Algebra Lineal: Espacios Generados

Algebra
Lineal:
Espacios
Generados
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Problemática
Teorema
Demostración
Ejemplo
Nota
Demostración2
Implicación
Introducción
En esta presentación veremos cómo comparar entre sı́ dos
espacios generados. Esto es relevante porque recordamos que
los espacios generados definen los conjuntos solución a SEL. De
manera que comparar si dos sistemas de ecuaciones son
equivalentes (es decir, con el mismo conjunto solución) será
verificado que los espacios generados que proporcionan sus
conjuntos solución son iguales. Esta pregunta de cómo se
comparan entre sı́ dos espacios es interesante por que en
general los espacios generados son infinitos, ¿cómo comparar
conjuntos infinitos? En esta presentación veremos el resultado
que permite hacer la comparativa. Que esencialmente dice que
la clave está en los conjuntos generadores; es decir, el caso
infinito se reduce al caso finito.
Cuando se dice comparar entre sı́ dos espacios generados, se
refiere a si uno de ellos está o no totalmente contenido en el
otro.
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Problemática
Teorema
Demostración
Ejemplo
Nota
Demostración2
Implicación
Problemática
• El problema del Algebra Lineal es: Resolver y analizar la
problemática relacionada con los sistemas de ecuaciones lineales.
• Resolver el sistema homogéneo:
x + 2y + w + 2t
2x + 4y − z + w + 5t
x + 2y + z + 2w + t
z +w −t
=
=
=
=
0
0
0
0
con el orden x → y → z → w → t lleva a la solución general

 
 

−2
−1
−2





1  
0  
0 



 
 

0  ,  −1  , 
1 
Gen 


 
 


0
1
0




0
0
1
y con el orden x → y → t → z → w lleva a

 
 

−2
−2
−3





1  
0  
0 



 
 

0
1
0
Gen 
,
,



 
 



0
0
1




0
1
1
¿Cómo entender esta diferencia? ¿Cómo no preocuparnos por
ella? ¿Cómo verificar que es la misma solución? Se requiere
comparar dos espacios generados.
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Intro
Teorema
Si V = Gen {x1 , · · · , xm }, y W = Gen {y1 , · · · , yk }
son conjuntos de vectores en Rn .
Todo vector xi (i = 1, 2, . . . , m) pertence a W si y
sólo si V ⊆ W .
Problemática
Teorema
Demostración
Ejemplo
Nota
W
x3
Rn
x1 V
x2
Demostración2
Implicación
Es decir, para verificar que un espacio generado V está
totalmente contenido en un espacio generado W , basta y sobra
que cada uno de sus generadores sea un elemento del espacio
W . Los elementos de un conjunto generador de un espacio
generado son como sus anclas: para que otro espacio generado
W lo contenga, basta y sobra que contenga todas sus anclas.
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Demostración
(Suficiencia) Supongamos que todo vector xi (i = 1, 2, . . . , m)
pertence a W . Veamos que V ⊆ W . Como
W = Gen {x1 , · · · , xm }, deben existir escalares cij para
i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , k tales que
Intro
Problemática
xi = ci1 y1 + · · · + cik yk
Teorema
Demostración
Ejemplo
Nota
Demostración2
Implicación
Sea w un vector de V cualquiera. Como
V = Gen {x1 , · · · , xm }, entonces deben existir escalares a1 ,
a2 ,. . . ,am tales que
v = a1 x1 + · · · + am xm
Sustituyendo cada xi obtenemos:
v = a1 (c11 y1 + · · · + c1k yk ) +
a2 (c21 y1 + · · · + c2k yk ) +
..
..
..
.
.
.
am (cm1 y1 + · · · + cmk yk )
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Demostración (continuidad)
Si desarrollamos los productos anteriores y agrupamos respecto
a los vectores yj obtenemos
Intro
Problemática
v = (a1 c11 + · · · + am cm1 )y1 + · · · + (a1 c1k + · · · + am cmk )yk
Teorema
Demostración
Ejemplo
Por consiguiente, cualquier vector v de V es combinación de los
vectores yj y por tanto, pertenece a W . Probando que V ⊆ W .
Nota
Demostración2
Implicación
(Necesidad) Supongamos ahora que V ⊆ W . Por tanto,
cualquier vector de V pertenece a W . En perticular,
pertenecen a W los vectores
xi = 0 · x1 + 0 · x2 + · · · + 1 · xi + · · · + 0 · xm
de donde se concluye que cada vector xi ∈ W .
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Intro
Problemática
Teorema
Demostración
Ejemplo
Nota
Demostración2
Implicación
Ejemplo
Diga si U ⊆ V , V ⊆ U, U = V , o no son comparables entre si,
donde







