3SB_B1.indd 37
AB
= k × k’
GH
13/11/13 20:00
Regresa y revisa
La segunda razón entre el triángulo ABC y el triángulo GHI es BC .
HI
El valor de BC se puede obtener de la razón
BC
= k el cual es: BC= EF × k
EF
Y el valor de HI se puede obtener de la razón EF = k’
HI
el cual es: HI = EF
.
k’
Sustituyendo valores se obtiene que la razón es igual a:
BC
= EF × k = (EF × k) × k' = k × k’
EF
HI
EF
k’
BC
= k × k’
HI
Finalmente la tercera razón entre el triángulo ABC y
el triángulo GHI es CA .
IG
El valor de CA se puede obtener de la razón CA = k
FD
el cual es: CA = FD × k
Y el valor de IG se puede obtener de la razón
Página 37
1. a)Si el lado de 6 cm es el que está entre los dos ángulos entonces se forman triángulos congruentes
por el criterio de congruencia ALA. Si el lado es
otro entonces se forman triángulos distintos.
b)Se forman triángulos congruentes por el criterio
de congruencia LAL.
c) Se forman triángulos semejantes por el criterio de
semejanza Ángulo AA.
d)Si el ángulo de 60° está entre los dos lados de
60 cm, entonces se formarán triángulos congruentes por el criterio de congruencia LAL. Si el ángulo
es otro, entonces se formaran triángulos distintos.
2.Repuesta libre.
Resuelve y practica
C
1. a)
22.13°
FD
= k’ el cual es: IG = FD
.
k'
IG
Sustituyendo valores la tercera razón es igual a:
CA
= FD × k = (FD × k) × k' = k × k’
FD
IG
FD
k’
CA
= k × k’
IG
Entonces las tres razones de los lados correspondientes de los triángulos ABC y GHI son:
AB
= k × k’ GH
37
g.
á
p
37
BC
= k × k’ HI
CA
= k × k’
IG
Como son iguales al mismo valor (k × k’), entonces
entre los lados de uno y de otro hay la misma proporción, por lo que el triángulo ABC es semejante al
triángulo GHI.
67.87°
A
67.87°
90° 90°
22.13°
B
P
c) Respuesta modelo. En el triángulo ABC:
 A = 67.87°
 B = 22.13°
 C = 90°
En el triángulo APC
 A = 67.87°
 P = 90°
 C = 22.13°
En el triángulo BPC
 B = 22.13°
 C = 67.87°
 P = 90°
d)Son semejantes por el criterio de congruencia
Ángulo – ángulo.
2.La relación es que se forman triángulos semejantes.
23
24
L4
Distintas representaciones, una
misma situación
Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que
corresponden a una misma situación. Identificación de las que
corresponden a una relación de proporcionalidad.
Prepararse para
la lección
esperado: leer y representar, gráfica y algebraicamente,
relaciones lineales y cuadráticas.
Conceptos principales: proporcionalidad, gráfica, tabla y expresión algebraica de una relación de proporcionalidad.
Antecedentes: representación de situaciones de manera algebraica. Uso de la expresión y = kx para representar relaciones de proporcionalidad. Representar en
el plano cartesiano los datos de una tabla. Obtención
de datos a partir de una gráfica.
Idea errónea
1. Los alumnos pueden creer que, en una relación de
proporcionalidad directa, siempre ocurre que si una
de las variables aumenta la otra también lo hace. Sin
embargo, esto no pasa si el valor de k en la igualdad
y = kx es negativo.
Los alumnos iniciarán con el análisis de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad. Ellos tendrán que recordar los conocimientos que adquirieron en la lección 6, del bloque 3
de segundo grado, como por ejemplo cuál
es la expresión algebraica de una relación de
proporcionalidad.
Las actividades solicitan que los alumnos tracen
la gráfica de una relación de proporcionalidad a
partir los datos de una tabla o a partir de la expresión algebraica. Además, los alumnos expresarán
relaciones de proporcionalidad de manera algebraica y a partir de ellas determinarán los valores
que hacen falta en una tabla o los valores que son
difíciles de identificar en una gráfica. Compararán
las ventajas y desventajas de representar una relación de proporcionalidad mediante una tabla, una
expresión algebraica o una gráfica. Por último, se
plantean diversas situaciones en forma de gráfica, texto descriptivo, tabla o expresión algebraica
para que el alumno explique en cuáles las cantidades varían de manera proporcional.
Se retoma la expresión algebraica que representa la gráfica de la Situación inicial y se pide que
el alumno encuentre otro contexto que se pueda
representar con esa expresión.
Lección
Bloque
1
4
Explora y construye
Explora y construye
4. Distintas representaciones,
Situación inicial
El consumo de gasolina alrededor del mundo
1 En equipos, lean el siguiente texto y realicen las actividades.
La gasolina es uno de los derivados del petróleo más importantes a nivel mundial,
ya que la mayoría de los medios de transporte (automóviles, aviones, ferrocarriles,
etcétera) la utilizan como combustible. El precio de la gasolina varía de un país a
otro. En Chile, por ejemplo, el costo por litro de gasolina entre 2008 y 2012 fue
aproximadamente de $17.94 (pesos mexicanos); en Noruega, por la misma cantidad de combustible se pagaban $27.56; en Dinamarca, $26.00, y en Bolivia, $9.10.
Situación inicial
8
La fuga
7
Gabriel detectó una gotera en el lavabo
de su casa. La gráfica de la figura 1.4.1
muestra la cantidad de agua que se derramaría en cierto tiempo si la gotera no
se repara. Si 20 gotas equivalen a 1 mL,
¿en cuánto tiempo, después de que cae
una gota, cae la siguiente? Si consideras
que el tinaco está lleno y que su capacidad es de 200 L, ¿en cuánto tiempo se
vaciaría?
Agua derramada (mL)
6
5
4
3
2
1
Fig. 1.4.1. 0
1
2
3
4
5
Tiempo (min)
6
7
Fuente: http://datos.bancomundial.org/indicador/ep.pmp.sgas.cd
a) Expliquen por qué la relación entre la cantidad de gasolina y su precio, en
cualquier país, es una relación de proporcionalidad directa.
Busca en...
http://www.edutics.
mx/4uo
donde podrás
encontrar varios
recursos gráficos y algebraicos
para identificar y
resolver situaciones que impliquen
una relación de
proporcionalidad.
(Consulta: 11 de
julio de 2013).
b) Herman vive en Alemania y compró 20 L de gasolina para su automóvil.
El punto coordenado (20, 494) pertenece a la gráfica que relaciona los litros
de gasolina y su costo.
• Tracen en el plano coordenado de la figura 1.4.2 la gráfica que corresponde
a esa relación.
8
500
Analiza
450
1. En parejas, respondan las preguntas.
a) Observa la gráfica; de acuerdo con ella, ¿qué tipo de relación existe entre las varia-
400
bles representadas? Justifiquen su respuesta.
Costo (pesos)
350
b) ¿Escriban una expresión algebraica que represente la situación?
300
250
200
c) Completen la tabla.
150
Tiempo (min)
Agua derramada (mL)
100
1
5
50
7
30
0
60
120
Tabla 1.4.1.
4
6
8
10
12
Cantidad de gasolina (L)
14
16
18
20 Fig. 1.4.2.
tidad de gasolina que se compra en Alemania y su costo.
d) Si la gotera no se repara, ¿cuánta agua se derramaría en una semana?
38
g.
pá
38
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13/11/13 20:00
Situación inicial
Página 38
La fuga
Cada 2 s cae una gota. En 92.59 días.
Analiza
1. a)Las variables representadas son proporcionales,
ya que la gráfica es una recta.
1. b) y = 1.5x, si x es el tiempo transcurrido (en minutos)
y y la cantidad de agua derramada (en mililítros).
c) La tabla es:
Tiempo (min)
2
• Obtengan la expresión algebraica que representa la relación entre la can-
3 600
Agua derramada (mL)
1
1.5
5
7.5
7
10.5
30
45
60
90
120
180
3 600
5 400
d)15 120 mL.
Sugerencia didáctica: que los alumnos al terminar
la sección analicen y respondan las siguientes preguntas en grupo.
• Todas las rectas se pueden representar con una
expresión de la forma y = mx + b, ¿qué nombre
reciben m y b? (m recibe el nombre de pendente
y b el de ordenada al origen).
• ¿Qué presenta b en la gráfica de la recta? Es el punto donde la recta corta al eje y.
39
g.
pá
39
SFUMA3SB_B1.indd 39
13/11/13 20:00
• ¿Cuándo dos cantidades varían de manera proporcional? Cuando el cociente entre ellas es
constante, es decir, siempre es el mismo.
• Todas las relaciones de proporcionalidad se pueden
representar con una expresión de la forma y = kx,
¿cuál sería el valor de b para esta expresión y cuál es
su significado en la gráfica? El valor de b es cero y esto
significa que la gráfica intersecta en el eje y en (0, 0).
Así que la gráfica de una relación de proporcionalidad siempre pasa por el origen de coordenadas.
• ¿Cómo se obtiene el valor de k para la expresión
y = kx en una relación de proporcionalidad? El valor de k es igual a la constante de proporcionalidad que hay entre las cantidades k = y .
x
Explora y construye
Página 39
1. a)Porque el cociente de lo que se paga entre la cantidad de litros que se compra siempre es el mismo. Ese valor corresponde con el precio de un
litro de gasolina.
b) • La gráfica es la recta que pasa por el punto
(20, 494) y el punto (0, 0).
Sugerencia didáctica: pida a sus alumnos que tracen dos puntos e intenten trazar más de una recta
que pase por ambos, notarán que no es posible.
Por lo anterior, cuando se conocen dos puntos
de la gráfica de una relación de proporcionalidad, como sólo hay una recta que pasa por los
dos puntos entonces esa debe ser la gráfica de la
relación; así que ya no es necesario calcular más
puntos, basta con unir los dos que ya se tienen.
25
Lección
Bloque
1
4
Gasolina comprada
en Alemania (L)
Costo
(pesos)
24.70
• Utilicen la expresión anterior para determinar el costo de 35, 50 y 75 L de gas.
• El tanque de gasolina del automóvil de Herman tiene
una capacidad de 50 L. Si el tanque está vacío, ¿cuánto
debe pagar para llenarlo?
2
8
247.00
• Completen la tabla 1.4.2 y sitúen en la gráfica anterior
los puntos coordenados que le corresponden.
444.60
c) Tracen en el plano cartesiano de la figura 1.4.2 la gráfica
15
Tabla 1.4.2.
3 En grupo, realicen lo siguiente.
a) Verifiquen que sus respuestas de la actividad anterior sean correctas y corríjanlas si es necesario.
b) Comenten las ventajas de utilizar una representación (tablas, gráficas o expresiones algebraicas) respecto a otra, según los datos que se quieren analizar
de una situación dada. Escriban en sus cuadernos las conclusiones.
representada por la expresión y = 26x. ¿Al precio de la
Gasolina comprada
en Dinamarca (L)
Costo
(pesos)
gasolina de qué país corresponde?
130.00
• Completen la tabla 1.4.3 a partir de la ecuación y señalen
en la gráfica que acaban de trazar los puntos coordenados que se le corresponden.
1
3
273.00
14
494.00
Distintas situaciones, una misma representación
1 En parejas, analicen la gráfica de la figura 1.4.4. Realicen y respondan lo que se
indica.
