Ejercicio práctico de variables aleatorias discretas y distribuciones

Transcripción

Notas de Estadística Aplicada a la Administración, Contaduría, Informática Administrativa I y Negocios y Comercio Internacionales.
Dr. Francisco Javier Tapia Moreno. Abril de 2011.
Ejercicio práctico de variables aleatorias discretas y distribuciones de una variable aleatoria discreta.
1.
Con los registros de la compañía de los últimos 500 días hábiles, el gerente de Polaris Motors, una distribuidora
regional de automóviles, elaboró un resumen del número de autos vendidos por día el cual aparece en la tabla
siguiente:
Número de autos por día
Frecuencia de ocurrencia
a)
b)
c)
d)
2.
3.
4.
0
40
1
100
2
142
3
66
4
36
5
30
6
26
7
20
8
16
9
14
10
8
11
2
Total
500
Obtenga la distribución de probabilidad empírica (es decir, la distribución de frecuencias relativas) para la variable
aleatoria discreta X, el número de automóviles vendidos por día.
Calcule la media o el número esperado de automóviles vendidos por día.
Calcule la desviación estándar.
¿Cuál es la probabilidad de que un día determinado,
i. Se vendan menos de cuatro automóviles?
ii. Se vendan cuando mucho cuatro automóviles?
iii. Se vendan por lo menos cuatro automóviles?
iv. Se vendan exactamente cuatro automóviles?
v. Se vendan más de cuatro automóviles?
Aproximadamente 10% de las botellas de vidrio que salen de una línea de producción tienen defectos graves en el
vidrio. Si se seleccionan al azar 5 botellas,
a) Elabore una tabla de distribución de probabilidad para las botellas que tienen defectos de gravedad.
b) Determine la media y la desviación estándar del número de botellas que tienen defectos de gravedad.
Se tienen que asignar aleatoriamente dos contratos de construcción a una o más, de tres empresas I, II y III.
Cualquier empresa puede recibir más de un contrato. Si cada contrato produce una ganancia de $1,100,000 pesos
para la empresas,
a) Calcule la ganancia esperada para la empresa I.
b) Si las empresas I y II pertenecen al mismo propietario, ¿Cuál sería la ganancia total esperada del dueño?
Un vendedor de equipo pesado puede entrevistar a uno o dos clientes diariamente con una probabilidad de 1/3 y
2/3 respectivamente. Cada entrevista tendrá como resultado una no venta o una venta de 6 millones de pesos con
probabilidades de 0.9 y .01 respectivamente.
a) Obtenga la tabla de distribución de probabilidad para las ventas diarias.
b) Encuentre la media y la desviación estándar de las ventas diarias.
Distribución uniforme discreta.
1. El tiempo de un viaje (ida y vuelta) de los camiones que transportan concreto hacia una obra de construcción en
una carretera, está distribuido uniformemente en un intervalo de 50 a 70 minutos.
a) Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea menor a 65 minutos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea exactamente a 65 minutos
d) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos si se sabe que la duración del
viaje es mayor que 55 minutos?
2. El número de tarjetas de circuito impreso defectuosas que salen de una máquina de soldadura sigue una
distribución uniforme. Se encontró una tarjeta defectuosa durante una jornada específica de 8 horas de trabajo.
a) Halle la probabilidad de que haya sido producida durante la primera hora de operación de ese día.
b) Halle la probabilidad de que haya sido producida durante la última hora de operación de ese día.
c) Obtenga la probabilidad de que la tarjeta se haya originado durante la quinta hora, dado que no se produjeron
tarjetas defectuosas en las primeras cuatro horas de operación.
3. Las llegadas de los clientes a un cajero bancario tienen una distribución uniforme. Se sabe que durante un período
dado de 15 minutos llegó un cliente al cajero.
