Propuesta Actividades PARA TODO EL CURSO

Transcripción

Colegio Colón – Huelva
PROPUESTA DE ACTIVIDADES PARA LA PRUEBA
EXTRAORDINARIA DE SEPTIEMBRE
MATEMÁTICAS TERCER CURSO
EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA
Curso 2012-2013
NOMBRE _______________________________________________________
GRUPO _________
Doña Rosario Nieto Romero
D. Marcos Puig Pérez
1
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Es recomendable que los alumnos suspensos hagan los ejercicios marcados durante
el curso en el libro de texto. Además se recogen en este documento otros realizados
durante el curso.
Y también se proponen dos Web con ejercicios resueltos de todas las unidades:
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/eso.htm
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos
/departamento_de_matemat/entrada.html
2
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Unidad 0. Repaso de los números naturales y enteros.
Objetivos
Conocer los conjuntos N y Z. Operar en dichos conjuntos.
Conocer las propiedades de las operaciones en el conjunto N y Z.
Representar los números (Ν ⊂ Ζ ) sobre una recta numérica.
Contenidos
a) Definición de los conjuntos de números N y Z. Necesidad de crear los conjuntos
N y Z.
b) Múltiplos y divisores de un número.
c) Números primos y números compuestos.
d) Criterios de divisibilidad.
e) Mínimo común múltiplo y máximo común divisor (definiciones y cálculos).
f) Operaciones combinadas: - Prioridad de las operaciones.
- Reglas de los signos (+, -, × y ÷)
- Paréntesis, corchetes, llaves.
Procedimientos
1. Operaciones combinadas (en N, Z): prioridades, reglas de los signos,
paréntesis, corchetes y llaves.
2. Cálculo del mcd y mcm.
3. Hallar el valor absoluto y opuesto
3
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UD 0 – EJERCICIOS
1. Calcúlense el m.c.d. y m.c.m. de los dos números indicados en cada uno de los
siguientes casos:
a. 12 y 40.
b. 22 y 66.
c. 504 y 396.
2. Representa sobre una recta real los siguientes números enteros: -6, -4, -2, 0, 2,
4, 6.
3. Ordena de mayor a menor los siguientes números enteros: +7, -7, 0, +5, +3, -3,
-5, -4, +6, +2.
4. Coloca los paréntesis donde corresponda para que las igualdades sean ciertas:
4 + 7 − 11 = 0
2 ⋅ 6 ⋅ 3 = 36
7−4−2 =5
27 − 11 + 6 = 10
9 ⋅ 60 ÷ 10 = 54
5. Realiza las siguientes operaciones:
14 + 12 ÷ 2 =
(14 + 12) ÷ 2 =
12 ⋅ (6 − 4) =
12 ⋅ 6 − 4 =
− 37 + 25 − (− 34) =
− 46 + (− 39) − 75 =
− 4 ⋅3 + 5⋅ 2 =
− 3 ⋅ (− 7 ) − 7 =
12 ⋅ (− 15) + (− 123) =
12 ⋅ (− 15 + 123) =
− 29 + 34 − (− 47 − 73) =
37 − (41 − 23) − (− 55) =
(− 2) ⋅ 21 − [− 3 ⋅ (− 2)] + (− 4) ⋅ (− 2 + 3) =
(− 7 )
12 − 4 ⋅ 2 = 4
4 + 13 − 15 = 2
15 ⋅ 4 ÷ 30 = 2
21 − 14 ⋅ 7 = 49
− 6 + 2 ⋅ [− 3 + 2 ⋅ (− 1 + 3)] =
5 ⋅ (− 3) + 30 ÷ (− 5) − 3 ⋅ 2 =
7 − 4 ⋅ {− 2 + (− 3) ⋅ [5 + 10 ÷ (− 2 )]} =
2 − 6 ÷ 3 ⋅ 4 − 5 ⋅ (− 1) − [(− 4) ⋅ (− 3) − 18 ÷ (− 9)] =
− [− 3 − 2 ⋅ (− 4 + 6 − 3) − 8] =
25 + 3 ⋅ (− 4) + 2 ⋅ [5 − (− 10)] =
4(− 3) + 18 ÷ (− 6) + 2 ⋅ 3 =
15 − [12 − 3 ⋅ (1 − 4)] =
[5 − (− 4)] ⋅ [10 − (1 − 8)] =
− [13 − 2(1 − 3)] + 15 ÷ (− 3) + (− 5) ⋅ (− 2) =
− 3 + 2[3 − 2 ⋅ (3 ⋅ 5 − 4)]⋅ 3 + 2 =
2 ⋅ 3 2 − 2 4 + 3 ⋅ (5 − 2 ⋅ 3) =
4
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Unidad 1: Números racionales e irracionales
Objetivos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Reconocer el conjunto de las fracciones.
Utilizar el concepto de fracciones equivalentes para obtener fracciones ampliadas
y simplificadas.
Identificar los números racionales.
Operar con números racionales.
Pasar de un número decimal a su fracción generatriz y viceversa.
Reconocer los números irracionales.
Aproximar un número real y representarlo gráficamente.
Calcular el valor de un radical y expresarlo en forma de potencia con exponente
fraccionario.
Contenidos
Conceptos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Números fraccionarios.
Fracciones equivalentes.
Simplificación y ampliación de fracciones.
Números racionales.
Operaciones con números racionales.
Operaciones combinadas.
Conversión entre números decimales y números racionales, y viceversa.
Números irracionales.
Números reales.
Procedimientos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Conversión entre decimales y fracciones utilizando la fracción generatriz.
Uso de las propiedades de las fracciones equivalentes para simplificar y ampliar
una fracción dada.
Interpretación y representación de los números racionales en la recta numérica.
Suma, resta, multiplicación y división de números racionales.
Uso de la jerarquía de las operaciones para realizar estas con números racionales
que contengan paréntesis.
Manejo de radicales y su conversión a potencias de exponente fraccionario.
5
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UD 1 – EJERCICIOS
REPASO POTENCIAS Y FRACCIONES -1
2
1 2  1
1.  −  − 1 − 
 2 5  3
2
15.
1 7 5 1

3 − −  ÷ −
4 8 4 2

3
1
1   19 1 

 − +  ÷ − 
 4 2 3   12 8 
16.
5 3 9  2 4  16 1
− ÷ + − ÷ −
6 7 14  3 9  45 24
17.
1 
2  2
− 1 +  2 − 
5  5
2 
18.
1 1 6
2− + ⋅
4 4 3
19.
32 − 4 0 + 57 ÷ 56 − 2 3
20.
[(− 6) ] + 6
2
3
1 2 1

2.  3 −  ÷  − 
2 3 6

 3  −2  3  2   1  2
3.   ⋅    ÷  
 5   5    2 
6
6
2
 3   3   5  
  ÷   −   
4.  2   5   2  


 2  −2  3  3 
5.   ⋅   
 3   2  
3
2
( )
2
3
1

2− 
3
6. 
1

2 − 
3

−2
−1
3 3 1 7
7.  −  ⋅  −  + 4
2 4 3 9
5 2
[
9
(
21. − 3 ⋅ (− 5) − 4 + 2 5 − 32 ⋅ − 2 2
2
)] − (− 1)
5
10
−1
 −1  2  1
 ⋅  ⋅
 2  9 8
3 −2 − 5 −2
9.
3 −1 − 5 −1
4
8. 
( )
(2 + 2 )
−1
11. 1 + 2 2
12.
− 2 −1


1
3
13. 1 +  ⋅ 2 − 2
−1
14. 1 − 3  + 1 + 1 

4

2
2
6
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REPASO POTENCIAS Y FRACCIONES - 2
1. Calcula paso a paso
2. Efectúa y simplifica descomponiendo en factores como en el ejemplo:
15 7
15 ⋅ 7
3⋅5⋅ 7
1
=
⋅
=
=
21 25 21 ⋅ 25 3 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 5 5
a)
3 20
⋅
5 21
d)
9 20
⋅
16 27
b)
6 5
⋅
25 18
e)
13 84
⋅
12 65
c)
12 35
⋅
7 36
f)
90 14
⋅
35 36
3. Calcula:
2
2 3 1
1 5 1
a)
⋅ −  − ⋅ − 
3 4 2
6  6 3
2
2
1 
1 1
b) 5 :  + 1 − 3 :  − 
2 
2 4
3 
3  17

 1
 


c) − ⋅ 3 − − 
− 1 ⋅  − 3
8
5 20
3

2
 2 1 
2   −2
d)  −  + 13 − 1  : 