• Completen la tabla 1.4.5 a partir de la gráfica.
• ¿Cuánto costaría llenar el tanque del automóvil de Herman en ese país?
Tabla 1.4.3.
y
9
x
2 La tabla 1.4.4 muestra lo que Julián paga por el consumo de gas en su casa.
Analicen la tabla y realicen lo que se pide.
• Completen la tabla.
8
0.5
Costo
(pesos)
9.00
3.5
5
20
54.00
15
5
5
2.25
9.5
1
3
6
25
0
0.5
y
0
7
30
Cantidad de gas (L)
Costo (pesos)
Tabla 1.4.5.
4
15
3
10
67.5
2
5
Tabla 1.4.4.
1
Fig. 1.4.3. 0
1
2
3
4
5
6
7
x Fig. 1.4.4.
0
Gas (L)
1
• ¿Qué tipo de relación muestran los valores de esta tabla? Justifiquen su
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
• Obtengan la expresión algebraica que relaciona los valores de la tabla.
respuesta.
• Determinen si la expresión anterior representa las siguientes situaciones.
Justifiquen su respuesta en su cuaderno.
I.
II.
III.
IV.
• Tracen en el plano cartesiano de la figura 1.4.3 la gráfica que corresponde
a la situación anterior.
• Determinen la expresión algebraica que representa el costo de gas por cada
litro en la casa de Julián.
SFUMA3SB_B1.indd 40
En una papelería venden hojas de papel milimétrico a 50 centavos cada una.
Víctor ahorra $1.00 por cada $4.00 que gasta.
Javier corre diario 5 vueltas en una pista de 1 km de longitud.
En la juguetería venden 10 canicas por $20.00.
2 En grupo, comparen sus respuestas y propongan dos situaciones distintas que
se expresen con la gráfica de la figura 1.4.4.
40
g.
pá
40
41
g.
á
p
41
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• y = 24.7x, donde x es la cantidad de gasolina en
litros, y y el precio que se paga por ellos.
13/11/13 20:00
500
(19, 494)
450
Página 40
400
• $1 235.00
• La tabla es:
(14, 364)
350
Gasolina comprada en
Alemania (L)
1
Costo (pesos)
24.70
2
49.40
8
197.60
10
247.00
15
370.50
18
444.60
c) Corresponde al precio de la gasolina en Dinamarca.
• La tabla completa es:
Gasolina comprada en
Dinamarca (L)
Costo (pesos)
1
26.00
3
78.00
5
130.00
10.5
273.00
14
364.00
19
494.00
En la siguiente gráfica se muestran los puntos que
representan la información de la tabla.
Costo (pesos)
26
300
(10.5, 273)
250
200
150
100
(5, 130)
(3, 78)
50
(1, 26)
0 2 4 6 8 10 12 14 1618 20
• $1 300.00
2. • La tabla completa es:
0
Costo (pesos)
0
0.5
2.25
2.0
9.00
3.5
15.75
9.5
40.50
12.0
54.00
15.0
67.50
• Los valores varían de manera proporcional.
• La gráfica es la línea recta que une los puntos
(0, 0), (0.5, 2.25) y (2, 9).
• y = 4.5x, donde x es la cantidad de gasolina en
litros y y su costo.
Bloque
1
Glosario
MB.
Símbolos de mega y byte, respectivamente. El byte es una
unidad de información que se
utiliza en computación.
Representaciones proporcionales
y no proporcionales
1 En parejas, determinen si en las siguientes situaciones hay una relación de proporcionalidad
directa. Para cada caso justifiquen su respuesta
en su cuaderno.
a) La gráfica de la figura 1.4.5 muestra el pago
por la cantidad de MB de Internet que se
consumen en una casa.
b) La expresión Sn = 1.05 Sv determina el incremento anual del sueldo de una persona.
c) Tabla 1.4.6 muestra la cuota en un estacionamiento.
Tiempo (min)
15
Fig. 1.4.5.
Tabla 1.4.6.
Situación inicial
Página 42
Costo (pesos)
6
30
12
45
18
60
24
punto (4.5, 2.25) en las situaciones I y IV tienen
sentido. La intención es que los alumnos noten
que ese punto sí pertenece a la gráfica ya que
y = 21 (4.5) = 2.25 pero que no tiene sentido en
ninguna de las dos situaciones.
Representaciones proporcionales
y no proporcionales
d) La gráfica de la figura 1.4.6 corresponde al
tiempo que se requiere para armar una televisión, dependiendo del número de trabajadores que intervengan.
2 Comparen y comenten sus respuestas con otras
parejas. En grupo, verifiquen sus respuestas y
corrijan sus errores.
Fig. 1.4.6.
Reflexiona
1. En parejas, respondan y realicen en su cuaderno lo siguiente.
a) ¿La expresión algebraica y = –3x representa una relación de variación proporcional entre las variables? ¿Por qué?
b) ¿Cómo es la gráfica de esa expresión?
c) Determinen una situación que se represente con la expresión y = –3x.
2. En grupo, comparen y comenten sus respuestas. Concluyan qué relación hay entre
las variables de la expresión y = –3x.
Regresa y revisa
1 En equipos, lean nuevamente la situación inicial y propongan en su cuaderno
una situación que se represente con la relación que hay entre la cantidad de
agua derramada a causa de la gotera de la casa de Gabriel y el tiempo transcurrido.
42
g.
á
p
42
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13/11/13 20:00
Página 41
1. a)No es una relación de proporcionalidad porque
no pasa por el origen de coordenadas.
b)Sí es una relación de proporcionalidad, ya que
es de la forma y = kx, considerando la variable
y como Sn (sueldo nuevo) y la variable x como
Sv (sueldo anterior).
c)Sí es una relación de proporcionalidad, pues el
cociente del costo entre el tiempo siempre es 0.4.
d)No es una relación de proporcionalidad, pues la
gráfica no es una línea recta.
2.Respuesta libre.
• $157.50, $22.50 y $337.50, respectivamente.
Reflexiona
3.a) Respuesta libre.
b)En el ejercicio 2, para la tabla 1.4.4 y la figura 1.4.3
1. a) Sí, porque y = –3x es de la forma y = kx , donde k
hay que observar que el punto (15, 67.5), es decir es igual a –3.
que 15 L cuestan $67.50, sí se pudo expresar en la
b)La gráfica es la línea recta que pasa por los puntos
tabla pero en la gráfica no, debido a la longitud de
(0, 0) y (1, –3).
los ejes. Sin embargo, en la tabla sólo se pueden
c) Respuesta libre.
expresar algunos valores, mientras que en la gráfica quedan representados varios puntos además
Sugerencia didáctica: comente con sus alumnos
de los trazados, por ejemplo, se puede ver el cosla idea errónea 1. Observen que en la gráfica de
to de 3 L o de 7 L de gasolina.
y = –3x, mientras los valores de x aumentan, los
valores de y disminuyen. Recuérdeles que mienDistintas situaciones, una misma representación
tras más se aleje un número del cero hacia la parte
negativa, menor es su valor. Con lo anterior tene1. a) La tabla 1.4.5 es:
mos que si dos cantidades varían de manera prox
y
porcional, para que una aumente mientras la otra
0
0
aumenta es necesario que la constante de propor1
0.5
cionalidad sea positiva.
2
1
3
1.5
5
2.5
10
5
• y = 21 x.
• La expresión y = 21 x puede representar las opciones I y IV.
2.Respuesta libre.
Sugerencia didáctica: cuando llegue el momento
de comparar respuestas, pregunte a sus alumnos
si el punto (4.5, 2.25) pertenece a la gráfica de
y = 21 x. Luego pregunte si la interpretación del
Regresa y revisa
Página 42
1. Respuesta libre.
27
28
L5
Tablas y expresiones algebraicas
de relaciones cuadráticas
Representación tabular y algebraica de relaciones de variación
cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de
la física, la biología, la economía y otras disciplinas.
Prepararse para
la lección
Conceptos principales: gráfica, tablas y expresiones
algebraicas de relaciones cuadráticas.
Antecedentes: identificación de relaciones que no son
de proporcionalidad. Despeje y evaluación de variables
de una ecuación. Conversión de unidades de medida.
Idea errónea
1. Si una expresión algebraica relaciona distancia en km
con tiempo transcurrido horas, entonces al evaluar
un valor de distancia se tiene que hacer en km y el
resultado obtenido será en horas. Es común que los
alumnos evalúen sin tomar en cuenta las unidades,
es decir, por lo general no hacen las conversiones
necesarias antes de evaluar.
Se presenta una situación de relación cuadrática
aunque no se hace explicito. Lo que el alumno
debe hacer es identificar que no se trata de una
relación de proporcionalidad.
Los alumnos trabajarán con diversos problemas
en contextos de la física y la biología. La resolución de estos problemas implica que los alumnos
encuentren la expresión algebraica a partir de los
datos dados en una tabla. Tendrán que evaluar algunos valores en dichas expresiones para completar algunos datos que falten en las tablas. En
cietos casos será necesario despejar alguna de las
variables de la ecuación para obtener los valores
de las tablas.
Se retoma el problema de la situación inicial y tendrán que despejar la ecuación para encontrar un
resultado con ayuda de las tablas y el método de
“prueba y error”. También analizarán que hay más
de una solución para este problema. Para terminar resolverán dos problemas de práctica.
Lección
5
Bloque
1
Explora y construye
5. Tablas y expresiones algebraicas
de relaciones cuadráticas
5 cm
Situación inicial
45 cm
En el laboratorio de Física, Paulina dejó caer un balín y tomó una fotografía
estroboscópica del experimento, como la de la figura 1.5.1, en la que cada exposición corresponde a una décima de segundo.
60 cm
a) A partir de la figura 1.5.1 completen la tabla 1.5.3.
Representación de relaciones cuadráticas
1 En parejas, analicen la siguiente situación y realicen lo que se pide.
20 cm
Población de mosquitos y precipitación pluvial
En un centro de investigación se estudia la relación entre el número de mosquitos que se desarrollan en una determinada zona y la precipitación pluvial. ¿En qué
momento, respecto a la precipitación pluvial, la cantidad de mosquitos es mayor
según la tabla 1.5.1?
b) ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la relación entre el tiempo
transcurrido y la distancia que recorrió el balín? ¿Por qué?
80 cm
Analiza
• d = 5t
Fig. 1.5.1.
a) ¿Cómo varía el número de mosquitos conforme la precipitación pluvial aumenta de 1 a
4 pulgadas?
Precipitación
pluvial
(pulgadas)
Número
aproximado de
mosquitos (miles)
0
0
2
cuando la precipitación pluvial aumenta de 6
3
a 10 pulgadas?
c) ¿La relación entre las variables es proporcional? ¿Por qué?
d) Escriban una expresión algebraica que repre-
Tiempo
(segundos)
Distancia
(centímetros)
16
que el balín del experimento de Paulina, ¿cuál es la profundidad
0.3
del pozo? Justifiquen su respuesta.
0.4
0.5
24
5
Tabla 1.5.3.
6
24
e) Si el pozo tuviera el doble de profundidad, ¿cuánto tiempo tardaría
7
21
8
16
Tiempo
(segundos)
9
9
1
10
0
2
sente la relación entre las pulgadas de preci-
Distancia
(centímetros)
en caer la piedra? ¿Por qué?
3
Tabla 1.5.1.
