resolucion

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±
Resolución de ecuaciones según
Al-Khowarizmi
¯
°
Carlos O. Suárez Alemán
Mahoma nace aproximadamente en el año 570 en La Meca y muere en Medina en el año 632. Un
siglo después los árabes tienen el control del Imperio Bizantino, Egipto, Siria, Persia, la India, etc. En
el año 755 el estado islámico se escindió en dos partes, el reino occidental, con capital en Córdoba, y
la oriental en Bagdad. Los árabes recogen la herencia griega, los trabajos de diofanto, etc. Alrededor
del 800 traducen al árabe los Elementos de Euclides de los bizantinos. Traducen a Ptolomeo en el año
827. También, entre otros, a Apolonio, Arquı́medes, Herón y la obras hindúes. Conocieron el sistema
posicional de los hindúes, pero a pesar de que estos últimos aceptaban los números negativos, ellos los
rechazaron. Del 650 al 750 fue un desierto intelectual.
Abu Ja’far Muhammad ibn Musá Al-Khowarizmi (ca. 750-ca. 850) (780-846) escribe en el año 830,
en lenguaje retórico, el primer tratado de álgebra titulado Hisab al-jabr w’al-muqäbala cuyas raı́ces se
encuentran en la obra de hindú Bramagupta (c. 598), aunque también tine influencias babilónicas y
griegas. De esta obra proviene la palabra álgebra (“al-jabr”) que significa ((restauración)) indicando que
se restaura el equilibrio mediante la transposición de términos de una ecuación; Por otro lado “w’almuqäbala” significa la ((simplificación)) de la expresión mediante la cancelación de términos semejantes
de cada lado de la ecuación.
De este modo la ecuación x2 − 7 = 3, por “al-jabr” pasarı́a a ser x2 = 7 + 3 y por “w’al-muqäbala”
quedarı́a como x2 = 10. En los seis primeros capı́tulos considera la solución de las ecuaciones cuadráticas.
Distinguı́an cinco casos de estas ecuaciones (seis si se cuentan las ecuaciones de primer grado). Con
estos seis tipos se agotan todas las posibilidades de ecuaciones lineales y cuadráticas que tengan una
raı́z positiva, recordemos que la raı́ces negativas o nulas no eran consideradas, por lo que, en estas
condiciones, la expresión de Al-Khowarizmi es sistemática y exhaustiva. Veamos todos los casos1 :
Tesoro igual a raı́ces
Tesoro igual a números
Raı́ces igual a números
Tesoro y raı́ces igual a números
Tesoro y números igual a raı́ces
Tesoro igual a raı́ces y números
ax2 = bx
ax2 = c
bx = c
ax2 + bx = c
ax2 + c = bx
ax2 = bx + c
Las soluciones están formuladas en forma de recetas orientadas a completar cuadrados y aplicados
a ejemplos concretos. Las fórmulas se justifican mediante construcciones geométricas. Veamos a continuación la forma de resolver ecuaciones de segundo grado propuestas por Al-Khwarizmi, concretamente
nos referimos al cuarto caso, una ecuación del tipo x2 + 10x = 39:
Debes tomar la mitad del número de raı́ces, esto es cinco, y multiplicarlo por sı́ mismo y
obtienes 25, al que le sumas el número 39, con resultado 64. Tomas la raı́z cuadrada de este
número que es 8 y le restas la mitad de las raı́ces y obtienes 3, que es el valor buscado
sµ
x=
1 En
10
2
¶2
+ 39 −
10
=3
2
las expresiones hay que entender que Tesoro es x2 y que raı́ces es x.
1
que se corresponde en general, para una ecuación x2 + px = p con observar que
1
p2
p2
x2 + 2 px +
=q+
2{z
4}
4
|
(1)
q
³
x2 +
p ´2
2
Por lo que
p
x=− +
2
r³ ´
p 2
+q
2
Al-Khowarizmi aporta la siguiente justificación geométrica: Para resolver esta ecuación identifica x2
con un cuadrado al que anexiona un rectángulo de altura x y base 10, esta figura tendrá un área total
de 39 unidades.
x2
10x
Continúa con la división del rectángulo en dos partes iguales por la base, de base 5 cada una, trasladando
y girando 90o se llega a la figura:
x2
5x
5x
Completando ésta con un cuadrado de lado 5, tendrı́amos una figura en la cual el área total es de 39
+25 = 64 unidades y que también es un cuadrado de lado x + 5.
x2
5x
5x
25
2
Pero, como su área es de 64 unidades, el lado debe ser 8, y por tanto x debe ser 3. En este caso, aunque
Al’Kwarizmi es consciente de que la solución −7, también es posible, no la contempla por ser negativa.