 3    3 
 3 9 
4. Calcula:
−3
3  1
− 1 :  
2  2
−2
a) 
−2
1

b)  2 +  ⋅ 3− 2
3

7
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5. Calcula:
a)
1 2 1 2  3 2
⋅ −  − ⋅ − 
3  4 5 5  2 3
1−
b)
c)
d)
2
1
−1 −
3
2
1 1
+
4 2
e)
1
2 − +1
3
3
1
−1+
2
3
2
3
2
1
−1+
3
3
3 1
−
4 2
3 1
− +1
2 3
Sol: a) -7/30; b) 2/5; c) 3/26; d) -10/9; e) 16/5
6. Calcula:
8
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PROBLEMAS DE FRACCIONES
1. Una mezcla de cereales está compuesta por 7/15 de trigo, 9/25 de avena y el resto
de arroz.
a. ¿Qué parte de arroz tiene la mezcla?
b. ¿Qué cantidad de cada cereal habrá en 600 g de mezcla?
2. Los 5/12 de las entradas de un teatro son butacas, el ¼ son entresuelo, y el resto
anfiteatro. De las 720 entradas que tiene el teatro, ¿cuántas son de anfiteatro?
¿Qué parte del total representan?
3. Julia gastó 1/3 del dinero que tenía en libros y 2/5 en discos. Si le han sobrado 36
€, ¿cuánto tenía?
4. De los 300 libros de una biblioteca, 1/6 son de poesía; 180 de novela y el resto de
historia. ¿Qué fracción representan los libros de historia?
9
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5. Del dinero de una cuenta bancaria, retiramos primero los 3/8 y después los 7/10 de
lo que quedaba. Si el saldo actual es 1893 €. ¿Cuánto había al principio?
6. De un depósito de aceite, se vacía la mitad; de lo que queda, se vacía otra vez la
mitad y luego los 11/15 del resto. Si al final quedan 36 l, ¿cuántos había al
principio?
7. Compro a plazos una bicicleta que vale 540 €. Pago el primer mes los 2/9; el
segundo los 7/15 de lo que me queda por pagar y luego 124 €.
a. ¿Cuánto he pagado cada vez?
b. ¿Qué parte del precio me queda por pagar?
10
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Unidad 2. POTENCIAS Y RAÍCES
Objetivos
1. Realizar operaciones con potencias.
2. Realizar operaciones con raíces.
3. Identificar los distintos tipos de números reales (N, Z, Q, I).
Contenidos
Conceptos
1. Definición de potencia.
2. Reglas para multiplicar y dividir potencias.
3. Potencia de potencia; potencia de exponente: 0, 1, exponente entero.
4.
5.
6.
7.
b
Potencias con exponente racional (raíces): a n = n a b .
Raíz de una potencia.
Propiedad fundamental de los radicales: amplificación, simplificación.
Raíz de una raíz.
Procedimientos
1. Hallar el signo de una potencia.
2. Realización de operaciones con potencias: producto, cociente, potencia de una
potencia, potencia de un producto y potencia de un cociente.
3. Cálculo de raíces mediante factorización previa del radicando y posterior
aplicación de raíz de una potencia.
4. Cálculo de potencias de exponente uno o cero, potencias de base 10 y
potencias con exponente negativo.
5. Extracción e introducción de factores en un radical.
6. Cálculo de raíces aplicando la definición.
7. Operaciones con radicales: suma, resta, multiplicación y división.
8. Cálculo de potencia de una raíz y de raíz de una raíz.
11
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UD 2 – EJERCICIOS
1. Calcula el valor de cada potencia:
2. Calcula el valor de cada potencia:
3. Expresa como una potencia de base 5:
4. Reduce y expresa como potencia de un sólo número (observa el caso
resuelto):
5. Calcula el valor de de cada expresión:
6. Reduce:
7. Calcula y simplifica:
a.
b.
c.
12
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RADICALES 3º ESO – APUNTES
1. POTENCIAS CON EXPONENTE FRACCIONARIO
Toda potencia con exponente fraccionario representa una raíz cuyo índice es el
denominador del exponente y cuyo radicando es una potencia de la misma base que
la potencia dada y cuyo exponente es el numerador del exponente:
Ejemplos:
5
1
92 = 9
2 2 = 25
7
1
5 3 = 3 57
3
4
3 = 3
4
27 3 = 3 27
1
4
625 = 4 625
3
Se puede considerar la radicación como la operación inversa de la potenciación. Así:
n
a = b ⇔ bn = a
2
25 = 5 ⇔ 5 2 = 25 ( 5 2 = 5 2 = 5 )
3
3
3
27 = 3 ⇔ 3 = 27 ( 3 = 3 = 3 )
4
625 = 5 ⇔ 5 4 = 625 ( 4 54 = 5 4 = 5 )
3
3
3
4
Una raíz de índice par y radicando positivo tendrá dos soluciones, una positiva y otra
negativa:
9 = ±3 ya que:
2
→ 32 = 3 2 = 3
2
→ ( −3) 2 = ( −3) 2 = −3
Una raíz de índice par y radicando negativo no tiene solución en el conjunto R:
− 25 = x ⇔ x 2 = −25
(Esto es imposible, ya que ningún número real elevado al cuadrado puede ser
negativo) → x ∉ R
Una raíz de índice impar tiene una única solución, positiva si el radicando es positivo y
negativo si el radicando es negativo:
3
3
8 = 3 23 = 2 3 = 2
3
− 8 = ( −2) = ( −2) = −2
3
3
3
3
13
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A diferencia de las fracciones, cuando la raíz no es exacta, las cifras decimales no se
repiten en periodos, aunque se saquen infinitas cifras, es decir, las raíces no exactas
son números decimales ilimitados no periódicos (irracionales). Los irracionales junto
con los racionales forman el conjunto de los números reales.
2. OPERACIONES CON RADICALES
2.1 PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOS RADICALES
Si se multiplican o dividen el exponente del radicando y el índice de la raíz por un
mismo número, el resultado de la raíz no varía:
n
ap =
→ n*m a p*m (amplificación)
→ n / m a p / m (simplificación)
Ejemplos:
3
a 2 = 6 a 4 (amplificación)
10
a 8 = 5 a 4 (simplificación)
2.2 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES
Para multiplicar o dividir radicales es necesario que sean homogéneos, es decir, que
tengan el mismo índice:
n
a * n b = n a *b
n
a
n
b
=n
a
b
Ejemplos:
3
5 * 3 7 = 3 35
5
a * 5 a 2 = 5 a3
3
5
3
7
5
a
5
a
2
=3
5
7
=5
1
= 5 a −1
a
14
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Si los radicales no son homogéneos hay que homogeneizarlos, para ello se aplica la propiedad
fundamental de los radicales:
6
a 5 * 4 ab 3 =
1º paso: mcm de los índices: mcm(6, 4)=12. 12 será el índice común.
2º paso: buscar las raíces equivalentes a los anteriores con índice 12 (aplicar la propiedad
fundamental de los radicales).
6
a 5 = 12 a10 ;
ab 3 = 12 a 3b 9
6
a 5 * 4 ab 3 = 12 a10 * 12 a 3b 9 = 12 a13b 9
4
2.3 EXTRACCIÓN DE FACTORES DE UN RADICAL
Cuando un factor que forma parte de un radicando tiene el exponente mayor o igual que el índice
del radical, el factor se podrá sacar del radical, totalmente si además de mayor es múltiplo del
índice y parcialmente si es mayor pero no múltiplo.
Ejemplos:
4
4
81 = 4 34 = 3 4 = 3
4
2
81 = 3 = 3 = 32 = 9
4
5
5
15
a 5 * b15 = a 5 * b 5 = a * b 3
2
1000 = 10 3 = 10 2 * 10 = 10 2 * 10 = 10 * 10
3
3
3
81 = 3 = 3 * 3 = 3 * 3 3 = 3 * 3 3
5
a 6 * b17 = 5 a 5 * b15 * 5 a * b 2 = a 5 * b 5 * 5 a * b 2 = a * b 3 * 5 a * b 2
3
4
3
3
3
5
15
2.4 INTRODUCCIÓN DE FACTORES EN UN RADICAL
A veces interesa introducir un factor dentro del signo radical. Para ello se multiplica el exponente
del factor por el índice del radical
10 * 10 = (10) 2 *10 = 103
3 * 3 3 = 3 33 * 3 = 3 3 4
a * b 3 5 a * b 2 = 5 ( a * b 3 ) 5 * a * b 2 = 5 a 5 * b15 * a * b 2 = 5 a 6 * b17
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2.5 POTENCIA DE UN RADICAL
( a )n = an
p
p
Ejemplos:
(3 a ) 4 = 3 a 4
((3 a ) 4 = 3 a * 3 a * 3 a * 3 a = 3 a * a * a * a = 3 a 4 )
(5 2 2 ) 3 = 5 2 6
((5 2 2 ) 3 = 5 2 2 * 5 2 2 * 5 2 2 = 5 2 2 * 2 2 * 2 2 = 5 2 6 )
2.6 RAÍZ DE UN RADICAL
m n
a = m*n a
Ejemplos:
3
5 =6 5
1
(
3
3 5
(3
5
1 1
1
5 = 5 3 = (5 3 ) 2 = 5 6 = 6 5 )
a 2 = 15 a 2
3
2
2
1
2
a 2 = a 5 = ( a 5 ) 3 = a 15 = 15 a 2 )
2.7 ADICCIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES
Para sumar y restar radicales tienen que ser semejantes, es decir, tienen que tener el mismo índice
y el mismo radicando
5 * 3 − 3 = (5 − 1) * 3 = 4 * 3
2 + 6 * 2 − 2 * 2 = (1 + 6 − 2) * 2 = 5 * 2
8 + 2 * 18 = 2 * 2 + 6 * 2 = 8 * 2
8 = 23 = 22 * 2 = 2 * 2 ;
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18 = 2 * 9 = 32 * 2 = 3 * 2
RADICALES (3º ESO) –FOTOCOPIA-1
1. Expresa en forma de raiz: x
5
4
2. Expresa en forma de potencia:
3. Calcula:
4
4. Simplifica:
,a
1
2
a5
,x
−2
3
,y
−3
2
, 3 a ⋅ b2
, 3 37
, 4 x −3
,
1
5
23
10000 , 0,25 , 0,09 , − 125 , 4 − 16 , 3 0,001 , 3 − 27 , 4 1 , 5 32 , 5 − 32
4
36
, 15 64 , 6 1000 , 24 1000000 , 10 a 8 b 2
5. Extrae factores: 600
, 3 40 , 6 a 9 b13
6. Introduce factores: m 4 m 3
,a2
a
, 4 16a 5
, ab 3
3
, ab 6 c 3
a
7. Realiza las operaciones:
4
8
3
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a3 ⋅ 4 a2
, 5 15 a 2 ⋅ 5 32 a 3
, 4 a b 3 ⋅ 3 a 2 b , 4 4 ⋅ 3 54 ,5 27 ⋅ 4 6 , 4 a b 3 ÷ 4 a 3b 2
5 4 20 6
÷
, 20 ÷ 4 10 , 18 + 50 − 2 − 8 ,
12
3
1
5 − 3 250 + 3 16 , 3 3x 3 + 3 24 y 3 + 3 81z 6
3
a5 ÷ 4 a3
, 3 9 a 2 b ÷ 6 27a , 4
,
1. Calcula los resultados de las siguientes potencias:
a.
( 27 ) ;
5
3
( )
7
2
 5 2a 2  ;