Departamento de Matemáticas
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Semestre 2011-1
Universidad de Sonora.
a)
Calcule la probabilidad de que el cliente haya llegado durante los últimos 5 minutos del período de 15
minutos.
b) Calcule la probabilidad de que el cliente haya llegado durante los primeros 3 minutos del período de 15
minutos.
c) Calcule la probabilidad de que el cliente haya llegado exactamente a los 10 minutos del período de 15 minutos.
d) Calcule el valor esperado y la desviación estándar de la llegada de los clientes al cajero en un período de 30
minutos.
Distribución de Bernoulli.
1.
2.
3.
Se ha observado, estudiando 10,500 cajas de 50 kg. de aguacate de un embarque al extranjero, que 235 cajas se
dañaron durante su traslado. Describa el experimento usando conceptos de variable aleatoria.
Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Describa
el experimento usando conceptos de variable aleatoria.
Se ha observado que de 2,000 clientes que entraron a un centro comercial, 500 realizaron una compra. Describa el
experimento usando conceptos de variable aleatoria.
Binomial negativa.
1.
2.
3.
4.
En una embarque hay 80 cajas de aguacate, 100 cajas de manzanas, 50 cajas de plátanos, si extraemos 6 cajas de
aguacate al azar ¿Calcule la probabilidad de que ya hayan salido 2 cajas de manzanas canicas verdes?
La probabilidad de que un solicitante de trabajo lo acepten para trabajar en una fábrica es del 20 %. Si 10
solicitantes no salieron seleccionados ¿Calcule la probabilidad de que antes de esas 10 personas 3 hayan
solicitantes hayan sido seleccionados?
Un fabricante utiliza fusibles eléctricos en un sistema electrónico. Los fusibles se compran en lotes grandes y se
prueban secuencialmente hasta que se observa el primer fusible defectuoso. Suponga que el lote contiene 10% de
fusibles defectuosos:
a) ¿Qué probabilidad hay de que el primer fusible defectuoso sea uno de los primeros cinco fusibles probados?
b) ¿Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de x, el número de fusibles probados hasta observarse
el primer fusible defectuoso.
Se aplican análisis a los obreros de una empresa que fabrica material aislante, a fin de detectar la existencia de
asbesto en sus pulmones. La fábrica tiene que mandar tres obreros con indicaciones positivas de asbesto a un
centro médico para realizar más pruebas. Si 40% de los trabajadores tienen indicaciones positivas de asbesto en los
pulmones,
a) Calcule la probabilidad de que se tengan que examinar a 10 operarios para encontrar 3 “positivos”
b) Si cada prueba cuesta $550 pesos, calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar del costo del
costo total de la realización de las pruebas necesarias para localizar 3 empleados “positivos”
Distribución binomial.
1.
2.
Muchos jefes se dan cuenta de que algunas de las personas que contrataron no son lo que pretenden ser. Detectar
personas que solicitan un trabajo y que falsifican la información en su solicitud ha generado un nuevo negocio.
Una revista nacional notificó sobre este problema mencionando que una agencia, en un periodo de dos meses,
encontró que el 35% de los antecedentes examinados habían sido alterados. Suponga que usted ha contratado la
semana pasada 5 nuevos empleados y que la probabilidad de que un empleado haya falsificado la información en
su solicitud es 0.35.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las cinco solicitudes haya sido falsificada?
b) ¿Ninguna de las solicitudes haya sido falsificada?
c) ¿Las cinco solicitudes hayan sido falsificadas?
El productor de un tipo de leche con pocas calorías quiere comparar la atracción que ejerce el sabor de una nueva
preparación (fórmula B) con respecto a la preparación estándar (fórmula A). Se dan a cada uno de 4 jueces 3 vasos,
de modo aleatorio, 2 de los cuales contienen la fórmula A y el otro la fórmula B. Se pregunta a cada juez cuál vaso
disfrutó más. Suponga que las dos preparaciones son igualmente atractivas. Sea Y el número de jueces que
prefieren la nueva fórmula.
a) Establezca la distribución de probabilidad para Y.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres de los cuatro jueces prefieran la nueva preparación?
c) Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de Y.
