Capítulo III: Fórmulas generales

Fórmulas generales
III
FÓRMULA DE LA POTENCIA
Las fórmulas vistas en el capítulo anterior fueron muy específicas para integrales de x
elevada a cualquier potencia; sin embargo, no siempre, o más bien, pocas veces lo que está elevado
a la potencia n es la pura variable x , sino una función completa. Para eso, de manera muy similar
a lo que ocurrió con las derivadas, se requieren fórmulas generales. Todas las fórmulas que se verán
de aquí en adelante son fórmulas generales, es decir en términos de u , no de x.
Y algo muy importante: para cada fórmula general debe emplearse un procedimiento llamado
cambio de variable, el cual se explicará con detalle en cada uno de los ejemplos siguientes. El
estudiante que no aprenda, a hacer cambios de variable para integrar, está condenado a no poder
integrar ninguna función.
De manera muy general, los pasos fundamentales en todo cambio de variable son:
a) Seleccionar u;
b) Una vez hecha la elección de u, calcular inmediatamente después la diferencial de u, es decir, du.
Todo cambio de variable debe transformar la integral original en una fórmula.
17
Fórmulas generales
FÓRMULAS GENERALES:
(6)
un +1
∫ u du = n + 1 + c
(7)
∫
n
,
para n ≠ − 1
du
= lnu + c
u
La fórmula (6) puede emplearse siempre que n sea diferente de menos uno, ya que si vale
menos uno el denominador de la fórmula se vuelve cero y hay que recordar que en matemáticas no
se vale dividir entre cero porque da infinito.
En caso de que n valga menos uno se obtiene realmente la fórmula (7).
Ejemplo 1: Integrar
Solución:
∫ ( 3x − 2 )
7
dx
Obsérvese que lo que está elevado a la séptima potencia no es la variable x , sino el polinomio
3 x − 2 . Por lo tanto, no puede emplearse la fórmula (2), sino la (6), lo que significa que u debe
ser 3x - 2.
Si
u = 3x - 2,
du = 3dx
entonces calculando la diferencial de u se obtiene que
La fórmula (6) habla de
∫ u du , es decir que no basta tener identificado qué es u, sino que pide
n
tener la diferencial de u, o sea, du. En este ejemplo, dicha diferencial du es 3dx, lo que significa
que para poder emplear la fórmula (6) debe tenerse en la integral original 3dx. Pero nada más
se tiene dx, le falta el 3.
Si la integral original se multiplica por 3 se consigue tener 3dx; pero si se hace esto, para que
siga siendo lo mismo debe dividirse también entre 3. Haciéndolo:
18
Fórmulas generales
∫ ( 3x − 2 )
7
7 ⎛ 1 ⎞
dx = ∫ ( 3 x − 2 ) ⎜ ⎟ ( 3) dx
⎝ 3⎠
se divide y se multiplica por tres al mismo tiempo
Por la fórmula (3) de la página 9, cualquier constante que esté multiplicando se puede echar
afuera de la integral, por lo que la fracción un tercio se echa para afuera, quedando:
∫ ( 3x − 2 )
7
dx =
1
7
3 x − 2 ) 3N
dx
(
∫
3 u
du
En este momento se ha completado el cambio de variable y la integral original convertida en
fórmula ya puede escribirse como
∫ ( 3x − 2 )
7
dx =
1
u 7 du
3 ∫
1 ⎡ u7 + 1 ⎤
u8
= ⎢
+c
⎥+c=
3 ⎣ 7 +1 ⎦
24
Una vez integrado al haber aplicado la fórmula correspondiente, se debe regresar a la variable
original, sustituyendo u por lo que vale. En este caso, recordar que u = 3x - 2:
∫ ( 3x − 2 )
( 3x − 2 )
8
7
dx =
19
24
+c
Fórmulas generales
Ejemplo 2: Integrar
Solución:
∫
11x + 8 dx
Debe escribirse como
∫ (11x + 8)
1/ 2
dx
Obsérvese que lo que está elevado a la potencia un medio no es la variable x , sino el polinomio
11x + 8. Por lo tanto, no puede emplearse la fórmula (2), sino la (6), lo que significa que u debe
ser 11x + 8.
Si
u = 11x + 8
du = 11dx
,
La fórmula (6) habla de
entonces calculando la diferencial de u se obtiene que
∫ u du , es decir que no basta tener identificado qué es u, sino que pide
n
tener la diferencial de u, o sea, du. En este ejemplo, dicha diferencial du es 11dx, lo que significa que para poder emplear la fórmula (6) debe tenerse en la integral original 11dx. Pero nada
más se tiene dx, le falta el 11.