4
b. 36 ; c.
d.
 5 2 
3 a b  ;
 2



 8 
e.  6 a 3 
 3 
5
2. Realiza las operaciones siguientes:
2a 3 ;
a.
3
b.
81 a 5 b ;
4 3
c.
64 a 6 c12 ;
3
d.
a 2 3 a·b
3. Hallar el resultado de:
a. 6 3 − 4 3 + 5 3
d.
b. 3 2 − 3 8 + 3 18
e.
c.
2a 2 − 8 + 3 2
2a 3 − 27 a 2 + a 12
12 − 48 + 27 + 75
5 3 − 3 16 + 128
f.
4. Formula las siguientes expresiones sin exponentes fraccionarios ni negativos:
a. 2 a 4 ; b. (3a ) 5 ;
1
c. 5 − 2 ;
2
2
d. 3 − 6 3 ;
1
e. (3 − x )− 2 ;
f. 5 −
1
5. Calcula los resultados de las siguientes raíces:
a.
4
b.
5
− 625 ;
b.
0'00032 ; f.
5
3
− 243 ;
8·27·64 ;
c.
5
1024 ;
g.
3
0'064 ÷ 8 ;
d.
h.
0'000729
5
243 ÷ 32
6. Introduce todos los factores:
a. 5 x 2 4 x 2 y ;
b. x 3 y ⋅ 3
2
x2 y
c. x ⋅ 5
;
y
.
x4
7. Saca fuera todos los factores posibles:
a.
27 xy 3 ; b.
4
32
x5
;
y8
c.
3
27
x4
;
y3
d. .
16
x
y6
a.
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3
3xy 3 x 2 y
;
:
ab
ab
b.
a ·3 a 2
6
a
4
;
c.
a 3b ⋅ 3 a b 2
6
a b2
2
5
1. Simplifica, trabajando en potencias:
−1
2
4
−2
5 4
a.   ⋅  
4 5
5
5 2 
b.   :  
2  5 
a −3 ⋅ b −4 ⋅ c 7
a − 4 ⋅ b ⋅ c −3
c.
2.
Realiza con radicales:
a. 5
2
18 1 8
5
+4
+
+
5
125 3 45
2
b.
c.
d.
3
+ 27 − 4 3 − 300
4
5
x2 ⋅ y2
x⋅ y
:
2
z
2
5 32 + 7 2
11 8
e.
4
2 2 2 2 ⋅2
f.
4
g.
25 3 9
9 25
x⋅
x
y
: x⋅4
y
x
1
4
Centro certificado
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1
16
x
SOLUCIONES
1. Simplifica, trabajando en potencias:
−1
2
2
4 4
5 4
4
⋅  = ⋅  =  
5 5
4 5
5
3
a.  
4
5
5 2 
b.   :  
2  5 
−2
5 4 ⋅ 210
5  5 
=   :   = 4 2 = 52 ⋅ 26
2 ⋅5
 2   25 
4
2
a −3 ⋅ b −4 ⋅ c 7 a ⋅ c 10
=
= a ⋅ c10 ⋅ b −5
a − 4 ⋅ b ⋅ c −3
b5
c.
2. Realiza con radicales:
3
5
5
 − 17
+ 27 − 4 3 − 300 =
3 + 3 3 − 4 3 − 10 3 =  + 3 − 4 − 10  =
3
4
2
2
2

