Concurso de primavera 13-14. Nivel III. SOLUCION 39

Concurso de primavera 13-14. Nivel III. SOLUCION 39

Concurso de primavera 13-14. Nivel III.
SOLUCION
Semana XX - Soluciones
- 2012-primera fase - no 2
39
Cada mochuelo en su olivo, pero hay un mochuelo que no tiene olivo. Si se colocan dos mochuelos
en cada olivo queda un olivo sin mochuelo. ¿Cuántos olivos hay?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Puede resolverse tanteando, pero también planteando una ecuación.
Llamemos x al número de mochuelos. Ası́, el número de olivos sera x − 1.
Si se colocan dos mochuelos en cada olivo y queda un olivo sin mochuelo, podemos escribir el
x
número de olivos como + 1.
2
x
La ecuación es: x − 1 = + 1
2
Multiplicando ambos miembros por dos: 2x − 2 = x + 2
Despejando x obtendremos el número de mochuelos:
x=4
El número de olivos es 4 − 1 = 3
SOLUCION
- 2012 segunda fase - no 24
40
Si x < 0, ¿cuál de los siguienes números es positivo?
A)
x
|x|
B) −x2
C) −2x
D) −x−1 (1 − x)
E)
√
3
x
Los números −x2 y −2x son negativos para cualquier valor de x.
Los números
√
3
xy
x
tendrán el signo de x, en este caso son negativos pues x es negativo.
|x|
Sólo queda −x−1 (1 − x). Podemos comprobar que si x es negativo el número anterior es positivo:
−x−1 (1 − x) =
−1
x(1 − x)
1 − x es positivo pues x es negativo y restar un número negativo a uno positivo da positivo.
El producto x(1−x) es el producto de un número negativo por uno positivo, por lo tanto es negativo.
Ası́ −x−1 (1 − x) =
−1
es el cociente de dos números negativos, por lo tanto positivo.
x(1 − x)