Ceros de funciones Índice - Universitat Politècnica de Catalunya

Ceros de funciones Índice - Universitat Politècnica de Catalunya

Ceros de funciones
Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)
Departament de Matemàtica Aplicada III
Universitat Politècnica de Catalunya (Spain)
http://www-lacan.upc.es
Índice
Objetivos
Esquemas iterativos
• Criterios de parada
Método clásicos (bisección, Newton, secante)
Consistencia y convergencia
Velocidad de convergencia
Análisis de convergencia
Métodos híbridos
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Objetivos
Aprender a resolver ecuaciones
con f una función real de variable real no lineal.
Entender cómo funciona un algoritmo iterativo
Saber utilizar algunos métodos clásicos (bisección,
Newton, secante) y conocer sus características
principales.
Ser capaz de analizar la características de un esquema
iterativo para resolver ceros de funciones (convergencia
y consistencia).
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Esquemas iterativos
Objetivo:
calcular α solución de una ecuación no lineal f(x) = 0
Esquema iterativo:
Dada una aproximación inicial x0, se calculan los términos de
una sucesión
x0, x1, x2, x3...
Hasta obtener un valor xk suficientemente bueno (similar a α).
¿Cómo se escoge la aproximación inicial x0?
usuario, búsqueda automática …
¿Cómo se construyen los términos de la sucesión?
método iterativo
¿Cuándo se para el proceso iterativo?
criterios de convergencia
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2
Criterios de convergencia
Una sucesión {xk} converge a α si
Dividiendo por α :
Diremos que una aproximación xk es suficientemente buena
si
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En la práctica, supondremos que
utilizaremos como criterio de convergencia
y
Para tener en cuenta el caso α=0 se utiliza el siguiente
criterio ampliado:
En algunos casos se puede verificar este criterio aun estando
lejos de la solución del problema. Para evitarlo, basta tener
en cuenta que si {xk} converge a α entonces
Por esto, es conveniente utilizar un criterio complementario
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3
Método de la bisección
Idea:
Utilizando el teorema de Bolzano, determinar un intervalo
(tan pequeño como se quiera) que contenga la solución
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Algoritmo del método de la bisección
Inicialización
1. Contador de iteraciones k = 0
2. Aproximaciones iniciales x0, a tales que f(x0)f(a) < 0
Iteración k
3. Calcular el punto medio del intervalo xk+1 = (xk+a)/2
4. Evaluar la función en la nueva aproximación
5. Si xk+1 es suficientemente buena Parar
Si no Actualización
Actualización
6. Si f(xk+1)f(xk) < 0 a = xk
7. k = k+1
8. Volver a 3
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4
Propiedades del método de la bisección
Requisitos
f continua
aproximaciones iniciales x0 y a tales que f(x0)f(a) < 0
Características
convergencia lineal
robusto (si se verifican los requisitos, podemos asegurar
que el algoritmo converge)
Problemas
lentitud
no se tienen en cuenta las características de la función f
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Método de Newton
Idea:
Aproximar la función por la recta tangente (Taylor de primer
orden) e imponer que la siguiente aproximación sea solución
de la ecuación
Escribiremos
y entonces
Imponiendo que xk+1 sea solución se obtiene
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5
Interpretación gráfica del método de Newton
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Algoritmo del método de la Newton
Inicialización
1. Contador de iteraciones k = 0
2. Aproximaciones iniciales x0
Iteración k
3. Evaluar la función f en el punto xk
4. Evaluar la derivada de la función f ’ en el punto xk
5. xk+1= xk - f(xk) / f ’ (xk)
6. Si xk+1 es suficientemente buena Parar
Si no k = k+1
Volver a 3
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6
Propiedades del método de Newton
Requisitos
f tiene que ser derivable
la derivada de f tienen que ser siempre diferente de cero
Características
convergencia cuadrática (si la aproximación inicial es
suficientemente buena y la derivada está bien calculada)
método caro: en cada iteración se evalúa la función y su
derivada
Problemas
coste por iteración elevado
es necesario calcular la derivada de la función
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Método de la secante
Idea:
Utilizar el esquema del método de Newton aproximando la
derivada de la función por la pendiente de la recta que pasa
por las dos aproximaciones anteriores
En cada iteración, se calcula la aproximación como
El incremento es
donde sk es la pendiente de la recta que pasa per xk y xk-1
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Interpretación gráfica del método de la secante
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Algoritmo del método de la secante
Inicialización
1. Contador de iteraciones k = 0
2. Aproximaciones iniciales x0, x1
Iteración k
3. Evaluar la función f en el punto xk
4. Calcular la aproximación de la derivada
5. xk+1= xk - f(xk) / sk
6. Si xk+1 es suficientemente buena Parar
Si no k = k+1
Volver a 3
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Métodos iterativos para resolver F(z) = 0
Controles de convergencia:
y
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Consistencia y convergencia
Esquema iterativo:
función de iteración.
Ejemplo: para el método de Newton, la función de iteración
es
1. Consistencia: se dice que el esquema es consistente si y
sólo si α es un punto fijo de φ:
2. Convergencia:
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Convergencia
Convergencia lineal (orden 1)
Convergencia de orden p>1
(convergencia cuadrática para p=2)
Convergencia superlineal
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Velocidad de convergencia
para esquemas lineales
Esquema iterativo con convergencia lineal
Iteración k-ésima
con
≠0
Pregunta: ¿cuántas iteraciones ν más hay que hacer para
conseguir m cifras correctas más?
¿ν tal que
?
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Por lo tanto, basta con
donde
velocidad de convergencia
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Análisis de la convergencia
Objetivo: estudiar la convergencia y el orden de
convergencia de un esquema iterativo
consistente para el cálculo de una raíz
Si
Asintóticamente
(cerca de la raíz)
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Si
con
Si
convergencia lineal
no convergente
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Si
Si
y
convergencia de orden p
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Ejemplo convergencia del método de
Newton
Conv. lineal
Conv. cuadrática
La convergencia es cuadrática cerca de la raíz
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Veámoslo con otro ejemplo:
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Aproximación inicial: 4
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Análisis de la convergencia (1)
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Análisis de la convergencia (2)
Factor asintótico
de convergencia
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Métodos híbridos
Idea: combinar:
•
La robustez del método de la bisección para acercarse
a la raíz
•
La velocidad de los métodos de Newton o secante (o
similares) cerca de la raíz
1. Método híbrido bisección-secante:
Si el paso con método de la secante es muy grande,
se recurre a la bisección
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2. Método de Brent (función fzero de Matlab)
Combinación de:
•
Bisección
•
Interpolación cuadrática inversa:
Tres puntos [a,f(a)], [b,f(b)], [c,f(c)]
Ajuste de función cuadrática inversa (x función
cuadrática de y)
se toma su valor en y=0 como siguiente x
Ref.: Numerical recipes
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Referencias
Huerta, A.; Sarrate, J.; Rodríguez-Ferran, A., Métodos
Numéricos. Introducción básica. Aplicaciones y
programación, Aula Politécnica 53, Edicions UPC, 2001
(tercera edición)
Hoffman, J.D., Numerical methods for engineers and
scientists, McGraw-Hill, 1992
Ralston, A.; Rabinowitz, P., A first course in numerical
analysis, 2nd edition,McGraw-Hill, 1978
Isaacson, E.; Keller, H.B., Analysis of numerical
methods, Wiley, 1966
Stoer, J.; Bulirsch, R., Introduction to numerical analysis,
Springer-Verlag, 1980
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