s - MC Manuel Amarante - Universidad Autónoma de Nuevo León

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
DEPARTAMENTO DE CONTROL
Práctica N° 3 de Control Moderno
Transformación de Modelos de Sistemas
OBJETIVO
Conocer los comandos de Matlab para la transformación del sistema basado en su función de
transferencia al espacio de estado y viceversa. Además, aprenderá a utilizar los comandos para
convertir de cualquier forma a la forma Canónica Controlable, Observable y Diagonal.
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA A PARTIR DE LA REPRESENTACIÓN EN
VARIABLES DE ESTADO.
El comando >>ss2tf convierte la representación en espacio de estado de un sistema de la forma
o
x = Ax + Bu
y = Cx + Du
a una representación equivalente en función de transferencia
H (s ) =
NUM (s )
−1
= C (sI − A) B + D
DEN (s )
Ejemplo 1: Obtener la función de transferencia a partir de la siguiente representación en espacio de
estado.
o 
1
0
0
  x1  

 xo 1   0





x2  =
0
0
1
x2  +  25.04 u



o
 
 x 3  − 5.008 − 25.1025 − 5.08247   x3  − 121.005
 
 x1 
y = [1 0 0] x2  + [0]u
 x3 
Práctica 3 Laboratorio Control Moderno
La función de transferencia del sistema quedaría:
Y (s )
25.04 s + 6.26
= 3
U (s ) s + 5.0825s 2 + 25.1025s + 5.008
Ejemplo 2: Obtener la función de transferencia del modelo de variables de estado del siguiente
sistema con entradas y salidas múltiples.
o   0
1   x1  1 1  u1 
 xo 1  = 
 
  + 
 x 2  − 25 − 4  x2  0 1 u 2 
 y1  1 0  x1  0 0  u1 
 y  = 0 1  x  + 0 0 u 
 2  
 2 
 2 
M.C. Manuel Amarante Rodríguez
28 de Julio del 2011
2
La función de transferencia del sistema para cada entrada y cada salida queda:
Y1 (s )
s+4
= 2
U 1 (s ) s + 4 s + 25
Y1 (s )
s+5
= 2
U 2 (s ) s + 4 s + 25
Y2 (s )
− 25
= 2
U 1 (s ) s + 4 s + 25
Y2 (s )
s − 25
= 2
U 2 (s ) s + 4 s + 25
REPRESENTACIÓN EN VARIABLES DE ESTADO A PARTIR DE LA FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA.
El comando >>tf2ss convierte la función de transferencia
NUM (s )
H (s ) =
DEN (s )
a su representación equivalente en variables de estado de la forma:
o
x = Ax + Bu
y = Cx + Du
La representación en variables de estado no es única existen muchas posibles representaciones en el
espacio de estado (infinitas), el comando tf2ss nos ofrecerá una de las posibles representaciones.
Sintaxis:
[A, B, C , D] = tf 2ss( NUM , DEN )
NOTA: el numerador tendrá tantas filas como número de salidas tenga el sistema:
Ejemplo 3: Considere el sistema definido por la función de transferencia siguiente:
Y (s )
s+3
= 2
U (s ) s + 2 s + 3
3
La representación en variables de estado quedaría:
 o  − 2 − 3  x  1
1
 xo 1  = 
+
u


0   x2  0
 x 2   1
x
[ y1 ] = [1 3] 1  + [0]u
 x2 
REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADOS EN FORMAS CANÓNICAS.
Considérese un sistema definido mediante:
(n )
(n −1)
(n )
o
(n −1)
o
y + a1 y + o o o + an −1 y + an y = b0 u + b1 u + o o o + bn−1 u + bn u
(3.1)
Donde u es la entrada e y es la salida. Esta ecuación también puede escribirse como:
Y (s ) b0 s n + b1 s n−1 + o o o + bn−1 s + bn
=
U (s ) s n + a1 s n−1 + o o o + a n−1 s + an
(3.2)
A continuación se presentan las representaciones en el espacio de estados del sistema
definido mediante las Ec. (1.82) y Ec. (1.83), en su forma canónica controlable, en su forma
canónica observable, en su forma canónica diagonal (o de Jordan).
Forma Canónica controlable. La siguiente representación en el espacio de estados se
denomina forma canónica controlable:
 o   0
 xo 1  
 x2   0