Otro ejemplo interesante el la resolución por Al-Khowarizmi del quinto caso:
El quinto caso: Divide 10 en dos partes, multiplica cada parte por sı́ misma, suma y obtendrás
58 dirhams.
La solución que él expone para este problema es la siguiente:
Llamamos a una de las partes x, la otra será 10 − x, multiplı́cala por si misma, ası́ obtendrás
100 + x2 − 20x, y multiplicando x por x, tendrás x2 . Súmalas y obtendrás 100 + 2x2 − 20x, 58 dirhams.
Enriquece los 100 + 2x2 del 20x deficiente que añadirás a los 58 obteniendo
100 + 2x2 ,
58 + 20x
Devuelve esto a un único x2 , lo que harás tomando la mitad de todo lo que tienes, obtendrás
50 + x2 ,
29 + 10x
Haz el equilibrio ahı́ dentro, es decir quita de los 50 los 29, se quedará
21 + x2 ,
10x
Debes tomar la mitad del número de las raı́ces, en este caso 5, multiplı́calo por sı́ mismo, obtienes 25 al
que debes restar los números, en este caso 21, obteniendo 4. Extrae la raı́z cuadrada que es 2 y lo restas
del número de la mitad de las raı́ces, que era 5, y obtienes 3 que es la solución.
Si deseas puedes también sumar ese valor 2 a la mitad de las raı́ces que es 5 y obtienes 7, que también
es solución. Cuando un problema está dado en esta forma, puedes ensayar con la adición. Si no resulta,
es indudable que resultará con la sustracción. Este es el único caso en que hay que tomar la mitad de
las raı́ces, y que puede ofrecer solución por adición o sustracción.
Si observamos este procedimiento de una forma geométrica, observamos que la solución que él expone
para este problema es la siguiente:
Supone que x2 es un cuadrado de lado desconocido x y añade un rectángulo de la misma
altura y base indeterminada pero con área 21.
6
x2
21
¾
10
x
-
?
Al ser igual que 10x, como la altura de la figura es x, entonces la base debe ser 10, por lo
que divide esta base por la mitad y levanta un cuadrado con este lado:
3
6
x2
21
¾
¾
x
-
-10
5
?
Ahora resta un cuadrado desde la parte superior del cuadrado de lado 5:
6
x2
21
¾
¾
- ?
10
-
5
x
Y observa que las zonas sombreadas tienen la misma área, por lo tanto el área sombreada
de la siguiente figura también es 21.
6
x2
21
¾
¾
-10
5
x
- ?
Pero el área del cuadrado grande era 25, por lo que el área del cuadrado más pequeño es
25-21=4, de donde su lado es 2 y por tanto, x, que es la altura del rectángulo, mide 5-2=3.
Utilizando un dibujo semejante Al-Khwarizmi encuentra la otra solución positiva x = 7.
Para una ecuación general x2 + q = px, el procedimiento es el siguiente:
r³ ´
p
p 2
x= ±
−q
2
2
4
Al-Khwarizmi efectúa además una discusión de las soluciones en función del discriminante en los
siguientes términos:
Además hay que observar que si en este caso el cuadrado de la mitad de las raı́ces es menor
que los números, no hay solución. Si es igual a esos números, la solución es la mitad de las
raı́ces sin aumentos o disminuciones.
Conviene destacar que los seis primeros capı́tulos son aritméticos y que las justificaciones geométricas
están tras el capı́tulo sexto y se trata del método euclideo de “aplicación de áreas”. Ası́ el álgebra de
Al-Khowarizmi recoge el sistema de numeración hindú, la solución sistemática de las ecuaciones de 2o
grado de mesopotamia y el marco geométrico y lógico de justificación griego.
Este libro es al Álgebra, lo que los Elementos a la Geometrı́a: la mejor exposición elemental disponible
del álgebra hasta los tiempos modernos (Renacimiento), con el inconveniente d la forma retórica de su
redacción. La necesaria notación simbólica llegará mucho después (S. XVIII) en Europa.
ACTIVIDAD
Prepar una serie de ejercicios destinados a que los alumnos de un curso de 3o de ESO que no han
resuelto nunca una ecuación de 2o grado obtengan la fórmula general
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
para ax2 + bx + c = 0 según la técnica de Al-Khowarizmi.
5