5
5 − 22 − 17
300 = 3 ⋅ 10 2 = 10 3
− 11 =
=
2
2
2
a. 5
2
18 1 8
5
+4
+
+
=
5
125 3 45
2
b.
c.
x2 ⋅ y2
x⋅ y
x4 ⋅ y4
z5
z
10
:
=
⋅
= 10
2
4
5
5
z
x⋅ y
2
z
x ⋅y
5
d.
5 32 + 7 2
11 8
e. 4
=
4
x⋅
22 2
1
16
= 2 2
x
y
: x⋅4
y
x
=
1
4
Centro certificado
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20 2 + 7 2
=
27 2
22 2
=
27
22
25 3 9 12 5 6 32 12 5 4 3 5
=
⋅
=
=
9 25
36 3 2
34
3
f. 2 2 2 2 ⋅ 2
g.
2 12 2 2 2
5  12 2  2
5 163 2
5
+
+
+
= 1 + + 
+
=
+
5 5 5 9 5
2 
5 9 5
2 45 5
2
x
8
2 3 = 24 2 4 ⋅ 2 3 =
x3 8 y ⋅ x4
:
y
x
=
1
4
x
8
x3 ⋅ x
x4 ⋅ y2
=
1
4
x
8
2 8 ⋅ 2 4 ⋅ 2 3 = 16 215
1
y2
=
1
8
4
x
1
4
4
y
1
x
=
4
4
x
y
=
4
x
=
y
4
x ⋅ y −1
Unidad 3: Polinomios
Objetivos
1. Reconocer los elementos de un polinomio.
2. Realizar sumas y restas de polinomios.
3. Efectuar multiplicaciones, divisiones y potencias de polinomios.
4. Conocer y utilizar la regla de Ruffini.
5. Identificar las propiedades de las operaciones con polinomios.
6. Desarrollar y distinguir los productos notables.
7. Factorizar polinomios.
Contenidos
Conceptos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Expresión algebraica: valor numérico.
Monomios y polinomios.
Polinomios ordenados y completos. Grado de un polinomio.
Productos notables.
Propiedad distributiva y su viceversa (factor común)
Regla de Ruffini.
Factorización. Teorema del factor y teorema del resto.
Procedimientos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Utilización de letras como incógnitas, números generalizados, variables, etcétera.
Empleo de los símbolos algebraicos adecuados para expresar propiedades numéricas.
Reconocimiento de términos, coeficientes y exponentes en una expresión algebraica.
Reducción de términos semejantes para la suma y resta de polinomios.
Multiplicación y división de polinomios
Manejo de las relaciones notables más frecuentes.
Simplificación de expresiones algebraicas.
Determinación del valor numérico de expresiones algebraicas.
Asignación de un enunciado razonable a una expresión algebraica.
Descomposición factorial de polinomios, utilizando factor común, productos notables y regla de
Ruffini.
11. Simplificación de fracciones algebraicas sencillas utilizando el punto anterior.
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UD 3 – EJERCICIOS
EJERCICIOS DE EXPRESIONES ALGEBRÁICAS 3º ESO FOTOCOPIA 1
1. Escribe en lenguaje algebraico.
a. Dos números cuyo producto es 18.
b. Tres cubos consecutivos.
c. Un múltiplo de 5 más su doble.
d. El producto de dos pares consecutivos.
e. Los cuadrados de tres números consecutivos.
f. Dos números que sumen 34.
g. El doble de un número menos cuatro quintos del mismo número.
h. El 30 % de un número impar.
2. Con los siguientes polinomios:
P(x) = 3x4 – 7x3 + 2x2 – 11
Q(x) = 4x4 + 5x3 – 8x2 + 12
R(x) = 3x5 – 7x4 + 6x – 5
Realiza estas operaciones.
a) P(x) + Q(x) c) R(x) + Q(x) e) P(x) + Q(x) – R(x)
b) P(x) – R(x) d) R(x) – Q(x) f) P(x) – Q(x) + R(x)
3. Calcula estos productos de binomios.
a) (x2 + 11) · (x2 – 11)
c) (2x – 3y) · (x – y)
b) (x3 + y3) · (7x + 2) d) (3tz – 2t2) · (tz – z2)
4. Extrae factor común en estas expresiones.
c) 3t5 + 21t3x4 + 15t2x
a) x3 − 7x4 + 2x2y
2
4
b) −4z x − 2zx − 12zx
d) 6x4y − 24x7y + 12x3y5
5. Desarrolla estas potencias.
a) (2x + y + 1)2
b) (2ab – 1 + a)2
c) (2a + 1)3
d) (1 – 3t)3
6. Comprueba la veracidad de estas igualdades. Si alguna es falsa, escribe el resultado
verdadero.
a) (2x3 + 3x)2 = 4x6 + 9x2 + 12x4
c) (5x + 3)(5x – 3) = 25x2 + 9
3
2
6
2
4
b) (2x – 5x) = 4x – 25x + 20x
d) (3x2 – 4y)2 = 9x2 – 16y2
7. Desarrolla las siguientes expresiones utilizando las identidades notables.
a) (a + 3b)2 b) (a – 3b)2 c) (3a + b)2 d) (a + 3b) · (a – 3b)
8. Escribe el polinomio que cumple las siguientes características:
- Binomio en la variable z.
- De grado 5.
- Con coeficiente del término principal 8.
- Término independiente –7.
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9. Con los siguientes polinomios:
P(x) = –5x4 + 7x2 – 5x + 1
M(x) = – 6x3 + 9x2 – x + 1
T(x) = x4 + 2x3 + 8x – 2
Realiza las operaciones indicadas.
a) P(x) – T(x) + 2M(x)
b) (M(x) – P(x)) · (T(x) – M(x))
10. Efectúa estos productos.
a) –3x2 · (4x3 – 5x + 2)
c) (6y2 – 5y + 1) · (4y2 – 3)
c) 3P(x) – 4T(x) – M(x)
b) 5x2yz4 · (4x3 – 5x + 2)
11. Extrae factor común en estas expresiones.
a.
b.
c.
d. 12. Realiza estas operaciones con polinomios y simplifica.
13. Realiza estas divisiones.
a) (x3 + 6x2 + 6x + 5) : (x2 + x + 1)
b) (x4 – 5x3 + 11x2 – 12x + 6) : (x2 – x + 2)
c) (x5 – 2x4 + 3x2 – 5x + 6) : (x2 + 3x – 2)
d) (x6 + 3x4 – 2x2 + 5x – 7) : (x4 – 3x + 1)
14. Calcula el cociente y el resto.
a) (2x5 + 2x4 − 2x3 + 2x) : (x3 − x + 1)
b) (4x4 − 2x3 + x2) : (x + 1)
c) (x3 − 2x − 1) : (x2 + 1)
d) x10 : (x − 1)
e) x10 : (x + 1)
f) (x4 + x3 + x2 + x + 1) : (x2 + 2x + 1)
15. Realiza estas divisiones aplicando la regla de Ruffini, y escribe el cociente y el
resto.
a) (4x3 – 8x2 – 9x + 7) : (x – 3)
d) (6x4 + 9x3 – 10x2 + 8x – 2) : (x – 2)
3
2
b) (2x + 5x – 4x + 2) : (x + 3)
e) (7x3 + 7x2 + 7x ) : (x + 1)
5
4
3
2
c) (5x – 7x + 3x – 5x + 3x – 1) : (x + 1)
16. Averigua el cociente y resto de estas divisiones mediante la regla de Ruffini.
a) (2x3 – x2 + 5) : (x – 3)
b) (3x5 + 3x2 – 4) : (x + 1)
17. Divide utilizando la regla de Ruffini.
a) (x3 – 1) : (x – 1)
b) (x4 + 1) : (x + 1)
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1) Extraer factor común en cada una de las siguientes expresiones:
a. 5a + 5b ;
b.
5a + 10 ; c.
4a 2 + 12a ;
d.
2ab + a 2 b ;
f.
4x 2 + 2x3 ;
g.
3xy + 6 xz + 3x ; h.
xy + x 2 y + xy 2
e. 2 x + 4 x 2 ;
2) Simplifica, extrayendo factor común donde se pueda, las siguientes fracciones:
a.
5a + 5b
;
5a + 10
b.
6x3
4x2 + 2x3
;
x + x2
c.
;
x2 + x3
d.
2 x 2 + 4 xy
4 x 2 + 2 xy
3) Factoriza las siguientes expresiones usando las fórmulas de los productos notables:
c.
x 2 + 12 x + 36
a. x 2 − 4 x + 4
b. x 2 + 8 x + 16
d.
9 − 12 x + 4 x 2
4) Simplifica las siguientes fracciones:
a.
x +1
x2 −1
5− x
; b.
25 − 10 x + x 2
5) Calcula:
a. (3 − x )2 ;
2
3


x2 −1
x 2 + 2x + 1
;
25 − 10 x + x 2
d.
25 − x 2
b.
(x + 4) ⋅ (x − 4) ; c.
(3x − 5)2
e.
(3a − 5b )2 ;
(2 x + 1) ⋅ (2 x − 1)
2
d.  − x  ;
; c.
f.
6) Utiliza los productos notables y la extracción de factores comunes para descomponer en
factores las siguientes expresiones:
a. 3x 2 − 27 ;
b.
x 4 − 1 ; c.
4a 2b 4 − 4ab2 + 1
d. 3x 3 − 3x ;
e.
5 x 2 + 10 x + 5 ; f.
16x 6 − 64x 5 + 64x 4
g. x 4 − x 2 ;
h.
3x 3 − 18x 2 + 27x ;
i.
x 4 − 2x 2 + 1
7) Simplifica las siguientes fracciones:
a.
e.
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5 x 2 + 10 x
;
x+2
x2 − 4
x2 − 4x + 4
b.
;
f.
3x 3 − x 2
x3 + 2x2
2x 2 − 8
;
x+2
;
c.
g.
x3 − x
5x 2 − 5
;
2x 4 − 2x 3
4x4 − 4x 2
d.
;
h.
x 2 y − x3 y 2
x2 y2
3x 2 + 3x + 3
x3 + x 2 + x
1. Simplifica las siguientes fracciones:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
2x
5x 2
2x + 2
4x + 4
6x + 3
10 x + 5
6x + 6
3x − 3
9x
6 x − 15
10 x
2x3 − 2x
x3 − x2
x2 − x
h.
i.
2x − 2
x − 2x + 1
xy 2
6 xy − 2 y 2
2
2a 2 + 10a
3a 2 + 15a
6a 3 − 6a 2 b
k.
3a 3 − 3ab 2
x 2 − 4x + 4
l.
x2 − 4
j.
2. Reduce a denominador común para efectuar estas operaciones. Simplifica cuando sea posible:
3 1
5
+
− 2
x 4x 2x
3
2
1
b. 2 +
+ 2
xy y
x
a.
c.
1
1
3
− 2 +
2
4 xy
2 x y 8 xy
3x
− 2x
x −1
5 x +1
e.
−
3 x−2
5x − 1 1
f.
+
x +1 x
d.
1 2x − 1
−
x x+2
2x
1
h.
+
x −1 x +1
x −1
3
i.
−
+2
x
x −1
x
5
j.
−
x+3 x−2
x −1
1
k. 2
−
x −4 x−2
3
1
−
2
5x − 5
l. ( x − 1)
g.
3. Efectúa las siguientes multiplicaciones y divisiones, y simplifica los resultados:
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a.
3x x 2
:
2 4
xy 3 6 4
d.
⋅ ⋅
12 xy xy 2
b.
4x 2 2x3
:
5y3 y4
 2x 3 2  3 y
e. 
: x  ⋅
 y
 x
c.
3a 2 3
:a
b
2
 x
  x −4