4
pitación pluvial y el número de mosquitos.
f) En 1970 se inició la perforación de uno de los pozos más profun-
5
e) Completen las tablas 1.5.1 y 1.5.2 a partir de
la expresión que determinaron en el inciso
anterior.
f) En grupo, discutan las respuestas anteriores
y verifiquen que sean correctas. Calculen el
número de mosquitos que se desarrollarían
con 10.5 pulgadas de precipitación pluvial
y determinen qué significa ese valor en el
contexto del problema.
• d = 5t2
el fondo. Si suponemos que la piedra cae con la misma rapidez
0.2
4
• d = 5t2 + 5
d) Una piedra que se deja caer en un pozo seco tarda 2.6 s en golpear
0.1
1
b) ¿Qué sucede con el número de mosquitos
• d = t2 + 5
c) Comparen su respuesta con la de otra pareja, argumenten su elección y completen la tabla 1.5.4 con la expresión que eligieron.
1. En parejas, realicen lo siguiente.
Precipitación
pluvial
(pulgadas)
Número
aproximado de
mosquitos (miles)
Tabla 1.5.4.
dos construidos por el ser humano, localizado en la península de
Kola, Rusia, que en 1983 tenía una profundidad de 12 km. Si se
0.5
dejara caer una piedra, ¿cuánto tiempo tardaría en llegar al fondo
2.5
del pozo? Justifiquen su respuesta.
4.5
6.5
8.5
Tabla 1.5.2.
43
g.
pá
43
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Situación inicial
Fuente: www.icdp-online.org/front_content.php?client=29&lang=28&idcat=1089&idart=1554
44
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44
g.
pá
13/11/13 20:00
f) La tabla 1.5.2 es:
Precipitación pluvial
(pulgadas)
Página 43
Número aproximado de
mosquitos (miles)
0.5
4.75
2.5
18.75
4.5
24.75
Analiza
6.5
22.75
1. a) De 0 mosquitos aumentó a 24 000 mosquitos.
b)Disminuye de 24 000 mosquitos a cero.
c) La relación no es proporcional: al dividir el número aproximado de mosquitos entre el número de
pulgadas no siempre da el mismo resultado.
d)10x – x2.
e)La tabla 1.5.1 es:
8.5
12.75
Población de mosquitos y precipitación pluvial
Cuando la precipitación es de 5 pulgadas.
Precipitación pluvial
(pulgadas)
Número aproximado
de mosquitos (miles)
f)Respuesta libre. A 10.5 pulgadas corresponden
–5 250 mosquitos, lo cual carece de sentido en el
contexto del problema. Puede decirse que a más
de 10 pulgadas la población es nula.
Explora y construye
Página 44
0
0
1
9
2
16
3
21
Tiempo (segundos)
Distancia (centímetros)
4
24
0.1
5
5
25
0.2
20
6
24
0.3
45
0.4
80
0.5
125
7
21
8
16
9
9
10
0
Representación de relaciones cuadráticas
1. a) La tabla 1.5.3 es:
b)La expresión es d = 5t2: al evaluar las décimas de
segundo dio las distancias correspondientes.
29
30
c) La tabla 1.5.4 es:
Lección
5
Tiempo (segundos)
2 En equipos, analicen la siguiente situación y realicen lo que se indica.
Explora y construye
Distancia (centímetros)
1
500
2
2 000
3
4 500
Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de
100 m/s. En la tabla 1.5.5 se muestran algunos de los valores de la altura que
alcanzó con respecto al tiempo.
Tiempo (s)
Altura (m)
1
4
Tiempo (s)
95
11
2
180
12
3
255
13
4
320
14
5
375
6
8 000
Altura (m)
15
16
7
17
255
8
18
180
9
19
95
10
20
0
Tabla 1.5.5.
a) Determinen cuál de las siguientes expresiones relaciona el tiempo transcu-
5
12 500
rrido con la altura del proyectil. Justifiquen su elección.
• h = 100t – 5t2
• h = 100t + 5t2
• h = 5t2 – 100t
• h = 5t2 + 100t
b) Completen la tabla.
c) ¿Qué altura alcanzará el proyectil a los 8.5 s después del lanzamiento?
d)La profundidad del pozo es de 3 380 cm que es
igual a 33.8 m.
e) Tardaría aproximadamente 3.68 segundos.
d) ¿Cuál fue la altura máxima del proyectil y cuánto tiempo transcurrió desde
su lanzamiento hasta que alcanzó esa altura?
3 En grupo, discutan sus respuestas y corrijan los errores que se presenten. Determinen con qué expresión algebraica se representa que una piedra tiene una
rapidez inicial de 5 m/s al momento de lanzarla en un pozo.
Sugerencia didáctica: pregunte a sus alumnos en
qué unidades deben evaluar el valor de la distancia, si en centímetros, en metros o kilómetros.
4 En parejas, lean y contesten lo siguiente.
En un laboratorio de investigación, en condiciones óptimas un tipo
de bacterias se reproduce como se muestra en la tabla 1.5.6.
a) Expresen algebraicamente la relación entre la cantidad inicial de
Cantidad
de bacterias
al transcurrir
60 min
2
b) Comparen con otra pareja la expresión que encontraron, expliquen cómo la obtuvieron y empleen los valores de la tabla para
verificar que sean correctas.
c) Si en un vidrio de reloj inicialmente había 7 bacterias, ¿cuántas
f) El tiempo en que tardaría en llegar al fondo del
pozo sería de 48.99 segundos.
Cantidad
inicial de
bacterias
1
bacterias y la cantidad después de 60 min.
2
8
3
18
4
32
5
50
Tabla 1.5.6.
habrá después de 60 min?
45
g.
á
p
45
SFUMA3SB_B1.indd 45
Página 45
2.a)h = 100t – 5t2.
Pues se evalúan los primeros 5 valores del tiempo
de la tabla, y la expresión de los valores correspondientes de la altura es la expresión que relaciona el
tiempo transcurrido con la altura del proyectil.
b)
Tiempo (s)
Altura (m)
Tiempo (s)
1
95
11
495
2
180
12
480
3
255
13
455
4
320
14
420
13/11/13 20:00
Cantidad inicial de
bacterias al cuadrado
Cantidad de bacterias al
transcurrir 60 minutos
(1)2 = 1
1×2=2
(2)2 = 4
2×4=8
(3)2 = 9
2 × 9 = 18
(4)2 = 16
2 × 16 = 32
(5)2 = 25
2 × 25 = 50
Altura (m)
5
375
15
375
6
420
16
320
7
455
17
255
8
480
18
180
9
495
19
95
10
500
20
0
c) 488.75 m.
d) La altura máxima fue de 500 m y transcurrieron 10 s.
3.Si se considera la relación de la rapidéz y el tiempo,
la expresión es V = Vo + at = 5 + 5t, así en la expresión que representa que una piedra tiene una rapidez inicial de 5 m/s es d = 5t + 5t2 pues en el tiempo
t = 0, que representa el tiempo en el que se soltó la
piedra, su rapidez es de 5 m/s.
4. a) La expresión es b = 2x2; b, el número de bacterias
tras 60 minutos y x el de bacterias iniciales.
b)Como sabemos que la variable que representa a la
cantidad inicial de bacterías se elevará al cuadrado,
entonces primero observamos cómo se relaciona
el cuadrado de las cantidades de la primera columna de la tabla con los valores de la segunda.
Los valores de la segunda columna se obtienen
multiplicando por 2 los valores de la primera columna, por ejemplo 2 × 16 = 32.
Así que si llamamos x a la cantidad inicial de bacterías debemos elevarla al cuadrado y luego multiplicar por 2 para obtener la cantidad de bacterias
después de transcurrir 60 minutos. Así se obtiene
la expresión algebraica: b = 2x2, donde b es el número de bacterias después de 60 minutos.
c) 98 bacterias.
Página 46
d)Había 11 bacterias. Hay que despejar x, la cantidad
de bacterias iniciales, de la expresión b = 2x2:
x = 2b
Con la expresión final evaluamos con b = 242 y así
b = 2x2
x2 = b2
obtenemos el valor inicial de bacterias:
x =
b
=
2
242
= 11
2
5.a)A = 9l2. A es el área del cuadrado en la fotocopia y
l es la longitud del lado del cuadrado original.
Bloque
Lección
1
5
d) Si después de 60 min hay 242 bacterias, ¿cuántas había inicialmente? Justi-
7 En parejas, analicen la situación y contesten en su cuaderno.
fiquen su respuesta.
El abulón rojo es un caracol marino cultivado para el consumo humano. El
tiempo en que el animal alcanza 80 mm, en términos de la temperatura a la que
se encuentra el cultivo, se representa con la ecuación M = 0.20t2 – 6.8t + 97.8,
donde M es el tiempo medido en meses y t, la temperatura del cultivo.
5 En equipos, analicen el problema y respondan.
a) Con la igualdad anterior completen la
tabla 1.5.8; pueden usar calculadora.
b) Si un abulón rojo se cultiva a 12 °C, ¿en
cuántos meses medirá 80 mm?
c) ¿Y si se cultiva a 21 °C?
d) Si un abulón rojo tardó 41.8 meses en
medir 80 mm de largo, ¿a qué temperatura se cultivó?
e) ¿Cuál es la temperatura a la que el abulón rojo alcanza 80 mm en el menor
tiempo posible?
f) Comparen sus respuestas con las de
otra pareja, verifiquen que sean correctas y discutan la utilidad de completar la
tabla 1.5.8 para responder.
Una de las fotocopiadoras de la empresa donde Lety trabaja se descompuso y
cuando hace una copia la reproducción es mucho más grande que la original.
En la tabla 1.5.7 se muestra la medida del área de los cuadrados que obtuvo al
fotocopiar algunos cuadrados de distinto tamaño.
Longitud del lado del
cuadrado original (cm)
Área del cuadrado
en la fotocopia (cm2)
1
9
1.5
2
36
2.5
3
81
3.5
4
144
4.5
5
Tabla 1.5.7.
Temperatura
(°C)
Tiempo necesario para
que el abulón rojo mida
80 mm (meses)
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Tabla 1.5.8.
8 En grupo, comparen sus resultados y expliquen la utilidad de representar en una
tabla los valores obtenidos a partir de la expresión algebraica que representa un
problema.
225
a) ¿Cuál expresión algebraica representa la relación entre la longitud del cuadrado
antes de la reproducción y su área después de la reproducción?
9 En parejas, analicen la siguiente situación y respondan.
b) Utilicen la expresión que determinaron para completar la tabla.
Rosy fabrica manteles de tela redondos y cuadrados. El costo de un mantel
depende de su tamaño y cada metro cuadrado lo vende a $125.00.
c) Lety fotocopió un dibujo cuadrado y el área de la reproducción fue de 5 184 cm2.
¿Cuánto mide de lado el dibujo original? ¿Por qué?
a) Escriban una expresión que represente el área de un mantel cuadrado.
b) Anoten una ecuación para el precio de un mantel cuadrado.
d) Lety quiere fotocopiar una estampa cuadrada, pero necesita que cada lado
c) ¿Qué expresión representa el área de un mantel redondo?
de la reproducción mida 4 cm. ¿De qué tamaño debe ser la estampa original?
d) ¿Cuál es la ecuación que expresa el precio de un mantel redondo?
Justifiquen su respuesta.
e) Completen la tabla 1.5.9.