Si la integral original se multiplica por 11 se consigue tener 11dx; pero si se hace esto, para que
siga siendo lo mismo debe dividirse también entre 11. Haciéndolo:
∫ (11x + 8)
1/ 2
1/ 2 ⎛ 1 ⎞
dx = ∫ (11x + 8) ⎜ ⎟ (11) dx
⎝ 11 ⎠
se divide y
se multiplica por 11 al mismo tiempo
Por la fórmula (3) de la página 9, cualquier constante que esté multiplicando se puede echar
afuera de la integral, por lo que la fracción un onceavo se echa para afuera, quedando:
20
Fórmulas generales
∫(11x + 8)
1/ 2
dx =
1
1/ 2
dx
11x + 8) 11
(
∫
N
11
u
du
En este momento se ha completado el cambio de variable y la integral original convertida en
fórmula ya puede escribirse como
∫ (11x + 8 )
1/ 2
dx =
1
u 1/ 2 du
∫
11
⎡ 1 +1 ⎤
⎡
2
⎢
⎥
1 u
1 ⎢ u3 / 2
c
=
+
=
⎢
⎥
⎢
11 ⎢ 1 + 1 ⎥
11 ⎢ 3
⎣ 2
⎦
⎣ 2
⎤
⎥
⎥+c
⎥
⎦
2 u3 / 2
=
+c
33
Una vez integrado al haber aplicado la fórmula correspondiente, se debe regresar a la variable
original, sustituyendo u por lo que vale. En este caso, recordar que u = 11x + 8:
∫
Ejemplo 3: Integrar
Solución:
∫
11x + 8 dx =
2 (11x + 8 )
33
3/ 2
+c
dx
4 x − 10
En este caso, la fórmula a emplear es la (7), para lo cual debe hacerse
21
Fórmulas generales
u = 4x - 10
du = 4dx
de donde
La fórmula (7) habla de
∫
du
, es decir que no basta tener identificado qué es u, sino que
u
pide tener la diferencial de u, o sea, du. En este ejemplo, dicha diferencial du es 4dx, lo que
significa que para poder emplear la fórmula (7) debe tenerse en la integral original 4dx. Pero
nada más se tiene dx, le falta el 4.
Si la integral original se multiplica por 4 se consigue tener 4dx; pero si se hace esto, para que
siga siendo lo mismo debe dividirse también entre 4. Haciéndolo:
∫
dx
=
4 x − 10 ∫
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ ( 4 ) dx
⎝ 4 ⎠
4 x −10
Por la fórmula (3) de la página 9, cualquier constante que esté multiplicando se puede echar
afuera de la integral, por lo que la fracción un cuarto se echa para afuera, quedando:
∫
dx
1
=
4 x − 10
4
1
4
∫
∫
4 dx
4 x − 10
du
1
= ln u + c
u
4
Y regresando a la variable original, sustituyendo u por 4x - 10:
∫
dx
1
=
ln ( 4 x − 10 ) + c
4 x − 10
4
22
du
u
Fórmulas generales
Ejemplo 4: Integrar
Solución:
2
∫ x ( 5 x − 6 ) dx
4
La integral se puede escribir como
∫ (5x
2
− 6 ) x dx . Si se hace u = 5x2 - 6, entonces su dife4
rencial es du = 10x dx. En la integral original solamente se tiene x dx, por lo que le falta un 10
multiplicando, pero para que no se altere, se debe dividir entre 10 también.