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3.
Un complejo sistema electrónico está construido con cierto número de componentes de apoyo en sus subsistemas.
Un subsistema contiene 4 componentes idénticos, cada uno con una probabilidad de 0.2 de fallar en menos de
1,000 horas. El subsistema funciona si dos componentes cualesquiera de los cuatro trabajan de forma adecuada. Se
supone que los componentes operan independientemente.
a) Calcule la probabilidad de que exactamente dos de los cuatro componentes resistan más de 1,000 horas.
b) Calcule la probabilidad de que el subsistema funcione por más de 1,000 horas.
4. Un fabricante de cera para pisos desarrolla dos productos nuevo, A y B, que desea someter a la evaluación de amas
de casa para determinar cuál es mejor, las dos ceras A y B, se aplican en los pisos de 30 casas. Se supone que en
realidad no hay diferencia en calidad entre las dos marcas.
a) Calcule la probabilidad de que 20 o más amas de casa vayan a preferir la marca A.
b) Calcule la probabilidad de que 20 o más amas de casa vayan a preferir la marca A o la marca B.
Distribución geométrica.
1.
2.
3.
4.
Se supone que el 30% de los aspirantes a un puesto en una empresa requiere un entrenamiento avanzado en
métodos estadísticos y programación computacional. Los aspirantes son entrevistados, uno tras otro, y son
seleccionados al azar del conjunto de aspirantes.
a) Calcule la probabilidad de que se encuentre el primer aspirante con un entrenamiento avanzado en métodos
estadísticos y programación computacional en la quinta entrevista.
b) ¿Cuál es el número esperado de aspirantes que hay que entrevistar para encontrar el primero con un
entrenamiento avanzado?
Un explorador de petróleo perforará una serie de pozos de cierta área del golfo de México para encontrar un pozo
productivo. La probabilidad de que tenga éxito en una prueba es 0.20.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer pozo productivo sea el tercer pozo perforado?
b) Cuál es la probabilidad de que el explorador no vaya a encontrar un pozo productivo si solamente pude
perforar a lo más 10 pozos?
c) ¿Cuántos pozos se espera que tendría que perforar el explorador antes de encontrar un pozo productivo?
Exprese su respuesta en forma intuitiva.
Se estima que el 60% de una población de consumidores prefiere una marca particular de pasta de dientes A.
a) ¿Cuál es la probabilidad, al entrevistar a un grupo de de consumidores, de que se tenga que entrevistar a
exactamente 5 personas, para encontrar al primer consumidor que prefiere la marca A.
b) Cuál es la probabilidad, al entrevistar a un grupo de de consumidores, de que se tenga que entrevistar a al
menos 5 personas, para encontrar al primer consumidor que prefiere la marca A?
La probabilidad de que una nueva pequeña empresa mexicana, exporte su producto en un período de un año es de
0.10. Suponga que las nuevas pequeñas empresas que exportan su producto surgen de manera aleatoria y por lo
tanto, el número de pequeñas empresas que exportan su producto en el año, son independientes.
a) Calcule la probabilidad de que la primera pequeña empresa que exporte su producto, lo haga hasta el tercer
año de su inicio.
b) Calcule la probabilidad de que la primera empresa que exporte su producto no lo haga hasta al menos el tercer
año.
Distribución hipergeométrica.
1.
2.
3.
4.
En una tienda de aparatos electrónicos se tienen 20 impresoras de las cuales 6 están defectuosas. Una compañía
selecciona y compra 8 de las máquinas al azar, creyendo que todas funcionan bien.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las cinco máquinas no sean defectuosas?
b) La tienda repara las impresoras defectuosas a un costo de $660 pesos cada una. Encuentre la media y la
desviación estándar del costo total de reparación.
Suponga que un radio-receptor contiene 6 transistores, de los cuales 2 están defectuosos. Se quitan y prueban 3
transistores escogidos al azar. Sea X el número de transistores defectuosos, en donde X = 0, 1 o 2.
a) Construya la distribución de probabilidad para X.
b) Exprese sus resultados gráficamente como un histograma de probabilidades.