Manteles cuadrados
Medida de
lado (m)
e) Comparen sus respuestas con las de otras parejas y discutan el procedimiento
con el que obtuvieron la expresión que representa el problema.
6 En grupo, comparen y comenten sus resultados. Determinen las posibles soluciones de la expresión algebraica que utilizaron para resolver el inciso c) y
expliquen por qué sólo una solución es la respuesta correcta.
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á
p
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b)La tabla 1.5.7 es:
Área del cuadrado en la
fotocopia (cm2)
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
9
20.25
36
56.25
81
110.25
144
182.25
225
c)La longitud del lado del cuadrado original mide
24 cm, pues se despeja l de la expresión anterior:
l = 9A
Y evaluando para A = 5 184 cm2 la longitud del
lado es:
A = 9l2
l=
A
9 l2 = A
9
5 184
9 l=
l = 24 cm
d)Debe medir 1.3 cm, pues Lety quiere que la reproducción de la estampa cuadrada mida 4 cm por
lado, es decir que el área debe medir 16 cm2: se
evalúa con A = 16 en la expresión anterior:
l =
A
9
l=
e)Respuesta libre.
6.Respuesta libre.
Página 47
7. a) La tabla 1.5.8 es:
16
9
l = 43 = 1.3 cm
Cantidad de tela
utilizada (m2)
Manteles redondos
Costo del mantel
(pesos)
Radio
(m)
0.80
0.60
1.00
0.80
1.20
1.00
1.40
1.20
1.60
1.40
Cantidad de tela
utilizada (m2)
Costo del
mantel (pesos)
Tabla 1.5.9.
47
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47
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Temperatura
(°C)
Tiempo necesario para que el
abulón rojo mida 80 mm (meses)
12
13
14
15
16
17
18
19
20
45
43.2
41.8
40.8
40.2
40
40.2
40.8
41.8
b)En 45 meses.
c) En 43.2 meses.
d) Las temperaturas posibles son de 14 °C y de 20 °C.
e)La temperatura es a los 17 °C.
f) Respuesta libre.
8.Respuesta libre.
9.a) Ac = l2, donde Ac representa el área en metros cuadrados y l la longitud del lado en metros.
b)
Pc = 125 Ac, donde Pc es el precio del mantel cuadrado en pesos.
c)
AR = πr 2, donde AR es el área del mantel redondo
en metros cuadrados y r es la longitud del radio en
metros.
d)
PR = 125 AR, donde PR es el precio del mantel
redondo.
e)
Manteles cuadrados
Medida por
lado (m)
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
Cantidad de tela
Costo del
utilizada (m2)
mantel (pesos)
0.64
80
1
125
1.44
180
1.96
245
2.56
320
31
32
• Aproximadamente 1.5 m, pues se despeja a AR de
la siguiente expresión:
Bloque
1
d) Si después de 60 min hay 242 bacterias, ¿cuántas había inicialmente? Justifiquen su respuesta.
PR = 125 AR
5 En equipos, analicen el problema y respondan.
y se evalúa para PR = 883.57
Una de las fotocopiadoras de la empresa donde Lety trabaja se descompuso y
cuando hace una copia la reproducción es mucho más grande que la original.
En la tabla 1.5.7 se muestra la medida del área de los cuadrados que obtuvo al
fotocopiar algunos cuadrados de distinto tamaño.
Área del cuadrado
en la fotocopia (cm2)
1
9
P
R
AR = 883.57
≈ 7.0686 m2
AR = 125
125
Después se despeja a r de la expresión:
1.5
2
36
2.5
3
P
R
AR = 125
81
3.5
4
144
AR = πr 2
4.5
Tabla 1.5.7.
5
225
r=
a) ¿Cuál expresión algebraica representa la relación entre la longitud del cuadrado
AR
π
antes de la reproducción y su área después de la reproducción?
b) Utilicen la expresión que determinaron para completar la tabla.
c) Lety fotocopió un dibujo cuadrado y el área de la reproducción fue de 5 184 cm2.
Y se evalúa para AR = 7.0686 m2:
¿Cuánto mide de lado el dibujo original? ¿Por qué?
d) Lety quiere fotocopiar una estampa cuadrada, pero necesita que cada lado
con el que obtuvieron la expresión que representa el problema.
6 En grupo, comparen y comenten sus resultados. Determinen las posibles soluciones de la expresión algebraica que utilizaron para resolver el inciso c) y
expliquen por qué sólo una solución es la respuesta correcta.
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PR = 125 AR
7.0686
≈ 1.5 m
π
P
R
AR = 125
y se evalúa para PR = 1 005.31
AR =
Manteles redondos
Radio (m)
r=
• Aproximadamente 1.6 m, pues se despeja a AR de
la siguiente expresión:
e) Comparen sus respuestas con las de otras parejas y discutan el procedimiento
46
AR
π
r=
de la reproducción mida 4 cm. ¿De qué tamaño debe ser la estampa original?
PR
125 05.31
AR = 1 0125
≈ 8.042 48 m2
Después se despeja a r de la expresión:
Cantidad de tela
utilizada (m2)
Costo del mantel
(pesos)
0.60
1.1310
141.37
0.80
2.0106
251.33
Y se evalúa para Aci= 8.04248 m2:
1.00
3.1416
392.70
r=
1.20
4.5239
565.49
1.40
6.1575
769.69
AR = πr 2
AR
π r=
r=
AR
π
8.04248
= 1.6 m2
π
Página 48
10.La ecuación que representa la relación entre las dimensiones del mantel y su costo es proporcional,
pues las dimensiones siempre se multiplican por un
mismo factor constante que es 125.
f) • La longitud del lado mide 1.8 m, pues se despeja a
Reflexiona
Ac de la siguiente expresión:
Pc = 125Ac
P
Ac = c
125
y se evalúa para Pc = 405
P
Ac = c
125 Ac = 405
= 3.24 m2
125
Después se despeja a l de la expresión:
Ac = l
2
l = Ac
Y se evalúa para Ac = 3.24 m2:
l = Ac l = 3.24 = 1.8 m
• 2 m, pues se despeja a Ac de la siguiente expresión:
Pc = 125 Ac
P
c
Ac = 125
y se evalúa para Pc = 500
Pc
Ac = 125
Ac = 500
= 4 m2
125
Después se despeja a l de la expresión:
Ac = l 2
l = Ac
Y se evalúa para Ac = 4 m2:
l = Ac l= 4 =2m
1. La expresión es h = 10t – 5t2
2.Respuesta libre.
Regresa y revisa
Página 48
1. a) La respuesta es 5.8 o 4.2.
b)Hay dos valores para los cuales se obtienen 24 360
mosquitos.
2.Respuesta libre.
Resuelve y practica
1.a)A = a2 + 2a, donde a representa la longitud del
ancho del rectángulo y A el área del rectángulo.
b)A = 2a2 + 18a + 28 donde a representa la longitud
del ancho de la libreta y A su área.
L6
Bloque 1 / secuencia 1
Escala de probabilidad
Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las
características de eventos complementarios y eventos mutuamente
excluyentes e independientes.
Prepararse para
la lección
Esta lección contribuye a que el alumno alcance en
la lección 5 del bloque 5 de este grado el aprendizaje
Conceptos principales: probabilidad, eventos excluyentes, complementarios e independientes y espacio
muestral.
Antecedentes: cálculo de probabilidades teóricas, experimentos aleatorios.
Idea errónea
1. En un conjunto no se pueden repetir elementos, por
ejemplo, el conjunto {a, a, a} debe escribirse como {a}.
Se plantea una situación aleatoria donde los resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir.
Aunque no se hace explicito en este momento de
la lección, el alumno trabaja el concepto de eventos independientes.
Los alumnos iniciarán recordando conceptos básicos de probabilidad que han estudiado en grados
anteriores como evento, experimento aleatorio y
probabilidad teórica. Además, se definirá el concepto de espacio muestral. Después, determinarán la probabilidad de varios eventos, calculando
primero los resultados favorables; además, representarán probabilidades con porcentajes y con un
número mayor que 0 y menor que 1, y analizarán
cuándo la probabilidad de un evento es cero y
cuándo es 1. Posteriormente, estudiarán cuándo
dos eventos son excluyentes, complementarios o
independientes.
Se retoma la Situación inicial y se obtiene el espacio muestral correspondiente. También se analiza
la relación entre los eventos que intervienen en el
problema. Después, los alumnos resolverán algunos ejercicios para practicar los que aprendieron
en la lección.
33
34
Lección
6
Bloque
1
3 En equipos, analicen los siguientes juegos de azar de una kermés y respondan.
“La ruleta” consiste en elegir un número de una ruleta, como la que muestra la figura
1.6.1, y hacerla girar. Cuando la ruleta se detiene, la flecha indica el número ganador.
a) ¿Cuáles son todos los resultados posibles del juego?
Situación inicial
El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama
espacio muestral y se denota, en general, con la letra E. El espacio muestral, así
como los elementos de un evento en un experimento aleatorio, se escriben entre
llaves ({ }).
Por ejemplo, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} es el espacio muestral que se obtiene al lanzar un
dado cúbico numerado del 1 al 6 y considerar el número de la cara superior. Y, en
ese mismo experimento, el evento N: “Número par” se denota como N = {2, 4, 6}.
Probabilidad de lluvia
El Servicio Meteorológico Nacional anunció que la probabilidad de lluvia en el Golfo
de México para cada día de la semana sería de 50%. Si en los primeros seis días no
llovió, ¿qué es más probable que suceda en el séptimo día: que llueva o que no llueva?
Fig. 1.6.1.
Analiza
La probabilidad, P, de que un evento X ocurra se indica por lo común como P(X).
Por ejemplo, la probabilidad de que al lanzar el dado el resultado sea un número par es P(N) = 3 = 1 .
6
1. En parejas, respondan lo siguiente.
a) ¿Qué significa que la probabilidad sea de 50%?
2
b) Escriban los resultados posibles de los siguientes eventos del juego “La ruleta”,
calculen la probabilidad de que ocurra cada uno, y exprésenla como fracción
y como número decimal.
b) Expresen la probabilidad de lluvia como número decimal.
c) Si el primer día de la semana no llueve, ¿qué es más probable que ocurra el segundo día: que llueva o que no llueva? ¿Por qué?
d) Si por el contrario, el primer día llueve, ¿qué es más probable en el segundo día?
e) Si desconocíeran cuál será el estado del tiempo de los siguientes seis días, es de-
• V: Es mayor que 5.
P(V) =
• W: Es menor o igual a 3.
P(W) =
• X: Es múltiplo de 3.
P(X) =
• Y: Es mayor que 0.
P(Y) =
• Z: Es el número 9.
P(Z) =
4 En parejas, analicen otro juego de azar de la kermés y respondan.
cir, si no saben si lloverá o no, ¿qué es más probable que suceda el séptimo día?
En el juego “Monedado” se lanza una moneda al mismo tiempo que un dado
cúbico numerado del 1 al 6. Para ganar el juego, la cara superior de la moneda
debe caer águila y la del dado en un número mayor o igual a 4.
a) Escriban el espacio muestral del juego.
Explora y construye
b) Sandra, la encargada del juego, afirma que la probabilidad de ganar es de 25%.
Representación y escala de la probabilidad
¿Qué significa ese porcentaje?, ¿está en lo correcto? Justifiquen su respuesta.