f. 
: x + 2  ⋅ 
x−2
  2 
EJERCICIOS EXPRESIONES ALGABRAICAS.-fotocopia 4
x 
a) 2  + 1 − 2 x =
2 
b) 3 [2 (5 x − 3) + 4] − 10 x =
c) − [− (x + 1)] =
d)
1a

 + 6b  − (a − 2b ) =
3 3

e)
[2 x
f)
(2 x
3
g)
[x
− x2 + x − x5 + x4 − x2
4
)]
(
− 3x + 1 − 4 x 2 + x − 3 (2 x + 3) =
2
)(
)
+ 3x − 1 x 2 + x x =
(
P( x) = 4 x 5 − 3x 2 + 2 x + 2
2. Dados:
Q( X ) = 5 x 4 − 3x 3 + x 2 − x − 1
3. Desarrolla y simplifica:
a)
(x + 2)2 − (x + 3)(x − 3) =
b)
(2 x + 1)2 − (2 x + 3)(x − 2) =
c)
(3x − 5)2 + (3x + 5)2 =
(
)
d ) 5 x x 2 − 2 x + 3 − (x + 3) =
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)(
2
e)
(x
f)
(x + 5)(− 5 + x ) + (x − 5)2 =
2
)](2 x + 1) =
)
−1 x2 + 1 − x4 =
Re aliza : 2 P( x) − 3Q( x) =
4. Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas:
a)
x +1 x + 3
⋅
=
x + 3x 3x
c)
x 2 x 2 − 2x + 1
⋅
=
x −1
x
2
1   1
1 
 1
e) 
−
+
÷
=
 x + 1 x − 1  x − 1 x + 1
g) 1 −
m m+5 3 
− =

m−5 m
m
b)
x +1
x+3
÷
=
3x
x + 3x
2
3x − 1 6 x − 2
÷
=
2x
3x + 1
d)
2 1  
2

f ) 1 + + 2  ÷  a + 3 +  =
a a  
a

2x 
x
 1
h) 
− 2
÷
 x − 1 x − 1 x + 1
h+4

− 4 ÷ h =
i) 
 h +1

5. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a)
x 2 − 5x + 6
x2 − 9
c)
x3 − x2
x 4 + 4 x 3 + 3x 2
e)
y2 − 8y + 7
y 2 − 49
b)
d)
x 2 + 3 x − 10
x 2 + 25 + 10 x
8 x 2 − 32
x 2 − 5x + 6
6. Escribe dos polinomios cuyas raíces o ceros sean: 0, 2 (raíz doble), -1.
7. Dado A( x) = 2 ( x + 2)( x − 3)( x + 5) ; contesta:
a) Coeficiente del término principal:
b) Ceros o raíces de A(x)
c) Escribe A(X) en forma polinómica
d) Escribe otro polinomio equivalente a A(X)
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Unidad 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Objetivos
1.
2.
3.
4.
5.
Utilizar estrategias para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
Emplear estrategias para resolver inecuaciones de primer grado.
Discutir y resolver mediante diferentes métodos, sistemas de ecuaciones lineales con dos
incógnitas.
Resolver problemas utilizando el lenguaje algebraico para expresar relaciones entre los datos y
la incógnita.
Comprobar si las soluciones de las ecuaciones planteadas en la resolución de problemas
tienen sentido en el contexto.
Contenidos
Conceptos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Ecuaciones de segundo grado incompletas y completas.
Inecuaciones.
Sistemas de ecuaciones lineales.
Métodos de resolución de sistemas lineales.
Resolución algebraica de problemas.
Procedimientos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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Interpretación y utilización del signo = en distintas expresiones numéricas y algebraicas.
Uso de ecuaciones equivalentes para la resolución de ecuaciones de primer grado.
Resolución, por el método más adecuado, de ecuaciones de segundo grado completas e
incompletas.
Manejo de las propiedades de las desigualdades para resolver inecuaciones de primer grado.
Utilización de métodos de solución para sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Uso de diferentes estrategias para resolver problemas de la vida cotidiana.
UD 4 – EJERCICIOS
EJERCICIOS DE ECUACIONES Y SISTEMAS 3º ESO FOTOCOPIA 1
1. Resuelve:
a. 2( x − 2) + 5 x − 2( x − 5) = 3 x
Sol: x= -3
6x
6x
Sol: x= -1/2
=8−
3
2
Sol: x= 1
2( 2 x + 4) − 3(4 x − 2) = 7 − (5 x − 4)
2 x + 6 10 x − 5
8 x − 20
Sol: x= 2
−
= 1−
2
5
4
−x
= 5 Sol: x= -15
3
5 − 3x
= 6 x − 1 Sol: x= 1/3
4
5 − 3 x 12 x − 2
Sol: x= 1/3
=
4
2
x 2 + 2x − 6
= x+3
Sol: x= -6
x
15 x − 35 20 3x − 3
4− x
Sol: x= 7
=
−
=−
10
4
18
3
x +1 1 x
Sol: x=-1
3⋅
− =
5
2 2
x
x−3
Sol: x=9
+ 5⋅
= 2x − 2
9
2
x −1
3x
x
Sol: x=4
7⋅
− 5⋅
= 10 − 9 ⋅
3
4
2
3 x + 1 5 x − 4 25
Sol: x=1
−
=
3
7
21
5
 3x + 5 x − 3 
2
−
 − 4 x = 3 x + Sol: x=37/28
3 
6
 2
x
 2(1 − x )
2 − 2  +
= 0 Sol: Incompatible
3
3

x +1
2x + 3
Sol: Incompatible
= x−
2
4
(3 x − 1) 2 = 0
Sol: (X1=1/3, X2=1/3)
b. 3( 2 − x ) + 1 −
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
q.
x = 2y +1
r.
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2x − 1 2 y − 3 5
−
=
3
2
2
Sol: (x=5, y=2)
x = 1−
s.
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y−2
4
3y
x−
=5
2
y
=4
2
y
=4
4
Sol: (x=2, y=-2)
t.
x
−
3
x
−
2
u.
x + 4 y 3 x 8 y − 13 x
−
=
5
2
10
3 x + 5 10 y + 7
=
2
3
Sol: (x=6, y=-4)
Sol: Infinitas soluciones
EJERCICIOS DE ECUACIONES Y SISTEMAS 3º ESO FOTOCOPIA 2
1. Un hijo tiene 30 años menos que su madre y ésta tiene cuatro veces la edad del hijo. ¿Qué edad
tiene cada uno?
2. Hace dos años un padre tenía el triple de la edad de su hijo y dentro de 11 años sólo tendrá el
doble. Halla la edad que tienen ahora.
3. La edad de un hijo es la quinta parte de la edad de su padre y dentro de 7 años el padre tendrá el
triple de la edad de su hijo. Calcula las edades que tienen cada uno.
x x−2
14 − x −5 x
−
−5−
=
4
5
2
12
x−2 1
2
= (`x + 2)
5. (x − 2) − ( x − 1) ⋅ ( x + 1) −
3
2
4.
6. Halla dos números enteros consecutivos tales que la diferencia entre la tercera parte del mayor y la
séptima parte del menor sea igual a la quinta parte del menor.
7.