Una corporación muestrea, sin reemplazo, n = 6 empresas extranjeras para importar ciertos suministros. La muestra
se selecciona de un conjunto de 10 empresas, de las cuales 6 son americanas y 4 europeas. Se X el número de
empresas europeas escogidas.
a) Obtenga P(X = 1).
b) Obtenga P(X ≥ 1).
c) Obtenga P(X ≤ 1).
Un lote de un proveedor local de tubería contiene 100 piezas y 200 unidades de un proveedor foráneo de tubería. Si
se seleccionan ocho piezas al azar y sin reemplazo,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local?
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b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local?
d) ¿Cuál es el valor esperado de piezas del proveedor foráneo en una muestra de 20 piezas?
Distribución de Poisson.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
En una gran tienda comercial, los clientes llegan a las cajas de acuerdo a una distribución de Poisson con un
promedio de 70 por hora. En una hora dada, cuál es la probabilidad de que lleguen a las cajas:
a) ¿30 o más clientes?
b) ¿al menos 20 clientes?
c) ¿exactamente 30 clientes?
Un estacionamiento tiene dos entradas. Los autos llegan a la entrada I de acuerdo con una distribución de Poisson
con un promedio de tres por hora, y a la entrada II conforme a una distribución de Poisson de cuatro por hora.
Suponiendo que los números de los autos que llegan al estacionamiento a las dos entradas son independientes, cuál
es la probabilidad de que durante una hora dada lleguen al estacionamiento:
a) ¿tres autos?
b) ¿Al menos tres?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto dado lleguen al estacionamiento dos autos por la puerta I y tres a
la puerta II?
El dueño de una tienda tiene existencias de cierto artículo y decide utilizar la siguiente promoción para disminuir la
existencia. El artículo tiene un precio de $1,350 pesos. El dueño reducirá el precio en un 1/3 por cada cliente que
compre el artículo durante un día particular. Así, el primer cliente pagará $900 pesos, el segundo $600 pesos y así
sucesivamente. Suponga que el número de clientes que compra el artículo durante el día tiene una distribución de
Poisson con media 2. Encuentre el costo esperado del artículo al final del día. [Sugerencia: el costo al final del día
es 1,350*(1/3) X pesos, en donde X es el número de clientes que compraron el artículo].
Un fabricante de comida rápida usa una máquina de extensión (que produce alimentos tipo “bocado”, como
galletas y bocadillos) que proporciona ingresos a razón de $550 pesos por hora, cuando funciona bien. Sin
embargo, la máquina se descompone, en promedio 3 veces cada día de operación. Si X indica el número de averías
(descomposturas) por día, el ingreso diario generado por la máquina está dado por I = 4,400 – 137.5 X2. Calcule el
ingreso diario esperado.
La cantidad promedio de automóviles que pasan por un túnel es de uno cada periodo de 2 minutos. El paso de
muchos vehículos en un periodo breve hace que sea peligroso recorrerlo. Determine la probabilidad de que el
número de automóviles que pasan por allí durante un periodo de dos minutos sea superior a 3. ¿Es conveniente
usar la distribución Poisson para resolver este problema?
El número promedio de automóviles que llegan caseta de cobro es de 110 por hora. Si dicha caseta puede atender a
un máximo de 10 automóviles por minuto, determina la probabilidad de que en un minuto dado lleguen a la caseta
de cobro más automóviles de los que puede atender.
Los accidentes de trabajo que se producen en una fábrica por semana, siguen una ley de Poisson tal que la
probabilidad de que haya 5 accidentes es 16/15 de la que haya 2. Calcular:
a) el parámetro λ de la distribución.
b) el número máximo de accidentes semanales con una probabilidad del 90%,
c) probabilidad de que no haya ningún accidente en 4 semanas.
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Ejercicio práctico de variables aleatorias discretas y distribuciones

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