1 En parejas, respondan en su cuaderno.
a) ¿Qué es un experimento aleatorio?
b) ¿A qué se llama evento de un experimento aleatorio?
c) ¿Cómo se obtiene la probabilidad teórica de un evento?
c) Determinen la probabilidad, expresada como porcentaje, de obtener uno de
2 En grupo, comenten y verifiquen sus respuestas. Corrijan y discutan los errores
que se presenten.
los siguientes resultados: {sol, 2}, {sol, 4}, {águila, 3} o {águila, 6}.
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Situación inicial
Probabilidad de lluvia
Página 49
La probabilidad de que llueva o de que no llueva es la
misma.
Analiza
1. a)Que de todos los casos posibles, la mitad corresponde al suceso de que llueva.
b)0.5
c) La probabilidad de que llueva es la misma la probabilidad de que no llueva.
d)La probabilidad de que llueva es la misma de que
no llueva.
d)La probabilidad de que llueva es la misma de que
no llueva.
Explora y construye
Página 49
Representación y escala de la probabilidad
1.a)Un experimento aleatorio es aquel en el cual se
pueden obtener resultados diferentes aunque se
ocupe el mismo método, es decir, aunque las
condiciones sean las mismas no se puede asegurar cuál será resultado pues éste puede cambiar.
b)Los eventos o sucesos son los resultados posibles
que pueden ocurrir en un experimento aleatorio
y que cumplen alguna propiedad o condición previamente establecida.
5 En grupo, compartan y validen sus respuestas. Si consideran que sus respuestas
son correctas, justifíquenlas, y si son erróneas, corríjanlas.
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c)Para calcular la probabilidad de un evento A, se
divide la cantidad de resultados favorables entre la
cantidad total de resultados.
Resultados favorables
P(A) = Total
de resultados posibles
2.Respuesta libre.
Página 50
3.a)Los resultados son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
b)• V = {6, 7, 8} P(V) = 83 = 0.375
• W = {1, 2, 3} P(W) = 83 = 0.375
• X = {3, 6} P(X) = 41 =0.25
• Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} P(Y) = 1
• Z = { } P(Z) = 0
Sugerencia didáctica: éste es un buen momento
para comentar a los alumnos que un evento se
puede representar o describir de varias maneras.
Por ejemplo, considerando nuevamente a la ruleta,
pregunte cuáles son todos los resultados posibles
del evento U: “Es menor que 4” y cuál es el valor de
P(U). Una vez que obtengan el resultado, pregúnteles con cuál de los eventos V, W, X, Y, Z notan alguna
similitud. Lo que se busca es que analicen que pedir
un número menor que 4 es lo mismo que pedir uno
menor o igual a 3. Otro ejemplo sería cuando se
pide la probabilidad del evento “Obtener un número
par”, pues es lo mismo que pedir la probabilidad de
“Obtener un múltiplo de 2”.
4. El espacio muestral es {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5), (a, 6),
(s, 1), (s, 2), (s, 3), (s, 4), (s, 5), (s, 6)} donde la letra “s”
representa sol y la letra “a”, águila; el número corres-
Bloque 1 / secuencia 1
Lección
6
Bloque
1
b) Comparen los dos eventos anteriores. ¿En qué se parecen y en qué difieren?
6 En parejas, analicen la siguiente situación. Discutan y respondan las preguntas.
Julia quiere participar en el sorteo de un balón de futbol, para el que se venderán
50 boletos numerados del 1 al 50.
a) ¿Cuántos boletos tendría que comprar para asegurarse de ganar el balón?
¿Por qué?
b) ¿Cuántos boletos debería comprar para que la probabilidad de ganar el balón
6
sea de 5 ? ¿Tiene sentido esa situación? Justifiquen su respuesta.
c) Iván, un amigo de Julia, asegura que la probabilidad de que él gane el balón
¿Qué pueden concluir respecto a sus elementos?
Busca en...
http://www.edutics.
mx/4uJ
donde podrás
construir y variar
ruletas y observar la frecuencia
con que ocurren
eventos correspondientes a ellas.
(Consulta: 11 de
julio de 2013).
Cuando dos o más eventos no comparten elementos, es decir, no tienen posibles resultados
en común, se llaman eventos mutuamente excluyentes.
Por ejemplo, los eventos A y B anteriores son mutuamente excluyentes.
c) Determinen los elementos de los siguientes eventos.
• C: El número mostrado es par.
• D: El número mostrado es impar.
• E: El número mostrado es par o impar.
es de 0%. ¿Cuántos boletos compró Iván? Expliquen su respuesta.
d) Comparen los elementos de los eventos C y D. ¿Cómo son entre sí? ¿Qué
similitudes y diferencias hay entre ellos?
7 Comenten y justifiquen sus respuestas con otra pareja.
Regresa y revisa
Si dos eventos de un experimento aleatorio son mutuamente excluyentes y, además, los
resultados de ambos forman todo el espacio muestral del experimento, se dice que ambos son eventos complementarios. Para denotar el complemento de un evento se utiliza
el símbolo C, una pequeña letra “c” arriba a la derecha de la letra que representa al evento.
Un evento seguro, en un espacio muestral, es el que sucederá con certeza; por el contrario,
un evento imposible es aquel que no puede suceder.
La escala de la probabilidad son los valores obtenidos al calcular la probabilidad de los eventos, y va de 0 a 1. Esto significa que la probabilidad de los eventos, para esta escala, se expresa
como un número decimal o como fracción.
Por ejemplo, los eventos anteriores C y D son complementarios: el complemento de C es
D (CC = D) y el complemento de D es C (DC = C).
e) Determinen la probabilidad de ocurrencia de los eventos C y D juntos y en
sus cuadernos escriban sus conclusiones.
8 En parejas, respondan y justifiquen sus respuestas.
a) ¿Cuál es la probabilidad correspondiente a un evento seguro?
2 En grupo, comparen sus respuestas y verifiquen que sean correctas. Corrijan
y discutan los errores que se presenten. Concluyan cuál es la probabilidad de
ocurrencia de dos eventos complementarios juntos.
b) ¿Cuál es la probabilidad correspondiente a un evento imposible?
c) ¿Tiene sentido que la probabilidad de un evento sea un número negativo?
3 En parejas, analicen el siguiente problema y respondan.
9 En grupo, verifiquen que sus respuestas sean correctas y corrijan los errores que
se presenten.
Aurora y Tania juegan a los dados: lanzan dos dados cúbicos iguales, numerados
del 1 al 6, y suman los números de las caras superiores. En los primeros cinco
lanzamientos, las sumas de Aurora fueron 9, 9, 10, 10 y 12, mientras que las de
Tania, 2, 4, 5, 3 y 2.
Tipos de eventos
a) ¿Quién tiene más probabilidad de obtener un número mayor que 8 en el sexto
1 En equipos, analicen el siguiente experimento aleatorio.
lanzamiento? ¿Por qué?
En una urna hay 13 pelotas idénticas con números marcados del 1 al 13. Matías
extrae sin ver una de las pelotas, observa el número y la regresa a la urna.
b) En un primer lanzamiento, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea un
número mayor que 8?
a) Escriban los posibles resultados de los siguientes eventos.
c) ¿Y cuál es la probabilidad de que al tercer lanzamiento la suma sea un número
• A: El número mostrado es un número primo.
• B: El número mostrado es un múltiplo de cuatro.
mayor que 8?
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ponde con la cara superior del dado al ser lanzado.
b)El 25% significa que la cuarta parte de los eventos
posibles corresponden a resultados favorables, es
decir, de 12 eventos posibles, 3 son favorables. El
porcentaje es correcto.
c)La probabilidad es de aproximadamente 33.3%. El
porcentaje es correcto.
5.Respuesta libre.
Página 51
6.a) Tendría que comprar los 50 boletos.
b)No tiene sentido esta situación, ya que la cantidad
de resultados favorables no puede ser mayor que
la cantidad de resultados posibles.
c) No compró boletos.
7. Respuesta libre.
8.a) La probabilidad es 1.
b) La probabilidad es 0.
c)No.
La probabilidad de un evento se obtiene dividiendo
Resultados favorables
. Si este cociente es negativo,
Total de resultados posibles
quiere decir que el numerador o que el denominador es negativo, pero ninguno de los dos podrían ser
negativos pues el número de veces que algo puede
ocurrir es un número natural, así que la probabilidad
siempre es positiva.
9.Respuesta libre.
Tipos de eventos
1. a)• 2, 3, 5, 7, 11, 13
• 4, 8, 12
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g.
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Página 52
b)Ninguno de los elementos del evento A está en
los elementos del evento B y viceversa.
c)• Para C: 2, 4, 6, 8, 10, 12.
• Para D: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.
• Todos los números del 1 al 13.
d)Ningún elemento de C está en D. Además, si se
unen los resultados de C y D se obtienen todos los
resultados posibles, o sea, el espacio muestral.
6
e)La probabilidad de C es 13
, la probabilidad de D
7
, la probabilidad de C y D es 13
= 1.
es 13
13
2.La probabilidad de dos eventos complementaros es
de 1.
3. a)Ambas tienen la misma probabilidad de obtener un
número mayor que 8 porque el sexto lanzamiento
no depende de los lanzamientos anteriores.
10
b)
= 0.277
36
Sugerencia didáctica: comente con sus alumnos qué el espacio muestral se representa como:
{(1, 1), (2, 2),(3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (1, 2), (2, 1),
(1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1), (1, 5), (5, 1), (1, 6), (6, 1), (2, 3),
(3, 2), (2, 4), (4, 2), (2, 5), (5, 2), (2, 6), (6, 2), (3, 4),
(4, 3), (3, 5), (5, 3), (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (4, 6),
(6, 4), (5, 6), (6, 5)}. Y el espacio muestral de la suma
de sus caras superiores como: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, 11, 12}. Note que en la segunda manera no se
están repitiendo valores, pues por ser un conjunto no podemos poner más de una vez el mismo
valor (discuta la idea errónea 1), sin embargo sabemos que el 2 tiene menos posibilidades de ocurrir
35
36
que el 7. Por eso podría ser más conveniente considerar la opción del espacio muestral, pues ahí
se puede ver claramente que hay una diferencia
entre obtener 1 en ambos dados y obtener 5 en un
dado y 4 en otro, ya que para el primer caso sólo
está la pareja (1, 1) pero para el segundo caso hay
dos parejas (5, 4) y (4, 5). Por ejemplo, si un dado
fuera rojo y otro azul, pregunte a sus alumnos cuál
es la probabilidad del evento “obtener 5 en el dado
azul y 4 en el rojo” y cuál es la probabilidad del
evento “Obtener 5 y 4”. Para el primer evento la
1
probabilidad es 36
pues si suponemos que en el
primer elemento del par ordenado va el resultado
del dado azul y en la segunda el del dado rojo, entonces no podemos considerar la pareja (4, 5), solamente consideramos a (5, 4); sin embargo, para
el segundo evento no importa en qué dado cayó
el 4 o el 5, sólo importa obtener 5 y 4, así que sí se
tienen ambas posibilidades (4, 5) y (5, 4), por tanto
2
la probabilidad es 36
.
10
c)También se obtiene 36
= 0.277 pues la probabilidad de obtener una suma de 8 es la misma en
cualquier lanzamiento, ya que el resultado de
un lanzamiento no depende del resultado de los
otros lanzamientos.
