006 Vamos a efectuar previamente unos cálculos básicos: y = x5 + 4

006 Vamos a efectuar previamente unos cálculos básicos: y = x5 + 4

Curso ON LINE
006
Tema 7
Dada la función y = x5 + 4 , calcula:
(a) Dominio de la función.
(b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
(c) Puntos máximos y mínimos.
(d) Puntos de inflexión.
(e) Haz un esbozo de la gráfica de la función.
2B
RESOLUCIÓN
Vamos a efectuar previamente unos cálculos básicos:
y = x5 + 4
Æ
y' = 5x4
y'' = 20x3
Æ
Æ y''' = 60x2
RESOLUCIÓN apartado a
Al tratarse de una función polinómica sencilla:
Dom (y) = (- ∞, + ∞) = = { ∀x∈ℜ}
RESOLUCIÓN apartado b
Una función "y" se dice que es estrictamente creciente cuando verifica que
estrictamente decreciente cuando verifica y' < 0
y' > 0 y
Estudiamos el signo de esta nueva función derivada. Comprobamos los valores que nos hacen el
polinomio
5x4 = 0 Æ x = 0
Este valor determina 2 intervalos en la recta real:
¿?
¿?
ℜ
0
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos intervalos
5x4
y'
y
x<0
+
y' > 0
Estrictamente creciente
x>0
+
y' > 0
Estrictamente creciente
La función es estrictamente creciente en todo su dominio.
RESOLUCIÓN apartado c
La función "y" alcanzará un máximo o un mínimo cuando y'= 0
y' = 5x4 = 0
x1 = 0 ¿máximo o mínimo?
Para averiguarlo estudiamos la derivada segunda:
y'' = 20x3
y''(0) = 20 · 03 = 0
No existe ni máximo ni mínimo
RESOLUCIÓN apartado d
Puede haber un punto de inflexión. Estudiamos la derivada tercera:
y'' = 20x3 = 0
x=0
y''' = 60x2
y'''(0) = 60·02 → y''' = 0
Se trata de un caso dudoso. No podemos decir todavía que para x = 0 hay un punto de inflexión.
Para estudiar estos casos dudosos observemos que si x0 es un inflexión de f, la función en las
proximidades de x0 debe cambiar de concavidad:
x ∈ (- δ, 0) Æ f''(x) = 20x3 Æ
(tomamos un x muy pequeño y negativo) f''(x) < 0 función cóncava hacia abajo (convexa).
x ∈ ( 0, +δ) Æ f''(x) = 20x3 Æ
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 Abel Martín
"Estudio local de una función"
(tomamos un x muy pequeño y positivo)
f''(x) > 0 función cóncava hacia arriba (cóncava).
Por lo tanto, en x0 = 0 la función cambia de concavidad y en consecuencia tiene un punto de inflexión.
y = x5 + 4
x = 0 Æ f(0) = 05 + 4 = 4
La función presenta un punto de inflexión en (0, 4)
Punto de inflexión
2
Máximo
Matemáticas y TIC
Mínimo