3− x
x 
1 
x−2
+ 4 x − 2 
− 3 (1 − )  − ( x + )  = 23
3
6 
2 
 3

8. Si se aumenta la longitud de un cuadrado en 4m y la anchura en 1’5m, resulta un rectángulo cuya
área es igual a la del cuadrado aumentada en 28 m2. Calcula el lado del cuadrado.
9. Calcula los ángulos de un triángulo sabiendo que uno es la mitad del otro y que el tercero es la
cuarta parte de la suma de los dos primeros.
10. En un triángulo rectángulo un cateto mide 5/13 de la longitud de la hipotenusa y el otro cateto 48
cm. Halla el perímetro y el área.
11. El triple de la edad que yo tenía hace dos años es el doble de la que tendré dentro de seis. ¿Cuál
es mi edad actual?
12. Una madre tiene 64 años y su hija 32, ¿cuántos años han transcurrido desde que la edad de la
madre era triple que la de su hija?
13. Halla un número sabiendo que 11 veces dicho número más 10 unidades es igual a otro número
que es 14 veces dicho número menos cinco unidades.
14. Resuelve las siguientes ecuaciones:
g.
x 2 − 2 x 2 x 2 − 5x
=
2
3
h.
4 x − 5 x 2 − 1 = x (2 − x ) + 5
i.
x
(x − 1) − x (2 x + 1) = 4
2
5
5
j.
(3x − 1)2 = 0
e. 3 (x − 2) − 5 (2 x − 1) − 2 (3x + 4) + 10 = 0
k.
(2 x − 1)2 = 25
f. x 2 − 9 x = 8 − 2 (3x + 4)
l.
9
1