Por lo visto en los ejemplos anteriores, en estos momentos ya se sabe que el factor
sirve”, por lo que se tiene que sacar de la integral. Resulta:
∫ ( 5x
2
− 6 ) x dx =
4
4
1
5 x 2 − 6 ) 10 x dx
(
∫
10 u
=
1
10
∫
du
u 4 du =
1 ⎡ u4 + 1 ⎤
⎢
⎥+c
10 ⎣ 4 + 1 ⎦
1 ⎡ u5 ⎤
u5
=
+c
⎢
⎥+c=
10 ⎣ 5 ⎦
50
Y regresando a la variable original, sabiendo que u = 5x2 - 6, se llega a:
∫ x (5x
2
− 6 ) dx =
4
23
(5x
2
− 6)
50
5
+c
1
“no
10
Fórmulas generales
Ejemplo 5: Integrar
Solución:
Sea
∫
4 x dx
(7x
2
− 9)
u = 7x 2 - 9 ,
3
de donde
du = 14x dx
Si en la integral original estuviera en el numerador 14x dx en vez de 4x dx , se tendría la diferencial de u , o sea du, que es lo que pide la fórmula; pero no es así. Sin embargo, el problema
se arregla muy fácil: la constante 4 que “no sirve” se echa para fuera de la integral. Luego se
multiplica y se divide simultáneamente por 14, lo que queda así:
4∫
( 141 ) (14 ) x dx
(7x
− 9)
2
3
=
=
4
14
∫
4
14
∫
du
u
14 x dx
(7x
2
− 9)
3
du
2
=
3
u
7
∫
u − 3 du
2 ⎡ u− 3 + 1 ⎤
2 ⎡ u− 2 ⎤
= ⎢
⎥+c= ⎢
⎥+c
7 ⎣ − 3 +1 ⎦
7 ⎣ −2 ⎦
=
2
+c
− 14 u 2
Simplificando y regresando a la variable original se llega finalmente a
∫
4 dx
(7x
2
− 9)
3
=−
1
7 ( 7 x2 − 9)
2
+c
Otra forma más directa de hacer el cambio de variable es multiplicando por
24
4
14
y
14
4
así:
Fórmulas generales
Sea
u = 7x 2 - 9 ,
du = 14x dx
de donde
∫
⎛ 4 ⎞ ⎛ 14 ⎞
⎜
⎟⎜
⎟ 4 x dx
4
⎝ 14 ⎠ ⎝ 4 ⎠
=
3
2
14
(7 x − 9 )
∫
⎛ 14 ⎞
⎜
⎟ 4 x dx
⎝ 4 ⎠
(7 x
2
− 9)
3
du
u
4
14
∫
=
4
14
∫
=
2 ⎡ u− 3 + 1 ⎤
2 ⎡ u− 2 ⎤
c
+
=
⎢
⎥
⎢
⎥+c
7 ⎣ − 3 +1 ⎦
7 ⎣ −2 ⎦
=
2
+c
− 14 u 2
=
14 xdx
(7x
2
− 9)
du
2
=
3
u
7
3
∫
u − 3 du
Simplificando y regresando a la variable original se llega finalmente a
∫
4 dx
(7x
2
− 9)
3
=−
1
7 ( 7 x2 − 9)
2
+c
COMPROBACIÓN: La comprobación consiste simplemente en derivar el resultado obtenido:
⎛
⎞
⎛
d ⎜
1
1
⎟ = d ⎜−
−
+
c
2
⎟ dx ⎜ 7 7 x 2 − 9 2
dx ⎜ 7 ( 7 x 2 − 9 )
(
)
⎝
⎠
⎝
25
⎞
⎟+ d c
⎟ dx
⎠
Fórmulas generales
⎛
1 d ⎜
1
=−
2
7 dx ⎜ ( 7 x − 9 )2
⎝
⎞
⎟+0
⎟
⎠
=−
−2
1 d
7 x2 − 9)
(
7 dx
=−
1
7
− 2 −1 d
⎡
⎤
2
7 x2 − 9 )⎥
(
⎢− 2 ( 7 x − 9 )
dx
⎣
⎦
=−
1
7
⎡ − 2 ( 7 x 2 − 9 )− 3 (14 x ) ⎤
⎢⎣
⎥⎦
=
28 x
7 ( 7 x2 − 9)
3
⎡
⎤
d ⎢
1
4x
⎥=
−
+
c
2
2
2
⎥ ( 7 x − 9 )3
dx ⎢ 7 ( 7 x − 9 )
⎣
⎦
Que es lo que se integró.