  o
 o  
 o = o

 
oo   o
x   0
 on −1  
 x n   − a n
y = [bn − a n b0
1
0
o
o
o
0
o
o
o
0
− a n −1
1
o
o
o
0
− a n−2
o
o
o
bn−1 − a n−*1b0
o
o
o
o
o
o
o o o b2 − a 2 b0
0   x1   0 
0   x 2   0 
o  o  o 

  
o   o  +  o u
o  o  o 

  
1   x n −1   0 
a1   x n   1 
 x1 
x 
 2 
 o 


b1 − a1b0 ] o  + b0 u
 o 


 xn−1 
x 
 n 
(3.3)
(3.4)
4
La forma canónica controlable es importante cuando se analiza el método de asignación de
polos para el diseño de sistemas de control.
Forma canónica observable: la siguiente representación en el espacio de estados se
denomina forma canónica observable:
 o  0
 xo 1  
 x 2  1

 o
 o  
 o  = o

 
 o o  o
 x  0
 on −1  
 x n  0
− a n   x1   bn − a n b0 
0 o o o 0 − an−1   x2  bn−1 − a n−1b0 

o
o  o  
o
 


o
o  o  + 
o
u

o
o  o  
o


 
0 o o o 0 − a2   xn −1   b2 − a 2b0 
0 o o o 1 − a1   xn   b1 − a1b0 
0 o o o 0
(3.5)
 x1 
x 
 2 
 o 


y = [0 0 o o o 0 1] o  + b0u
(3.6)
 o 


 xn−1 
x 
 n 
Obsérvese que la matriz de estado de n x n de la ecuación de estado obtenida mediante Ec.
(1.86) es la transpuesta de la ecuación de estado definida por Ec. (1.84).
Forma canónica diagonal. Considérese el sistema representado por la función de
transferencia definida mediante la Ec. (1.83). Se considera el caso en el que el polinomio del
denominador sólo contiene raíces distintas. En este caso, la Ec. (1.83) se puede escribir como:
cn
c
c2
y (s ) b0 s n + b1 s n−1 + o o o + bn −1 s + bn
=
= b0 + 1 +
+ooo+
(s + p1 )(s + p2 ) o o o (s + pn )
U (s )
s + p1 s + p 2
s + pn
(3.7)
La forma canónica diagonal de la representación en el espacio de estados de este sistema
viene dada por:
 o  − p
 xo 1   1
 x2   o

  o
 o  
 o = o

 
o o   o
x   o
 on −11  
 x n   0
o
o o o
o
− p2
o
o
o
− p n−1
0   x1  1
o   x2  1
 
o   o  o

  
o   o  + ou
o   o  o

  
o   xn −1  1
− p n   xn  1
(3.8)
5
 x1 
x 
 2 
 o 


y = [c1 c2 o o o c n−1 cn ] o  + b0 u
(3.9)
 o 


 xn −1 
x 
 n 
Ejemplo 4: Represente en la Forma Canónica a) Controlable, b) Observable, c) Diagonal
al sistema representado en espacio de estado siguiente:
•
0.5
0.707   x1 (t ) 0
 x•1   0.5
 x  =  − 0. 5
− 0.5 0.707   x2 (t ) + 0u
 •2  
 x3  − 6.364 − 0.707 − 8.0   x3 (t )  4
 