1
3
−2 

U = Gen u1 =  2  , u2 =  6  , u3 =  −4 


−1
−3
2



V = Gen v1 = 


 
4
1 


8 , v2 =
0 

−4
1
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Intro
Problemática
Veamos si U ⊆ V : De acuerdo al resultado previo debemos ver
si todo ui ∈ V . Para ello construimos




4 1
1
1 0 1/4
2 → 0 1
0 
[v1 , v2 |u1 ] =  8 0
−4 1 −1
0 0
0
Teorema
Demostración
Ejemplo
Nota
Demostración2
Implicación


1
4 1
3
6 → 0
[v1 , v2 |u2 ] =  8 0
−4 1 −3
0



4 1 −2
1
[v1 , v2 |u3 ] =  8 0 −4  →  0
−4 1
2
0


0 3/4
0 
1
0
0

0 −1/2
1
0 
0
0
Como cada sistema es consistente ui ∈ V y ası́
U = Gen {u1 , u2 , u3 } ⊆ V .
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Intro
Problemática
Veamos si V ⊆ U: De acuerdo al resultado previo
si todo vi ∈ U. Para ello construimos



1
3 −2
4
1



2
6 −4
8 → 0
[u1 , u2 , u3 |v1 ] =
−1 −3
2 −4
0
debemos ver

3 −2 4
0
0 0 
0
0 0
Teorema
Demostración
Ejemplo
Nota
Demostración2
Implicación




1
3 −2 1
1 3 −2 0
6 −4 0  →  0 0
0 1 
[u1 , u2 , u3 |v2 ] =  2
−1 −3
2 1
0 0
0 0
Ası́ al ser consistente el primer sistema se verifica que v1 ∈ U,
pero al ser inconsistente el segundo sistema v2 ∈
/ U. Por lo
tanto, V = Gen {v1 , v2 } * U.
Al haber probado las dos contenciones, concluimos que sólo se
cumple U ⊆ V .
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Intro
Problemática
Teorema
Demostración
Ejemplo
Nota
Demostración2
Implicación
Nota
• Note que para verificar que U ⊆ V , en lugar de revisar la
consistencia de [v1 v2 |u1 ], [v1 v2 |u2 ], y de [v1 v2 |u3 ] basta
• formar la aumentada [v1 v2 |u1 u2 u3 ];
• reducir y
• ubicar los pivotes:
• si todos los pivotes están a la izquierda, entonces la
contención se cumple:
• si hay al menos un pivote a la derecha, entonces la
contención no se cumple.
• Para que se cumpla la igualdad V = U debe verifica rque
se cumplen simultáneamente U ⊆ V y V ⊆ U.
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Problemática
Teorema
Demostración
Formulación 2
Teorema
Si
x1 ∈ Gen {y1 , y2 } y x2 ∈ Gen {y1 , y2 } ,
entonces
Ejemplo
Gen {x1 , x2 } ⊆ Gen {y1 , y2 } .
Nota
Demostración2
Implicación
Y recı́procamente:
Si
Gen {x1 , x2 } ⊆ Gen {y1 , y2 } ,
entonces
x1 ∈ Gen {y1 , y2 } y x2 ∈ Gen {y1 , y2 } .
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Intro
Demostración
Suficiencia Supongamos que: x1 ∈ Gen {y1 , y2 } y que
x2 ∈ Gen {y1 , y2 }. Ası́ existen escalares cij tales que
Problemática
Teorema
Demostración
Ejemplo
Nota
Demostración2
Implicación
x1 = c11 · y1 + c12 · y2 y x2 = c21 · y1 + c22 · y2
(1)
Si x es un vector cualquiera en Gen {x1 , x2 }, entonces deben existir
escalares a1 y a2 tales que
x = a1 · x1 + a2 · x2
sustituyendo (1) en la relación anterior
x = a1 · (c11 · y1 + c12 · y2 ) + a2 · (c21 · y1 + c22 · y2 )
desarrollando productos y agrupando respecto a las yi tenemos:
x = (a1 · c11 + a2 · c21 ) · y1 + (a1 · c12 + a2 · c22 ) · y2
Esto nos dice que x es una combinación lineal de y1 y y2 , por lo
tanto, x ∈ Gen {y1 , y2 }. Probando que Gen {x1 , x2 } ⊆ Gen {y1 , y2 }.