Página 53
d) El resultado de un lanzamiento no se ve afectado
por el resultado de lanzamientos anteriores.
Reflexiona
1. a)Cuando dos eventos son excluyentes eso quiere
decir que si uno de ellos ocurre, el otro no puede
ocurrir, es decir, el primero está afectando la ocurrencia del otro, así que no son independientes.
Sabemos que dos eventos complementarios son
excluyentes, así que tampoco los eventos complementarios pueden ser independientes.
Regresa y revisa
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1. a)El espacio muestral está formado por todos los
posibles resultados que, en estos casos, son dos:
que llueva o que no llueva.
b)El evento ”que llueva el séptimo día” y el evento
”no llovió el primer día” son independientes. Los
eventos “que llueva el séptimo día” y “que no llueva
el séptimo día” son complementarios (esto incluye
que sean excluyentes).
2.Respuesta libre.
Lección
6
d) Comparen sus respuestas con las de otra pareja y concluyan cómo el resultado de un lanzamiento se relaciona con el del lanzamiento siguiente.
Cuando el resultado de un evento no afecta la probabilidad de ocurrencia de otro, se dice
que ambos son eventos independientes.
En la situación anterior, por ejemplo, el resultado de lanzar los dos dados no afecta la probabilidad del siguiente; entonces cada lanzamiento es un evento independiente de los demás.
Reflexiona
1. Responde en tu cuaderno y luego en grupo discutan sus respuestas.
a) Si dos eventos, A y B, son independientes, ¿pueden ser, además, mutuamente
excluyentes?, ¿pueden ser complementarios? Justifica tu respuesta.
Regresa y revisa
1 En parejas, lean de nuevo la situación inicial y contesten en su cuaderno.
a) ¿Cuál es el espacio muestral de esa situación?
b) Determinen si los eventos son mutuamente excluyentes, complementarios
o independientes. Argumenten su respuesta.
2 En grupo, comparen y discutan sus respuestas. Corrijan si es necesario.
Resuelve y practica
1. Analiza el siguiente experimento aleatorio y responde en tu cuaderno.
En una urna hay 8 canicas iguales, pero de distinto color: 2 blancas, 2
verdes, 1 amarilla, 1 roja, 1 azul y 1 anaranjada. Se saca una canica al azar,
se anota su color y se regresa a la urna.
a) Sugiere tres eventos mutuamente excluyentes.
b) Da un ejemplo de dos eventos complementarios.
c) Menciona dos eventos independientes.
2. Analiza los experimentos aleatorios y eventos que se indican. Determina
qué tipo de eventos son y escríbelo en tu cuaderno. Justifica tu respuesta.
a) Se lanzan dos monedas a la vez y cuando caen se consideran sus caras
superiores:
Evento A = {sol, águila}; evento B = {águila, águila}.
b) Se lanzan tres monedas juntas y se consideran sus caras superiores:
Evento C = {sol, águila, sol}; evento D = {águila, sol, águila}.
c) Se lanzan tres dados cúbicos iguales, numerados del 1 al 6, y se suman
los números de las caras superiores.
Evento E: La suma es un número menor o igual a 2; evento F: La suma
es un número mayor o igual a 3.
3. En grupo, comenten sus respuestas. Discutan y corrijan los errores que se
presenten.
Toma nota
Localiza los términos “eventos mutuamente excluyentes”, “eventos
complementarios”
y “eventos independientes” en
el glosario (págs.
256-258) y anota
con tus propias palabras una explicación y un ejemplo
de cada uno.
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Resuelve y practica
1. a)Respuesta libre. Un ejemplo es:
Evento A: en la primera extracción sale una bola
azul.
Evento B: en la primera extracción sale una bola
anaranjada.
b)Respuesta libre. Un ejemplo es:
Evento C, en la primera extracción sale una canica
blanca, roja, azul o anaranjada y se regresa a la
bolsa.
Evento D: en la primera extracción sale una canica
verde o amarilla.
c) Respuesta libre. Un ejemplo es:
Evento E, en la primera extracción sale una canica
blanca o anaranjada y se regresa la bola.
Evento F: En la segunda extracción sale una canica amarilla, roja o azul.
2.a)Los eventos son excluyentes porque si sale (sol,
águila), que es el resultado del evento A, entonces
no puede salir (águila, águila).
b)Los eventos son excluyentes porque si sale (sol,
águila, sol), que es el resultado del evento C, entonces no puede salir (águila, sol, águila), resultado del evento D.
c) Los eventos son complementarios, lo cual incluye
que son excluyentes.
3.Respuesta libre.
L7
La opinión de los demás
Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de
la población de estudio. Discusión sobre las formas de elegir el
muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de
herramientas convenientes para su presentación.
Prepararse para
la lección
Con el estudio de esta lección el alumno avanzará para
que en la lección 7 del bloque 4 alcance el aprendizaje esperado: calcular y explicar el significado del rango
y la desviación media.
Conceptos principales: población de estudio, muestra representativa, preguntas cerradas y preguntas
abiertas.
Antecedentes: regla de tres, cálculo de medidas de
tendencia central, representar información en gráficas.
Los alumnos tendrán que proponer criterios para
una toma de decisión, también analizarán qué
información es realmente útil para tomar la decisión. Finalmente, propondrán un procedimiento
para poder tomar la decisión.
Trabajarán con el concepto de población de estudio y analizarán las ventajas y desventajas de
encuestar a toda la población o una parte
de ella. Llegarán a la conclusión de que en algunas situaciones basta con encuestar una parte de
la población de estudio. Se presenta el concepto
de muestra representativa y los alumnos analizarán cómo obtenerla.
También analizarán los diferentes tipos de preguntas que se pueden hacer en una encuesta y cuándo una pregunta induce la respuesta.
Finalmente, los alumnos analizarán la mejor
manera de mostrar los resultados de la encuesta y qué medida de tendencia central es la más
representativa.
Identificarán los conceptos adquiridos en el problema inicial y diseñaran una encuesta con un objetivo definido.
Por último, investigarán datos relacionados con el
INEGI y los censos generales de población.
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38
Lección
Bloque
1
7
7. La opinión de los demás
3 En grupo, compartan sus respuestas y discutan la utilidad de las encuestas. Mencionen situaciones que requieran encuestas y señalen la población en estudio
que les correspondan. Discutan cómo determinar la cantidad de individuos que
las componen.
Situación inicial
Muestras representativas
Situación inicial
Un nuevo guisado
1 En equipos, lean lo siguiente y respondan.
En julio y agosto de 2010 se llevó a cabo la Encuesta nacional de hábitos, prácticas y consumo culturales organizada por el Consejo Nacional para la Cultura
y las Artes (Conaculta), en la que de manera aleatoria se entrevistó a 32 000
habitantes de la República Mexicana mayores de 13 años.
La encargada del comedor de una escuela secundaria quiere ofrecer un nuevo guisado, pero debe elegir sólo una de cuatro propuestas. ¿Cómo podría determinar cuál
sugerencia conviene para asegurar que los estudiantes acepten el nuevo guisado?
Analiza
Algunos de los resultados indican que 97% de los entrevistados tienen al menos
un televisor en casa; 86%, un radio, y 32%, una computadora; 90% acostumbra
ver la televisión (de éstos 40% lo hace más de dos horas al día, 23% ven noticiarios y 21%, telenovelas), 76% escucha radio y 32% es usuario de Internet.
1. En equipos, respondan en su cuaderno.
a) Escriban dos o tres criterios diferentes para la elección de una propuesta.
b) Expliquen por qué la opinión de los estudiantes respecto a las propuestas es relevante.
c) ¿Qué información de los estudiantes es útil conocer para elegir el guisado? ¿Por qué?
d) Propongan un procedimiento para conocer la opinión de los estudiantes.
2. En grupo, expongan sus procedimientos y en plenaria discutan las ventajas y desventajas de cada uno.
Glosario
consumo cultural.
Referente al
consumo de
objetos o servicios
con contenido
cultural, como
libros y películas.
Fuente: www.conaculta.gob.mx/encuesta_nacional/
a) Si en 2010 en México había aproximadamente 82 millones de habitantes mayores de 13 años, ¿qué porcentaje de la población en estudio se entrevistó en
la encuesta?
b) A partir de su respuesta anterior y de que la encuesta fue aleatoria, ¿es posible
generalizar los resultados, es decir, considerar que los porcentajes representan a todos los habitantes del país? Argumenten su respuesta en su cuaderno.
c) Elaboren individualmente en su cuaderno una lista de las ventajas y desventajas de encuestar a toda la población en estudio en comparación a una fracción de ella. Compartan y discutan sus respuestas con su equipo y escriban
dos ventajas y dos desventajas para cada caso.
Encuesta y población en estudio
1 En grupo, comenten lo que entienden por los siguientes términos y escriban una
definición con ayuda del profesor.
a) Encuesta:
b) Población en estudio:
• La encuesta se realizó a toda la población en estudio.
2 En equipos, lean de nuevo la situación inicial y respondan.
• La encuesta consideró a una fracción de la población en estudio.
a) ¿Cuál es la utilidad de una encuesta para determinar qué propuesta elegir?
d) Anoten una situación en la que sea posible encuestar a toda la población en
b) ¿Será útil conocer la opinión de los vecinos de la escuela acerca de las pro-
estudio y otra en la que no sea así. Justifiquen su respuesta. En ambos casos
puestas? ¿Por qué?
c) Supongan que la escuela del problema es la suya. ¿Cuál es la población en
determinen la población en estudio.
estudio y cuántos individuos la integran?
d) ¿Será necesario conocer la opinión de todos los miembros de la población
Una muestra es cualquier subconjunto de una población en estudio; por ejemplo, una persona o un grupo.
en estudio o sólo de una parte? ¿Por qué?
Una muestra representativa es la parte de la población en estudio que se considera para
estimar las características de todo el conjunto.
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Situación inicial
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Un nuevo guisado
Respuesta modelo. Mediante una encuesta.
Analiza
1. a) Respuesta libre. Ejemplo: el sabor del guisado (picoso o dulce).
b)La respuesta es relevante pues son ellos los que,
en su mayoría, comerán el guisado elegido.
c) Respuesta modelo. Sus guisados favoritos o cuáles son los que no le gustan, pues si el guisado
elegido no les gusta a la mayoría de los alumnos,
la mayoría no lo consumirá.
d)Respuesta libre.
2.Respuesta libre.
Explora y construye
Página 54
Encuestas y población en estudio
1. a)Es un estudio que sirve para recopilar cierta información de un grupo de personas, esto se hace a
través de preguntas. Los resultados de la encuesta
se pueden representar en diferentes tipos de gráficas para comparar las respuestas obtenidas.
b) Son las personas a las que se les aplica una
encuesta.
2.a)Conocer el guisado que prefiere la mayoría de los
estudiantes.
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b)No, porque los vecinos no comerán en el comedor de la escuela.
c) Respuesta libre. La población tiene que ser la cantidad total de alumnos de la escuela.
d)Respuesta libre. Los de una parte pues no todos
los alumnos comen en la cafetería, además de
que la opinión de una parte puede mostrar la
opinión general, y tratar de conocer la opinión
de todos los alumnos será algo muy laborioso y
tardado.
Página 55
3.Respuesta libre.
Muestras representativas
1.a)0.039%
b)Respuesta libre. Se espera que los alumnos contesten que no, pues es pequeño el porcentaje
encuestado. Sin embargo, mencione que si la
población encuestada representa a la población
general, si puede dar resultados confiables.