Ejemplo 6: Integrar
Solución:
Sea
∫ ( x − 1) ( x
u = x2 - 2x - 8
du = (2x - 2) dx
2
− 2 x − 8 ) dx
7
de donde
Si se multiplica por 2 la integral original se obtiene la diferencial de u .Obviamente, debe
dividirse también entre 2:
1
2
∫ 2 ( x − 1) ( x
2
− 2 x − 8 ) dx =
7
26
1
2
x − 2 x − 8 ) ( 2 x − 2 ) dx
∫ (
2
7
Fórmulas generales
∫ ( x − 1) ( x
Ejemplo 7: Integrar
Solución:
Sea
∫
1
2
=
1 ⎡ u8 ⎤
u8
+
=
+c
c
⎢
⎥
2 ⎣ 8 ⎦
16
∫
(x
− 2 x − 8 ) dx =
7
2
1 ⎡ u7 + 1 ⎤
⎢
⎥+c
2 ⎣ 7 +1 ⎦
=
2
u 7 du =
− 2 x − 8)
8
16
+c
( 5 x − 10 ) dx
3 x 2 − 12 x + 1
u = 3x2 - 12x + 1
du = (6x - 12)dx
de donde
Los ejemplos anteriores deben haber capacitado al alumno para que sea capaz en este ejemplo
de analizar por su propia cuenta el manejo de las constantes que se va a hacer:
∫
( 5 x − 10 ) dx
3 x 2 − 12 x + 1
5 ( x − 2 ) dx
=∫
3x 2 − 12 x + 1
6 ( x − 2 ) dx
= 5∫
27
6
3 x 2 − 12 x + 1
( 6 x − 12 ) dx
=
5
6
∫
=
5
6
∫ ( 3x
3 x 2 − 12 x + 1
2
− 12 x + 1)
−1/ 2
( 6 x − 12 ) dx
Fórmulas generales
=
5
6
∫
u − 1 / 2 du
⎡ − 1 +1 ⎤
⎥
5 ⎢ u 2
= ⎢
⎥+c
6 ⎢ − 1 +1 ⎥
⎣ 2
⎦
⎡
⎤
5 ⎢ u1 / 2 ⎥
= ⎢
⎥+c
6 ⎢ 1 ⎥
⎣ 2 ⎦
( 5 x − 10 ) dx
∫
Ejemplo 8: Integrar
Solución:
Sea
∫
3 x 2 − 12 x + 1
=
5 ⎡
2
6 ⎣
=
5
3 x 2 − 12 x + 1 ⎤ + c
⎦
3x 2 − 12 x + 1
+c
3
( 3x + 12 ) dx
x2 + 8x − 7
u = x2 + 8x - 7
du = (2x + 8)dx
, de donde
Nuevamente se deja al estudiante analizar por su propia cuenta el manejo de las constantes que
se va a hacer:
∫
( 3x +12 ) dx
x + 8x − 7
2
=∫
28
3 ( x + 4 ) dx
x2 + 8x − 7
Fórmulas generales
( 12 ) ( 2 )( x + 4 ) dx
= 3∫
x2 + 8x − 7
=
3
2
∫
=
3
2
∫
( 2 x + 8 ) dx
x + 8x − 7
2
du
u
du
3
= ln u + c
u
2
Y regresando a la variable original se llega a que
∫
Ejemplo 9: Integrar
Solución:
Sea
∫
( 3x + 12 ) dx
x + 8x − 7
2
=
3
ln ( x 2 + 8 x − 7 ) + c
2
e 2 x dx
e 2 x + 10
u = e2x + 10
du = 2e 2x dx
, de donde
Entonces
∫
e 2 x dx
1
=
2x
e + 10
2
∫
2e 2 x dx
e 2 x + 10
1
2
∫
du
1
= ln u + c
2
u
=
Y regresando a la variable original:
∫
e 2 x dx
1
= ln ( e 2 x + 10 ) + c
2x
e + 10
2
29
du
u
Fórmulas generales
EJERCICIO 21
Realizar las siguientes integrales por medio de un cambio de variable:
1)
∫ (13x − 12 )
3)
∫
5)
∫ (15 x + 11)
7)
∫ x ( 3x
9)
6 dx
2
8
∫ ( x + 8) ( 5x
13)
( 4x
∫ x
(
2
3
∫
3
∫ ( 2 − 19x )
4)
∫
dx
8 x − 13
6)
∫
2 dx
8)
∫
11
10)
6 x 2 + 3 x + 11 dx
12)
∫
14)
∫
+ 9x)
5
2)
+ 80 x + 22 ) dx
3
2
+ 12 ) dx
∫ ( 3 x − 3)
(8 x
9
− 11) dx
∫ ( 4 x + 1)
17)
dx
7 x − 15 dx
11)
15)
7
2
(5x
2
− 10 x + 9 )
2
dx
16)
+ 8 x ) dx
18)
x4 + 2x2 − 9
30
∫
∫
∫
dx
9 − 4x
3 x dx
( 3x
2
− 1)
4
( x − 1) dx
(4x
2
− 8x )
6
(10 x + 15) dx
7 x 2 + 21x − 9
e3 x ( e3 x − 8 ) dx
5
( 4x
4
(8x
(7x
( 2x
3
3
2
2
+ 2 ) dx
+ 12 x − 1)
+ 7 x ) dx
+ 3x 2 − 9 )
8
3