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Continuación
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Intro
Problemática
Teorema
Demostración
Ejemplo
Nota
Demostración2
Necesidad Supongamos que Gen {x1 , x2 } ⊆ Gen {y1 , y2 }, es decir
que cualquier elemento de Gen {x1 , x2 } también es elemento de
Gen {y1 , y2 }. Y por tanto, estamos suponiendo que cualquier
combinación lineal de x1 y de x2 también es elemento de
Gen {y1 , y2 }. Como
Implicación
x1 = 1 · x1 + 0 · x2
y
x2 = 0 · x1 + 1 · x2
concluimos que x1 ∈ Gen {y1 , y2 } y que x2 ∈ Gen {y1 , y2 }
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Matemáticas
Para la implicación: p → q:
Si en 4ABC las medidas de los lados son 5, 4 y 3,
entonces 4ABC es un triángulo rectángulo.
Intro
Sus variantes importantes son:
Problemática
Teorema
Demostración
• La recı́proca de la implicación q → p:
Si 4ABC es un triángulo rectángulo,
entonces en 4ABC las medidas de los lados son 5, 4 y 3.
Ejemplo
Nota
Demostración2
Implicación
• La inversa de la implicación ¬p → ¬q:
Si en 4ABC las medidas de los lados NO son 5, 4 y 3,
entonces 4ABC NO es un triángulo rectángulo.
• La contrapositiva de la implicación ¬q → ¬p:
Si 4ABC NO es un triángulo rectángulo,
entonces en 4ABC las medidas de los lados NO son 5, 4 y 3.
La implicación y su contrapositiva son lógicamente equivalentes. A
veces la implicación es cierta y su recı́proca no.
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Intro
Problemática
Teorema
Demostración
Para la implicación: p → q:
Si A · x = b tiene matriz de coeficientes cuadrada e invertible,
entonces A · x = b tiene solución única.
Sus variantes importantes son:
• La recı́proca de la implicación q → p:
Si A · x = b tiene solución única,
entonces A · x = b tiene matriz de coeficientes cuadrada e
invertible.
Ejemplo
Nota
Demostración2
Implicación
• La inversa de la implicación ¬p → ¬q:
Si A · x = b NO tiene matriz de coeficientes cuadrada e
invertible,
entonces A · x = b NO tiene solución única.
• La contrapositiva de la implicación ¬q → ¬p:
Si A · x = b NO tiene solución única,
entonces A · x = b NO tiene matriz de coeficientes cuadrada e
invertible.
La implicación y su contrapositiva son lógicamente equivalentes. A
veces la implicación es cierta y su recı́proca no.
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Matemáticas
Para la implicación: p → q:
Si 4ABC cumple el teorema de Pitágoras,
entonces 4ABC es un triángulo rectángulo.
Intro
Sus variantes importantes son:
Problemática
Teorema
Demostración
• La recı́proca de la implicación q → p:
Si 4ABC es un triángulo rectángulo,
entonces 4ABC cumple el teorema de Pitágoras.
Ejemplo
Nota
Demostración2
Implicación
• La inversa de la implicación ¬p → ¬q:
Si 4ABC NO cumple el teorema de Pitágoras,
entonces 4ABC NO es un triángulo rectángulo.
• La contrapositiva de la implicación ¬q → ¬p:
Si 4ABC NO es un triángulo rectángulo,
entonces 4ABC NO cumple el teorema de Pitágoras.
Aunque no son todas sı́ hay implicaciones donde su recı́proca también
es cierta.