V Jornades de l`Assocoació Catalana de GeoGebra Voronoi, el

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V Jornades de l’Assocoació Catalana de GeoGebra
Voronoi, el fútbol y otros problemas
Leandro Tortosa Grau
Universidad de Alicante
www.dccia.ua.es/~tortosa
[email protected]
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Dado un conjunto de puntos, el diagrama de Voronoi de esos puntos divide al plano
en polígonos. En cada polígono encontramos un único punto del conjunto y está
formado por los puntos del plano que se encuentran más cerca de ese punto que
de cualquier otro del conjunto de puntos dado.
H(A,Pi) = semiplano formado por los puntos más cercanos a A que a otro punto Pi.!
VA representa al conjunto de puntos que se encuentra más cerca
de A que de cualquier otro punto del conjunto S.!
Diagrama'de'Voronoi'
V Jornades de l Associació Catalana de GeoGebra!
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Leandro Tortosa, Universidad de Alicante
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Diagramas de Voronoi
Se puede construir por medio de intersecciones de los
hiperplanos que se obtienen a partir de las mediatrices que se
generan tomando los puntos de dos en dos.
EJEMPLO CON 4 PUNTOS
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GEOGEBRA 4!
Voronoi[<Lista de puntos>]!
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Un problema de localización de servicios.
En el verano de 2012 se han producido por toda España una serie
de devastadores incendios que han destruido muchas miles de
hectáreas de bosques, cuya pérdida es difícilmente reparable. Uno
de estos incendios se ha producido en la provincia de Alicante, en
un paraje de incalculable valor ecológico, como es el parque natural
de la sierra de Mariola, próxima a los municipios de Alcoy y
Cocentaina.
Debido al alto valor de la flora y la fauna del lugar es necesario
proteger la misma de este tipo de catástrofes.
Para proteger la zona, nos planteamos establecer cinco bases con
servicios básicos que cubran la parte central del parque natural y
en la que se puedan establecer unos puestos de control, con
material humano y técnico para la prevención de incendios y
auxilio en caso de accidentes u otro tipo de incidencias.
Deseamos que las bases con los servicios básicos se encuentren
repartidas por la zona de manera que abarquen zonas más o menos
proporcionales, sin que ninguna de ellas tenga bajo su control un
área desproporcionadamente grande frente a las otras.
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Mapa de la sierra de Mariola, con la red de crreteras, caminos y caminos forestales (obtenido de Google maps).
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INSERTAMOS 5 PUNTOS EN POSICIONES AL
AZAR, REPRESENTANDO LAS BASES QUE
QUEREMOS REPARTIR POR LA ZONA.
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¿Estarán situados correctamente estos puntos, de
manera que cubran un área similar?
VORONOI
Voronoi nos proporciona una idea gráfica del área que abarca cada uno de los puntos. Podemos
tomar como puntos base para la creación del diagrama de Voronoi los puntos A, B, C, D, E que
hemos creado manualmente en el dibujo. Posteriormente, podemos utilizar el comando de
Geogebra
Voronoi[A,B,C,D,E],
para que nos dibuje las distintas regiones de Voronoi asociadas a cada punto.
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¿Son estos puntos realmente
importantes dentro de la red de
caminos y pistas forestales?
Estudio de la red
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MenorDistancia[ <lista aristas>, D, E, true ]
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MenorDistancia[ <lista aristas>, A, C, true ]
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Pasamos los datos a un programa de
análisis de redes complejas. En este caso
hemos usado GEPHI.
GEPHI
Medi ante G HEPHI podemos
estudiar la centralidad de los nodos
del mismo, que nos proporciona
una medida de la importancia de
los nodos dentro de la red.
Analizamos las siguientes medidas
de centralidad:
- grado
- closeness
- betweenness
La medida betweenness nos
proporciona la importancia de cada
nodo teniendo en cuenta la
proporción del conjunto de
caminos más cortos entre dos
nodos cualesquiera de la red,
pasando por ese nodo respecto a
todos los posibles caminos más
cortos entre los dos nodos
elegidos.
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Grados
RED
GEPHI
Closeness
Betweenness
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¿Jugaba Voronoi al fútbol?
¿Podemos analizar el juego del Barça a través de
las posiciones de sus jugadores?
¿Qué conceptos geométricos podemos aplicar en
este análisis?
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ESPN Deportes
http://espndeportes.espn.go.com/?cc=7586
Imagen de posiciones promedio.
Aplicamos el diagrama de Voronoi a las posiciones promedio de los jugadores a lo
largo del partido. El diagrama de Voronoi nos permite visualizar las posiciones
medias de los jugadores, así como el área del campo cubierta por cada uno. Este
diagrama nos permite extraer interesantes conclusiones como se desprende de
los ejemplos estudiados.
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Ejemplo: Celtic - Barça
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Ejemplo: Barça - Bilbao
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Algunos problemas interesantes
?
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Estadística de la posición de
Messi durante el partido
Barça-Bilbao.
¿Cuál es su posición media?
¿Cómo podemos calcular el centro de gravedad de un
polígono?
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