 x1 (t )
y (t ) = [0.707 0.707 0] x2 (t ) + [0]u
 x3 (t )
a) Para describir el sistema en la Forma Canónica Controlable en Matlab no existe un
comando directo pero al pasar una función de transferencia al formato de espacio de estado se
representa directamente en la forma Canónica Controlable, entonces haremos lo siguiente
transformamos el sistema de formato de variables de estado a función de transferencia con el
comando tf2ss y una vez en este formato lo volvemos a variables de estado con el comando ss2tf y
obtenemos el resultado requerido como se muestra en la pantalla siguiente:
6
Como se puede visualizar en la pantalla anterior Matlab al realizar el procedimiento
establecido con antelación la representación de la dinámica del sistema en la Forma Canónica
Controlable queda como se muestra a continuación:
•
 x•1  − 8.0 − 4.9992 − 3.9995  x1 (t ) 1
x  =  1
0
0   x2 (t ) + 0u
 •2  
1
0   x3 (t ) 0
 x3   0
 
 x1 (t )
y (t ) = [0 3.9988 0] x2 (t ) + [0]u
 x3 (t )
b) Para describir el sistema en la Forma Canónica Observable Matlab tiene el comando
canon que con la sintaxis [A,B,C,D]=canon(A,B,C,D,'companion') nos lo proporciona, como se
puede ver en la pantalla siguiente:
Observable queda como se muestra a continuación:
7
•
 x•1  0 0 − 3.9995  x1 (t ) 1
 x  = 1 0 − 4.9992  x (t ) + 0u
 2   
 •2  
− 8   x3 (t ) 0
 x3  0 1
 
 x1 (t )
y (t ) = [0 3.9988 − 31.9903] x2 (t ) + [0]u
 x3 (t )
c) Para describir el sistema en la Forma Canónica Diagonal Matlab tiene el comando
canon que con la sintaxis [A,B,C,D]=canon(A,B,C,D,'modal') nos lo proporciona, como se puede
ver en la pantalla siguiente:
Diagonal queda como se muestra a continuación:
•
0
0
  x1 (t ) − 4.3484
 x•1  − 7.3973
x  =  0
− 0.3014 0.6707   x2 (t ) +  0.6114 u
 •2  
− 0.6707 − 0.3014  x3 (t )  − 0.9535
 x3   0
 
 x1 (t )
y (t ) = [0.1339 0.4247 − 0.3383] x2 (t ) + [0]u
 x3 (t )
8
REPORTE:
1. Obtenga la representación en variables de estado de cada uno de los siguientes sistemas
definidos por las funciones de transferencia siguientes y escriba en Word como quedaría su
respuesta.
a)
Y (s )
10 s + 10
= 3
U (s ) s + 6 s 2 + 5s + 10
b)
Y (s )
s+4
= 2
U (s ) s + 2s + 6
c)
Y1 (s )
2s + 3
= 2
U (s ) s + 0.1s + 1
Y2 (s ) s 2 + 2 s + 1
=
U (s ) s 2 + 0.1s + 1
2. Considere las siguientes representaciones en variables de estado y obtenga la función de
transferencia para cada una de ellas y escriba en Word como quedaría la respuesta.
a)
 o  − 3 − 2  x  1
1
 xo 1  = 
u
+


0   x2  0
 x 2   1
x 
y = [1 3] 1  + [0]u
 x2 
b)
o   0
3   x1  1 1  u1 
 xo 1  = 
  + 
 
 x 2  − 10 15  x2  0 1 u 2 
c)
 y1  1 0  x1  0 0  u1 
 y  = 0 1  x  + 0 0 u 
 2  
 2 
 2 
 o  − 1 − 1  x  1
1
 xo 1  = 
 +  u


 x 2   1 0   x2  0
x 
y = [1 2] 1  + [0]u
 x2 
3. Convierta cada una de los sistemas del inciso anterior a la forma Canónica Controlable,
Observable y Diagonal.
4. Explique cada comando utilizado en la práctica. Utilice el help de la ventana 4 de los comandos
utilizados.
5. Conclusiones.
9

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