x  5 x +  = 4 x (x + 1) +
2
2



2
3
x 
2 
 x 1
b. 2 x − 1 = 3  −  + 1
 2 3
1
1
c. (6 + 2 x ) = (3x + 12)
3
4
2
3
d. (1 − x ) + x = (x + 2)
3
5
a. 3  x −  + 1 = 4  − 1
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(
)
15. ¿Cuál es el número que aumentado en 55 unidades es igual a 6 veces su valor inicial?
16. Si a un número le sumas 7 unidades, obtienes el mismo resultado que si a su doble le restas 3.
¿De qué número se trata?
17. Aníbal tiene 15 años, su hermana 12 y su madre 40. ¿Cuántos años han de transcurrir para que
entre ambos hijos igualen la edad de la madre?
18. En un triángulo isósceles, cada uno de los lados iguales es 5cm más largo que el lado desigual. El
perímetro mide 55cm. ¿Cuánto mide cada lado?
19. El mayor de los ángulos de un triángulo se diferencia en 20º del mediano y este se diferencia en
20º del menor. ¿Cuál es la medida de los ángulos del triángulo?
20. El dueño de un restaurante mezcla una bolsa de café de 10 €/kg con cierta cantidad inferior de 8
€/kg. Así obtiene 10kg de mezcla que sale a 9’50 €/kg. ¿Qué cantidad de cada clase empleó?
21. ¿Cuántos litros de aceite de girasol a 0’75 €/l, se deben mezclar con 15 litros de oliva, a 3’75 €/l,
para que la mezcla salga a 3 €/l?
22. En mi bolsillo llevo diez monedas, unas de 5 céntimos y otras de 20 céntimos. El valor total de las
monedas es 1’40 €. ¿Cuántas llevo de cada clase?
23. Busca dos números impares consecutivos cuyo producto sea 255.
24. Busca el número natural que es 30 unidades menor que su cuadrado.
25. Si al cuadrado de un número se le suman 8 unidades, se convierte en el cuadrado de su triple.
¿Cuál es ese número?
26. Calcula las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que es 4cm más largo que ancho y que tiene
una superficie de 45 cm2.
27. Calcula la longitud de la base de un triángulo sabiendo que la base mide 3cm menos que la altura
y que el área del triángulo es 35 cm2.
28. Calcula dos números sabiendo que su suma es 119 y que el triple del menor sobrepasa en 17
unidades al doble del mayor.
29. Alejandro ha pagado 6’6 € por 3kg de naranjas y 2kg de manzanas. En la misma frutería, han
pagado 3’9 € por dos kg de naranjas y uno de manzanas. ¿Cuánto cuesta el kg de naranjas y el de
manzanas?
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Unidad 5: Funciones
Objetivos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Identificar las relaciones funcionales entre magnitudes.
Expresar una función mediante una expresión algebraica, una tabla de valores o una gráfica.
Realizar un estudio del dominio, el recorrido, signo de una función y los puntos de corte de la
gráfica de una función.
Detectar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los puntos máximos y
mínimos de la gráfica de una función.
Comprobar si una función es continua.
Analizar la simetría respecto a los ejes coordenados, o del origen de coordenadas de una
función y su periodicidad.
Interpretar la gráfica de una función, relativa a problemas de la vida cotidiana.
Contenidos
Conceptos
1.
2.
3.
4.
Función.
Distintas formas de expresar una dependencia funcional: expresión algebraica, tabla y gráfica.
Estudio gráfico de las propiedades de una función: dominio y recorrido, puntos de corte con los
ejes, signo de la función, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, continuidad,
simetría y periodicidad.
Lectura e interpretación de una gráfica en problemas relacionados con fenómenos naturales, la
vida cotidiana y el mundo de la información.
Procedimientos
1.
2.
Detección de la dependencia funcional entre dos magnitudes.
Construcción de gráficas a partir de una función dada en forma de tabla, con su expresión
algebraica, o a través de descripciones verbales.
3. Obtención de una tabla de valores de una función a partir de su gráfica o de su expresión
algebraica.
4. Obtención de tablas, gráficas y expresiones algebraicas a partir de una de ellas.
5. Obtención de los puntos de cortes con los ejes a partir de función lineal o cuadrada.
6. Descripción de las propiedades globales de una función a partir de casos sencillos de gráficas.
7. Interpretación de una gráfica utilizando sus propiedades globales.
8. Uso del lenguaje y la notación matemática para describir las propiedades de una función.
9. Construcción de una tabla de valores a partir de la imagen o de la variable independiente en
funciones sencillas (lineales y cuadradas).
10. Detección de errores o manipulaciones arbitrarias en las gráficas, que afecten a su
interpretación.
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UD 5 – EJERCICIOS
FUNCIONES-1
1. ¿Cuáles de las gráficas siguientes corresponden a una función?
2. Realiza el estudio de las siguientes gráficas:
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3. ¿Es periódica esta función?
4. Determina el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) f ( x) = 3x + 2 x 2
e) f ( x ) =
b) f ( x ) = 5
5x
x ⋅ ( x + 4 )( x − 3)
c) f ( x) =
f ) f ( x) =
2x + 4
x
d) f (X ) =
7
3x − 6
6x − 2
x + x−6
2
5. Las siguientes gráficas corresponden a funciones discontinuas. Relaciona cada función con el
motivo de su discontinuidad.
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6. Completa:
f ( x ) = x 2 − 2 ; f ( −2) =
f (− 5 ) =
X
-2
2
-1
1
2
-5
2
-4
7. Completa:
5x − 4
2
X
F(x)
7
0
f ( x) = x 2 − 3 x
X
F(x)
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0
; f ( −1) =
; f ( 3 + 2) =
F(x)
f ( x) =
; f ( 2) =
-2
0
2
3+2
; f (1) =
: f ( 0) =
; f ( 2) =
1. Estudia las características de las siguientes funciones:
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Unidad 6: Funciones elementales
Objetivos
1.
2.
3.
Identificar las relaciones entre magnitudes caracterizadas por funciones afines, cuadráticas.
Indicar e interpretar la pendiente y la ordenada en el origen de una función afín.
Obtener la expresión algebraica de una función afín a partir de una tabla de valores, de la
gráfica correspondiente y mediante la pendiente y ordenada en el origen.
4. Representar gráficamente una función afín.
5. Resolver gráficamente sistemas ecuaciones lineales de dos incógnitas
6. Identificar rectas paralelas e incidentes
7. Representar gráficamente una función cuadrática.
8. Determinar el vértice y el eje de simetría de una parábola.
9. Encontrar los puntos de corte con los ejes coordenados de una función lineal y cuadrática.
10. Interpretar la gráfica de una función afín, cuadrática relativa a fenómenos de la vida cotidiana.
Contenidos
Conceptos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Función lineal.
Función afín.
Posiciones relativas de dos rectas en el plano.
Pendiente y ordenada en el origen de una recta.
Función constante.
Función cuadrática.
Vértice, eje de simetría y puntos de cortes de una parábola.
Representación gráfica de una parábola.
Método gráfico de sistemas lineales (dos ecuaciones dos incógnitas).
Procedimientos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Centro certificado
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Identificación de las relaciones funcionales entre magnitudes susceptibles de ser expresadas
mediante una función afín, cuadrática.
Determinación de la pendiente y la ordenada en el origen de una función afín o de su grafica.
Identificar rectas paralelas e incidentes a partir del valor de la pendiente.
Representación gráfica de funciones afines, que vengan dadas en forma de tabla, con su
expresión algebraica, o a través de descripciones verbales.
Obtención de la expresión algebraica de una recta conocidos dos de sus puntos, la pendiente
y la ordenada en el origen o un punto y su pendiente.
Obtención de la expresión algebraica de una función lineal a partir de su gráfica.
Determinación de los puntos de corte con los ejes, del vértice y del eje de simetría de una
parábola.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales a partir del método grafico.
Representación gráfica de una función cuadrática.
UD 6 – EJERCICIOS
FUNCIONES-1
1. Representa las siguientes rectas:
¿En qué punto cortan al eje OY? ¿Y al eje OX?
2. Representa las rectas r y s en los mismos ejes de coordenadas y halla su punto de corte en los
siguientes casos:
3. Comprueba que el punto (17, 68) pertenece a la recta y= 5x – 17.
4. Calcula c para que la recta 5x – 2y = c pase por el punto (-3, 7).
5. Calcula b para que la recta 3x + by = -5 pase por el punto (-3, 4).
6. ¿Cuáles son la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x - 5y + 15 = 0?
7. Halla la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas:
8. Asocia cada una de las rectas r, s, t, p, q a una de estas ecuaciones:
9. Escribe la ecuación de estas rectas y represéntalas:
a) Pasa por (-2, 3) y (5, -4).
b) Pasa por (3/5, -2) y su pendiente es -3/2.
c) Pasa por el punto (2, 2) y su ordenada en el origen vale -5.
d) Pasa por (1, -5) y es paralela a y=2x.
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10. Halla la ecuación de las siguientes rectas en forma general:
a) Paralela a 4x – 3y = 4 y pasa por el origen de coordenadas.
b) Paralela al eje X y pasa por el punto (5, 4).
c) Paralela a 2x – 3y = 6 y pasa por (-3, 2).
11. En cada caso, escribe la función y di el significado de la pendiente:
a) EL precio de x kilos de manzanas, si pagué 3,6 € por 3 kg.
b) Los metros que hay en x kilómetros.
c) El precio de un artículo que costaba x €, si se ha rebajado un 20 %.
12. Comprueba si existe alguna recta que pase por los puntos A (-1, 3), B (5, 0) y C (45, -20). Para
ello, halla la ecuación de la recta que pasa por A y por B y prueba después si el punto C pertenece
a esa recta.
13. Al colgar diferentes pesos de un muelle, este se va alargando según los valores que indica esta
tabla:
a) Haz la gráfica de esa función.
b) Halla su expresión analítica.
c) Explica el significado de pendiente.
14. Una milla equivale aproximadamente a 1,6 Km.
a) Haz una tabla para convertir millas en kilómetros.
b) Dibuja la gráfica y escribe su ecuación.
15. En el contrato a un vendedor de libros se le ofrecen dos alternativas:
A: Sueldo fijo mensual de 1000 €.
B: Sueldo fijo mensual de 800 € más el 20 % de las ventas que haga.
a) Haz una gráfica que muestre lo que ganaría en un mes según la modalidad del contrato.
Toma como variable independiente las ventas que haga y como variable dependiente el
sueldo.
b) Escribe la expresión analítica de cada función.
c) ¿A cuánto tienen que ascender sus ventas para ganar lo mismo con las dos modalidades
del contrato? ¿Cuáles son esas ganancias?
16. El precio de un viaje en tren depende de los kilómetros recorridos. Por un trayecto de 140 km
pagamos 17 €, y si recorre 360 km, cuesta 39 €. Escribe la ecuación de la recta que relaciona los
kilómetros recorridos, x con el precio del billete y. Represéntala gráficamente.
17. La temperatura de fusión del hielo en la escala centígrada es 0 º C y en la Fahrenheit es 32 º F.
La ebullición del agua es 100 º C, que equivale a 212 º F.
a) Encuentra la función lineal que nos da la relación entre las dos escalas y represéntala.
b) Expresa en grados Fahrenheit las siguientes temperaturas: 25 º C; 36,5 º C; 10 º C.
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c) Pasa a grados centígrados 86 º F y 63,5 º F
18. Pon un ejemplo de una función de proporcionalidad, halla tres puntos de ella y comprueba que
el cociente entre la ordenada y la abcisa es constante. ¿Cómo se llama esa constante?
19. En la función y = mx + n, ¿cómo debe ser m para que la función sea decreciente?
20. Sea la recta y =
3
x−5
2
a) Escribe la ecuación de dos rectas paralelas a ella.
b) Escribe la ecuación de una recta con la misma ordenada en el origen y que no sea paralela