Sugerencia didáctica: pregunte a sus alumnos por
qué creen que sea necesario tomar una muestra
de la población en lugar de encuestar a todos los
habitantes. Aunque parece una pregunta fácil es
importante hacer notar que se invertiría mucho
tiempo en obtener los datos de una encuesta que
considere a todos las personas de la población de
estudio, además de que trabajar con una cantidad
muy grande de datos puede ser difícil de manejar.
c)• Respuesta modelo. Encuestar a toda la población.
Lección
Bloque
1
7
2 En equipos, respondan y realicen lo siguiente en su cuaderno.
a) Determinen el objetivo de las siguientes encuestas, la población en estudio
en cada caso y las muestras que son representativas. Justifiquen su elección.
• Se encuestó a una fracción de la población para conocer cuáles equipos
de futbol prefieren los mexicanos.
Muestra A: 5 000 personas afuera de un estadio de futbol.
Muestra B: 500 personas afuera de 20 distintos estadios de futbol.
• Se quiere saber cuántas horas, en promedio, hacen ejercicio por día las
personas mayores de 25 años en el estado de Chihuahua.
Muestra C: 500 personas en 15 distintos centros deportivos del estado
de Chihuahua.
Muestra D: 4 500 personas en las calles de tres ciudades de esa entidad.
Las preguntas de una encuesta se clasifican en dos tipos:
Si la respuesta a una pregunta debe seleccionarse de una lista (opción múltiple), se trata de
una pregunta cerrada.
Por ejemplo, • Edad: ( ) Menos de 13 años ( ) 13 años ( ) Más de 13 años
Si la respuesta a una pregunta es libre se denomina pregunta abierta.
Por ejemplo, • Edad:
3 En equipos, realicen lo siguiente.
a) Propongan dos preguntas cerradas y dos preguntas abiertas que plantearían
3 En grupo, discutan sus respuestas y corrijan los errores.
en una encuesta.
4 En equipos, analicen las siguientes maneras de elegir una muestra, determinen
en qué consisten y concluyan con cuáles se obtendría una muestra representativa. Justifiquen su respuesta.
• Los encuestados son voluntarios.
• Los participantes son conocidos del encuestador (quien hace la encuesta).
• Los encuestados se eligen mediante un proceso aleatorio.
b) Discutan las ventajas y desventajas de cada tipo de pregunta y anótenlas a
continuación.
4 En equipos, analicen las siguientes preguntas de una encuesta y realicen lo que
se indica.
En su gestión como legislador, el candidato Bermejo trabajó en favor de los
jóvenes, y por ello la mayoría piensa que es el candidato ideal para ocupar la
presidencia municipal. ¿Cuál es su candidato favorito para presidente municipal?
▶ Si en este momento fueran las elecciones para presidente municipal, ¿por quién
votaría?
▶ ¿Cuántos libros ha leído durante el último año?
▶ Todos los habitantes de esta región han leído más de 3 libros en el último año.
¿Cuántos libros ha leído en el último año?
Tipos y presentación de preguntas
▶
1 En equipos, discutan las similitudes y diferencias entre los siguientes tipos de
preguntas que dos compañías de productos deportivos hicieron en una encuesta.
Compañía A
• Sexo:
( ) Masculino
( ) Femenino
• Ocupación:
( ) Empleado
( ) Ama de casa
( ) Estudiante
( ) Desempleado
( ) Trabaja por su cuenta ( ) Comerciante
• Edad:
( ) Menor de 12 años
( ) De 13 a 18 años
( ) De 19 a 30 años
( ) De 31 a 45 años
( ) Mayor de 45 años
• ¿Cada cuándo hace ejercicio?
( ) Todos los días
( ) De 3 a 5 veces por semana
( ) 1 o 2 veces a la semana
( ) No hago ejercicio.
• ¿Cuál es la actividad deportiva que prefiere?
( ) Futbol
( ) Basquetbol
( ) Atletismo
( ) Natación
( ) Otro
Compañía B
• Sexo:
• Ocupación:
a) Discutan las similitudes y diferencias entre las preguntas y determinen cuáles
• Edad:
b) Escriban una pregunta que pueda alterar la respuesta del encuestado y una
pueden influir en la respuesta del encuestado.
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que no lo haga. Expliquen sus propuestas.
• ¿Con qué frecuencia hace
ejercicio o practica algún
deporte?
c) ¿De qué manera alterar la opinión del encuestado afecta los resultados de la
encuesta?
• ¿Cuál es la actividad física
o deportiva que prefiere?
2 En grupo, comenten y discutan sus conclusiones.
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Busca en...
http://www.edutics.
mx/4u3
donde podrás vaciar los datos que
recolectaste en tu
encuesta, construir su gráfica de
barras y determinar su promedio,
media y moda.
(Consulta: 11 de
julio de 2013).
5 Comparen sus preguntas y respuestas con las de otros equipos y determinen
cómo plantear las preguntas de una encuesta para evitar que se altere la opinión
del encuestado. Escriban sus conclusiones en su cuaderno.
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Ventaja: se conocen los resultados de toda la
población, así la encuesta es más confiable.
Desventaja: llevaría mucho tiempo preguntarle
a toda la población de estudio, además los costos para hacer la encuesta serían muy altos.
• Respuesta modelo. Encuestar a una fracción de la
población.
Ventaja: el proceso de la encuesta es más rápido y
sencillo, pues la población de estudio es pequeña.
Desventaja: el resultado de la encuesta puede
no representar la información de toda la población de estudio, por lo que el resultado es menos confiable.
d)Respuesta libre.
Sugerencia didáctica: pregunte sobre la relevancia de preguntar a toda la población acerca de
algún dato. Por ejemplo, las encuestas del inegi
por lo general consideran a todos los habitantes
de México, y cuando se hace el conteo de la población, también se obtiene información, como el
nivel de estudios o el material de las casas donde
viven las personas.
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2.a) • Objetivo de la encuesta: conocer los equipos
de futbol que prefieren los mexicanos.
Población de estudio: todos los mexicanos a
los que les gusta el futbol.
Muestras representativas: sólo la muestra B.
• Objetivo de la encuesta: saber las horas en promedio que hacen ejercicio las personas mayores de 25 años en el estado de Chihuahua.
Población de estudio: las personas mayores de
25 años en el estado de Chihuahua.
Muestras representativas: la muestra D.
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3.Respuesta libre.
4.• Aquí los encuestados pueden ser de cualquier
edad y género. Así que dependerá del objetivo de
la encuesta saber si es una muestra representativa,
pues si el objetivo sólo abarca un género o una
cierta edad esta muestra no sería representativa,
pero si el objetivo no depende del género ni de la
edad, esta muestra sí puede ser representativa.
• Aquí los resultados de esta muestra no serán objetivos, pues el encuestador puede conocer algunas características de las personas y eso puede
modificar la objetividad de los resultados, por lo
que no servirían para representar las características de toda la población de estudio.
• Esta muestra sí es una muestra representativa,
pues si se elige la población de estudio de acuerdo con el objetivo de la encuesta los resultados
son más confiables pues no interfieren los juicios
o preferencias de los encuestadores.
Tipos y representación de preguntas
1. La similitud es que ambas están dirigidas a saber cuáles de las actividades físicas prefieren. La diferencia
es que en las primeras preguntas las respuestas son
cerradas, es decir, el encuestador tiene que elegir
entre respuestas posibles; en el segundo caso las resupestas son abiertas.
2.Respuesta libre.
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3. a) Respuesta libre.
b)Ventajas de una pregunta cerrada: se induce a
que el encuestado elija una de las opciones: el
encuestador pone las opciones que le interesan.
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Lección
Bloque
1
7
Realización de una encuesta
Glosario
base de datos.
Organización de
datos que agiliza
la consulta de
información.
Reflexiona
1. En grupo, respondan.
a) Si la redacción de una pregunta puede alterar la opinión de las personas, ¿por qué
es importante indicar con exactitud, al momento de presentar los resultados, la
pregunta que se hizo a los encuestados?
1 En equipos, trabajen lo que se indica para realizar una encuesta en su escuela o
localidad. Justifiquen sus respuestas y, antes de iniciar la encuesta, verifíquenlas
en grupo con apoyo del profesor.
a) Establezcan la población en estudio y cuántos individuos la integran. Elíjanla
de manera que puedan encuestar al menos 10% de la población.
b) Mencionen cinco o más características u opiniones que quisieran conocer
de la población y elijan dos de ellas.
c) Determinen cuántos individuos entrevistarán en la encuesta. Si la encuesta
no incluirá a toda la población, es decir, será una muestra, indiquen cómo
elegirán a los encuestados; asegúrense de que sea una muestra representativa.
d) Escriban las preguntas abiertas o cerradas, con sus opciones, que harán para
obtener la información. Cerciórense de que la redacción no influya en la
opinión del encuestado.
e) Definan cómo registrarán la información que obtengan.
f) Acuerden cómo se dividirá el trabajo entre los integrantes del equipo. Por
ejemplo, cada uno puede encuestar a una parte de la muestra representativa
o de la población, y después agrupar la información en una base de datos.
Regresa y revisa
Regresa y revisa
1 En parejas, lean de nuevo la situación inicial y contesten en su cuaderno.
a) ¿Cuál es la población en estudio de esa situación?
b) ¿La encuesta en la escuela secundaria se podría aplicar a todos los estudiantes
o sólo a una muestra? Si es una muestra, ¿cómo la determinarían para que
fuera representativa? Argumenten su respuesta.
c) ¿Cuántas preguntas y de qué tipo harían a cada encuestado?
d) ¿Qué representación consideran conveniente para presentar los resultados?
2 En grupo, comparen sus respuestas con otras parejas y verifiquen que sean correctas. Corrijan si es necesario.
Representación y análisis de datos
3 En equipos, con ayuda del profesor, realicen los pasos necesarios para investigar
cómo ha evolucionado la obesidad en México en los últimos 10 años y expongan
sus resultados ante el grupo.
1 En los mismos equipos que la actividad anterior, respondan y realicen lo siguiente.
a) ¿Qué maneras de representar información (gráficas de barras, circulares, poligonales, histogramas, etcétera) consideran convenientes para presentar los
Observa y relaciona
resultados de la encuesta? Argumenten su respuesta.
Instituto Nacional de Estadística y Geografía (INEGI)
Un censo es una encuesta cuyo objetivo es obtener información de los habitantes de
un país o una región. En México, el INEGI es la institución encargada de realizar el Censo General de Población y Vivienda, y el Conteo de Población y Vivienda para obtener
información geográfica y demográfica de los habitantes del país.
b) Compartan la respuesta anterior con la de otro equipo y determinen qué
representaciones, según su información, es más conveniente.