a ella.
21. ¿Cuál es la recta que tiene por ecuación y=0? ¿Y la de ecuación x=0?
22. Escribe la ecuación de una recta paralela al eje vertical y que pase por el punto (2, 3).
23. Sean las rectas:
Compara sus pendientes y di, sin dibujarlas, cuáles son paralelas.
24. ¿Verdadero o falso?
a) La recta x = 4 es paralela al eje de abcisas.
b) La recta x-3 = 0 es paralela al eje de ordenadas.
c) La recta y= -2 es paralela al eje de abcisas.
d) Las rectas y= 2x – 1 e y= x – 1 son paralelas.
25. Representa gráficamente estas funciones:
26. Las rectas r: 2x + 3y – 6 = 0;
son sus vértices?
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s: x – y – 7 = 0;
t: y – 4 = 0 determinan un triángulo. ¿Cuáles
EJERCICIOS FUNCIONES
1. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A (3, 7) y tiene por pendiente m= 5.
2. Dadas las rectas y = x – 4 e y = 10 – x:
a. Dibújalas
b. Si son secantes, di cuál es el punto de intersección
3. Halla, si existe, el punto de intersección de las rectas siguientes:
y + x – 10 = 0
y = - 2x + 14
4. Halla, si existe, el punto de intersección de las rectas siguientes:
6x – 4y + 22 = 0 2x= + 5y – 11
5. Una recta tiene por ecuación y = 5x + 7. Escribe otras tres rectas paralelas a ella.
6. Indica cuáles de las siguientes rectas son paralelas:
a. y = 3x + 7
b. y = 2 – 3x
c. y – 3x + 8 = 0
d. 3x + y – 12 = 0
7. Halla la recta paralela a y = 4x + 6 que pasa por el punto A (1, 1).
8. Calcula los valores m y n para que las rectas y = mx + 3 e y= - 7x + n:
a. Sean paralelas.
b. Sean coincidentes, es decir, sean la misma recta.
9. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A (1, 3) y tiene la misma pendiente que
la recta que pasa por los puntos B (5, 4) y C (7, 8).
10. Halla el valor de m y n para que las rectas y = mx – 5ey = - 2x + n sean paralelas y
distintas.
11. Comprueba si las rectas r: 3x + 4y – 5 = 0 y s: 6x + 8y + 5 = 0 son paralelas o secantes.
12. Comprueba se las rectas r: x – 3y + 7 = 0 y s: 3x + 3y + 8 = 0 son paralelas o secantes.
13. Las rectas
m?.
3x – 5y + 8 = 0
y
6x + my+ 11 = 0
son paralelas. ¿Cuánto tiene que valer
14. Comprueba si los puntos A (1, 0), B (2, 1) y C (3, 3) están o no alineados.
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Unidad 7: Figuras planas
Objetivos
1.
Aplicar los teoremas de la altura, del cateto, Tales y de Pitágoras para hallar medidas en
ciertos triángulos y otras figuras geométricas.
Contenidos
Conceptos
1.
2.
3.
4.
5.
Teorema de Tales
Teorema de la altura.
Teorema del cateto.
Teorema de Pitágoras.
Aplicaciones de los teoremas anteriores.
Procedimientos
1.
2.
Centro certificado
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Empleo de los teoremas de Tales, de la altura, del cateto y de Pitágoras para obtener
diferentes medidas en ciertos triángulos y otras figuras geométricas.
Resolución de problemas relacionados con formas geométricas utilizando lo teoremas
anteriores.
UD 7 – EJERCICIOS
1. Sabiendo que:
Calcula
2. Calcula la longitud del segmento B’A’:
3. Mide y comprueba que se cumplen las siguientes proporciones:
4. Calcula x e y utilizando las relaciones de semejanza:
5. Calcula mentalmente las distancias desconocidas:
6. Calcula en cada caso los valores desconocidos, x e y.
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7. Busca triángulos semejantes y, basándote en las relaciones existentes entre ellos, calcula a,
b y c.
PROBLEMAS DE SEMEJANZA
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1. A cierta hora del día, la sombra de Enrique mide 0,70 m y la de la torre de la iglesia 22.8 m. Si
la estatua de Enrique es de 1,75 m, ¿cuál es la altura de la torre?
2. Anabel ha fabricado con tres listones un instrumento para calcular la altura de los árboles. Si se
ha colocado a 20 m del tronco de cierto árbol y los listones han quedado como indica la figura,
¿cuál es la altura de ese árbol?
3.
Mercedes está en la orilla de la playa y ve una barca anclada mar adentro. Observa el método
que ha ideado para calcular la distancia x, de la barca a la orilla:
a. Ha clavado tres estacas A, B y C en las posiciones que ves en la figura.
b. Después se ha desplazado desde C, paralelamente a la orilla, hasta que B y la barca
han coincidido en la visual. Ese es el punto D.
c. Ha medido la distancia
= 70 m
¿Serías tú capaz, con estos datos, de calcular x?
4. Dispones de un listón de 1 m de longitud y de una cinta métrica. ¿Qué distancias
necesitarías medir para calcular la altura del árbol sin tener que subirte a la copa?
5. El ciclista acaba de coronar el puerto. ¿A qué altura se encontrará después de 4,5 km de
bajada? (La señal de tráfico indica que cada 100 m recorridos se descienden 8 m).
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6. Antonia mide 1.78 m y su sombra, ahora 1.23 m de largo. En ese mismo momento, el
edificio arroja una sombra de 31.08 m. ¿Cuál es la altura del edificio?
7. ¿A qué distancia de la pared habrá que colocar el foco para que la sombra ocupe una
superficie igual a cuatro pantallas?
8. María mira desde una altura de 1.75 m ¿A qué altura debe levantar la valla para no ver,
desde ningún punto de su patio, la casa del vecino?
TEOREMA DE PITÁGORAS
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1. Calcula en cada figura las distancias que se indican mediante una incógnita:
Ejercicios Teoremas de la altura y del cateto
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1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella
10.8 cm. Hallar el otro cateto.
2. En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9
metros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa
3. En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos se ha trazado la altura BH sobre la
hipotenusa. Halla, en cada caso, los segmentos x e y.
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4. Tenemos un triángulo rectángulo, de forma que la altura relativa a la hipotenusa determina
sobre ésta, dos segmentos de longitudes 1,8 cm y 3,2 cm. Halla:
a)La longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa.
b)Lalongitud de los catetos.
c)El área del triángulo
5. Tenemos un triángulo rectángulo, como el de la figura en el que se conoce la hipotenusa a=100
m. y el área A=2.400 m2. Halla:
a) La longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa.
b) la longitud de n
c) la longitud del cateto b.
6. Calcula la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa si esta mide 50 cm y el cateto mayor
40 cm.
7. La hipotenusa mide 25 cm, y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa 9 cm. Halla el
cateto mayor.
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8. La altura relativa a la hipotenusa mide 6 cm, y la proyección del cateto menor sobre la
hipotenusa, 4,5 cm. Halla la hipotenusa.
9. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 12 m y su proyección sobre la hipotenusa
mide 7,2 m. Calcula el área y el perímetro del triángulo.
10. Halla el perímetro del triángulo ABC del que conocemos AH = 9 cm, BH = 12 cm.
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TEOREMA DE PITÁGORAS, DE LA ALTURA Y DEL CATETO
1. Calcula la diagonal de un triángulo de lados 5 y 2 respectivamente.
2. Halla el perímetro de un triángulo isósceles, sabiendo que su lado desigual o base mide 18
cm y que la altura relativa a esta base mide 12 cm.
3. Un terreno tiene forma de trapecio isósceles y sus bases miden 16 cm y 10 cm. Calcula el
perímetro sabiendo que su altura es 4 cm.
4. Calcula los catetos x e y:
5. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 6 cm y su proyección sobre la
hipotenusa mide 3 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa? ¿Y el otro cateto?
6. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 6 cm y uno de los catetos 4 cm. ¿Cuánto
mide su proyección sobre la hipotenusa?
7. Calcula las incógnitas:
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Unidad 8: Probabilidad
Objetivos
1. Determinar y diferenciar los fenómenos aleatorios y deterministas.
2. Diferenciar experimentos aleatorios elementales y compuestos.
3. Distinguir los tipos de sucesos y operar con ellos.
Contenidos
Conceptos
1. Conocimiento experimental del carácter imprevisible del azar.
2. La probabilidad como medida del grado de posibilidad de que ocurra un suceso.
3. Lenguaje del azar: suceso, suceso seguro, suceso elemental, suceso imposible, suceso
compuesto, etcétera.
4. Espacio muestral. Sucesos elementales.
Procedimientos
1. Realización de experimentos aleatorios y determinísticos sencillos.
2. Conocimiento de los fenómenos típicos de azar.
3. Identificación de los posibles resultados del espacio muestral; primero, experimentando y,
después, deduciendo.
4. Manejo del lenguaje del azar: suceso, suceso seguro, suceso elemental, suceso imposible,
suceso compuesto, suceso contrario, etcétera.
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UD 8 – EJERCICIOS
1. Indica si estos experimentos son aleatorios y, en caso afirmativo, forma el espacio muestral.
a) Se extrae, sin mirar, una carta de una baraja española.
b) Se lanza un dado tetraédrico regular, cuyas caras están numeradas del 1 al 4, y se anota el
resultado de la cara oculta.
c) Se mide la longitud del perímetro de un cuadrado de 4 centímetros de lado.
2. Expresa el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios.
a) Se lanza una moneda y se anota el resultado de la cara superior.
b) Se lanza un dado de quinielas, (que tiene tres caras con un 1, dos caras con una X y una cara
con un 2) y se anota el resultado de la cara superior.
c) Se extrae una bola de una urna que contiene 8 bolas numeradas del 1 al 8, y se anota el número
de la bola extraída.
3. Se lanza una moneda de un euro y se anota el resultado de la cara superior.
a) Establece los distintos tipos de sucesos.
b) Escribe el espacio de sucesos.
c) Escribe el suceso contrario de “salir cara”.
4. Se lanza un dado con las caras numeradas del 1 al 6, y se anota el número de la cara superior.
Determina estos sucesos y sus contrarios.
a) A = “salir un número impar”. c) C = “salir un número mayor que 8”.
b) B = “salir un número mayor que 4”. d) D = “salir un número primo”
5. Sean los sucesos A = “hace sol” y B = “llueve”.
a) Escribe el espacio de sucesos. ¿Cuántos elementos tiene?
b) Si se añade el suceso C = “nieva”, ¿cuántos elementos tiene ahora?
c) Intenta generalizar: ¿cuántos elementos tiene el espacio de sucesos si el espacio muestral tiene
n elementos?
6. Se realiza un experimento que consiste en lanzar un dado con las caras numeradas
del 1 al 6 y anotar el número de la cara superior. Dados estos sucesos: A = {1, 2, 3}, B =
{2, 5, 6} y C = {3}, halla los sucesos:
7. En el experimento de lanzar un dado de 6 caras, considera los sucesos F = {2, 4} y G = {1, 4, 5, 6}.
8. Se considera el experimento aleatorio consistente en sacar una bola de una urna en la que hay 9
bolas numeradas del 1 al 9. Determina:
a) El espacio muestral.
b) El suceso A = “sacar un número par”.
c) El suceso B = “sacar un número mayor que 3”.
d) Los sucesos
. ¿Son A y B incompatibles?
e) El suceso contrario de B.
9. Se lanza un dado cúbico. Indica los sucesos elementales que forman cada uno de estos
sucesos.
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a) Sacar un múltiplo de 3.
b) Sacar un número menor que 4.
c) Sacar un 0.
d) Sacar un número primo mayor que 3.
e) Sacar un número menor que 7.
10. Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas y se consideran los sucesos: A =
“sacar una copa”; B = “sacar un rey”; C = “sacar una carta menor que 5”. Determina estos
sucesos.
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