1. Investiga y responde.
Toma nota
Localiza el término
“muestra representativa” en el
glosario (págs. 5658); con tus propias
palabras escribe
su definición y un
ejemplo.
c) Anoten en sus cuadernos los resultados de la encuesta. Consideren distintos
medios para organizarla, ya sean tablas, esquemas, listas, gráficas, etcétera.
d) Representen en sus cuadernos los resultados de la manera más conveniente.
a) ¿Cuándo se realizó el primer Censo General de la República Mexicana?
b) ¿Cuándo se creó el INEGI?
c) ¿Cuál es la diferencia entre el Censo General de Población y Vivienda y el Conteo
2 En grupo, calculen las medidas de tendencia central (media, mediana y moda)
y respondan.
de Población y Vivienda? ¿Cada cuándo se llevan a cabo? ¿Qué preguntas contiene cada encuesta?
a) ¿Cuál es la utilidad de calcular las medidas de tendencia central?
b) ¿Cuál de ellas es la más representativa de su encuesta?
d) ¿Cuál es el objetivo de obtener información de los habitantes de la República
c) ¿Qué conclusiones pueden obtener de la encuesta que realizaron?
Mexicana?
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Ventaja de las preguntas abiertas: los encuestados
pueden incluir su opinión acerca de un tema y
brindar información no considerada.
4.a)En que la primera y la última pregunta alteran la
respuesta. La segunda y la tercera pregunta no.
b)Respuesta libre. Las preguntas que alteran la respuesta, tiene incluida una opinión acerca de una
de las respuestas.
c)Respuesta modelo. En que los resultados de la
encuesta no serán objetivos, pues una parte de la
muestra de estudio contestará la respuesta inducida por la pregunta.
5.Es necesario que la pregunta no tenga un juicio de
valor, tiene que ser lo más neutra posible.
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Realización de una encuesta
1. Respuesta libre.
Representación y análisis de datos
1. a) Respuesta libre.
b)Respuesta libre.
c) Respuesta libre.
d)Respuesta libre.
2.a) Saber cuál fue la respuesta que las personas dieron con mayor frecuencia.
b)Respuesta libre.
c) Respuesta libre.
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Reflexiona
1. Porque si hay un resultado que se eligió muchas más
veces es necesario estar seguros de que esa opción
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la eligieron los encuestados de manera autónoma,
es decir, que no fueron dirigidos para tal opción.
Regresa y revisa
1. a) Todos los estudiantes de la escuela.
b)Respuesta modelo. La encuesta se aplicaría a una
muestra, pues no todos los estudiantes comen en
la cafetería. La muestra representativa son los estudiantes que comen casi diario en la cafetería.
c)Respuesta modelo. Bastaría con una pregunta
cerrada.
d)Respuesta modelo. Puede ser con una gráfica de
barras donde también aparecerá la moda de los
datos.
2.Respuesta libre.
3.Respuesta libre.
Observa y relaciona
1. a) En el año 1895.
b)El 25 de enero de 1983.
c)Un conteo es una encuesta que se aplica a la población de un país o región. Tiene como objetivo
obtener información básica de las personas y sus
viviendas. Un censo de población es una encuesta más elaborada que se realiza a la población de
todo el país, a fin de conocer las características
sociales y demográficas de sus habitantes.
d)El principal objetivo es obtener información de los
habitantes de un país para crear o modificar programas sociales, y tambíen analizar si los servicios
públicos son de utilidad y son accesibles a todos
los mexicanos.
Fuente: www.profeco.gob.mx/encuesta/brujula/bruj_2005/b05_censos.asp
www.inegi.org.mx/est/contenidos/Proyectos/ccpv/
Autoevaluación
1 Lee cada uno de los siguientes enunciados.
2 Señala si es falso (F) o verdadero (V).
3 Explica cómo verificarías tu respuesta.
Enunciado
F
a) El largo de la base de un prisma rectangular
es tres veces más grande que el ancho, y su
altura es de 8 cm. Si su volumen es de 384 cm3,
entonces el largo mide 12 cm.
V
x
b) Dos triángulos isósceles tienen el mismo
perímetro, por tanto, son congruentes.
x
c) Un triángulo que mide 3.6 cm, 4.7 cm y 5.2 cm
es semejante a otro de 7.2 cm, 9.4 cm y 2.6 cm.
x
d) La expresión algebraica a = xb + b representa
una relación de proporcionalidad directa entre
a y b.
Propuesta de verificación
Respuesta libre.
Respuesta libre.
Respuesta libre.
x
Respuesta libre.
x
Respuesta libre.
e) La relación entre los valores x1 = 0, y1 = 0;
x2 = 30, y2 = 2 700; x3 = 60, y3 = 3 600; x4 = 90,
y4 = 2 700; x5 = 120, y5 = 0 se puede representar
con la ecuación y = 120x – x2.
f) Si la probabilidad de obtener una bola amarilla
de una urna que contiene bolas de colores es
6
, entonces la urna contiene seis bolas
de
10
amarillas.
g) Los alumnos de primer grado constituyen
una muestra representativa de una secundaria
para conocer los hábitos alimenticios de toda
la escuela.
x
Respuesta libre.
x
Respuesta libre.
4 En la página 67 revisa qué enunciados son falsos y cuáles verdaderos. Consulta
en tu libro los temas de las respuestas erróneas; si es necesario, replantea tus
propuestas de verificación y aplícalas.
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42
Bloque 1 / Evaluación
Evaluación
ENLACE
1 El largo de un rectángulo es tres unidades mayor que su ancho, y su área es de
180 m 2. ¿Cuáles son sus dimensiones?
a)
b)
c)
d)
Largo = –12 m; ancho = –8 m
Largo = 8 m; ancho = 12 m
2 ¿En cuál de las siguientes figuras se pueden observar triángulos semejantes?
a)
b)
O
c)
J
d)
A
M
L
F
E
D
G
H
B
P
N
I
R
Q
K
C
1
3 ¿Cuál es el área de la región sombreada de color azul si el perímetro de toda la figura es de 22 cm?
3
a)
b)
c)
d)
21 cm2
16 cm2
22 cm2
21 cm2
1
x
x
3
4 En un cajón hay ocho calcetines sueltos: cuatro azules, dos verdes y dos blancos,
y se saca uno al azar. ¿Cómo son entre sí los eventos: “tomar un calcetín azul o
uno blanco” y “tomar un calcetín blanco o uno verde”?
a)
b)
c)
d)
Mutuamente excluyentes.
Complementarios.
Mutuamente excluyentes y además complementarios.
Ninguna de las anteriores.
5 De manera aleatoria se encuestó a la mitad de los estudiantes de un salón de tercer grado. ¿De cuál de las siguientes poblaciones es representativa esa muestra?
a)
b)
c)
d)
De los estudiantes de la escuela.
De los jóvenes de ese rango de edad de la comunidad.
De los estudiantes de ese salón de clases.
De los estudiantes de tercer grado.
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Evaluación
PISA
1 Analiza la gráfica y contesta.
y
7
6
5
4
3
2
1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8 x
-1
-2
a) Determina qué situaciones es posible representar mediante la gráfica.
• Una lancha se hundió a 7 m de profundidad en un lago. Una grúa sacó la
lancha con un ritmo constante hasta una plataforma ubicada a 10 m sobre
la superficie, después de 2.5 min de iniciada la operación.
• Un automovilista, que inició su recorrido en el kilómetro 2.5 de una carretera, condujo con rapidez constante y después de 7 s de trayecto se
localizaba en el kilómetro 5.
• Un kilogramo de polietileno (un tipo de plástico) se vende a $2.86 y dos
kilogramos, a $3.22.
• Una empresa invirtió siete millones de pesos en un proyecto; sus ganancias
fueron constantes y después de dos años y medio recuperó la inversión
inicial.
b) ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas no corresponde a la gráfica?
Justifica.
• 8y = 2.88x + 20
• –5x + 14y = 35
• y = 0.36x + 2.5
• y = 0.7x + 5 Respuesta libre.
c) Escribe una situación que se pueda representar con la gráfica. Explica el porqué de tu elección. Respuesta libre.
Respuestas de la autoevaluación de la página 65. Enunciados falsos: b), c), d), f), g); enunciados verdaderos: a), e).
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Evaluación Bloque 1
Nombre del alumno Grupo Fecha 1. La altura de un triángulo mide el triple de su base y su área es de 45 cm2. ¿Con qué
expresión se puede obtener la medida del lado del triángulo?
A)(x)
x
= 45
2
B)x(3x) = 45
C)
x(x)
= 45
3
D)
x(3x)
= 45
3
2.¿Qué valor puede tomar x en la expresión x2 − 13 = −4?
A)Sólo 9.
B)9 y −9.
C)3 y −3
D)13
3.¿Cuáles son los ángulos de un triángulo que es semejante a otro cuyos ángulos
son: ∠90°, ∠40° y ∠50°?
A)∠90°, ∠40° y ∠50°
B)∠45°, ∠20° y ∠25°
C)∠90°, ∠30° y ∠60°
D)∠60°, ∠60° y ∠60°
4.La constante de proporcionalidad entre los lados de dos rectángulos es 1.6, ¿cuáles
son las medidas de uno de esos rectángulos si el otro tiene 8 cm de base y 3.5 cm
de altura?
A)12.8 cm de base y 2.19 cm de altura
B)5 cm de base y 5.6 cm de altura
C)5 cm de base y 2.19 cm de altura
C)12.8cm de base y 5.6 cm de altura
5.Los lados del triángulo A miden 8 cm, 3 cm, y 4 cm; y las medidas de los lados
del triángulo B son 12 cm, 4.5 cm y 6 cm, ¿cómo son los ángulos entre esos dos
triángulos? ¿Bajo qué criterio argumentas tu respuesta?
A)Los ángulos son iguales, pues los triángulos son congruentes por el criterio LLL.
B)Los ángulos son proporcionales, ya que por el criterio LLL los triángulos son semejantes.
C)Los ángulos son diferentes, pues no hay un criterio de semejanza ni de congruencia que se cumpla.
D)Los ángulos son iguales, porque los triángulos son semejantes por el criterio LLL.
6.En una librería, durante el mes de diciembre todos los que sean estudiantes recibirán el 45% de descuento al comprar un libro. ¿Con qué expresión se puede
calcular lo que pagará un estudiante si x representa el costo del libro?
A)y = 0.55x
B)y = 4.5x
C)y = 0.45x
D)y = 5.5x
45
46
Bloque 1 / Evaluación
7.La expresión d = 85t representa la distancia que ha recorrido una motocicleta en
cierta cantidad de horas. Si se trazará la gráfica de esta expresión, ¿qué punto del
plano cartesiano le corresponde a un tiempo de 2.5 horas?
A)(85, 2.5)
B)(2.5, 85)
C)(212.5, 2.5)
D)(2.5, 212.5)
8.Una gráfica pasa por los puntos (−1, 9) y (6, 2). ¿Cuál de las siguientes es su expresión algebraica?
A)y = x2 + 3x + 20
B)y = x2 − 6x + 2
C) y
60 − 3x
= 45
7
D)y = x − 4
9.¿Cuál es la probabilidad del evento {2, 4, 6} si el espacio muestral es {0, 2, 4, 6, 8,
10, 12, 14}?
A)Cero.
B)
4
6
C)
3
8
C)
2
11
10. ¿Cuál no sería una muestra representativa de una encuesta donde se quiere conocer el pasatiempo favorito de los habitantes de una comunidad?
A)Los estudiantes y el personal de una escuela
B)Los habitantes de una unidad habitacional.
C)Un restaurante.
D)Una librería.
Respuestas a las evaluaciones
Respuestas a las evaluaciones
BLOQUE 1
1 A B C D
2 A B C D
3 A B C D
4 A B C D
5 A B C D
6 A B C D
7 A B C D
8 A B C D
9 A B C D
10 A B C D
47

Guía para el maestro

Transcripción

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